Groups Simetry

1. ´Algebra y Estructuras Discretas
Grupo B de la Ingenier´ıa T´ecnica de Sistemas
TEMA 2: Grupos. El grupo Sim´etrico.
1. Definici´on de Grupo. Propiedades B´asicas.
Definici´on 1.
Dado un conjunto no vac´ıo G, una operaci´on binaria sobre G es una aplicaci´on de
G × G en G.
Definici´on 2.
Un grupo viene definido por un conjunto G y una operaci´on binaria (representada por
)
G × G ! G
(g1, g2)7! g1 g2
verificando en primer lugar la propiedad asociativa, es decir, 8g1, g2, g3 2 G,
(1) g1 (g2 g3) = (g1 g2) g3.
En segundo lugar, existe un elemento e 2 G tal que para todo g 2 G,
(2) g e = e g = g,
y para todo g 2 G, existe h 2 G verific´andose
(3) g h = h g = e.
Si adem´as g h = h g para cualesquiera g, h 2 G, entonces el grupo se dice que es
conmutativo (o abeliano).
El elemento e es (tal y como justificaremos en breve) ´unico y se denomina el elemento
neutro o identidad del grupo.
Si g y h son dos elementos de un grupo verificando g h = h g = e, en tal caso h se
denomina un inverso de g. Veremos dentro de poco que cada elemento de un grupo tiene
un ´unico inverso.
Por tanto, dado un conjunto y una operaci´on binaria definida sobre dicho conjunto, para
que ´este sea un grupo tendremos que comprobar: asociatividad, existencia de un elemento
identidad y existencia de inverso.
Proposici´on 3 (Unicidad del elemento identidad).
Sea (G, ) un grupo y sean e1, e2 2 G tal que para todo g 2 G se verifica
e1 g = g e1 = g,
e2 g = g e2 = g.
Entonces e1 = e2.
1

2. 2
Proposici´on 4 (Unicidad del inverso).
Sea (G, ) un grupo, e el (´unico) elemento identidad de G y g, h, k elementos arbitrarios
de G. Supongamos adem´as que
g h = h g = e,
g k = k g = e.
Entonces h = k.
Por tanto todo elemento de un grupo tiene un ´unico elemento inverso.
Proposici´on 5. Sea (G, ) un grupo, e el elemento identidad de G, y sean g, h 2 G tales
que h g = e. Entonces g h = e, con lo cual h es el (´unico) inverso de g.
Al ver la demostraci´on de esta proposici´on (v´ease el Ap´endice 2), observamos que para
demostrar que h g = e ) g h = e, nos hemos basado en el hecho de que g tiene un
inverso, ya que es un elemento de un grupo. Se pueden presentar situaciones m´as generales
(que no corresponden a la estructura de grupo), en las cuales puede ocurrir que h g = e
pero no g h = e (v´ease el Ejercicio 4).
Notaci´on 6. Para cualquier elemento g de un grupo, representaremos a su ´unico inverso
como g−1.
Proposici´on 7 (Propiedades de los inversos).
Sea (G, ) un grupo, e su elemento identidad y g, h elementos arbitrarios de G. Entonces
g−1−1
= g, (g h)−1 = h−1 g−1, e−1 = e.
Cuando se refiere a operaciones binarias abstractas, se suele usar una notaci´on multipli-cativa,
es decir, escribir la operaci´on binaria del grupo usando un punto que es el s´ımbolo
usual para el producto. En tal caso, el resultado de operar dos elementos g1 y g2 se escribe
como g1 · g2 (´o simplemente g1g2), en vez de g1 g2, y el elemento neutro del grupo se
representa como 1.
Adem´as, la propiedad asociativa nos permite escribir g1g2g3 en lugar de (g1g2)g3 ´o g1(g2g3).
Si n 0, escribimos gn para representar el resultado de operar g consigo mismo n veces.
Tambi´en definimos g0 = 1 y g−n = (g−1)n.
Ejercicio 8. Si g es un elemento de un grupo G, demostrar para todo n 0 que g−n =
(gn)−1 (sugerencia: aplicar inducci´on).
Ejercicio 9 (Propiedades de potencias). Sea G un grupo. Entonces para cualesquiera
g, h 2 G y 8m, n 2 Z se verifica que:
gm+n = gm · gn
(gm)n = gm·n
Si g · h = h · g, entonces (g · h)m = gm · hm
Diremos por ´ultimo que para algunas operaciones conmutativas como es la suma, a veces
se emplea la notaci´on aditiva, siendo el s´ımbolo el usual “+” (en vez de “ · ”) y el elemento
neutro el 0. En este caso escribiremos n · g para indicar el resultado de operar g consigo

