Definiciones de Grupos, Subgrupos, Anillo y Cuerpo

1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
EDDY ALVARADO 14-1118
ALBERY LORA 14-1052

2. La estructura algebraica es una clasificacion que depende de las
propiedades que las operaciones cumplen en un conjunto

4. GRUPO
Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no
vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de
elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y
que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro
y simétrico .

7. Clausura
También conocido como Cerradura, quedó establecida en la anterior definición;
Cuando en (G) el resultado de operar sus elementos entre sí es otro elemento del
mismo conjunto por lo que, la operación se mantiene cerrada para dicho conjunto.
Asociatividad
Sean a, b y c elementos de se verifica que: . Al
establecer que un conjunto (S, ) cumple con la ley asociativa queda definida una
estructura algebraica de semigrupo.

8. Existencia de elemento neutro
Existe un elemento e de G que al ser operado por un elemento cualquiera a de G; deja
invariante a este último verificando lo siguiente, si G es un grupo abeliano (caso
contrario, verificará una de sus partes):
En grupos multiplicativos abelianos ,el elemento identidad, también
denominado elemento unidad se denota con frecuencia como 1 o 1G, una notación
heredada de la identidad multiplicativa.
Existencia de elemento simétrico
Esta es la característica esencial para determinar si un conjunto G es un grupo,
necesariamente, (G, ) debe de ser un monoide, cumpliendo las anteriores
propiedades expuestas y además, verificar la existencia del elemento simétrico para
cada uno de los elementos del monoide, es decir: Para todo a de G, existe un elemento
y solo uno, que denotamos como ā tal que: ; siendo e el elemento neutro
de G y ā el elemento simétrico de a;

9. Propiedad conmutativa
Sean a y b elementos de (G, ) cuando es posible operar en cualquier orden de
manera indistinta: a con b o b con a, para obtener un mismo resultado; se está
cumpliendo la conmutatividad en el grupo: .

10. Subgrupo (semigrupo)
En álgebra , dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que
un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G si H también
forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, H es un subgrupo
de G si la restricción de * a H satisface los axiomas de grupo.

11. Subgrupo (semigrupo)

12. Subgrupo (semigrupo)

14. https://www.youtube.com/watch?v=ptRmr8LFfc4

15. DEFINICION DE ANILLOS
Definición: El concepto de Anillo se obtiene como una generalización de
los números enteros, en donde están definidas un par de operaciones, la
suma y el producto, relacionadas entre si por una ley de distributivita. Los
anillos pues son estructuras algebraicas más completas que los grupos,
pero sin embargo en el estudio de sus propiedades más importantes, nos
apoyamos a lo largo de toda la exposición en nuestra experiencia con los
grupos. La razón para esto es muy simple, pues todo anillo es un grupo en
si mismo.

16. DEFINICION DE ANILLOS (CONT…)
1. Para todo a, b ∈ R, se tiene que a + b y a · b estan en R.
2. Para todo a, b, ∈ R se tiene que
a + (b + c) = (a + b) + c
3. Existe un elemento 0 en R, el cual llamaremos cero, tal que
a + 0 = 0 + a = a para todo a en R.
4. Para todo a en R, existe otro elemento en R, denotado por −a, el cual llamamos
el opuesto de a y que veri ca
a + (−a) = −a + a = 0
5. Para todo a, b en R se tiene
a + b = b + a
6. Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b · c) = (a · b) · c
7. Para todo a, b y c en R se satisface
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
Un anillo R es un conjunto no vacio en donde están definidas un par de operaciones llamadas suma y
producto, las cuales denotamos por + y · respectivamente. Estas operaciones satisfacen cada una de las
propiedades siguientes:

17. EJEMPLOS

18. DEFINICION DE CUERPOS
Definición: Un cuerpo es un conjunto R, diferente del vacío, con dos operaciones llamadas suma y producto, denotadas por + y · tales que verifican
1) Para todo a, b en R, se tiene:
a + b ∈ R y a · b ∈ R
2) Para todos a, b, c en R
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
3) Para todo a, b en R se tiene
a + b = b + a y a · b = b · a
4) Existen elementos 0 y 1 en R llamados cero y uno, tales que para todo a en R
a + 0 = 0 + a = a,
a · 1 = 1 · a = a
5) Para todo a en R, existe un elemento −a llamado el opuesto de a tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0
6) Si a es diferente de cero, existe un elemento a−1 en R llamado el inverso de a, tal que
a · a−1 = a−1 · a = 1
7) Para todos a, b, c en R
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c

19. EJEMPLOS

20. FUENTES CONSULTADAS
• http://mathworld.wolfram.com/DiscreteMathematics.html
• https://www.cse.buffalo.edu//~rapaport/191/S09/whatisdiscmath.html
• http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/Precursos/estructuras.pdf
• https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica