Difusividad de gases en soluciones acuosas de sales de amonio cuaternario

DIFUSIVIDAD DE GASES EN SOLUCIONES ACUOSAS DE SALES DE
AMONIO CUATERNARIO
FABIAN DARIO PAMPLONA LOPEZ
Ingeniero Químico
Universidad Nacional Colombia
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN CIENCIAS–QUÍMICA
Bogotá, D. C., Julio de 2004

DIFUSIVIDAD DE GASES EN SOLUCIONES ACUOSAS DE SALES DE
AMONIO CUATERNARIO
FABIAN DARIO PAMPLONA LOPEZ
Ingeniero Químico
Universidad Nacional Colombia
Trabajo de tesis presentado como requisito para
optar al título de Magíster en Ciencias–Química
LUIS HERNANDO BLANCO CASTAÑEDA Dr. B.A
Director
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN CIENCIAS–QUÍMICA
Bogotá, D. C., Julio de 2004

AGRADECIMIENTOS
El autor del trabajo expresa sus agradecimientos a:
El cuerpo docente de la Maestría en Ciencias-Química, Carmen María Romero, Jesús
Valencia, Augusto Rivera, Enrique Cuca, por su dedicación y esfuerzo.
Al Dr. Luis H. Blanco director del trabajo, por su orientación.
Al Ingeniero Carlos Eduardo Orrego, por su confianza y apoyo.
A Maria Eugenia González, por su amistad y compañía. …Quien se ha convertido en
fuente de inspiración
A mis compañeros Gloria Inés, Adamo, Carolina, Jhon, Maria Teresa, Jorge, Felipe,
quienes estuvieron presentes durante el desarrollo del trabajo.

CONTENIDO
Pag.
RESUMEN
INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………
ANTECEDENTES ……………………………………………………………. ii
i
1. EL FENÓMENO DE TRANSPORTE Y SUS PLANTEAMIENTOS TEORICOS 1
1.1. MOLÉCULAS Y MODELOS…………………………………………………… 1
1.1.1. La teoría cinética de los gases………………………………………………….. 2
1.1.2. Teoría cinética simplificada…………………………………………………….. 2
1.1.3. Colisiones moleculares………………………………………………………….. 3
1.2. FLUJO Y COEFICIENTE DE TRANSPORTE…………………………………. 7
1.2.1. Ecuación general de transporte…………………………………………………. 8
1.2.2. Transporte molecular…………………………………………………………..... 8
1.2.3. El equilibrio termodinámico local…………………………………………….. 10
1.2.4. La noción de camino libre medio……………………………………………… 10
1.2.5. El camino libre medio y la sección eficaz de colisiones……………………… 11
1.3. EL FLUJO DE FLUIDOS Y SUS MODELOS………………………………….. 13
1.3.1. Ley de Fick…………………………………………………………………….. 14
1.3.2. Flujo de sustancias no cargadas…………………………………………………. 15
1.3.3. Cálculo exacto del coeficiente de difusión……………………………………... 16
1.4. PREDICCIÓN DE COEFICIENTES DE DIFUSIÓN…………………………… 19
1.1.4. Definición de flujo a través de la termodinámica……………………………… 19
1.4.2. Flujos definidos por la mecánica estadística…………………………………….. 20
1.4.3. Análisis hidrodinámico de difusión……………………………………………… 22
1.5. PRINCIPIO DE LOS ESTADOS CORRESPONDIENTES PARA MOLÉCULAS
POLARES…………………………………………………………………………... 24
1.5.1. El Fenómeno de transporte y la teoría de Enskog……………………………… 25

1.6. CORRELACIONES DE DIFUSIVIDAD SEMIEMPIRICAS…………………… 26
1.7. LA SOLUBILIDAD Y SUS MODELOS TEÓRICOS………………………….. 30
1.7.1. Conversión de las unidades de solubilidad……………………………………… 32
1.7.2. Desplazamiento y solubilización salina…………………………………………. 34
1.8. SALES MINERALES……………………………………………………………… 36
1.8.1. Sales de amonio cuaternario……………………………………………………. 37
1.9. EL AGUA Y SU IMPORTANCIA………………………………………………… 38
2. METODOLOGIA…….…………………………………………………………....... 42
2.1. MATERIALES Y EQUIPOS………………………………………………………. 42
2.1.1. Reactivos y equipos……………………………………………………………… 42
2.1.2. Cámara de difusión de gases……………………………………………………. 42
2.1.3. Diseño y construcción de la cámara de difusión……………………………….. 44
2.2. DESARROLLO EXPERIMENTAL……………………………………………….. 46
2.2.1. Calibración de la cámara………………………………………………………… 46
2.2.2. Protocolo experimental…………………………………………………………… 47
2.3. SOLUBILIDAD………………………………………………………………......... 47
2.4. DIFUSIVIDAD……..………………………………………………………………. 49
3. RESULTADOS….........................................................………………………………. 53
3.1. SOLUBILIDAD DE ARGÓN EN AGUA…………………………………………. 53
3.2. SOLUBILIDAD DE ARGON EN SOLUCIONES ACUOSAS DE YODURO DE
TETRABUTIL AMONIO……………………………………………………….............. 54
3.3. DIFUSIVIDAD DE ARGÓN EN AGUA…………………………………………...55
3.4. DIFUSIVIDAD DE ARGON EN SOLUCIONES ACUOSAS DE YODURO DE
TETRABUTIL AMONIO………………………………………………………………...55
4. ANALISIS DE RESULTADOS………………………………………………………57
4.1. EL EFECTO DE LA CONCENTRACIÓN Y LA TEMPERATURA EN LA
SOLUBILIDAD………………………………………………………………………….. 57
4.1.1. La solubilidad y el efecto de la temperatura…………………………………….. 57
4.1.2. La solubilidad y el efecto de la concentración…………………………………… 59

4.1.3. La ley de Henry y las soluciones de yoduro de tetrabutil amonio………...............61
DIFUSIVIDAD…………………………………………………………………………... 62
4.2.1. La difusividad y el efecto de la temperatura……………………………………. 63
4.2.1. La difusividad y el efecto de la concentración…………………………………... 63
4.3. DISCUSIÓN TEÓRICA……………………………………………………………. 64
5. CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 67
6. RECOMENDACIONES……………………………………………………………… 70
BIBLIOGRAFÍA ……………………………………………………………………….71
ANEXOS

LISTA DE TABLAS
Pag.
Tabla 1. Solubilidad de Argón en agua pura a 15°C y 25 °C (mol/mol)………………...52
Tabla 2. Solubilidad de Argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 15°C……..53
Tabla 3. Solubilidad de Argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 25°C……..53
Tabla 4. Difusividad de argón en agua pura a 15 y 25 °C (105
cm2
.s-1
)…………………54
Tabla 5. Difusividad de Argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 15°C…….. 55
Tabla 6. Difusividad de Argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 25°C…….. 55
Tabla 7. Constantes de Setchenov a 15°C……………………………………………….. 60
Tabla 8. Constantes de Henry de soluciones de yoduro de tetrabutil amonio…………….60

LISTA DE FIGURAS
Pag.
Figura 1. Relación de radios moleculares…………………………………………………4
Figura 2. Radio efectivo de colisión………………………………………………………4
Figura 3. Aproximación cilíndrica a interacciones moleculares…………………………. 5
Figura 4. Movimiento molecular………………………………………………………… 6
Figura 5. Variación de los ángulos de choque…………………………………………… 6
Figura 6. Análisis dimensional de movimiento………………………………………….. 17
Figura 7. Equipo de difusión…………………………………………………………….. 44
Figura 8. Celda de difusión……………………………………………………………… 46
Figura 9. Solubilidad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a 15°C…...53
Figura 10. Solubilidad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a 25°C....54
Figura 11. Difusividad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a 15°C…55
Figura 12. Difusividad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a 25°C…56
Figura 13.Solubilidad de argón en agua…………………………………………………..57
Figura 14. Solubilidad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a
concentración variable…………………………………………………………………….59
Figura 15. Constante de Henry a concentración y temperatura variable……………….....61
Figura 16. Difusividad de argón en agua pura…………………………………………… 61
Figura 17. Efecto de la concentración y la temperatura en la difusividad……………….. 63

RESUMEN
En el presente trabajo se muestra el diseño, construcción y calibración de un
equipo, para contacto gas-líquido, el cual cuenta con un sistema de control de
temperatura, registro de presión y agitación por flujo de aire y flujo de agua.
El equipo construido posee una celda que permite determinar la solubilidad y la
difusividad de gases en líquidos, a través del método de descenso de presión en
celdas de diafragma.
Se muestra una breve descripción de las teorías y planteamientos tanto cinéticos,
termodinámicos, hidrodinámicos, dinámicos y estadísticos a través de los cuales
se busca entender y describir los movimientos moleculares, en donde la
evaluación de la solubilidad y los coeficientes de difusión se presentan en función
de la temperatura y la concentración.
Los valores que se reportan de solubilidad y difusividad de argón en agua y en
soluciones acuosas, son analizados de acuerdo a los cambios estructurales que
sufre el solvente (agua), por la adición de solutos hidrofóbicos (sales de amonio
cuaternario), en donde el efecto dominante, es el efecto de sal positiva (salting-in)
atribuido a la naturaleza formadora de estructura del catión de la sal.

ABSTRACT
In this working was measured the solubility and the diffusivity of argon in aqueous
solutions of tetrabutyl ammonium iodine, from 0,02m to 0,04m concentrations, and
from 288.15K to 298.15K temperatures. Design, construction and calibration of a
equipment for gas - liquid contact is showed here, It has enough instrumentation to
control temperature and the evaluating pressure. Developed equipment allows
evaluating the solubility and diffusivity by the method of pressure decrease and the
diaphragm cells. Measured properties allowed to verify the hydrophobic character of the
tetrabutyl ammonium iodine salts, by the Setchenov (1889) constant, wich presents the
positive effect salt, attributed to the apolares characteristics of the [Bu] 4N +
catión.

i
INTRODUCCIÓN
La solubilidad y difusividad de gases en líquidos, ha sido objeto de investigación desde
principios del siglo XIX, en donde se presentaron importantes avances en cuanto a la
teoría, correlaciones empíricas, sistemas y equipos, siendo los estudios realizados más
cualitativos que cuantitativos. Con el transcurso del tiempo, el interés por experimentos
de éste tipo fue ganando importancia, debido a la necesidad de entender y modelar el
estado líquido, su comportamiento en soluciones y un sin número de aplicaciones que
permitiera conocer la forma como los gases se solubilizan y difunden en los tejidos
humanos, soluciones de sales y metales, permitiendo el desarrollo de modelos de
procesos y diseños de equipos a través del conocimiento de las propiedades de
transporte.
De la misma manera la necesidad de entender el estado líquido y los cambios
estructurales que sufre los solventes, de acuerdo a los solutos que se utilicen en la
elaboración de soluciones, ha llevado a intensos estudios en donde es bien conocido que
las sales de amonio cuaternario poseen propiedades que afectan la estructura del agua, e
interactúan con ella, permitiendo clasificarlas como formadores o disruptores de
estructura. La evaluación de las propiedades de transporte en este trabajo, brindan
información de la manera como a nivel molecular se difunde un soluto gaseoso (argón)
en soluciones acuosas de sales de yoduro de tetrabutil amonio, en donde la estructura
juega un papel importante para los procesos en los que se involucra la transferencia de
masa, permitiendo cualificar el carácter hidrofóbico o hidrofílico de los componentes en
solución, a través de información de solubilidades y coeficientes de difusión evaluados
en función de los cambios de temperatura y composición de la sal, utilizando el método
de descenso de presión en celdas de diafragma.

ii
ANTECEDENTES
El estudio del comportamiento de las moléculas en su diferente estado (líquido o
gaseoso), ha cubierto una gran cantidad de aspectos, con los cuales se pretende justificar
el mecanismo mediante el cual el trasporte de partículas se realiza. Varios autores
utilizando postulados experimentales y teóricos, buscan entender el movimiento de las
partículas y las variables que se deben involucrar, para poder deducir su
comportamiento y modelar los sistemas líquidos de la manera mas apropiada (Braun.
1997). Al pretender justificar el transporte de moléculas, ha surgido una serie de teorías
que describen inicialmente el movimiento dentro de un sistema determinado.
Posteriormente la asociación de teorías, combinadas en diferentes trabajos, da como
resultado, ecuaciones que describen de una manera acertada el flujo molecular. Es así
como los planteamientos del movimiento browniano, la teoría cinética de los gases,
teoría de colisiones, entre otras, han ayudado al entender el comportamiento de los
sistemas líquidos.
RESEÑA HISTÓRICA
A mediados del siglo XIX por un lado se planteaban las leyes de la termodinámica que
estudia los aspectos macroscópicos del comportamiento de las sustancias; por otra parte
se planteaba como lo microscópico puede describir el comportamiento macroscópico ya
que la materia estaba compuesta de partículas microscópicas. En el año de 1828 el
botánico inglés Robert Brown (1773-1858) observó que en una solución de agua el
polen de cierta hierba (Clarkia puichella) realizaba un movimiento continuo, muy
accidentado, en zigzag. En el mismo trabajo, Brown señalaba que otros investigadores,
antes que él, ya habían notado este movimiento. En particular, menciona los trabajos de
F. W. Von Gleichen, realizados unos 60 años antes, y de J. T. Need ham. El trabajo de
Brown atrajo mucho la atención de otros científicos europeos, quienes lo criticaron
duramente, pues en él, se proponía que el movimiento era auto animado. Sugirieron en
cambio todo tipo de explicaciones físicas como, por ejemplo,

iii
diferencia de temperatura en el agua iluminada, evaporación, corrientes de aire, flujo de
calor, capilaridad, etcétera. El famoso físico inglés Michael Faraday defendió las ideas
de Brown, señalando que este movimiento no se podía explicar por ninguna de las
causas propuestas. Tanto Faraday como Brown admitieron, sin embargo, que no sabían
cómo explicar este fenómeno. Posteriormente, diversos investigadores estudiaron este
movimiento. Entre ellos se puede mencionar a Christian Wiener (1863), Giovanni
Cantoni y S. Oehl (1865) y a G. L Gouy (1889).
En el año de 1905 el famoso físico Albert Einstein (1879- 1955) publicó un célebre
trabajo en el que propuso la explicación del movimiento browniano. Para apreciar la
contribución de Einstein hay que mencionar que hasta ese momento todos los
argumentos propuestos para el movimiento browniano eran sólo cualitativos; es decir,
no se había formulado ninguna teoría de la que se tuviera correlación alguna y que fuera
susceptible a medirse experimentalmente. En su trabajo, Einstein constató las
predicciones de las leyes de la termodinámica con las de la teoría cinética, que estaba
basada en la teoría atómica.
NACE LA TEORÍA CINÉTICA
Desde la antigüedad griega muchos pensadores investigaron la composición de la
materia. Diversas hipótesis se propusieron, sin que, en general, tuvieran verdaderas
bases científicas. Además, estas hipótesis tampoco fueron aceptadas en general. De
hecho, fue hasta principios del siglo XIX que, con los trabajos de John Dalton (1766-
1844), se empezaron a dar los primeros pasos serios en el estudio de la estructura
atómica de la materia. Posteriormente también contribuyeron de manera muy
importante científicos como Joseph L. Gay Lussac (1778-1850). Amedeo Avogadro
(1776-1856) y Jóns Jacob Berzelius (1779-1848). Hacia mediados del siglo pasado ya
se tenía una teoría mas adecuada, aunque incompleta, en la cual la materia estaba
compuesta de partículas microscópicas, llamadas átomos. Se enfrentaba la siguiente
situación: por un lado, se habían planteado las leyes de la termodinámica que, como se
recuerda, se refieren a aspectos macroscópicos del comportamiento de las sustancias; y,
por el otro lado, se vislumbraba cada vez con mayor claridad que la materia estaba

iv
compuesta de átomos. Surgió entonces la necesidad de conciliar estos dos
conocimientos. Dicho en otras palabras, se planteaba la siguiente cuestión: Si la
materia, en efecto, está compuesta de partículas microscópicas, ¿qué consecuencias
macroscópicas tiene el comportamiento microscópico de una sustancia?. Esta pregunta
ya se había planteado desde el siglo XVII entre otros por Robert Boyle (1627-1691). En
el siglo XVIII continuaron trabajando en ello Leonhard Euler (1707- 1783) y Daniel
Bernoulli (1700-1782). Estos estudiosos obtuvieron algunas consecuencias a las que,
sin embargo, no se les prestó la debida atención ya que por un lado, entonces no se
aceptaba la hipótesis atómica y, por el otro, muchos de los conceptos utilizados eran
bastante oscuros. Entre 1850 y 1875 Augtist Krónig (1822-1879), Rudolf Clausius,
James C. Maxwell (1831-1879) y Ludwig Boltzmann (1844- 1906) desarrollaron las
bases de la moderna teoría cinética de la materia. Supusieron que las sustancias estaban
compuestas de átomos y a partir de su comportamiento microscópico obtuvieron como
consecuencia algunas propiedades macroscópicas. Asimismo, se ha de mencionar que,
entre otras cosas, Maxwell obtuvo también como resultado de sus trabajos, la
distribución de las velocidades de los átomos en un gas en equilibrio. Así, se puede
saber cuál es la velocidad que tiene la mayoría de los átomos. Maxwell explicó la
forma en que esta distribución depende de la temperatura del gas, de la masa de sus
átomos, etcétera. Utilizando los planteamientos propuestos, Stokes-Einstein presenta
una aproximación desde el punto de vista hidrodinámico, Boltzmann, y Eyring proponen
trabajos en los cuales existe algún proceso de velocidad uní-molecular en función de la
cual puede describirse el proceso de difusión (Braun, 1997).
Trabajos interesantes se han reportado, buscando la evaluación de difusividades y
solubilidades de diferentes gases en soluciones acuosas, utilizando diferentes
metodologías y equipos. Himmelblau (1964) recoge información, en donde hace un
interesante estudio de la difusión molecular de sistemas líquido-gas. En 1964 se estudió
la difusión de Hidrógeno, Nitrógeno, Argón, Metano y tetrafluoruro de carbono en
soluciones de teracloruro de Carbono (Ross y Hildebrand) utilizando el método de
descenso de presión. Debido a necesidades industriales se han desarrollado trabajos
aplicando métodos de saturación de columna de burbujeo para la purificación de
vapores con un alto contenido de gases ácidos como el CO2, N2O, H2S, utilizando

v
soluciones de carbonato y bicarbonato de Potasio a 25ºC y 1 Atm (Geert, Joosten,
Danckwerts, 1972), soluciones de diglicolaminas (Martin, Otto, Mather, 1978),
soluciones de aminas (Sada, Kumasawa, Butt, 1978), soluciones de alcanolaminas (Ko,
Tsai, Lin, Wang, Li, 2001), soluciones de trietanolaminas (Abu-Arabi, Tamimi, Al-
Jarrah, 2001), soluciones de sales de amino ácidos (Versteeg, Feron, Hogendoorn,
Kumar, 2001). De igual manera se ha reportado información sobre sales de bromuro de
tetrapropil y tetrabutil amonio (Tenne, Ben-Naim, 1975) y sales de yoduro de
tetraalquilamonio (Iwamoto, Ohmori, Yamamoto, 1983), donde se busca evaluar la
interacción hidrofóbica de estas soluciones, aplicando diferentes métodos.

1
1. EL FENÓMENO DE TRANSPORTE Y SUS PLANTEAMIENTOS TEORICOS
En los dos siglos posteriores a Newton, con el desarrollo de las teorías de la termodinámica
y de la hidrodinámica bastaba con explicar las propiedades de la materia en términos
operacionales a partir de unos cuantos principios básicos como la conservación de la
energía, la masa y el momentum. Era suficiente considerar que un fluido como el agua o el
aire era un ``continuo'' al que se le podía calentar, deformar, empujar y escurrir de manera
tal que habría de responder de esta y de aquella otra manera según la termodinámica o la
hidrodinámica. Esta clase de teorías, llamadas fenomenológicas, son incompletas, pues
determinan condiciones muy generales que todas las sustancias deben de cumplir, pero al
momento de referirse a una sustancia concreta ya no tienen poder predictivo, a menos que
se les suministre una serie de ecuaciones y parámetros específicos para cada material.
Tiempo después, el programa newtoniano para atribuir el origen de las propiedades
macroscópicas de la materia a las propiedades microscópicas de las moléculas que la
constituyen, dio un gran paso al desarrollarse la teoría cinética de los gases. Ludwig
Boltzmann, James C. Maxwell y otros, consiguieron establecer una teoría que permitía ver
la forma en que una gran acumulación de moléculas dispersas, tienen todas las
características de un gas ordinario [1]
.
1.1. MOLÉCULAS Y MODELOS
El origen de la estructura en los materiales reside en las fuerzas de interacción entre las
moléculas que los conforman. Gracias a la mecánica estadística, es posible establecer que
en muchos casos es la fuerza que se ejerce entre cada uno de los pares de moléculas del
material, la que determina dicha estructura. El resultado más notable de este proceder ha
sido el descubrimiento de que basta con utilizar un modelo muy simple de interacción
molecular para que aparezca la estructura característica de un líquido en las simulaciones

2
por computadora en donde es suficiente con imaginar a las moléculas como esferas rígidas,
como si se tratase de bolas de billar [1]
.
1.1.1. La Teoría cinética de los gases
Los fenómenos de difusión, viscosidad, y conductividad térmica son todos físicamente
similares en cuanto a que involucran el transporte de alguna propiedad física a través de
gas o líquido. La difusión ordinaria es la transferencia de masa de una región a otra debido
a un gradiente de concentración; la viscosidad es el transporte de momento a través del gas
debido a un gradiente de velocidad; y la conductividad térmica es el transporte de energía
térmica debido a un gradiente de temperatura. Estas propiedades son llamadas
‘’propiedades de transporte’’. La evaluación de las propiedades de transporte busca
encontrar expresiones con las cuales se describa la dependencia primaria de los coeficientes
de transporte de la temperatura y presión como también sobre la masa y tamaño de las
moléculas en el gas [1]
. Intentando comprender la dependencia de los coeficientes de
difusión con las diferentes propiedades de las moléculas y los sistemas, la teoría cinética de
los gases ha planteado consideraciones importantes teniendo en cuenta la teoría de esferas
rígidas, la teoría de probabilidades para evaluar las trayectorias de las moléculas, número
de colisiones y velocidades moleculares, al igual que la relación directa de los coeficientes
de difusión, con los flujos moleculares a partir de planteamientos como la ley de Fick. A
continuación se muestra una breve recopilación de diferentes postulados bajo los cuales se
pretende describir el movimiento molecular.
1.1.2. Teoría cinética simplificada
En un gas real las moléculas se mueven en dos direcciones y sus velocidades están
distribuidas sobre un gran rango, si se considera un modelo en el cual un gas contiene n
moléculas por unidad de volumen, podemos describir con buena aproximación el
complicado comportamiento molecular a través de las propiedades de transporte
considerando que:

3
• Las moléculas son rígidas, no atraídas entre sí, con diámetro σ.
• Todas las moléculas viajan con la misma velocidad; una opción razonable para la
velocidad molecular parece ser la velocidad media aritmética 2/1
)/8( πmkT=Ω , la
cual puede ser calculada desde la función de distribución de velocidades.
• Todas las moléculas viajan en una dirección paralela a uno de los ejes de
coordenadas [2]
.
1.1.3. Colisiones moleculares
La teoría cinética provee un entendimiento del movimiento molecular en donde la dinámica
de choques es planteada en función de una serie de parámetros que son analizados a partir
de diferentes teorías que involucran análisis estadísticos, propiedades físico-químicas de la
materia y planteamientos teóricos que describen la forma molecular. La evaluación de la
velocidad molecular y del número de choques entre moléculas se puede plantear de la
siguiente manera en donde la probabilidad de difusión depende de los siguientes factores:
1). Violencia de choque
2). Proximidad - diferencia entre colisión frontal vs roce
3). Orientación relativa
4). Rotación y Vibración
5).Propiedades físicas (conductividad térmica, viscosidad, coeficiente de
difusión, etc.)
Cuando las colisiones moleculares siguen el modelo de esferas rígidas se tiene que la
velocidad con que se mueve una partícula es inversamente proporcional a la masa de la
partícula. Para el planteamiento del modelo se define (σ) como la distancia entre los
centros de las esferas de acuerdo a la ecuación

4
( ) ( )BA
BA
rr
dd
+=
+
=
2
σ (1.1)
Donde para un sistema de dos esferas rígidas A y B. Esta relación se representa por la
figura siguiente.
Figura 1. Relación de radios moleculares
Se define la sección transversal de colisión como el área que incluye los centros de las
partículas por la expresión: Scolisión=π(rA+rB)2
Figura 2. Radio efectivo de colisión
El desplazamiento de estas partículas en un tiempo dado se puede definir por la ecuación de
velocidad:
)(
)(
dttiempo
dlespacio
v =
Según la definición anterior el espacio recorrido por la molécula se define como vdtdl = .
Asumiendo que una de las partículas se mueve (la más liviana = A) y que la otra se
mantiene estática (la más pesada = B) con una velocidad promedio v en un área equivalente

5
a la sección transversal Acilindro, podemos representar esta situación con el diagrama a
continuación:
Figura 3. Aproximación cilíndrica a interacciones moleculares
Las partículas tienen la capacidad de chocar efectivamente ya que el centro deben estar
dentro del cilindro formado por le movimiento para que choquen. El desplazamiento de las
partículas dentro del cilindro con la velocidad promedio v se representa por la expresión:
dxAV cilindro **= (1.2)
dxV **2
πσ= (1.3)
( ) vdtrrV BA
2
+= π (1.4)
El número de choques de las partículas livianas, A, con las partículas pesadas, B, dependerá
de la cantidad de partículas pesadas que haya dentro del cilindro o de su densidad (número
de partículas pesadas NB por unidad de volumen, V). Si definimos el número de choques de
partícula liviana por unidad de tiempo como zAB entonces,
( ) vrr
V
N
z BA
B
AB
2
+



= π (1.5)
Cuando ambas partículas se mueven, se considera el movimiento relativo, y la velocidad
relativa se representa:

6
( )2
1
2
cos2 θBABAAB vvvvv −+= (1.6)
Si se asumen los ángulos (figura 5.) entre los vectores de velocidad tenemos las situaciones
a continuación:
Figura 4. Movimiento molecular Figura 5. Variación de los ángulos de choque
Se asume que el ángulo más probable es 90, entonces el cos 90 = 0.
1. Cuando A = B la expresión para la velocidad relativa es:
( ) ( )[ ] ( )[ ]2
1
2
1
22
1
22
cos12cos12cos22 θθθ −=−=−= vvvvv AAAAA (1.7)
Para = 90:
2AAAA vv = (1.8)
2. Cuando A ≠B y el ángulo es igual a 90° la velocidad relativa es:
( )2
1
22
BAAB vvv += (1.9)
Al Sustituir la velocidad promedio que predice la Teoría Cinético Molecular de los

7
gases ideales donde
2
1
8






=
A
A
M
RT
v
π
se tiene
2
1
88






+=
BA
AB
M
RT
M
RT
v
ππ
El número de colisiones cuando ambas partículas se mueven entonces es:
V
N
dvz A
AAA
2
2 π= para A=B (1.10)
y para A≠B se tiene
( ) 

















++=
V
N
MM
RT
rrz B
BA
BAAB
2
1
2 118
π
π (1.11)
La rapidez de colisión total por unidad de volumen se representa por ZAB o ZAA y se
expresa:
( ) 

















++=





= 2
2
1
2 118
V
NN
MM
RT
rrz
V
N
Z AB
BA
BAAB
A
AB
π
π (1.12)












=
RT
NP
M
RT
dZ A
A
AAA
0
2
1
2 8
2
1
π
π (1.13)
1.2. FLUJO Y COEFICIENTE DE TRANSPORTE
La transferencia de masa interviene en la destilación, absorción, secado, extracción líquido-
líquido, adsorción y procesos de membranas, en donde la transferencia de masa de una fase
a otra o a través de una sola fase se realiza por el mismo mecanismo básico ya sea que se
trate de gases, líquidos o sólidos.
Cuando existe una diferencia de concentración en alguna propiedad ya sea de masa, energía
térmica o cantidad de movimiento, ocurre un transporte molecular de una de estas
propiedades mediante movimiento molecular a través de un sistema o medio que puede ser
fluido. En los fluidos diluidos como los gases, donde las moléculas están relativamente
alejadas entre sí, la velocidad de transporte de la propiedad será relativamente alta puesto

8
que hay pocas moléculas presentes para bloquear el transporte o para interactuar. En
fluidos densos, como los líquidos, las moléculas están próximas entre sí, y el transporte o la
difusión se realiza con mas lentitud, y de igual manera en los sólidos ya que las moléculas
están mas estrechamente empacadas y la migración molecular es aún mas restringida.[3]
1.2.1. Ecuación general de transporte
Los tres procesos de transporte molecular (masa, energía, cantidad de movimiento), Se
caracterizan en un sentido, por el mismo tipo general de ecuación de transporte, teniendo en
cuenta que la velocidad del proceso de transporte es directamente proporcional a una fuerza
impulsora (diferencias de concentración, presión, potencial eléctrico), e inversamente
proporcional a una resistencia que normalmente es una distancia a vencer [1]
.
La ecuación resultante que describe el transporte molecular se puede expresar de la
siguiente manera:
dz
dΓ
−= '
δψ (1.14)
Donde:
ψ: Flujo de la propiedad (cantidad de propiedad que se transfiere por unidad de tiempo a
través de una sección transversal unitaria perpendicular a la dirección z)
δ’
: Constante de proporcionalidad (m2
/s)
Γ: Concentración de la propiedad (cantidad de propiedad/m3
)
z: Distancia en la dirección del flujo (m)
1.2.2. Transporte molecular
Para entender los flujos moleculares y sus correspondientes coeficientes de difusión, la
teoría cinética de los gases da una buena interpretación física del movimiento de las
moléculas individuales en los fluidos. Debido a su energía cinética, las moléculas están en
un rápido movimiento aleatorio y a menudo chocan unas con otras. El transporte molecular

9
o la difusión molecular de una propiedad se lleva a cabo en un fluido gracias a esos
movimientos aleatorios de las moléculas individuales. Cada molécula que contiene la
propiedad se transfiere y se mueve al azar en todas direcciones; por lo tanto si existe un
gradiente de concentración de la propiedad habrá un flujo neto de la propiedad desde la
concentración alta hasta la baja, esto sucede por que se difunde el mismo número de
moléculas en todos los sentidos entre las regiones de alta y de baja concentración [3]
. El
transporte molecular de masa en un fluido líquido para una concentración total constante
del fluido viene dado por la ecuación de Fick.
x
txn
Dtxj
∂
∂
−=
),(
),( (1.15)
Para el estudio de los fenómenos moleculares de transporte se tratan sistemas que están
cerca del equilibrio, pero no completamente, en los cuales la densidad, o la temperatura, la
cantidad de movimiento media de las moléculas varía de un lugar a otro. Cuando esto
ocurre hay una tendencia a que las faltas de uniformidad desaparezcan debido al
movimiento de las moléculas y a las colisiones. Si la densidad no es uniforme, habrá
difusión, esto es un transporte neto de moléculas en la dirección del gradiente de la
concentración. Si la temperatura no es uniforme, habrá conducción térmica, es decir un
transporte de la energía de las moléculas en la dirección del gradiente de temperatura. Si la
velocidad macroscópica no es uniforme, el medio presentará viscosidad, debida al
transporte de cantidad de movimiento de las moléculas en dirección del gradiente de
velocidad. Basado en lo anterior aparecen algunos coeficientes de proporcionalidad
denominados coeficientes de transporte y que forman parte de la ecuación que describe el
flujo de una determinada propiedad como se muestra en las ecuaciones (1.14) y (1.15). En
donde para describir estos coeficientes es necesario establecer las condiciones del proceso
de difusión a través de la evaluación de las condiciones termodinámicas de un determinado
sistema.

10
1.2.3. El equilibrio termodinámico local
Un sistema no uniforme no está en equilibrio termodinámico y por consiguiente no puede
obedecer la ley de distribución de velocidades de Maxwell. Sin embargo, si la desviación
del equilibrio no es grande, se puede considerar con muy buena aproximación que un
subsistema del mismo está en equilibrio. Esto se debe a dos motivos. Primero, que incluso
porciones diminutas de un gas, contienen un número muy grande de moléculas y por lo
tanto le podemos aplicar consideraciones estadísticas, y definir sus variables
termodinámicas. Segundo, que el tiempo necesario para que se establezca el equilibrio
dentro del subsistema es muy breve en comparación con el tiempo necesario para que los
procesos de transporte logren establecer el equilibrio con el resto del sistema (esto es cierto
siempre y cuando los gradientes de concentración y temperatura no sean demasiado
grandes). En consecuencia, se supone que existe equilibrio termodinámico local y por lo
tanto la distribución de velocidades dentro de cualquier elemento de volumen
(macroscópico) del medio es Maxwelliana, aunque la densidad, la temperatura y la
velocidad macroscópica varíen de un punto a otro [2,3]
.
1.2.4. La noción de camino libre medio
Para entender el comportamiento del movimiento molecular, se utiliza la trayectoria libre
media λ que es la distancia promedio que una molécula recorre entre dos colisiones. Cada
molécula de un gas se desplaza siguiendo una trayectoria aleatoria, pues se mueve más o
menos en línea recta hasta que choca con otra molécula y se desvía en otra dirección que no
guarda ninguna relación con la que seguía antes de la colisión. Esto se debe a que las
fuerzas intermoleculares son de muy corto alcance, y por lo tanto el choque de dos
moléculas se parece mucho al de dos esferas rígidas. Por lo tanto, podemos imaginar el
movimiento de una molécula como una sucesión de trayectorias libres (l), con direcciones
distribuidas al azar. Las trayectorias libres no son todas de la misma longitud, pero
trayectorias libres muy largas son poco probables. La distribución de las trayectorias libres
obedece la ley