3. 3
mismo n veces. Adem´as se habla de elementos opuestos en vez de elementos inversos; como
es de esperar, −g es el opuesto de g. Se pueden escribir propiedades similares a las del
ejercicio anterior para esta situaci´on.
2. Ejemplos de Grupos.
1. El grupo trivial
Todo conjunto formado por un ´unico elemento e es un grupo bajo la operaci´on
definida por e · e = e. Este grupo es claramente conmutativo, la asociatividad es
trivial, e es la identidad y su propio inverso. Un grupo de esta forma diremos que
es un grupo trivial.
2. El conjunto de los n´umeros enteros
El conjunto Z de los n´umeros enteros tiene estructura de grupo con respecto de
la suma usual.
La suma es asociativa y el elemento neutro es el n´umero cero, es decir, 0 + n =
n+0 = n, para todo n 2 Z. Adem´as cada n´umero entero n tiene un inverso aditivo
que se representa como −n. Puesto que la suma de n´umeros enteros es conmutativa,
(Z, +) es un grupo abeliano.
3. El conjunto 2Z formado por todos los n´umeros enteros pares es un grupo respecto
de la suma usual.
4. Los n´umeros reales y Rn
El conjunto R de los n´umeros reales tiene estructura de grupo conmutativo con
respecto de la suma (aunque no con respecto del producto). Similarmente, el con-junto
Rn forma un grupo conmutativo con respecto de la operaci´on
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
y su elemento neutro es (0, . . . , 0). El opuesto de (x1, x2, . . . , xn) es (−x1,−x2, . . . ,−xn).
5. (R, ·)
El conjunto de los n´umeros reales no nulos tiene estructura de grupo abeliano
con respecto del producto usual. La identidad multiplicativa es el n´umero 1 y cada
n´umero real no nulo x tiene un inverso multiplicativo que se representa como 1
x o
bien x−1.
De manera similar, el conjunto C de los n´umeros complejos no nulos, tiene
estructura de grupo abeliano respecto del producto usual (a + ib) · (c + id) =
(ac − bd) + i(ad + bc).
6. Las raices n-´esimas de la unidad
Dado un n´umero natural n 1, una ra´ız n-´esima de 1 es cualquier n´umero
complejo z tal que zn = 1. Denotamos por Un el conjunto de todas las ra´ıces
n-´esimas de 1. Entonces Un tiene estructura de grupo abeliano con respecto del
producto usual de n´umeros complejos.
7. (Zm, +)
El conjunto cociente de Z respecto de la congruencia m´odulo m, es decir, Zm =
{[0], [1], · · · , [m − 1]}, tiene estructura de grupo conmutativo con respecto de la
suma de clases. El elemento neutro es [0] y el opuesto de [x] es [−x].

4. 4
8. El conjunto {[a] 2 Zm | mcd{a,m} = 1} es un grupo con respecto del producto de
clases llamado el grupo de las unidades de Zm.
9. El grupo sim´etrico o grupo de las permutaciones
Denotamos por Sn el conjunto formado por todas las aplicaciones biyectivas del
conjunto {1, 2, . . . , n} en s´ı mismo. Entonces Sn es un grupo con respecto de la
composici´on de aplicaciones.
Para n = 1 resulta un grupo trivial y para n = 2 resulta un grupo de dos
elementos que es por tanto tambi´en abeliano. Sin embargo, Sn no es abeliano para
n 3. Basta considerar las aplicaciones f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 y g(1) =
1, g(2) = 3, g(3) = 2 y comprobar que g f6= f g.
Sn se denomina el grupo sim´etrico de grado n o grupo sim´etrico sobre n
letras y sus elementos se denominan permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n}.
3. Subgrupo de un Grupo.
Definici´on 10. Dado un grupo (G, ), un subgrupo de G es un subconjunto H of G el
cual verifica las siguientes propiedades:
1. si h1, h2 2 H, entonces h1 h2 2 H,
2. el elemento identidad de G es un elemento de H,
3. si h 2 H, entonces h−1 2 H.
Estas condiciones sobre H garantizan que H sea un grupo, con la misma operaci´on de
G (pero restringida a H). Observar que la propiedad asociativa para H es una consecuen-cia
de la propiedad asociativa que se verifica en G. Adem´as el elemento neutro de H es
precisamente el elemento neutro de G.
Ejemplos 11.
Todo grupo no trivial G tiene al menos dos subgrupos: G y el subgrupo {e}. Ambos se
denominan los subgrupos triviales de G.
El conjunto de los n´umeros enteros pares es un subgrupo de (Z, +): la suma de dos
enteros pares es par, el n´umero cero es par y el opuesto o negativo de un n´umero par es de
nuevo par.
El subconjunto A = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 0} es un subgrupo de R2, aunque el
subconjunto B = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 1} no lo es (¿por qu´e?).
La siguiente proposici´on da un criterio m´as compacto para comprobar si un subconjunto
de un grupo es un subgrupo suyo. Su demostraci´on aparece en el Ap´endice 2.
Proposici´on 12. Sea H un subconjunto no vac´ıo de un grupo G. Entonces H es un
subgrupo de G si y s´olo si x · y−1 2 H, para cualesquiera x, y 2 H.
Ejemplo 13. Aplicamos la propiedad anterior para comprobar que
A = {(x1, x2) 2 R2 | x1 + 3x2 = 0}
es un subgrupo de R2.

