Se describen los teoremas fundamentales para derivar funciones algebraicas.

1. Calculo Diferencial
MT-MCDI-1602-B2-001
TSU. Matemáticas
Unidad 3 – Derivación de funciones
Eduardo Castillo López
ES162001459
Noviembre 10, 2016

2. 1. Enuncia los diferentes teoremas para realizar las derivadas con su ejemplo respectivo
La regla general para derivación
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
También conocía como regla de los cuatro pasos es fundamental, puesto que se calcula
directamente de la definición de derivada como límite. El procedimiento para aplicar esta regla
es laborioso y tedioso, por consiguiente, se han deducido de la regla general formas especiales
que simplifican la derivación, llamadas formulas fundamentales de la derivación o teoremas.
TEOREMA FORMULA EJEMPLO
1.
La derivada de una
constante es cero
𝑑(𝑐)
𝑑𝑥
= 0
𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 7 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) =
𝑑(7)
𝑑𝑥
= 0
2.
La derivada de una variable
con respecto a si misma es la
unidad
𝑑(𝑥)
𝑑𝑥
= 1
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 entonces
𝑓′(𝑥) =
𝑑(𝑥)
𝑑𝑥
= 1
3.
La derivada de la suma
algebraica de un número
finito de n funciones, es igual
a la suma algebraica de las
derivadas de las funciones.
𝑑(𝑢 + 𝑣 − 𝑤)
𝑑𝑥
=
𝑑(𝑢)
𝑑𝑥
+
𝑑(𝒗)
𝑑𝑥
−
𝑑(𝑤)
𝑑𝑥
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4 entonces
𝑓′(𝑥) =
𝑑(𝑥)
𝑑𝑥
−
𝑑(4)
𝑑𝑥
=1
4.
La derivada del producto de
una constante por una
función es igual al producto
de la constante por la
derivada de la función
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐𝑣) = 𝑐
𝑑(𝑣)
𝑑𝑥
Si 𝑓(𝑥) = 9𝑥 entonces
𝑓′(𝑥) = 9
𝑑(𝑥)
𝑑𝑥
= 9

3. 5.
La derivada de un producto
de dos funciones es igual al
producto de la primera
función por la derivada de la
segunda, más el producto de
la segunda por la derivada de
la primera función
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑(𝑣)
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑(𝑢)
𝑑𝑥
Sea 𝑓(𝑥) = (5𝑥)(2𝑦) entonces
𝑓′(𝑥) = 5𝑥
𝑑(2𝑦)
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑(5𝑥)
𝑑𝑥
= 10𝑦
6.
La derivada de la potencia de
una función de exponente
constante es igual al
producto del exponente por
la función elevada a un
exponente disminuido en
una unidad y por la derivada
de la función
𝑑
𝑑𝑥
(𝑣 𝑛) = 𝑛𝑣 𝑛−1
𝑑(𝑣)
𝑑𝑥
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥4
entonces
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3
𝑑(𝑥)
𝑑𝑥
= 4𝑥3
7.
La derivada de un cociente
de funciones es igual al
producto del denominador
por la derivada del
numerador, menos el
producto del numerador por
la derivada del
denominador, todo dividido
entre el cuadrado del
denominador
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑢
𝑣
) =
𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
− 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
Sea 𝑓(𝑥) =
𝑥4
2𝑥
entonces
𝑓′(𝑥) =
2𝑥
𝑑(𝑥4)
𝑑𝑥
− 𝑥4 𝑑(2𝑥)
𝑑𝑥
(2𝑥)2
=
3
2
𝑥2
8.
La derivada de la raíz
enésima de una función es
igual al cociente de la
derivada de la función
dividida entre el producto
del índice de la raíz enésima
por la función elevada al
cociente del índice
disminuido en una unidad y
dividido entre el mismo
índice
𝑑
𝑑𝑥
( √ 𝑣
𝑛
) =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑛𝑣
𝑛−1
𝑛
Sea 𝑓(𝑥) = √2𝑥
𝟐
entonces
𝑓′(𝑥) =
𝑑(2𝑥)
𝑑𝑥
2√2𝑥
2 =
1
√2𝑥

4. 2. Enuncia las leyes de los logaritmos con su ejemplo correspondiente
R. El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para que
dé dicho número, es decir
log 𝑎 𝑁 = 𝑥 ↔ 𝑎 𝑥
= 𝑁
PROPIEDAD FORMULA EJEMPLO
El logaritmo de un
producto de números es la
suma de los logaritmos de
los números.
log 𝑎 𝑀𝑁 = log 𝑎 𝑀 + log 𝑎 𝑁 log 𝑎 2 ∙ 7 = log 𝑎 2 + log 𝑎 7
El logaritmo de un cociente
de números es la diferencia
de los logaritmos de los
números.
log 𝑎
𝑀
𝑁
= log 𝑎 𝑀 − log 𝑎 𝑁 log 𝑎
75
25
= log 𝑎 75 − log 𝑎 25
El logaritmo de una
potencia de un número es
el exponente multiplicado
por el logaritmo del
número.
log 𝑎 𝑀 𝑟
= 𝑟 log 𝑎 𝑀 log 𝑎 25
= 5 log 𝑎 2
Cambio de base log 𝑎 𝑀 =
log 𝑀
log 𝑎
=
ln 𝑀
ln 𝑎
log10 11 =
log 11
log 10
=
ln 11
ln 10