11
λ
λ
dl
edllP
ll
−
=)( (1.16)
donde P(l)dl es la probabilidad que l esté comprendido entre l y l +dl, esto es, la
probabilidad de que la molécula recorra la distancia l sin chocar y luego sufra un choque en
el tramo de l a l + dl. La probabilidad que la molécula recorra la distancia l sin sufrir
ningún choque es
∫
−
=−
l l
edllp
0
)(1 λ
(1.17)
y la probabilidad de que sufra un choque entre l y l + dl es
λ
λ
dl
e
dl
=−
−
1 (1.18)
Por lo tanto P(l)dl debe ser igual al producto de la ecuación (1.17) por la ecuación (1.18).
Luego la ecuación que define el flujo es auto consistente y satisface las condiciones que
surgen de la aleatoriedad de las colisiones. Además está correctamente normalizada, pues la
probabilidad que la trayectoria libre esté entre 0 e ∝ vale 1, como debe ser. Por último la
trayectoria libre promedio es
∫
∞
==
0
)( λdlllPl (1.19)
y es igual a λ, tal como se requiere. Por consiguiente la ecuación de flujo tiene todas las
propiedades necesarias.
1.2.5. El camino libre medio y la sección eficaz de colisiones
Imaginemos que todas las moléculas de un gas están en reposo salvo una, que se mueve con
velocidad v en cierta dirección. En un intervalo de tiempo t nuestra molécula recorrerá una
distancia x = vt, y chocará con otra si sus dos centros se encuentran a una distancia menor o

12
igual que su diámetro a. Por consiguiente chocará con todas las moléculas que se
encuentren dentro de un cilindro de longitud x y sección transversal πa2
. Si hay n moléculas
por unidad de volumen nuestra molécula sufrirá nc = nπa2
x colisiones. Por lo tanto el
camino libre medio es
2
1
ann
x
c π
λ == (1.20)
La cantidad σ = πa2
se denomina sección eficaz de colisión, y con nuestra hipótesis de que
las moléculas se comportan como esferas rígidas, es igual a cuatro veces la sección
transversal geométrica de las mismas [2,3,4]
.En términos de σ la ecuación (1.20) se puede
escribir
σ
λ
n
1
= (1.21)
En un gas real las moléculas no se pueden considerar fijas, sino que se mueven en todas
direcciones. Si se tiene en cuenta este hecho, un cálculo exacto da un resultado que difiere
de otras ecuaciones en un factor numérico:






=
σ
λ
n
1
2
1
(1.22)
El camino libre promedio puede ser definido a través de la teoría cinética como
2'
πσξ
λ
p
kT
= Donde 2
3
2
3
1'
+=ξ y nkTp =
Si asumimos que la distribución de velocidad es Maxwelliana[2]
, 2'
=ξ
Cuando se trabaja con expresiones que representan el valor real de la energía potencial de
interacción entre moléculas, aparecen dos efectos. El primer el efecto debido a las fuerzas
atractivas, que es importante a bajas temperaturas, cuando kT es comparable con la

13
profundidad ε del pozo de potencial. Estas fuerzas hacen que las trayectorias de las dos
moléculas se correlacionen y esto acrecienta la sección eficaz de colisión respecto de la
que se tendría si no existieran las fuerzas atractivas. El segundo efecto se debe a que las
fuerzas repulsivas son de tal naturaleza que las moléculas al chocar se comportan como
pelotas elásticas que se pueden comprimir, y no como esferas rígidas. Si las moléculas
chocan de frente, se comprimen más que cuando el choque tiende a ser rasante. El
resultado total de estos efectos es que la sección eficaz de colisión entre dos moléculas
depende de su velocidad relativa, y por lo tanto de la temperatura del gas. Un tratamiento
riguroso considera las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión entre las moléculas,
así como el tamaño de las moléculas, Chapman y Enskog han resuelto la ecuación de
Boltzman basado en una función de distribución [5,6]
.
1.3. EL FLUJO DE FLUIDOS Y SUS MODELOS
El flujo en un sistema de multicomponentes consiste en la suma de cuatro términos. El
flujo debido a la difusión ordinaria, difusión por presión, difusión por fuerzas debido a
campos externos y difusión térmica. Las teorías que describen el estado líquido aun son
imperfectas y no hay un simple camino para expresar la difusión molecular de gases por lo
tanto se ha usado la relaciones conocidas entre los sistemas gas-líquido y sólido-líquido.
Algunas de las relaciones que se han planteado son las siguientes [2,5,6]
:
• Análisis termodinámico a través del análisis de irreversibilidad de los procesos
según las relaciones de Eckart-Meixner
∑=
=
N
k
kiki XLJ
1
condicionado a 0
1
=∑=
N
i
iJ
• Análisis Cinético de acuerdo a la ecuación de Chapman-Enskog según la relación

14










∇







∂
∂
= ∑∑
≠
==
N
jk
k
k
xPTk
i
j
N
j
ijjii x
x
G
xDMM
RT
c
J
s
1 ,,1
*
2
ρ
(1.23)
Donde *
ijD es la difusividad en una mezcla de multicomponentes
• Análisis Hidrodinámico de acuerdo a la relación de Stefan-Maxwell
( )∑=
−=∇
N
j
ij
ij
jiij
i vv
D
A
w
1
2
ρ
ρρ
(1.24)
• Análisis cinemático de acuerdo a la ecuación de difusión de Fick
ii wDJ ∇−= 12ρ (1.25)
1.3.1. Ley de Fick
Concentrándonos un poco en la ecuación de Fick, tenemos que la difusión es un proceso
que tiende a uniformizar la densidad de moléculas, debido al transporte neto de moléculas
desde una región donde la concentración es mayor hacia otra de concentración menor. Este
proceso ocurre en los sólidos, los líquidos y los gases. Es independiente de cualquier
movimiento macroscópico del medio (como vientos o corrientes convectivas) u otra clase
de perturbaciones ocasionadas por diferencias de densidad, presión o temperatura, aunque
en la práctica otros efectos debidos a esas perturbaciones pueden enmascarar los efectos de
la difusión [3,4]
. Si se considera una sola dimensión espacial, de modo que n = n(x ,t ), y que
el flujo de partículas J = J(x , t) atraviesa en el sentido x positivo un área unitaria normal al
eje x, en la unidad de tiempo y si la concentración y el flujo se miden en moles por unidad
de volumen y por unidad de área y de tiempo, respectivamente, es un hecho experimental
que en cualquier instante t el flujo en cualquier posición x es proporcional al gradiente de
concentración que se tiene en ese momento y en ese lugar, esto es.

15
x
txn
Dtxj
∂
∂
−=
),(
),( (1.26)
Donde D es el coeficiente de difusión, o difusividad. La ecuación (1.26) se denomina ley de
Fick.
En el caso más general, dependiente del tiempo, la variación de la concentración en un
elemento situado entre x y x+dx dependerá del balance neto del flujo J(x,t) que entra al
elemento en x y el flujo saliente –J(x+dx,t)= -J(x,t)-dx(δJ(x,t)/ δx) en x+dx . Por lo tanto
x
J
x
n
∂
∂
−=
∂
∂
(1.27)
La ecuación (1.27) expresa simplemente la conservación del número de moléculas.
Si eliminamos J entre la ecuación (1.26) y (1.27) obtenemos la ecuación de difusión:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
n
D
xx
n
(1.28)
Si suponemos que el coeficiente de difusión no depende de la concentración, la ecuación
(1.28) se reduce a la ecuación lineal de difusión






∂
∂
=
∂
∂
2
2
x
n
D
x
n
(1.29)
1.3.2. Flujo de sustancias no cargadas
Considerando el flujo J de una sustancia no cargada, y sin acoplamiento a ningún otro tipo
de flujo en donde el flujo está determinado por la variación de potencial químico, es decir,
por el gradiente de potencial químico y que tiene lugar en el sentido de mayor a menor
potencial químico (opuesto a grad u), se tiene [2]
:

16
)( uLJ ∇−= (1.30)
Donde
∇ CRTuu ln0
+= y L es un coeficiente característico, reemplazando queda.
C
C
LRT
CRTuLJ ∇−=+∇−= )ln( 0
(1.31)
Donde se ha supuesto ∇T=0, ∇p = 0, y por tanto, ∇uo
= 0
( )CDJ ∇−= que es la expresión de la primera Ley de Fick donde
C
LRT
D = .
En una dimensión (x):
dx
dC
DJ −= (1.33)
1.3.3. Cálculo exacto del coeficiente de difusión
Los cálculos necesarios para determinar el coeficiente de difusión supone que la
concentración depende solamente de la coordenada x para lo cual se considera la geometría
de la Fig. 6., cuyo origen está en un punto cualquiera (x,y,z ). Se calcula el número de
moléculas que pasan por unidad de tiempo a través de dS después de haber sufrido su
última colisión en dV. La cantidad de moléculas en dV es n( x+ x’
)dV, y en promedio cada
una de ellas sufre λ/v colisiones por unidad de tiempo, luego en la unidad de tiempo n(
(x+ x’
) λ/v )dV moléculas sufren colisiones dentro de dV. Cada una de las moléculas luego
de chocar, se mueve en alguna dirección. Si todas las direcciones son igualmente
probables, la fracción que sale hacia dS es igual al cociente entre el ángulo sólido
subtendido por dS desde dV y 4π, esto es
2
4/cos rdS πθ (1.34)

17
Figura 6. Análisis dimensional de movimiento
Puesto que parte de las moléculas que después de chocar salen en dirección a dS chocan de
nuevo antes de llegar, solamente atravesarán dS aquellas cuya trayectoria libre es mayor o
igual a r (radio molecular). Por la ecuación (1.18) la probabilidad que la trayectoria libre se
encuentre entre r y r dr es igual a
λλ
drr





 −
exp  entonces la probabilidad que la trayectoria
libre sea mayor o igual a r es
∫
∞ −−
=
r
rr
edre λλ
λ
1
(1.35)
Recordamos también que
φθθ ddrdsenrdV 2
= (1.36)
Además, podemos escribir
( ) ...cos)('
+
∂
∂
+=+
x
n
rxnxxn θ (1.37)
Reuniendo (1.37)-(1.38), y escribiendo cosθ = u obtenemos que el número de moléculas
que atraviesan dS en la unidad de tiempo luego de haber chocado por última vez en dV es

18
dreudud
x
n
ruxn
v
dS
r
λ
φ
πλ
−






+
∂
∂
+− ...)(
4
(1.38)
En esta fórmula las moléculas que cruzan dS viniendo desde x’>0 corresponden a u>0 y las
que cruzan dS viniendo desde x < 0 corresponden a x’<0. Por lo tanto, debido al signo –, al
sumar sobre todos los valores de u calcularemos el flujo neto desde x’ < 0 hacia x > 0. Al
integrar la ecuación (1.39) sobre todo el espacio, tomamos en cuenta todas las moléculas
que atraviesan dS, sin que importe dónde ocurrió su última colisión, pero es obvio que sólo
son importantes las contribuciones correspondientes a r menores o comparables a λ, pues
debido al factor exp( -r/ λ ) el número de moléculas cuyo último choque ocurrió muy lejos
de dS es despreciable [3,4]
. Finalmente tendremos que.
( ) ...
44
2
0
1
10
2
0
1
10
+−
∂
∂
−−= ∫ ∫∫∫ ∫∫
+
−
∞ −+
−
∞ − π
λ
π
λ
φ
πλ
φ
πλ
ududrred
x
nv
dSududred
xnv
dSJdS
rr
(1.39)
...
4
2
0
1
1
2
0
+
∂
∂
−= ∫ ∫∫
+
−
∞ −π
λ
φ
πλ
duudrred
x
nv
dSJdS
r
(1.40)
Puesto que ∫
+
−
1
1
udu , ∫
+
−
=
1
1
2
3
2
duu
∫
∞ −
=
0
2
2
λλ
drre
r
(1.41)
De modo que finalmente resulta
x
nv
J
∂
∂
−=
3
λ
(1.42)
Comparando con la ley de Fick (ecuación 1.34) obtenemos
λvD
3
1
= (1.43)