5. 5
En primer lugar observamos que (0, 0) 2 A, con lo cual A6= ?. Dados (a1, a2), (b1, b2) 2 A
hemos de probar que (a1 − b1, a2 − b2) 2 A, es decir, que (a1 − b1) + 3(a2 − b2) = 0. Pero
(a1 − b1) + 3(a2 − b2) = (a1 + 3a2) − (b1 + 3b2) = 0 − 0 = 0.
4. Sistemas de generadores para un grupo. Grupos c´ıclicos.
Sea G un grupo y X un subconjunto de G. Definimos
hXi = {x1
1 · x2
2 · · · xn
n | n 2 N, xi 2 X, i = ±1 para cada i}
siendo hXi = {1} si X = ?.
Se puede demostrar que hXi es un subgrupo de G, el cual se denomina el subgrupo de
G generado por el subconjunto X.
Observar que X hXi. Adem´as si H es un subgrupo de G tal que X H, entonces
hXi H. Por tal motivo se dice que hXi es el menor subgrupo de G que contiene al
subconjunto X.
De la definici´on anterior para hXi vemos que ´este est´a formado por todos los productos
posibles que se pueden formar a partir de elementos o inversos de elementos pertenecientes
a X. A veces, si X = {g1, g2, . . .}, escribiremos tambi´en hg1, g2, . . .i para denotar a hXi.
Por ejemplo, son elementos de ha, bi:
1, a, a2, a3, . . . , a−1, a−2, a−3, . . . b, b2, b3, . . . , b−1, b−2, b−3, . . . ab, a2b, a2ba−3, bab2a−5, etc
Por supuesto, muchos de estos elementos pueden ser iguales.
Ejemplos 14.
1. El subgrupo de (C, ·) generado por X = {i} es {±1,±i}.
2. El subgrupo de Z formado por todos los n´umeros pares est´a generado por el sub-conjunto
{2}.
3. El subconjunto X = {12,−8} de Z genera el subgrupo formado por todos los
n´umeros enteros m´ultiplos de 4. En este caso hXi = {n1 ·12+n2 ·(−8) | n1, n2 2 Z}.
Pero los n´umeros de la forma n1 · 12 + n2 · (−8) son exactamente los m´ultiplos de
4 ya que 4 = mcd{12,−8}.
Definici´on 15. Dado un grupo G y un subconjunto X de G, decimos que X es un sistema
de generadores para G, si hXi = G.
Por supuesto un grupo puede tener diversos sistemas de generadores.
Definici´on 16. Un grupo G se denomina c´ıclico si existe un elemento g 2 G tal que
G = hgi, es decir, G = {gn | n 2 Z}. En notaci´on aditiva se escribe G = {n · g | n 2 Z}.
Por tanto un grupo c´ıclico es aquel que se puede generar usando un ´unico elemento. Un
grupo c´ıclico puede tener distintos generadores posibles. Por ejemplo, si G = hgi entonces
tambi´en G = hg−1i. Adem´as es inmediato que todo grupo c´ıclico es conmutativo.
Ejemplos 17.
El grupo (Z, +) es un grupo c´ıclico, pues Z = h1i.
Tambi´en son c´ıclicos los grupos de la forma (Zm, +), pues Zm = h1i.
El grupo (Q, ·) no es c´ıclico (¿por qu´e?).

6. 6
Definici´on 18. Para un grupo G y un elemento h 2 G, se define el orden de h en G
como el menor entero positivo n tal que hn = 1, y se denota por |h|. En tal caso decimos
que h es un elemento de orden n. Si ninguna potencia positiva de h es igual al elemento
identidad, entonces el orden de h se define como 1 y decimos que h tiene orden infinito.
Observar que el orden de un elemento es el cardinal del subgrupo c´ıclico que genera
dicho elemento.
Ejemplos 19.
1. Un elemento de un grupo tiene orden 1 si y s´olo si es el elemento identidad.
2. En los grupos aditivos Z,Q,R ´o C, cualquier elemento no nulo tiene orden infinito.
3. En el grupo (C, ·) el elemento i tiene orden 4.
4. En el grupo (Z9, +) el elemento h = 6 tiene orden 3, ya que h6= 0, 2 · h = 36= 0,
pero 3 · h = 18 = 0.
5. Homomorfismos e Isomorfismos de Grupos.
Definici´on 20. Sean (G, ) y (H, •) dos grupos. Una aplicaci´on f : G ! H se denomina
un homomorfismo de grupos si
f(a b) = f(a) • f(b)
para cualesquiera a, b 2 G. Si adem´as f es biyectiva, entonces se dice que f es un iso-morfismo
de grupos. Un isomorfismo de un grupo G en ´el mismo se dice que es un
automorfismo de G.
Si existe un isomorfismo f de G en H, entonces se demuestra facilmente que f−1 es un
isomorfismo de H en G, por lo que se dice que G y H son grupos isomorfos, y se escribe
G =
H. El hecho de que dos grupos sean isomorfos nos indica que a efectos pr´acticos
podemos considerarlos como el mismo grupo.
Los homomorfismos de grupos verifican las siguientes propiedades:
Proposici´on 21. Sean G y H dos grupos, e1 el elemento identidad de G y e2 el elemento
identidad de H. Si f : G ! H es un homomorfismo, entonces f(e1) = e2 y f(a−1) =
f(a)−1 para todo a 2 G.
La demostraci´on se propone como ejercicio.
Con la notaci´on de la proposici´on anterior, se define el n´ucleo de f como el conjunto
N(f) = {a 2 G | f(a) = e2}.
Se demuestra facilmente que N(f) es un subgrupo de G. Adem´as el conjunto imagen
Im(f) es un subgrupo de H.
Ejemplos 22.
Dados dos grupos G y H, siempre es posible definir el homomorfismo trivial de G en H:
f(x) = eH para todo x 2 G. El n´ucleo de este homomorfismo es todo G y la imagen es el
subgrupo trivial de H.

