Este documento presenta una guía de ejercicios sobre rectas, planos y espacios vectoriales para el curso de Álgebra Lineal. Incluye definiciones, ejemplos y 20 preguntas de selección múltiple para que el estudiante complete como parte de su aprendizaje independiente, el cual debe dedicar al menos 70 horas al curso de dos créditos.

1. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍAS
1
CURSO : Algebra Lineal
2012- II Taller No. Rectas, planos y Espacios Vectoriales.
Página 1 de 4
Tutora: Ing Sandra Narváez
correo: sandra.narvaez@unad.edu.co
https://sites.google.com/site/alineal20122/
Estimado estudiante:
La presente, es una guía de ejercicios que usted deberá tener en cuenta para su autoaprendizaje en este curso
temático. No se debe entregar resuelto, pero si será evaluado, además es indispensable su desarrollo PREVIO
para el encuentro tutorial. Si la cantidad de actividades no es suficiente para adquirir dominio sobre el tema en
cuestión, revise la bibliografía y practique en poco más
Recuerde la importancia de revisar el concepto de estudio independiente:
Este componente del trabajo académico es dinamizado y gestionado por quien aprende, mediante actividades
académicas realizadas en forma completamente independiente y actividades de aprendizaje de pequeño grupo
colaborativo. De acuerdo al sistema de créditos académicos el estudiante, para el caso de este curso que tiene
un valor en créditos de dos, debe administrar el tiempo en forma tal que para el componente de estudio
independiente debe destinar por lo menos 70 horas, de las 96 en total que comprende TODO el curso.
Recuerde que es indispensable el análisis del módulo correspondiente a este curso académico
Recuerde asumir con responsabilidad el compromiso adquirido con su
proceso de aprendizaje.
RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES
Las siguientes actividades tienen como objetivo afianzar sus conocimientos teóricos de cada tema
Rectas y planos en el espacio
Defina:
Concepto
Vector Director de un recta
Ecuación Vectorial de una recta
Ecuación Paramétrica de una recta
Ecuación Simétrica de una recta
Vector Normal de un plano
Ecuación de un Plano en R3
Definición
Ejemplo
2. Realice un cuadro donde se indique las características principales de estas tres ecuaciones (Ecuación Vectorial,
Paramétrica y Simétrica)
3. Comente cómo se determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares
4. ¿Cómo se establece la ecuación de un plano que pasa por tres puntos?
5. ¿Cómo sabemos si dos planos son paralelos o se interceptan?
6. ¿Cuándo se afirma que tres vectores son coplanares, es decir, que están en el mismo plano?
Espacios Vectoriales
6. Complete el siguiente cuadro
Concepto
Espacio vectorial
Axiomas del Espacio Vectorial
Subespacios
Combinación Lineal
Generación de un espacio Vectorial
Definición
Ejemplo

2. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍAS
2
CURSO : Algebra Lineal
2012- II Taller No. Rectas, planos y Espacios Vectoriales.
Página 2 de 4
Tutora: Ing Sandra Narváez
correo: sandra.narvaez@unad.edu.co
https://sites.google.com/site/alineal20122/
7.
3
¿Cuáles son los subespacios propios de R ?
8. ¿Cuándo se puede afirmar que los vectores son Linealmente Dependientes ó
Linealmente Independientes?
9. ¿Qué características debe cumplirse para que los vectores generen espacio?
10. REALICE EL MAPA CONCEPTUAL DE LOS TEMAS TRATADOS (Rectas, Planos y Espacios Vectoriales)
Las siguientes actividades tienen como objetivo profundizar los conocimientos anteriormente tratados
EJECICIOS
PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA
“A continuación usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente
al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente la pregunta planteada, entre cuatro opciones
identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo
correspondiente.”
10.
La ecuación vectorial de la recta que contiene los puntos
(4,2,3) y (1,3,0) es:
(x, y, z ) = (4,2,3) + (3,−1,3)t .
(x, y, z ) = (4,2,3) + (1,3,0)t
C.
(x, y, z ) = (− 1,−3,0) + (5,5,3)t
(x, y, z ) = (− 1,−3,0) + (4,2,3)t
11.
La ecuación paramétrica de la recta que contiene los puntos
A.
x = 1 − 4t
y = 3 − 2t
A.
B.
z = −3t
12.
A.
C.
B.
D.
x = 1 + 3t
. y = 3−t .
(4,2,3) y (1,3,0) es:
x = 4 + 3t
y = 2 + 3t
z=3
C.
z = 3t
La ecuación simétrica de la recta que contiene los puntos
y = 5 + 2t
z = 3 + 3t
D.
(4,2,3) y (1,3,0) es:
x y z
= =
3 3 2
x−4 y −2 z −3
=
=
.
3
−1
3
x = 5 + 4t
x −1 y − 3 z
=
=
3
3
2
x−4 y−2 z
=
=
3
3
2
=
x y−7 z+6
=
=
2
2
−2
13.
Las rectas L1
A.
C.
Paralelas.
Perpendiculares
14.
A.
C.
Las rectas L1 : x,
Paralelas
Perpendiculares.
B.
D.
,
L1 =
x−7 y −5 z −2
=
=
son
−4
−4
4
B.
D.
(
0
Forman un ángulo de 20,5
0
Forman un ángulo de 45.2
y, z ) = (1,0,1) + (1,6,−1)s , L2 : ( x, y , z ) = (1,0,1) + (10,−1,4 )t son
B.
D.
Forman un ángulo de 36,900
0
Forman un ángulo de 45.2

3. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍAS
3
CURSO : Algebra Lineal
2012- II Taller No. Rectas, planos y Espacios Vectoriales.
Página 3 de 4
Tutora: Ing Sandra Narváez
correo: sandra.narvaez@unad.edu.co
https://sites.google.com/site/alineal20122/
(
y, z ) = (1,0,1) + (1,6,−1)s , L2 : ( x, y , z ) = (1,0,1) + (− 1,5,2 )t son
15.
A.
C.
Las rectas L1 : x,
Paralelas
Perpendiculares.
16.
La ecuación del plano que contenga el punto P
A.
C.
5x + 9 y + 8z = 7
x − 2 y + 8z = 0 .
17.
A.
C.
Los siguiente planos
Paralelas.
Perpendiculares
18.
Los puntos de intersección de los planos:
A.
C.
19.
B.
D.
C.
o
= (0,0,0 ) y que su vector normal N = (1,−2,8) es:
B.
D.
9 x + 8 y + 3 z = 12
− x + 9 y + 6 z = 23
π 1 : x + 6 y − z = 2 y π 2 : 10 x − y + 4 z = 1 son :
B.
D.
están dados por:
B.
 4z + 5 2z − 1 
,
,z

6
 6

D.
 4z − 5 2z − 1 
,
, z

6
 6

 4z − 5 2z + 1 
,
, z

6
 6

La ecuación simétricas
0
Forman un ángulo de 23.4
0
Forman un ángulo de 34.3
π1 : x + y − z =1
π1 : x − y + z = 0
 1 2z + 1 
,z.
 ,
2

2
de la recta que pasa por el punto
x−3 y −2 z
=
= son:
3
−1
2
A.
Forman un ángulo de 31,74
0
Forman un ángulo de 45.2
A = (2,3,1) y
es paralela a la recta
B.
(x, y, z ) = (2,3,1) + (3,−1,2)t
D.
x − 2 y − 3 z −1
=
=
.
3
−1
2
x+3 y+2 z
=
=
2
3
1
(x, y, z ) = (− 1,−3,0) + (5,5,3)t
PUNTO RETO:
Justifique la respuesta.
20.
A.
SI es conjunto vectorial:
3
El conjunto de vectores en R de la forma
C.
V = M mn matrices
( x, x, x )
F = {A ∈ M mn : A es invertible }
de
n× n y
3
B.
El conjunto de vectores en R
D.
El conjunto de vectores en R3 de la forma
(x, x + 1, x + 2)
(x,1,3)
de la forma

4. ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍAS
CURSO : Algebra Lineal
2012- II Taller No. Rectas, planos y Espacios Vectoriales.
Página 4 de 4
Tutora: Ing Sandra Narváez
correo: sandra.narvaez@unad.edu.co
https://sites.google.com/site/alineal20122/
Recuerde asumir con responsabilidad el compromiso adquirido con su
proceso de aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA:
ZUÑIGA, Camilo. Módulo Algebra Lineal.Universidad Nacional Abierta y a
Distancia UNAD. Bogotá, 2008
• GROSSMAN, Stanley. Álgebra Lineal-McGraw Hill. México. 1996
• ANTÓN, Howard. Introducción al Algebra Lineal. Limusa. Mexico 2.000.
• ROJO, Jesus. Algebra Lineal. McGraw Hill. Madrid 2.001.
• LARSON, Edwards. Introducción al Algebra Lineal. Limusa. Mexico 2.000.
• GOLUBITSKY, Martín, DELLNITZ, Michael. Algebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales. Thomson-Learning. Mexico
2.001
• KOLMAN, Bernard. Algebra Lineal. Prentice Hall. Mexico 1.999.
• FRALEIGH, John B, BEAUREGARD, Raymond A. Algebra Lineal. Addison-Wesley. Estados Unidos 1.989
• LANG, Serge. Introducción al Algebra Lineal. Addison Wesley. Estados Unidos 1.990.
Links
• Espacio Vectorial. Wikipedia . http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Fecha de consulta: 30 SEPTIEMBRE 2012
• Espacios Vectoriales. http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/summer99/seck/node10.html
Fecha de consulta: 30 SEPTIEMBRE 2012
• La pizarra de Fonemato http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al03.htm#1
Fecha de consulta: 30 SEPTIEMBRE 2012
•
“Wiris”. http://www.wiris.net/wiris/es/ Fecha de consulta: 30 SEPTIEMBRE 2012
4