19
1.4. PREDICCIÓN DE COEFICIENTES DE DIFUSIÓN
Para la evaluación del fenómeno de difusión, las consideraciones teóricas se han planteado
inicialmente para mezclas binarias, para las cuales se describe el fenómeno de transporte
de gases en líquidos, a través de modelos matemáticos. El flujo de partículas a nivel
microscópico es examinado utilizando ecuaciones de flujo, que buscan predecir el
movimiento molecular y los coeficientes de difusión involucrados en el transporte de masa
que definen el flujo molecular de componentes [1,2,5,6,7]
.
1.4.1. Definición de flujo a través de la termodinámica
El estudio de la termodinámica irreversible permite identificar los flujos y las fuerzas
involucradas además de los tipos de difusión. Uno de los principales atributos de la
termodinámica es que esta cuantifica y es consistente con los planteamientos realizados por
la teoría cinética de los gases considerando dos postulados básicos [2,5]
.
1. La entropía puede ser definida fuera del equilibrio por la ecuación de Gibbs.
∑+−= kk dnupdVTdsdU (1.44)
2. Los flujos ( iJ ) y fuerzas presentan correspondencias lineales
Los coeficientes involucrados en los fenómenos de transporte pueden ser función de la
concentración, temperatura, presión pero no de las fuerzas, involucrando estos conceptos en
las ecuaciones que definen el flujo encontramos.
∑=
=
N
k
kiki XLJ
1
(1.45)

20
donde para el caso de un sistema binario el flujo del componente 1 queda.
( )2111 XXLJi −= o en función de los potenciales químicos
( )21
11
uu
T
L
Ji ∇+∇−= (1.46)
La ecuación anterior puede ser simplificada usando la identidad i
i
i
i w
w
u
u ∇
∂
∂
=∇
Para la mezcla binaria 121 =+ ww y por lo tanto 21 ww −∇=∇ , se introduce entonces la
ecuación de Gibbs-Duhem
0
2
2
2
1
1
1 =
∂
∂
+
∂
∂
w
u
w
w
u
w Reemplazando en la ecuación que describe el flujo
2
1
1
2
11 1
w
w
u
wT
L
ji ∇





∂
∂
−=
ρ
ρ (1.47)
Donde
1
1
2
11
12
1
w
u
wT
L
D
∂
∂
=
ρ
(1.48)
La verdadera fuerza que determina la difusión es el potencial químico como lo muestra la
ecuación anterior
1.4.2. Flujos definidos por la mecánica estadística
Los análisis del fenómeno de difusión en líquidos a través de la mecánica estadística es más
complicada que otras aproximaciones realizadas, ya que no son totalmente claros los
mecanismos propuestos por teorías simples. Bearman ha desarrollado una teoría unificada

21
de mecánica estadística de la teoría del proceso de transporte en soluciones basado en los
trabajos realizados por Kirkwood, en los cuales esencialmente se calculan coeficientes de
difusión para soluciones regulares en términos de las propiedades de los equilibrios
(soluciones regulares son aquellas en las cuales las moléculas tienen tamaño similar, forma,
y potenciales de interacción). Las predicciones realizadas por la mecánica estadística no
permiten un cálculo directo de coeficientes de difusión a partir de consideraciones básicas y
es necesario evaluar algunos parámetros experimentalmente.
Un breve resumen asumiendo el no equilibrio de fuerzas sobre una especie definida
muestra la dependencia de la suma del promedio de las fuerzas ejercido por todas las
moléculas en el sistema, involucrando principalmente la suma de dos términos: El primero
define los flujos de masa y energía y el segundo conduce a la tensión Newtoniana. La
fuerza de fricción es definida para el caso isotérmico e isobárico como:
( ) ( ) ( )*0,1*1*1,1
FFF −= donde ( )*0,1
F es el componente no desaparecido que existe aún en el
equilibrio, ( )*1,1
F es expresado en términos de la distribución de funciones, 1g y 2g como
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] rdgg
dr
rdr
cF jj
ij
N
j
j
31,21,2
2
*1,1
11
2
1
−





= ∑∫=
φ
τ
(1.49)
φ es el potencial promedio, en los cuales se involucra los efectos de la orientación y los
grados de libertad internos. ( )ji
ij
g ,
es la función de distribución radial usada en el tratamiento
del comportamiento termodinámico. Si esta distribución radial es presentada como serie de
potencias armónicas, solo la contribución del primer término se utiliza en la integral,
resultando la ecuación.
( )
[ ] 11
2
1
*1,1
uvvcF j
N
j
jj ∇=−−= ∑=
ξ (1.50)

22
En esta ecuación se involucra el coeficiente de fricción j1ξ . Como jj 11 φφ = y 0,2
1
0,2
1 jj gg = ,
se puede concluir que 11 jj ξξ = . Considerando un sistema binario los coeficientes de
difusión mutuos están basados sobre un promedio, y utilizando la bien conocida definición
de potencial, se expresa.
i
i
i
i c
c
a
RTu ∇





∂
∂
=∇
ln
(1.51)
Reemplazando y unificando unidades que definen el flujo donde VJF =1 tenemos
1121 CDJ ∇−= Donde














∂
∂
+=
PT
c
fRTV
D
,1
1
12
1
12
ln
ln
1
ζ
(1.52)
( )
m*
2/1
3/1
0
12
21
21
12
1
2
3














−












+
=
m
m
V
V
kT
MM
MM
πσ
π
ζ




















+






+
+












+
+
−
+
+= 2/1
2
1
2/1
2
2
2/3
2
2
2
1
2
2
1
MM
M
MM
M
Ln
MM
M
MM
M
M
MM
1
1
1
11
1m
1.4.3. Análisis hidrodinámico de difusión
Eisntein (1905) y Sutherland (1905) proponen independientemente que la difusividad de un
soluto en un solvente puede ser relacionada por consideración a la fuerzas de fricción

23
experimentada por un cuerpo al caer a través de un medio viscoso y está dado por la ley de
Stokes .












+
+






=
1
2
1
2
1
12
2
1
3
1
6
1ˆ
2
r
n
r
n
rkT
D n
β
β
π
(1.53)
Esta ecuación puede ser reducida






=
1
12
4
1ˆ
2
rkT
D n
π
cuando 0=β






=
1
12
6
1ˆ
2
rkT
D n
π
cuando ∞=β
Físicamente cuando las moléculas del solvente y soluto son del mismo tamaño, 0=β .
También se puede asumir que.
3/1
01
12 





≅
AN
V
r
Para moléculas grandes de soluto las cuales son partículas coloidales o polímeros grandes
la ecuación anterior presenta una gran aproximación a los resultados experimentales. Para
moléculas de soluto muy pequeñas en comparación a las moléculas de solvente Li y Chang
(1955) proponen.






−=





σ
r
N
V
D
A
n 1
2
1
3/1
01
12 2
(1.54)

24
La ecuación a esta de acuerdo a las anteriores ecuaciones si
r−
=
σ
σ
π
2
2 . Cuando la
estructura del líquido está empacada de forma cúbica simple σ =6 y r = 4.
La teoría cinética y un tratado riguroso de la teoría de las esferas rígidas, proponen la
siguiente ecuación para la difusión de mezclas binarias de gases.
( )
*
12
*)1.1(
12
2
12
21
21
3
12
2
0026283.0
Tp
MM
MMT
D
Ω
+
=
σ
(1.55)
Donde 12D = Coeficiente de difusión en cm2
/s
p= Presión en atm
12
*
12
ε
kT
T =
M1,M2= Los pesos moleculares de las especies 1 y2
k/, 1212 εσ = parámetros de la energía potencial molecular en A° y K,
respectivamente.
1.5. PRINCIPIO DE LOS ESTADOS CORRESPONDIENTES PARA MOLÉCULAS
POLARES
La aplicación del principio de los estados correspondientes se ha aplicado estrictamente a
moléculas esféricas no polares. Pero, si asumimos que la función de potencial que
representa la interacción entre varios pares de moléculas puede ser caracterizada por dos
parámetros, σ y ε. Las fuerzas entre moléculas dependen de la adición del momento bipolar
encontrando que la ecuación que describe la difusión es [2]
.

25
3
2
*
σε
σ
m
mD
D = (1.56)
Donde
η
δ
δ
nkT
a
D
2
2






= donde 3/1−
== naδ
1.5.1. El fenómeno de transporte y la teoría de Enskog
La teoría cinética de dilución de gases está basada en la ecuación de Boltzmann. En la
deducción de esta ecuación se asume que colisionan dos cuerpos solamente y que las
moléculas tienen un tamaño finito (ó exactamente, que el tamaño de la molécula es muy
pequeño comparado con el promedio de la distancia entre moléculas) ambas
consideraciones son ciertas a concentraciones muy bajas. En gases densos estas
consideraciones también pueden ser aplicadas.
Enskog fue el primero en hacer un avance en esta dirección desarrollando una teoría
cinética para gases densos sobre la asunción de moléculas esféricas y rígidas de diámetro σ
y que sufren un determinado número de colisiones. Esta frecuencia de colisiones realizadas
en un gas asumiendo las esferas rígidas difiere en un factor Y de las colisiones en función
de esferas puntuales. El factor de corrección está definido por[2,5].
( ) ( ) ( ) .../115.0/2869.0/6250.01
32
++++= VbVbVbY (1.57)
El coeficiente de difusión dado por la teoría de Enskog ha sido llevado a mezclas binarias
en función de los diámetros moleculares.
12
0
12
12
Y
D
D = (1.58)

26
Donde ...
44
4
3
2
44
4
3
2
1
21
213
22
21
213
1112 +





+
+
+





+
+
+=
σσ
σσ
σπ
σσ
σσ
σπ nnY (1.59)
1.6. CORRELACIONES DE DIFUSIVIDAD SEMIEMPIRICAS
Debido a la dificultad para predecir coeficientes de difusión a partir de consideraciones
moleculares, se ha partido de ecuaciones teóricas modificadas al introducir parámetros
empíricos. Las ecuaciones para predecir difusividades de solutos en líquidos son
semiempíricas por necesidad, ya que la teoría de la difusión en líquidos todavía no está
completamente explicada. Algunas de las correlaciones semiempíricas se describen a
continuación [1,2,5]
.
• Correlación de Arnol
Arnold (1930) aplica la teoría cinética clásica para difusividad de gases en sistemas
líquidos, para lo cual realiza las siguientes asunciones. a) Todas las colisiones son binarias
e involucran solo dos moléculas. b) La velocidad de colisiones no se ve afectada por el
volumen ocupado por las moléculas. c) No hay fuerzas intermoleculares presentes.
La ecuación propuesta por Arnold se ha desarrollado para calcular la difusividad en
líquidos a 20°C.
( ) 23/1
2
3/1
1
21
12
11
010.0
V
VV
MM
D
+
+
= (1.60)
Teniendo en cuanta que las consideraciones realizadas no son válidas inserta un factor
( )2/1
2221 ηVAA en el denominador de la ecuación donde A1 es el factor para el soluto y A2 es
el factor para el solvente.