7. 7
Para cualquier grupo G, la aplicaci´on identidad sobre G es un automorfismo de G, cuyo
n´ucleo es {e} y cuya imagen es G.
Para G = H = Z, definimos f(n) = 2n. Esta aplicaci´on es un homomorfismo de Z en Z,
pero no es un automorfismo. El n´ucleo es {0} y la imagen es 2Z, es decir, el conjunto de
todos los enteros m´ultiplos de 2.
La aplicaci´on proyecci´on p : Z ! Zm, p(x) = [x], es un homomorfismo sobreyectivo de
grupos.
La aplicaci´on f(x) = log(x) es un isomorfismo del grupo (R+, ·) en el grupo (R, +), ya
que aparte de ser biyectiva se verifica que log(x1 · x2) = log(x1)+log(x2) para cualesquiera
x1, x2 2 R+.
6. Grupos Sim´etricos
En esta secci´on estudiamos con m´as detalle los grupos sim´etricos. Dado un conjunto X
no vac´ıo, definimos el conjunto SX de todas las aplicaciones biyectivas de X en X. Bajo la
operaci´on “composici´on de aplicaciones”, SX es un grupo ya que
la composici´on de dos aplicaciones biyectivas es una aplicaci´on biyectiva,
se verifica la propiedad asociativa para la composici´on de aplicaciones, y en parti-cular
cuando ´estas son biyectivas,
la aplicaci´on identidad en X, representada como 1X, es biyectiva por lo cual per-tenece
a SX,
y por ´ultimo toda aplicaci´on biyectiva tiene una inversa (la cual tambi´en es biyec-tiva).
Los elementos de SX se llaman permutaciones del conjunto X, y SX se denomina el
grupo sim´etrico o grupo de las permutaciones sobre X. Para 2 SX y x 2 X,
decimos que x es un punto fijo para si se verifica que (x) = x; en caso contrario
decimos que mueve a x. En esta secci´on estudiamos el caso en el que X = {1, 2, . . . , n},
escribiendo Sn en vez de SX.
Sn es el grupo sim´etrico de grado n o grupo sim´etrico sobre n letras.
En primer lugar consideramos distintas representaciones para los elementos de Sn. Una
primera forma consiste en representar las permutaciones 2 Sn como
=
1 2 . . . n − 1 n
(1) (2) . . . (n − 1) (n)
As´ı por ejemplo, =
1 2 3 4
2 3 1 4
es el elemento de S4 que verifica
(1) = 2, (2) = 3, (3) = 1, (4) = 4.
Observar que −1 =
1 2 3 4
3 1 2 4
.

8. 8
Si =
1 2 3 4
4 3 2 1
es otro elemento de S4, entonces
=
1 2 3 4
4 3 2 1
1 2 3 4
2 3 1 4
=
1 2 3 4
3 2 4 1
.
Existe otra notaci´on usual para representar a los elementos de Sn. Suponganos que
Y = {i1, i2, . . . , ir} X; entonces escribimos (i1, i2, . . . , ir) para denotar la aplicaci´on
2 Sn que verifica (i1) = i2, (i2) = i3, . . . , (ir−1) = ir, (ir) = i1 y (x) = x cuando
x 2 X − Y . La permutaci´on as´ı definida se denomina un ciclo de longitud r o un
r-ciclo. Una transposici´on es un ciclo de longitud 2.
Ejemplo 23. La permutaci´on =
1 2 3 4
3 2 4 1
es un 3-ciclo, exactamente, =
(1, 3, 4). Un mismo ciclo se puede representar de diferentes formas; por ejemplo, = (3, 4, 1)
o bien = (4, 1, 3). Observar adem´as que −1 = (4, 3, 1), es decir, la permutaci´on inversa
se obtiene escribiendo la lista de elementos en orden inverso.
Si = (1, 2) es una transposici´on, entonces = (2, 1) = −1; por tanto toda transposici´on
es igual a su inversa, es decir 2 = 1.
Ejemplo 24. Sean las permutaciones = (3, 1, 4)(5, 2, 1, 7) y

9. = (1, 5)(2, 6, 7, 5, 3)(2, 7, 8).
Entonces

10. = (1, 8, 6, 7, 3, 5)(2, 4) y

11. = (1, 2, 7, 8, 6, 5)(3, 4).
Se dice que dos permutaciones , 2 Sn son disjuntas, si para todo x 2 {1, 2, . . . , n}
se verifican las condiciones siguientes:
si (x)6= x, entonces (x) = x,
si (x)6= x, entonces (x) = x.
Es decir, y nuncan mueven a un mismo elemento. En particular, los ciclos =
(i1, i2, . . . , ir) y = (j1, j2, . . . , js) son disjuntos si y s´olo si {i1, i2, . . . , ir}{j1, j2, . . . , js} =
?. Recordemos del Ejemplo 9 que el grupo sim´etrico Sn no es conmutativo para n 3.
Sin embargo podemos enunciar la siguiente propiedad cuya demostraci´on es trivial y la
dejamos propuesta como un ejercicio:
Proposici´on 25. Dos permutaciones disjuntas conmutan entre s´ı. Es decir, si y son
permutaciones disjuntas, entonces = .
Los ciclos son unas permutaciones a partir de las cuales se pueden construir todas las
dem´as:
Proposici´on 26. Todo elemento de Sn se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.
Adem´as dicha representaci´on es ´unica salvo el orden en el que aparecen escritos los ciclos.
La demostraci´on se puede realizar por inducci´on sobre el n´umero de puntos del conjunto
{1, 2, . . . , n} que no quedan fijos por la permutaci´on dada (esta proposici´on tambi´en se
puede enunciar diciendo que el conjunto de todos los ciclos forma un sistema de generadores
para el grupo Sn).

