Este documento introduce conceptos básicos de los números naturales como su definición, propiedades de la suma y el producto, el principio de inducción matemática y el teorema fundamental de la aritmética. Explica que los números naturales son aquellos que se usan para contar elementos y se representan como el conjunto {1,2,3,...}. Describe cómo se definen las operaciones de suma y multiplicación entre números naturales y cómo la inducción matemática se usa para probar propiedades sobre todos los números naturales.

1. Introducción al algebra superior
MT-MIAS-1602-B2-001
TSU. Matemáticas
Unidad 2 – Foro
Propiedades de los números naturales
Eduardo Castillo López
ES162001459
Octubre 20, 2016

2. ¿Qué es un número natural?
R. Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un conjunto. Se
representan con la letra ℕ y su notación de conjunto es
ℕ = {1,2,3,4,5,6, … }
Un punto importante a mencionar es que hay quienes consideran al 0 como un número natural pero
también hay quienes no y lo apartan de este grupo, la teoría de los conjuntos lo avala mientras que
la teoría de los números lo excluye.
¿Cómo se define la suma entre números naturales?
La suma en los ℕ es una operación binaria: ℕ + ℕ → ℕ, definida como sigue:
1. 𝑠(𝑛) = 𝑛 + 1 ∀𝑛 ∈ ℕ
2. Dado 𝑛 + 𝑚, entonces 𝑛 + 𝑠(𝑚) = 𝑠(𝑛 + 𝑚).
Así para sumar 3 + 3, tendríamos que conocer 3 + 2 y para sumar 3 + 2 solo nos falta saber 3 + 1
que es 𝑠(3) = 4, así 3 + 3 = 𝑠(3 + 2) = 𝑠(𝑠(3 + 1)) = 𝑠 (𝑠(𝑠(3))) = 𝑠(𝑠(4)) = 𝑠(5) = 6
¿Cómo se define el producto entre números naturales?
El producto en los ℕ al igual que la suma es una operación binaria: ℕ × ℕ → ℕ, definido como
sigue:
1. 𝑛 = 𝑛 × 1 ∀𝑛 ∈ ℕ
2. Dado 𝑛 × 𝑚, entonces 𝑛 + 𝑠(𝑚) = (𝑛 × 𝑚) + 𝑛
Para multiplicar 2 × 2 se tendría que saber 2 × 1, así 2 × 2 = (2 × 1) + 2 = 2 + 2 = 4
¿Para qué sirve la inducción matemática?
Para realizar demostraciones, este método es conveniente utilizarlo cuando se desea demostrar
problemas en los que se debe probar que a partir del número natural dado todos los números
naturales cumplen cierta propiedad.
Muchos teoremas afirman que 𝑃(𝑛) es verdadera pata todos los enteros positivos n, donde 𝑃(𝑛)
es una función proposicional o predicado. Para demostrarlo esta técnica consta de dos pasos:
PASO BASE: Se muestra que proposición 𝑃(1) es verdadera.
PASO DE INDUCCIÓN: Se muestra que la implicación 𝑃(𝑘) → 𝑃(𝑘 + 1) es verdadera para todo
entero positivo k.

3. ¿De qué se trata el principio del buen orden?
Este principio nos dice que todo conjunto de enteros no negativos tiene un elemento mínimo, es
decir, sea 𝐴 ⊆ ℕ y 𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛. Este principio a menudo se utiliza
directamente en las demostraciones.
¿Cuál es el teorema fundamental de la aritmética?
Todo entero positivo mayor que 1 de puede escribir de una única forma como un primo o como el
producto de dos o más primos en que los factores primos se escriben en orden no decreciente.
100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5
19 = 19 ∙ 1
En los ejemplos anteriores se dice que 100 es un número compuesto y 19 un número primo.
Bibliografía (Villamar, 2016)
Rosen, K. H. (2004). Los fundamentos: lógica y demostración, conjuntos y funciones. En K. H.
Rosen, Matemática Discreta y sus aplicaciones (págs. 71-89). Madrid: McGraw-Hill.
UnADM. (2016). UnADM. Obtenido de
https://unadmexico.blackboard.com/bbcswebdav/institution/DCEIT/2016_S1-
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Villamar, H. d. (2016). Unam. Obtenido de
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Axioma_supremo.pdf