27
Para conversión de la difisividad de Arnold a otras temperaturas diferentes a 20°C propone
una correlación empírica
( )[ ]27312012 −+= ° TbDD donde ( ) 2/13/2
02.0 Vb η=
• Correlación de Wilke
La correlación de Wilke (1949) fue basada en relaciones sugeridas por la teoría de Eyring
quien trabajo con la ecuación de Stokes-Einstein . La correlación propuesta se muestra a
continuación.
( )
6.0
01
2/1
28
12 10*4.7
V
xMT
D
η
−
= (1.61)
Donde la viscosidad se presenta en cp y χ=2.6
• Correlación de Scheibel
El método de Scheibe(1954) es una corrección de la correlación de Wilke expresando la
ecuación como:
( )[ ]
3/1
01
3/2
02018
12
/31
10*2.8
V
TVV
D
η
+
= −
(1.62)
• Correlación de de Othmer y Thakar
La correlación propuesta por Othmer y Thakar (1953) utiliza la aproximación a través de
graficas logarítmicas en los que se relacionan propiedades de la materia con la presión de
vapor de las sustancias. Si la difusividad varía exponencialmente con la temperatura al
introducir la ecuación de Clausius-Clapeyron se tiene.

28
cteP
L
E
D D
+= *
12 loglog (1.63)
Esto sugiere que de la gráfica logarítmica de D12 vs la presión de vapor de una sustancia de
referencia se pueden obtener los valores de la pendiente y la intercepción. Eyring propone
que la gráfica de logaritmo se obtenga de los valores de D12 vs la viscosidad y presenta la
ecuación de la siguiente manera.
6.0
01
1.1
5
10*14
V
D
wη
−
= (1.64)
• Correlación de Innes y Albright
Innes y Albright (1957) sugieren el uso de las constantes de la ecuación de Arrhenius. La
ecuación se presenta de la siguiente manera.
Tn
eATD
β−
=12 Donde A, β, y n son constantes. n puede ser considerada como una
función del solvente y A y β funciones del soluto.
• Correlación de Longsworth
Longsworth (1952) propone la relación expresada en función del peso molecular o del
volumen molar utilizada tanto para gases y líquidos.
BM
A
D
−
= 3/1
1
12 (1.65)

29
• Correlación de Ibrahm y Kuloor
Ibrahm y Kuloor(1960) afirman que el grupo 1201 / DVgη graficado vs M1 da una línea recta.
Esta ecuación fue verificada para varios gases a 20°C y comparada con la ecuación
propuesta por Wilke-Chang
• Correlación de Stokes-Eisntein
Una de las primeras teorías, la ecuación de Stokes-Eisntein, se obtuvo para una molécula
esférica muy grande que se difunde en disolvente líquido de moléculas pequeñas. Se usó la
ley de Stokes para describir el retardo en la molécula móvil de soluto. Luego se modificó
para suponer que todas las moléculas son iguales, distribuidas en un retículo cúbico y cuyo
radio molecular se expresa en términos del volumen molar [7]
.
3/1
16
10*96.9
A
AB
V
T
D
µ
−
= (1.66)
Donde :
DAB= Difusividad en m2
/s
T= Temperatura en K
µ=Viscosidad de la solución Pa.s
VA= Volumen molar del soluto a su punto de ebullición normal m3
/kg
• Correlación de Wilke-Chang
La correlación de Wilke-Chang puede usarse para la mayoría de los propositos generales
cuando el soluto está muy diluido con respecto al disolvente [8]
.

30
( ) 6.0
5.016
10*173.1
AB
BAB
Vu
T
MD ϕ−
= (1.67)
Donde :
MB: Peso molecular de disolvente
uB: Viscosidad de disolvente (Pa.s)
Va: Volumen molar de soluto en el punto de ebullición
ϕ: Parámetro de asociación
• Correlación de Nernst-Einstein
La teoría Hidrodinámica toma como punto de partida la ecuación de Nernst-Einstein, que
establece que la difusividad de una partícula a través de un medio es:






+
+
=
=
ABAB
ABAB
AABA
A
AB
Ru
Ru
RuuF
FA
u
kTD
β
β
π
3
2
6
(1.68)
Donde:
FA: Movilidad de la partícula
UB: viscosidad del disolvente puro
RA: Radio de la partícula que difunde
βAB: Coeficiente de fricción
1.7. LA SOLUBILIDAD Y SUS MODELOS TEÓRICOS
Las soluciones son mezclas homogéneas, de composición variable, de dos o más sustancias,
dispersas a escala molecular. Por convención, se denomina disolvente (o solvente) al
constituyente en mayor cantidad y soluto al (los) constituyente(s) minoritario(s). Las

31
soluciones no implican necesariamente un disolvente líquido y un soluto sólido, sino que se
pueden dar todas las combinaciones posibles de los tres estados de agregación de la materia
[8]
.
Se denomina solubilidad a la cantidad máxima de soluto que se disuelve en una cantidad
dada de disolvente para formar una solución estable en determinadas condiciones de
presión y temperatura. Existen varias formas de expresar la solubilidad de una sustancia en
un disolvente dado. Las más usadas son: gramos de soluto disueltos en un litro de solución
(g/L) y gramos de soluto disuelto en 100 g de disolvente (g/100g). La presión y
temperatura influyen sobre la solubilidad en mayor o menor grado, dependiendo de la
naturaleza del soluto y del disolvente. El aumento de la presión aumenta la solubilidad de
los gases en líquidos, y tiene, en general, muy poco efecto sobre la solubilidad de sólidos y
líquidos en disolventes líquidos. El aumento de la temperatura disminuye la solubilidad de
gases en líquidos, mientras que la de líquidos y sólidos generalmente aumenta.
La solubilidad de gases ha sido expresada de una gran cantidad de maneras, algunas de las
mas conocidazas son:
• El coeficiente bunsen
El coeficiente BUNSEN α, es definido como el volumen de gas reducido a 0º y 760 mm Hg
de presión el cual es absorbido por unidad de volumen de solvente a la temperatura de
medida. Una ecuación que puede ser usada para calcular los coeficientes es.












=
s
g
V
V
T
15.273
α (1.69)
Donde T es la temperatura absoluta, Vg Volumen de gas, Vs Volumen de líquido
La corrección a condiciones estándar asume un comportamiento ideal del gas.

32
• Coeficiente de ostwald
EL Coeficiente de Ostwald l, es definido como la relación de el volumen de gas absorbido
a el volumen del liquido, el Coeficiente de Ostwald es definido entonces como.
gs
g
C
C
V
V
L 1
== (1.70)
Donde C1 es la concentración de gas en el líquido, y Cg es la concentración del gas en la
fase gaseosa. Algunos autores designan este coeficiente como β
• Coeficiente de Henry
La ecuación para un gas en equilibrio con un líquido puede ser escrita como la relación
entre el gas contenido en la fase líquida y el gas en la fase gaseosa. La ley de Henry puede
ser representada como.
XKPg 1= (1.71)
• Solubilidad en Unidades Másicas
La solubilidad Cw es recomendada por Cook(1954) como la unidad más lógica en
comparación con los coeficientes de Bunsen y Ostwald. Cw es definida como el numero
de moles de gas por gramo de solvente. Esta unidad tiene la ventaja de permitir la
conversión fácil de unidades simplificando los cálculos.
1.7.1. Conversión de las unidades de solubilidad
• Desde los coeficientes BUNSEN

33
( )
760
760 sP−
=αβ (1.72)
15.273
T
L α= (1.73)
( )u
S
s −
=
1ρ
α
(1.74)
ρ
α
o
w
V
C = (1.75)
Ps es la presión parcial del solvente, ρs es la densidad de la solución, µ es la fracción de
soluto en la solución, V0 es el volumen molar del gas en cc/mol a 0ºC y ρ es la densidad del
solvente a la temperatura de medida.
760
1000
760*414.22033.17
760
10*033.17
2
6
1
+==
+=
αα
α
ρ
K
M
K
s
s
(1.76)
Ms es el peso molecular del solvente, las unidades de de K1 están dadas en presión (mmHg),
las unidades de K2 son (mmHg)(L de solvente)/mol de gas.
• A partir de los coeficientes de Ostwald






=
T
L
15.273
α (1.77)

34





 −






=
760
76015.273 sP
T
Lβ (1.78)
L
Kc
1
= (1.79)
ρt
w
V
L
C = (1.80)
Vt es el volumen molar del gas en cc/mol a la temperatura de medida.
• A partir de la constante de la ley de Henry
( ) sMK 760
10*033.17
1
6
−
=
ρ
α (1.81)
• A partir de la solubilidad másica
( )sw
sw
MC
MC
X
+
=
1
(1.82)
1.7.2. Desplazamiento y solubilización salina
Cuando se disuelve una cantidad apreciable de sal en un líquido, se modifica bastante la
presión de vapor de un líquido. Además la sal disuelta afecta a la solubilidad de un gas o
líquido en ese disolvente y finalmente, si el disolvente es una mezcla de dos o más
componentes volátiles, la sal disuelta influye en la composición del vapor en equilibrio con
la mezcla disolvente [9]
.
La solubilidad de un gas en una solución salina es normalmente menor que en agua libre de
sal, esta disminución de la solubilidad se denomina desplazamiento salino. Una

35
explicación simplista pero incompleta se obtiene a partir de las fuerzas de hidratación. Los
iones (especialmente los cationes) suelen formar complejos con agua (hidratación), dejando
menos agua libre disponible para disolver el gas [9]
. Esta explicación sin embargo desprecia
el sutil efecto de los iones sobre la estructura del agua en donde la influencia del
desplazamiento salino de un ión, aumenta normalmente con valores crecientes de las cargas
iónicas y decrecientes del radio iónico, por lo tanto las sales con iones grandes y
polarizables (normalmente aniones) tienden a hacer aumentar la solubilidad del gas. Los
desplazamiento salinos se suelen describir mediante una ecuación empírica propuesta por
Setchenov (1889). Esta ecuación considera un sistema de tres fases formado por una fase
gaseosa y dos fases acuosas. Una de las fases acuosas no contiene sales (‘), la otra fase
acuosa contiene una sal con molalidad mx (‘’) donde la temperatura está lo suficientemente
baja para considerar el agua no volátil. Para el soluto i el equilibrio en función de los
potenciales químicos ui se tiene como:
'''
ii
G
i uuu == (1.83)
Esta ecuación de equilibrio se puede escribir de la forma
''''0''0
lnln iiii
G
i mRTumRTuu +=+= (1.84)
Donde ='''
, ii mm Son las molalidades del soluto i en la fase líquida libre de sal y la fase
líquida con sal respectivamente. Suponiendo que la diferencia entre la variación de energía
estandar de Gibbs de disolución de un soluto en un disolvente con sal y la de una solución
sin sal se expresa por una serie de potencias de la concentración de sal es decir:
( ) ...ln'0''0
+=+ xxii mkRTuu (1.85)

36
Donde kx es una constante característica de la sal y depende de la sal, la temperatura y el
soluto. Se puede tomar como aproximación solamente el primer término de la serie para
concentraciones bajas de sal, quedando la ecuación de Setchenov como.
xx
i
i
mk
m
m
=''
'
ln (1.86)
Donde ='''
, ii mm solubilidades expresadas en unidades de molalidad.
Se han propuestos algunos modelos empíricos para estimar las constantes de Setchenov. El
modelo de Schumpe (1993) es el mas general y puede aplicarse a mezclas de electrolitos.
En este modelo para solutos gaseoso, las constantes se estiman a partir de un juego de
parámetros específicos del ion y del gas.
1.8. SALES MINERALES
Además del agua existen otras biomoléculas de distintas características tanto orgánicas
(sales de amonio cuaternario) como inorgánicas como las sales minerales de las cuales se
distinguen dos tipos en función de su solubilidad en agua: insolubles y solubles. Las sales
solubles en agua se encuentran disociadas en sus iones (cationes y aniones) que son los
responsables de su actividad biológica y desempeñan las siguientes funciones:
• Funciones catalíticas. Algunos iones, como el Cu+, Mn2+, Mg2+, Zn+, que
actúan como cofactores enzimáticos.
• Funciones osmóticas. Intervienen en los procesos relacionados con la
distribución de agua entre el interior celular y el medio donde vive esa célula.
Las cargas de los iones de Na, K, Cl y Ca, participan en la generación de
gradientes electroquímicos, imprescindibles en el mantenimiento del potencial
de membrana y en la sinapsis neuronal.