12. 9
Ejemplo 27. Dada la permutaci´on
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 2 1 9 8 3 7 5 4
,
al descomponerla en producto de ciclos disjuntos obtenemos = (1, 6, 3)(2)(4, 9)(5, 8)(7).
Los ciclos de longitud 1 suelen omitirse, sobreentendi´endose que los n´umeros que no
aparecen en ninguna lista corresponden a ciclos de longitud 1. As´ı, es usual escribir
= (1, 6, 3)(4, 9)(5, 8)
Ejemplo 28. Consideremos el ciclo = (5, 2, 3, 1). Entonces 2 = (5, 3)(2, 1), 3 =
(5, 1, 3, 2) y 4 = 1. ´Esto significa que el orden de es igual a 4, es decir, la longitud
del ciclo.
Proposici´on 29. El orden de un ciclo de longitud r es igual a r. M´as generalmente, el
orden de una permutaci´on es igual al m´ınimo com´un m´ultiplo de las longitudes de los
ciclos disjuntos en los que se descompone .
Ejemplo 30. Calcular el orden de la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Tenemos que = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) es la descomposici´on en producto de ciclos
disjuntos para . Seg´un la proposici´on anterior el orden de ser´a igual a mcm{4, 2, 3} = 12.
Ejemplo 31. Para la permutaci´on del ejemplo anterior, calcular 1000.
Puesto que el orden era 12, dividimos 1000 entre 12 y obtenemos 1000 = 12 · 83 +
4, con lo cual 1000 = 12·83+4 = (12)83 4 = 4. Como tambi´en sab´ıamos que =
(1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) y los ciclos disjuntos conmutan entre s´ı, obtenemos que 1000 = 4 =
((1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7))4 = (1, 6, 3, 4)4 (2, 9)4 (5, 8, 7)4 = 1 1 (5, 8, 7)4 = (5, 8, 7)1 =
(5, 8, 7).
Proposici´on 32. Todo ciclo puede descomponerse como producto de transposiciones.
Demostraci´on. Basta comprobar la igualdad siguiente
(i1, i2, i3, . . . , ir−1, ir) = (i1, ir)(i1, ir−1) · · · (i1, i3)(i1, i2),
recordando que la composici´on de aplicaciones se eval´ua de derecha a izquierda.
Como una consecuencia de las proposiciones 26 y 32 obtenemos el siguiente corolario:
Corolario 33. Toda permutaci´on se puede escribir como un producto de transposiciones.
Notamos que la descomposici´on a la que se refiere el corolario anterior ya no es ´unica.
Basta observar que 1 = (1, 2)(1, 2), con lo cual, si = (3, 6)(1, 3)(2, 5), entonces tambi´en
es correcto escribir = (3, 6)(1, 3)(2, 5)(1, 2)(1, 2), o bien = (1, 2)(1, 2)(3, 6)(1, 3)(2, 5),
entre otras posibilidades (tambi´en podemos enunciar este corolario diciendo que el conjunto
de todas las transposiciones es un sistema de generadores para el grupo sim´etrico).

13. 10
7. Paridad de una permutaci´on.
Acabamos de ver que toda permutaci´on se puede escribir como un producto de transpo-siciones,
aunque esta descomposici´on no es ´unica. Sin embargo existe una propiedad que
se mantiene en todas las descomposiciones posibles como producto de transposiciones para
una permutaci´on dada.
Definici´on 34. Decimos que una permutaci´on 2 Sn es par, si se puede escribir
como producto de un n´umero par de transposiciones. De igual forma, decimos que 2 Sn
es impar, si se puede escribir como producto de un n´umero impar de transposiciones.
Cabe preguntarse: ¿existen permutaciones que sean simultaneamente pares e impares?
Veremos a continuaci´on que ello no es posible. Antes intoducimos los siguientes elementos:
Sea el polinomio f = (x1−x2)(x1−x3) · · · (x1−xn) · (x2−x3) · · · (x2−xn) · · · (xn−1−xn)
en las indeterminadas x1, x2, . . . , xn, es decir,
f =
Y
(xi − xj).
1ijn
Para una permutaci´on 2 Sn, definimos
(f) =
Y
(x(i) − x(j)).
1ijn
Lema 35. Si es una transposici´on, entonces (f) = −f.
Proposici´on 36. Si 2 Sn, entonces no puede ser simultaneamente par e impar.
Demostraci´on.
Si se escribe como producto de n transposiciones, entonces (f) = (−1)n · f. Pero
este resultado es independiente del modo de representar a , ya que s´olo depende de la
permutaci´on . Por tanto, si adem´as se escribe como el producto de m transposiciones,
entonces (f) = (−1)m · f, con lo cual (−1)n · f = (−1)m · f, es decir, (−1)n = (−1)m,
y por tanto m y n deben ser ambos pares o ambos impares. En conclusi´on ser´a par o
impar, pero no ambas cosas.
Se define la aplicaci´on signatura sgn : Sn ! {1,−1} como
sgn() =
+1 si es par,
−1 si es impar.
Diremos que el valor sgn() es la signatura de la permutaci´on .
Dada una permutaci´on , para saber si es par o impar, y por tanto para calcular su
signatura, no es necesario descomponer en producto de transposiciones; basta escribirla
como producto de ciclos disjuntos y sumar cada longitud menos 1 por cada uno de los
ciclos resultantes.
Observar que la aplicaci´on identidad 1 es par, ya que admite la descomposici´on 1 =
(1, 2)(1, 2). Por supuesto toda transposici´on es impar. Observamos que pueden haber per-mutaciones
pares (similarmente impares) cuyo orden sea un n´umero impar o bien un n´ume-ro
par.

14. 11
Ejemplo 37. Para la permutaci´on = (1, 6, 3, 4)(2, 9)(5, 8, 7) del Ejemplo 30, el n´umero
de transposiciones resultantes es igual a 3 + 1 + 2 = 6, con lo cual es una permutaci´on
par y sgn() = +1.
8. Ejercicios.
1. En el conjunto R−{1} se considera la operaci´on x y = x+y−xy. Demostrar que
(R − {1}, ) es un grupo conmutativo.
2. En R × R definimos la operaci´on (u, v) (x, y) = (u · x, v · x + y). Probar que
(R × R, ) es un grupo no conmutativo.
3. Probar las propiedades de los inversos en la Proposici´on 7.
4. Consideremos el conjunto N={0, 1, 2, · · · } de los n´umeros naturales y el conjunto
F de todas las aplicaciones de N en s´ı mismo con la operaci´on “composici´on de
aplicaciones”.
Dar un ejemplo de dos aplicaciones f, g 2 F tales que f g = 1N, pero g f6= 1N.
Comparar este resultado con el enunciado de la Proposici´on 5.
5. Dados dos grupos (G,) y (H,~), consideramos el conjunto G × H producto car-tesiano
de G y H, es decir, el conjunto formado por todas las parejas ordenadas
(g, h) con g 2 G, h 2 H. Definimos una nueva operaci´on
sobre G × H:
(g1, h1)
(g2, h2) = (g1 g2, h1 ~ h2).
Comprobar que el conjunto G × H tiene estructura de grupo con respecto de esta
operaci´on, siendo el elemento identidad la pareja (e1, e2), con e1 el elemento iden-tidad
para G, y e2 el elemento identidad para H. Al grupo G × H as´ı construido
se le denomina el producto directo de G y H.
6. Probar que si G es un grupo tal que x2 = 1 para todo x 2 G, entonces G es abeliano.
7. Dado un n´umero entero k 0, definimos kZ = {k · x | x 2 Z}. Probar que todos
los subgrupos de (Z, +) son de la forma kZ, con k 2 N.
8. Sea H un subconjunto finito y no vac´ıo de un grupo G, verificando que si x, y 2 H
entonces x · y 2 H (es decir, H es cerrado con respecto de la operaci´on de G).
Probar que H es un subgrupo de G.
9. En los distintos apartados (a)-(i), se da un grupo G y un subconjunto H de G. En
cada caso, estudiar si H es o no es un subgrupo de G:
(a) G = (Z, +), H = {enteros impares}
(b) G = (Z, +), H = {enteros multiplos ´de 3}
(c) G = (Z11,
·), H = {1, 5, 7}
(d) G = (Z9, +), H = {0, 2, 4, 6, 8}
(e) G = (Z21, +), H = {0, 7, 14}
(f) G = (R, ·), H = R+
(g) G = (Z
13, ·), H = {1, 5, 8, 12}
(h) G = S8, H = { 2 S8 | (4) = 4}
(i) G = S8, H = { 2 S8 | 2 = 1}

15. 12
10. Demostrar que la intersecci´on de subgrupos de un grupo G es de nuevo un subgrupo
de G. Dar un ejemplo para poner de manifiesto que en general la uni´on de subgrupos
de un grupo G no tiene por qu´e ser un subgrupo de G.
11. Dados los subgrupos H1 = 28Z y H2 = 63Z de (Z, +), calcular el subgrupo H1H2.
12. El centro de un grupo G es el conjunto C(G) formado por todos los elementos
g 2 G tales que g · h = h · g, para todo h 2 G. Probar que C(G) es un subgrupo de
G.
13. Sea X = Q − {0, 1} y f1, f2, f3, f4, f5, f6 las aplicaciones de X en X definidas por
f1(x) = x, f2(x) =
1
1 − x
, f3(x) =
x − 1
x
,
f2(x) =
1
x
, f5(x) = 1 − x, f6(x) =
x
x − 1
.
Se pide:
a) Probar que el conjunto F = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} tiene estructura de grupo con
respecto de la composici´on de aplicaciones.
b) Hallar todos los subgrupos de F.
14. Sea G un grupo y g 2 G. Demostrar las siguientes propiedades sobre ´ordenes de
elementos:
a) Si g tiene orden n, entonces hgi = {1, g, g2, . . . , gn−1}.
b) Si g tiene orden infinito, entonces gn6= 1 para todo n6= 0, y gn16= gn2 para
cualesquiera n16= n2 de Z.
c) Si g tiene orden n y gm = 1, entonces n divide a m.
d) Si g tiene orden n, entonces para cualquier m 2 Z se verifica que el orden de
gm es n
mcd{n,m} . En particular, si mcd{n,m} = 1, es decir, si n y m son primos
relativos, entonces gm genera el mismo subgrupo que g.
e) Si g1 tiene orden n1, g2 tiene orden n2, y g1 · g2 = g2 · g1 entonces g1 · g2 tiene
orden igual a mcm{n1, n2}.
15. Sabemos que el grupo (Z56, +) es c´ıclico, pues h1i = Z56. Encontrar todos los
elementos g 2 Z56 tales que hgi = Z56.
16. Comprobar que (Z7
, ·) es un grupo c´ıclico y encontrar todos los g 2 Z7
tales que
hgi = Z7
.
17. Dado un subgrupo H de un grupo G, consideramos la siguiente relaci´on binaria RH
definida sobre G:
x RH y () x · y−1 2 H.
Se pide:
a) Probar que RH es una relaci´on de equivalencia sobre G.
b) Probar que para todo x 2 G, la clase de equivalencia de x viene dada por
[x] = {h · x | h 2 H} y por tanto [e] = H.
c) Probar que para todo x 2 G, existe una aplicaci´on biyectiva de [e] en [x].
Deducir de aqu´ı que en el caso en que G sea finito, el cardinal de H divide al
cardinal de G (este hecho se denomina el Teorema de Lagrange).
d) Describir el conjunto cociente G/RH para los casos H = {e} y H = G.

16. 13
e) Usar el teorema de Lagrange para demostrar que si G es un grupo finito cuyo
cardinal viene dado por un n´umero primo, entonces G es un grupo c´ıclico
(indicaci´on: dado x 2 G, con x6= e, considerar H = hxi).
18. Supongamos un homomorfismo f entre los grupos (Z × Z, +) y (G, +) tal que
f(1, 3) = g1 y f(3, 7) = g2. Calcular f(4, 6) en funci´on de g1 y g2.
19. Sea f : G ! G0 un homomorfismo de grupos, y sean H y H0 subgrupos de G y G0,
respectivamente. Probar que f(H) es un subgrupo de G0 y f(H0) es un subgrupo
de G.
20. Dados los conjuntos A = {m +
p
2n | m, n 2 Z} y B = {3r · 2s | r, s 2 Z},
comprobar p
que (A, +) y (B, ·) son grupos, y que la aplicaci´on f : A ! B definida
por f(m +
2n) = 3m · 2n es un isomorfismo de grupos.
21. Demostrar que los grupos Z6 y Z2×Z3 son isomorfos. Dar un argumento para poner
de manifiesto que los grupos Z4 y Z2 × Z2 no pueden ser isomorfos.
22. Dado un grupo G y un elemento g 2 G, se define la aplicaci´on !g : G ! G como
!g(h) = ghg−1. Probar que !g es un automorfismo de G.
23. Dadas las permutaciones = (4, 7, 1, 5)(2, 7, 3)(6, 2, 1, 8, 9, 5) y