37
• Función tamponadora. Se lleva a cabo por los sistemas carbonato-bicarbonato,
y también por el monofosfato-bifosfato.
1.8.1. Sales de amonio cuaternario
Las sales de amonio cuaternario representan un importante grupo de tensoactivos
catiónicos, con un amplio espectro de aplicaciones, especialmente dentro de la industria
farmacéutica, en la fabricación de productos para el tratamiento del cabello, enjuagantes,
regeneradores, fijadores y lociones capilares, elaboración de champús de base catiónica, y
soluciones detergentes bactericidas.
Los Tensoactivos catiónicos son aquellos que en solución forman iones, resultando cargado
positivamente el grupo hidrófobo de la molécula. En general, son compuestos cuaternarios
de amonio o una amina grasa en medio ácido [11]
.
El término "surfactante catiónico" se refiere a los compuestos que contienen por lo menos
una cadena de 8 a 25 átomos de carbono, derivada de un ácido graso o de un derivado
petroquímico y un nitrógeno cargado positivamente, el anión suele ser un Cl-
,Br-
,OH-
,
SO4
=
. La mayoría de los agentes catiónicos están constituidos por una cadena larga de sales
de amonio cuaternarios o sales de alquilaminas. La cadena larga constituye el grupo
hidrofóbico, en tanto que el hidrofílico pequeño y altamente ionizado, lo constituye el
nitrógeno tetravalente en forma de sales de amonio cuaternario. Estos surfactantes son de
menor interés que los agentes aniónicos y no-iónicos pero reside su importancia por su
eficiencia bactericida y germicida.
El análisis de soluciones de una sal o de un alcohol, transformando el sistema en ternario,
permite profundizar en el conocimiento de la influencia de los solutos en la estructura del
agua y de los diferentes aspectos que atañen al proceso de auto ensamble de los
monómeros. Por otra parte, la influencia de la longitud de la cadena y del tipo de ión
presente, permite conocer con profundidad las leyes que rigen el comportamiento del grupo
de homólogos dentro de una misma familia. La comparación de los resultados de diferentes

38
familias permite estudiar la influencia de pequeñas alteraciones en la estructura del
tensoactivo sobre el solvente.
1.9. EL AGUA Y SU IMPORTANCIA
Debido a su abundancia el agua se encuentra como componente mayoritario tanto en la
biosfera como en los seres vivos en donde el contenido va desde el 65% hasta el 95% del
peso de la mayor parte de las formas vivas. El agua fue además el soporte donde surgió la
vida, siendo una molécula con un extraño comportamiento que la convierten en una
sustancia diferente a la mayoría de los líquidos, y posee unas extraordinarias propiedades
físicas y químicas que le dan su importancia biológica.
El agua es el líquido que más sustancias disuelve, esta propiedad, tal vez la más importante
para la vida, se debe a su capacidad para formar puentes de hidrógeno con otras sustancias
que pueden presentar grupos polares o con carga iónica (alcoholes, azúcares con grupos R-
OH, aminoácidos y proteínas con grupos que presentan cargas + y -), lo que da lugar a
disoluciones moleculares. También las moléculas de agua pueden disolver sustancias
salinas que se disocian formando disoluciones iónicas en donde los iones de las sales son
atraídos por los dipolos del agua, quedando "atrapados" y recubiertos de moléculas de agua
en forma de iones hidratados o solvatados.
Hasta el presente hay muchos estudios que tratan sobre la estructura del agua pero ninguno
de ellos puede explicar satisfactoriamente todos los cambios observados en sus
propiedades. Este líquido posee propiedades únicas que han sido atribuidas a la retención
parcial de la estructura tetraédrica del hielo, estas son: los altos puntos de fusión y
ebullición, la alta capacidad calorífica, el decrecimiento del volumen molar en el punto de
fusión, los altos valores para la entalpía y entropía de vaporización en comparación con
otros hidruros de mayor peso molecular, la contracción entre 0ºC y 4ºC y la alta tensión
superficial.

39
Actualmente no existe un modelo capaz de interpretar el comportamiento de todas las
propiedades termodinámicas de las soluciones acuosas, aunque existen teorías
semiempíricas que explican algunas de estas; sin embargo hay otras propiedades cuyo
comportamiento no ha sido explicado totalmente como son la alta capacidad calorífica de
solución, la entropía parcial negativa y la baja solubilidad en agua de solutos apolares.
Cualquier modelo que quiera dar explicación a estos interrogantes debe considerar el efecto
que produce el soluto sobre la estructura del agua [10,11]
.
Hasta el momento se han realizado una gran cantidad de estudios sobre las propiedades
fisicoquímicas y modelos estructurales dentro de los cuales se encuentra el modelo de la
transición líquido-vapor que se debe a Van der Waals quien en 1881 postuló unas fuerzas
intermoleculares, considerando el estado líquido como un gas condensado (su Tesis
Doctoral fue "On the Continuity of the Liquid and Gaseous State", 1873). En donde el
modelo termodinámico más sencillo del estado líquido es el de considerarlo incompresible.
Las observaciones de ∆S fueron hechas por primera vez por Butler en 1937 quien trabajo
con la hidratación de no electrolitos en soluciones diluidas que muestra que ∆S es el factor
dominante en la determinación de las energías libres de hidratación de alcoholes. Lannung
y Valentiner muestra conclusiones similares al analizar la solución de gases en agua.
Barclay y Butler muestran que una gráfica de ∆H Vs ∆S de gases en solventes no acuosos
fue una línea recta, sin embargo una grafica similar de estos solutos en agua es también una
línea recta pero desplazado a entropías mas negativas[10]
.
Para describir la naturaleza de las soluciones de solutos apolares Eley[10]
propone dos etapas
para el proceso de solución que consiste en la formación de una cavidad y la introducción
del soluto. El autor describe el valor negativo de ∆S a la pérdida de movimiento
traslacional de las moléculas de soluto y al proceso de formación de la cavidad; una
explicación mas popular está basada en la propuesta de Frank y Evans en donde por la
presencia de una molécula de soluto apolar se produce un incremento en el orden del agua
que rodea el soluto, esta región de incremento de orden fue llamado ‘‘’ICEBERG’’.

40
El concepto de la reestructuración del solvente por la introducción de moléculas no polares
fue respaldado por Glew quien encontró semejanzas entre las propiedades termodinámicas
de clatratos hidratados de metano y los de las soluciones acuosas de metano, lo cual indica
que el metano probablemente influye en la estructura del agua. Una desventaja de la
relación de propiedades fue hecha por Claussen y Polglase[10]
, quienes notaron que el
modelo de cristal hidratado es acertado para explicar las características del metano, del
etano, y del propano en la solución pero no podía explicar las características similares del
butano en la solución, puesto que la molécula del n-butano era demasiado grande para
ocupar una cavidad del clatrato, siendo la gran desventaja del modelo la asunción de las
cavidades de radio definido. Nemethy y Scheraga proponen otra alternativa para explicar
los efectos estructurales y aceptan el modelo para el agua del cambio estructural y lo
intentan poner en una base mecánica-estadística, entonces procedieron a intentar explicar
las características de las soluciones del hidrocarburo considerando cuál sería el efecto de
una molécula del hidrocarburo en el equilibrio entre los racimos del agua y los
monómeros del agua. El cálculo fue basado en la asunción que el agua posee cuatro
enlaces de puentes de hidrógeno con moléculas vecinas, por lo cuál una molécula de soluto
podría acomodarse en el lugar de una molécula de agua. Ben-Naim considera que el papel
principal del soluto es cambiar el equilibrio de la estructura del solvente.
Paralelamente la explicación de la baja entropía en solución propuesta por Aranow y
Witten, donde una molécula de hidrocarburo como alcohol o aminas, que pasa de la fase
vapor a una solución acuosa afecta la movilidad de la cadena restringiéndola dando como
resultado la reducción de la entropía interna. MIller y Hildebrand[1]
proponen una
alternativa para la explicación del comportamiento de solutos apolares en agua, basada en
la torsión o dobladura de los puentes de hidrógeno del agua líquida. Estudios de los
espectros de Raman en los cuales los modelos vibracionales de alargamiento de distancias
O-D en HDO son analizados desechando el modelo de cambio estructural.
Una comparación realizada por Krishnan y Friedman evalúan las propiedades de
transferencia de hidrocarburos de agua a dimetilsulfoxido y a propilcarbonato, solventes en

41
los cuales no puede realizarse el cambio estructural y por lo tanto se asume que la entalpía
molar parcial en una solución a dilución infinita de soluto depende de la suma de varias
contribuciones como la variación de las propiedades por contenido de solutos, haciendo
variar las constantes crioscópicas debido a la inclusión que realizan dentro de la estructura,
modificándola o derrumbándola. En los últimos años (a partir de 1964) se han desarrollado
una serie de investigaciones en los cuales se ha evaluado la difusión en soluciones acuosas
de diferentes solutos (aminas, Monoetanolamina, N-Metildietanolamina, trietanolamina,
sales de aminoácidos, alcoholes, cloruros de metal álcali,) y para los cuales aparecen una
serie de modelamientos matemáticos que ayudan a obtener los valores de difusividad de
gases como Oxígeno, Argón, Nitrógeno, dióxido de Carbono, y otros gases en soluciones
líquidas, en función de diferentes propiedades obtenidas por métodos que incluyen la
evaluación de caídas de presión en cámaras cerradas o tanques de burbujeo utilizando
sistemas de control de presión y temperatura.[12,13,14,15]

42
2. METODOLOGÍA
2.1. MATERIALES Y EQUIPOS
2.1.1. Reactivos y equipos
• Yoduro de tetrabutil amonio (Bu4NI): Marca Sigma, con una pureza superior a
99%.
• Gas argón: Grado analítico con una pureza mínima de 99.999% suministrado
por la empresa Oxígenos de Colombia.
• Agua: Para todas las soluciones se utilizo agua bi-destilada preparada de acuerdo
a los procedimientos descritos en la literatura [13]
. La conductividad del agua fue
inferior a 1,9 µs/cm, medida utilizando un conductivímetro marca Schott.
• Las soluciones se prepararon por pesada en una balanza analítica marca Explorer
Ohaus modelo E12140 con una precisión de +/- 1*10-4
. Las soluciones
preparadas estuvieron en un rango de concentración molal de 0,02 a 0,04.
• Bomba de vacío marca W. M Welch serie 26996-5.
2.1.2. Cámara de difusión de gases
Fundamento del método de descenso de presión
Las celdas de diafragma para equilibrios gas-líquidos han sido utilizadas con
regularidad desde mediados del siglo pasado, de acuerdo al método Northrop-Anson[5]
.
Posteriormente este método fue mejorado por McBain, Hartley y Stokes al anexar a la
celda un sistema de agitación. Hildebrand y Gubbins desarrollaron importantes
trabajos fundamentados en este método [5]
. Las celdas cuentan con una cámara de
referencia que permite obtener información con gran exactitud de los cambios de
presión debido al fenómeno de difusión, facilitando el cálculo de los coeficientes de
transporte al obtener datos del descenso de la presión en función del tiempo. Los