17. = (6, 7, 1)(2, 5, 4),
calcular la representaci´on como producto de ciclos disjuntos para

18. as´ı como
para

19. .
24. Probar que la aplicaci´on signatura sgn es un homomorfismo del grupo Sn en el
grupo multiplicativo {+1,−1}.
25. Razonar que una permutaci´on y su inversa tienen el mismo orden y la misma
signatura.
26. ¿Cual es la paridad de un permutaci´on de orden 26 perteneciente a S15?
27. ¿Cual es el m´aximo orden posible que puede tener una permutaci´on de S15?
28. Sea
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 3 2 7 6 9 1 10 8 5
.
Calcular 1000 y −1234.
29. Determinar en funci´on de n la paridad de la permutaci´on
=
1 2 · · · n − 1 n
n n − 1 · · · 2 1
30. Demostrar que toda transposici´on de Sn puede escribirse como una composici´on de
transposiciones de la forma (i, i + 1).
31. Demostrar la siguiente identidad sobre descomposici´on en transposiciones:
(i1, i2, i3, . . . , ir−1, ir) = (i1, i2)(i2, i3) · · · (ir−2, ir−1)(ir−1, ir)
32. Sea An = { 2 Sn | es una permutaci´on par}.
a) Probar que An es un grupo respecto de la composici´on de aplicaciones. An
recibe el nombre de grupo alternado.
b) Para n 2, considerar la aplicaci´on f : Sn ! Sn definida por f() = (1, 2).
Probar que f es una aplicaci´on biyectiva, la cual verifica adem´as que si es
par (impar) entonces f() es impar (par).

20. 14
c) Deducir del apartado anterior que en Sn existen tantas permutaciones pares
como impares, y por tanto |An| = 1/2 · |Sn| = 1/2 · n!.
d) Listar los elementos de A4.
33. Una secretaria recibe una m´aquina de escribir un tanto inusual. Cuando se pulsa
la tecla correspondiente a un car´acter, sobre el papel aparece un car´acter distinto.
Sin embargo, todo car´acter marcado en el teclado puede ser obtenido pulsando
alguna tecla del mismo. La secretaria decide escribir el texto siguiente en la forma
usual: “algunas veces encontrar una raz´on me deja exhausta pero
yo persisto”, obteniendo la siguiente frase: “rulvzrh xojoh ozjtzemrm vzr
mrstz yo ionr ogcrvher aomt dt aomhphet”. Ella retoma el resultado y lo
escribe en la forma usual, obteniendo otra copia (indescifrable); de nuevo escribe
el resultado en la forma usual, etc. Si la secretaria repite este proceso de forma
indefinida, ¿obtendr´a eventualmente un copia del texto original? ¿Cual es el texto
que imprimir´a la m´aquina de escribir tras repetir el proceso de escritura 2327 veces?
9. EJERCICIOS APARECIDOS EN EX´AMENES ANTERIORES.
1. Sea la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 7 8 6
a) Calcular 1528
b) Sean = (2, 3, 4, 5) y

21. = (1, 3, 5, 7). Calcular una permutaci´on tal que
· ·

22. −1 = 2, escribi´endola como producto de ciclos disjuntos.
c) Calcular el conjunto {n 2 Z | n es par}
2. Sea (G, ·) un grupo y a 2 G. Definimos la aplicaci´on f : G ! G como f(x) =
a · x · a−1.
a) ¿Es f un homomorfismo de grupos?
b) ¿Es f biyectiva?
3. Sea la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 5 7 8 6
. Entonces 1206 es igual a
a) 4 b) c) 8 d) 6
4. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Existe 2 S8 tal que tiene orden 15 y paridad par.
b) Existe 2 S8 tal que tiene orden 15 y paridad impar.
c) Existe 2 S8 tal que tiene orden 6 y paridad par.
d) Existe 2 S8 tal que tiene orden 6 y paridad impar.

23. 15
5. Dados los grupos (Z, +) y ({1,−1}, ·) (con el producto usual), definimos la aplica-ci
´on
f : Z −! {1,−1}
x7−!
(
1 si x es par,
−1 si x es impar.
Entonces
a) f es un homomorfismo sobreyectivo de grupos no inyectivo,
b) f es un homomorfismo inyectivo de grupos no sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo (homomorfismo biyectivo) de grupos,
d) f no es un homomorfismo de grupos.
6. Sea = (12345)(246)−1. Entonces 327 es igual a
a) Identidad b) c) 2 d) 3
7. Dado un grupo (G, ) y la aplicaci´on f : G ! G definida por f(a) = a a, entonces
a) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es inyectivo,
b) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es sobreyectivo,
c) f es un isomorfismo de grupos,
d) f no es necesariamente un homomorfismo de grupos.
8. En el conjunto Z de los n´umeros enteros la operaci´on

24. se define mediante la
ecuaci´on a

25. b = ab + 2a + 2b + 2. Entonces
a) la operaci´on

26. no es asociativa,
b) la operaci´on

27. no tiene elemento neutro,
c) la operaci´on

28. tiene elemento neutro, pero no todo entero tiene un elemento
sim´etrico o inverso respecto de esta operaci´on,
d) (Z,

29. ) es un grupo conmutativo.
9. El orden de la permutaci´on
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 4 5 6 3 8 9 7
es
a) 6 b) 8 c) 12 d) 24
10. Sean 1 = (2, 3, 8, 6)(4, 2, 5) y 2 = (4, 5)(7, 1, 6)(6, 8)(4, 5). Entonces la permuta-ci
´on que satisface la igualdad 7 = −41−1
2 12 es
a) (3, 4, 5, 2, 8)(7, 1, 6)
b) (1, 6, 8)(2, 5, 4, 7, 3)
c) (2, 5, 1, 8, 7, 3, 4)
d) (7, 5, 2, 1, 6)(8, 3, 4)

30. 16
10. Ap´endice 1
En 1812 A.L. Cauchy defini´o la signatura de una permutaci´on 2 Sn como el valor de
la expresi´on
Y
1ijn
(j) − (i)
j − i
Se puede demostrar que esta definici´on coincide con la anterior. Sin embargo esta nueva
definici´on nos permite calcular la signatura de una permutaci´on sin tener que recurrir a su
descomposici´on en transposiciones o en ciclos disjuntos.
Dada una secuencia a1, a2, . . . , ak de n´umeros enteros, definimos el n´umero de inver-siones
asociado a dicha secuencia como el n´umero de elementos de la secuencia que son
menores estrictamente que el primer entero que aparece en la secuencia. As´ı por ejemplo,
el n´umero de inversiones de la secuencia 4, 7, 2, 5, 1, 8 es igual a dos. Usamos el concepto
de inversi´on para saber si una permutaci´on
=
1 2 . . . n − 1 n
(1) (2) . . . (n − 1) (n)
es par o impar. Para ello deber´ıamos de calcular el valor de
Y
1ijn
(j) − (i)
j − i
Pero muchos de los c´alculos son redundantes; de hecho nosotros tenemos que determinar
s´olo el signo de esta expresi´on, ya que su valor absoluto es igual a 1. En el denominador
siempre aparecer´an n´umeros positivos, mientras que en el denominador habr´a un valor
negativo en (j) − (i) si (i) (j). Para un i fijo, y variando j, el n´umero de factores
negativos que aparecen es el n´umero de valores de j tales que j i y (i) (j). Pero esta
cantidad es el n´umero de inversiones que aparecen en la fila (i), (i+1), . . . , (n). Por tan-to
el n´umero total de factores negativos es el n´umero de inversiones en (1), (2), . . . , (n),
m´as el n´umero de inversiones en (2), (3), . . . , (n), m´as ... el m´umero de inversiones en
(n − 1), (n). Si el valor de esta suma es t entonces sgn() = (−1)t.
Ejemplo 38. Calcular la signatura de la permutaci´on =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 9 4 1 8 3 5 7 2
Las secuencias a tener en cuenta y los n´umeros de inversiones resultantes son:
6 9 4 1 8 3 5 7 2 = 5
9 4 1 8 3 5 7 2 = 7
4 1 8 3 5 7 2 = 3
1 8 3 5 7 2 = 0
8 3 5 7 2 = 4
3 5 7 2 = 1
5 7 2 = 1
7 2 = 1
La suma total es 22, luego es una permutaci´on par.

31. 17
11. Ap´endice 2
Incluimos en este ap´endice las demostraciones de algunas propiedades vistas anterior-mente.
La unicidad del elemento identidad (Proposici´on 3)
Demostraci´on. Ya que e1 es un elemento identidad, se verifica
e1 e2 = e2.
Puesto que e2 tambi´en es un elemento identidad, tenemos
e1 e2 = e1.
Por tanto e1 = e1 e2 = e2.
La unicidad de los inversos (Proposici´on 4)
Demostraci´on. Partimos de g h = g k (= e). Multiplicando por la izquierda por
h resulta
h (g h) = h (g k).
Aplicando la propiedad asociativa,
(h g) h = (h g) k,
y por tanto
e h = e k
h = k.
Criterio pr´actico para inversos (Proposici´on 5)
Demostraci´on. Supongamos que h g = e. Entonces tenemos que comprobar que
´esto implica g h = e.
Ya que h g = e, podemos escribir
g (h g) = g e = g.
Aplicando la propiedad asociativa, resulta
(g h) g = g.
Pero seg´un la definici´on de grupo, g tiene un elemento inverso. Sea k dicho inverso
(de hecho, al final de la demostraci´on, concluiremos que k = h). Multiplicando por
la derecha por k y usando de nuevo la propiedad asociativa resulta
((g h) g) k = g k = e
(g h) (g k) = e
(g h) e = e
g h = e.

32. 18
Criterio para comprobar que es subgrupo (Proposici´on 12)
Demostraci´on. La implicaci´on hacia la derecha es inmediata por la propia definici´on
de subgrupo. Veamos la implicaci´on hacia la izquierda. Supongamos un subconjunto
H no vac´ıo verificando la condici´on del enunciado. Si y 2 H, tomando x = y,
entonces y · y−1 = e 2 H, con lo cual H contiene al elemento identidad de G.
Aplicando de nuevo dicha propiedad para los elementos e, y obtenemos que e·y−1 =
y−1 2 H, es decir, H es cerrado para los inversos. Finalmente, si x, y 2 H acabamos
de probar que y−1 2 H, con lo cual tambi´en contendr´a a x· (y−1)−1 = x· y, es decir,
H tambi´en es cerrado para la operaci´on de G.
Lema 35
Demostraci´on. Supongamos que = (i, j) con i j. Observamos en primer lugar
que (xi − xj) = −(xi − xj). Si k i, entonces intercambia xk − xi con xk − xj .
Similarmente, si k j. Cuando k es tal que i k j, entonces xi − xk y xk − xj
son reemplazados por −(xk −xj) y −(xi −xk), respectivamente. As´ı, el efecto total
es cambiar el signo de (xi − xj), con lo cual (f) = −f.