43
sistemas diseñados permiten una medida exacta de los cambios de presión al igual que
un excelente control de temperatura.
Para medir la solubilidad y los coeficientes de difusión, se utiliza una celda hermética,
que contiene tanto la solución líquida alojada en la sección inferior por donde se
alimenta, como el gas que ocupa tanto la cámara de referencia como la sección superior
de la celda por donde ingresa, quedando el gas (difundente) en contacto con el líquido
(solvente) separados por una placa perforada o una membrana no selectiva. El diseño
de la celda permite evaluar el descenso en la presión del gas a medida que se difunde en
la fase líquida, para lo cual tanto una cámara de referencia como la sección superior de
la celda que contiene el gas, están comunicadas a sensores de presión, con los cuales se
mide tanto la presión inicial a una temperatura constante, como el descenso en la
presión del gas. El cambio o descenso en la presión del gas es proporcional a la
cantidad de gas disuelto en el solvente líquido, donde los volúmenes tanto de líquido
como de gas son conocidos. No todas las celdas poseen diafragmas o placas perforadas.
La membrana o placa perforada es utilizada para garantizar condiciones controladas de
transferencia de masa al ajustar el caudal a condiciones de flujo laminar. La
uniformidad en la solución se garantiza, al contar con un sistema de agitación, que en
éste caso es de tipo magnético, controlado por una placa de agitación movida por agua,
lo cual permite ajustar con mayor exactitud la temperatura, al ingresar agua para
agitación desde un termostato. Los coeficientes de difusión y la solubilidad pueden ser
determinados, utilizando balances de materia y los planteamientos de la ley de Henry
como se muestra en el desarrollo del presente trabajo.
Para el desarrollo experimental es necesaria la calibración de la celda, la cual se realiza
utilizando sistemas gas-líquido de difusividad conocida, permitiendo encontrar datos
con una incertidumbre inferior al de 2%. Cuando se realiza el experimento con
soluciones líquidas, interviene el efecto gravitacional, fenómeno que no ocurre tan
marcadamente al trabajar con sistemas gas-líquido, en donde es necesaria la formación
de una película líquida en la parte superior de la placa perforada o membrana para que
la solución entre en contacto con el gas. Otra seria limitación de la celda de diafragma
se presenta en el estudio de difusión en soluciones de electrolitos, debido a la adsorción

44
sobre la superficie interna del diafragma o placa, en donde el error de la medida se
incrementa con la disminución de la concentración. El efecto aparece debido al
aumento de la carga eléctrica en las paredes de los poros, haciendo que el valor de la
propiedad medida se incremente, este fenómeno ha sido confirmado por Mysels y
McBain utilizando medidas de conductividad, al colocar una celda de poros entre dos
electrodos.
Como resultado se dedujo que el método de descenso en la presión, utilizando una placa
o membrana, no debe ser utilizado para concentraciones de electrolitos inferiores a
0,05M [15]
.
2.1.3. Diseño y construcción de la cámara de difusión
El equipo utilizado para el desarrollo de experimento, se fundamentó en los trabajos
realizados por Hildebrand(14,16)
y Versteeg(17)
. El sistema completo fue construido
durante el trabajo de investigación y está conformado por un sistema de control de
temperatura, un sistema de agitación por flujo de aire y de agua, y sensores de presión.
Una descripción detallada del equipo se muestra a continuación:
Figura 7. Equipo de difusión
a) Cara delantera b) Cara lateral

45
(1) Cámara de difusión
(2) Cámara control de temperatura primaria
(3) Sensor de presión
(4) Resistencia eléctrica
(5) Termómetro de contacto
(6) Llaves para control de flujo de gas y líquido
(7) Compresor
(8) Cámara control temperatura secundaria
(9) Ventilador
(10) Circuitos eléctricos
(11) Soporte
(12) Bomba de aire
(13) Placa perforada
(14) Condensador
(15) Placa de agitación
Para mayor detalle del equipo ver anexo 1 y 2.
Características técnicas
• Cámara de difusión: Material de construcción Plexiglás (polímero
transparente), diámetro 6,5 cm , altura 19,28 cm, volumen de líquido contenido
282,5 cm3
, volumen de gas para difusión 187,5 cm3
, volumen cámara de gas de
referencia 170,5 cm3
, agitación magnética por flujo de agua.
• Cámara control de temperatura primaria: Esta cámara contiene la celda de
difusión y en ella se realiza el control de la temperatura a través de un juego de
dos resistencias en paralelo las cuales son controladas por un termómetro de
contacto. Las dimensiones son de 30x25x25cm construida en plexiglás.
• Cámara control temperatura secundaria: En ella se realiza el enfriamiento de
agua a través del sistema de refrigeración, este recinto contiene la cámara de
control de temperatura primaria. Las dimensiones son 45x45x36 cm.
• Sensor de presión: Para medir la presión dentro de la cámara se utilizaron dos
sensores de presión para gases, uno en la cámara de referencia y otro en la
cámara de difusión.
• Resistencia eléctrica: Potencia 140 vatios.
• Termómetro de contacto marca Bestell: Escala: 0 a 100°C.
• Placa perforada: Diámetro 8,5cm, altura 0,97cm, número de perforaciones 424,
diámetro de las perforaciones 0,1cm.

46
Figura 8. Celda de difusión
2.2. DESARROLLO EXPERIMENTAL
Para el desarrollo experimental se utilizó argón-agua y argón-solución (solución acuosa
de yoduro de tetrabutil amonio). Se realizaron tres mediciones por cada concentración
(0,0; 0,02m; 0,04m), y temperatura (15ºC, 25ºC).
2.2.1. Calibración de la cámara
Inicialmente se comprueba la exactitud del sistema de control de temperatura y el cierre
hermético de empaques y llaves de paso. La exactitud del sistema de control de
temperatura fue de +/- 0,04 °C medida con termómetros de bulbo, los cuales fueron
verificados contra un termómetro calibrado por la NIST (antes NBS), que se encuentra
en el Laboratorio de Investigaciones Básicas de la Universidad Nacional sede Bogotá.

47
La calibración del sistema se realizó evaluando la solubilidad y difusividad de argón en
agua pura a 15°C y 25 °C, midiendo la caída de presión debido a la cantidad de gas que
se difunde en el agua. La medida del descenso de presión se realizó con manómetros de
mercurio. Los datos obtenidos fueron comparados contra datos encontrados en la
literatura como se muestra en la sección de resultados. Para el desarrollo del
experimento no se utilizó la placa perforada debido a las consideraciones tratadas en el
fundamento del método (sección 2.1.2.).
2.2.2. Protocolo experimental
A continuación se describe el procedimiento para la obtención de los datos
experimentales.
1) Adecuación del agua bi-destilada y desionizada.
2) Preparación de las soluciones por pesada.
3) Encendido del equipo y ajuste de temperatura de trabajo.
4) Una vez estabilizada la temperatura se procede a realizar vacío para evacuar los
gases presentes dentro de la cámara.
5) Carga de la solución y verificación de estabilidad de temperatura.
6) Carga del gas.
7) Cierre de llaves para aislar la cámara de referencia.
8) Ajuste de la velocidad de agitación (25 y 30 r.p.m).
9) Medición de la caída de presión.
10) Registro de los datos de presión en función tiempo hasta presión constante.
11) Despresurización.
12) Descarga y lavado del equipo
2.3. SOLUBILIDAD
El procedimiento descrito en la sección anterior se realiza inicialmente con agua pura y
con gas argón, lo cual permite verificar el comportamiento del sistema, al comparar los
datos experimentales obtenidos con datos de literatura. Los valores de presión son
tomados hasta que el sistema llega al equilibrio líquido-gas en donde la presión

48
permanece constante. La solubilidad puede ser calculada por la siguiente ecuación de
acuerdo a la ley de Henry [17]
W. Henry (1803) fue el primero que estableció la relación cuantitativa entre solubilidad
y presión; sus resultados están incluidos en la ley que lleva su nombre, La ley de Henry,
que establece que la masa de gas disuelto en un volumen dado de disolvente, a
temperatura constante, es proporcional a la presión del gas con el que esta en equilibrio.
Si m es la masa de gas disuelta por unidad de volumen de disolvente a la presión de
equilibrio p y donde k es la constante de proporcionalidad para la fórmula kpm = .
m puede tomar unidades de acuerdo a los valores de la constante utilizada es así como
kp se puede expresar en función de la temperatura o de la presión como se muestra a
continuación [17]
:
RT
He
m =
En función directa de la presión y los volúmenes, la relación entre la cantidad de gas
disuelto en la fase líquida y el contenido total de gas se presenta de la siguiente manera:
G
LL
V
tP
V
tP
V
P
m
)(
)(0
−
=
Organizando la ecuación anterior, queda la solubilidad del gas expresada como:
( )
L
G
V
V
tP
tPP
m
)(
)(0 −
= (2.1)
Donde: =He Constante de Henry
=m Solubilidad [mol/mol].
=)(,0 tPP Presión inicial y presión en el tiempo t, respectivamente [mmHg].
=LG VV , Volumen de gas y de líquido respectivamente [cm3
]
=R Constante universal de los gases
=T Temperatura [K]

49
2.4. DIFUSIVIDAD
El procedimiento descrito en la sección 2.2.2 se realiza de igual manera para hallar los
valores de difusividad, donde inicialmente se calibra el equipo utilizando el sistema
argón-agua y los datos de literatura de difusividad para hallar el coeficiente f de
calibración (el factor f asocia las variables a través de la cual se realiza la difusión como
lo son espesor de interfase gas-líquido y área de transferencia). Las ecuaciones para
obtener los datos de factor f, y difusividad (D) se muestran a continuación.
BALANCES DE MATERIA
BALANCE DE MASA GLOBAL
)(
)(
0,
0
tCV
RT
tP
VCV
RT
P
V LGLLG +=+ (2.2)
Donde:
=)(,0, tCCL Concentración en t=0 y en el tiempo t respectivamente [mol/L]
BALANCE DE GAS






−−= )(
)(
tC
RT
tP
mAK
dt
dP
RT
V
LL
G
(2.3)
Donde:
=LK Coeficiente de transferencia de masa [cm/s]
=A Área de transferencia [cm2
]
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
T=0; P=Po; CL=CL,0=0

50
Se despeja C(t) de la ecuación (2.2)
RTV
tP
VC
V
V
RTV
P
VtC
L
GL
L
L
L
G
)(
)( 0,
0
−+= (2.4)
reemplazando en la ecuación (2.3)






+−−−=
RTV
tP
VC
V
V
RTV
P
V
RT
tP
mAK
dt
dP
RT
V
L
GL
L
L
L
GL
G )()(
0,
0
(2.5)
reorganizando y reemplazando las condiciones iniciales CL,0=0








−





+−=
RTV
P
V
RT
tP
V
V
mAK
dt
dP
RT
V
L
G
L
G
L
G 0)(
(2.6)
Despejando la diferencial








+





+−=
L
G
L
G
L
G
V
PV
V
V
mtP
dt
dP
AK
V 0
)( (2.7)
( ) 













+−= GL
LG
L
GL
GL
VmV
VV
AK
tP
VV
PAVK
dt
dP
)(0
(2.8)
Haciendo
( )GL
LG
L
GL
GL
VmV
VV
AK
B
VV
PAVK
A +== ;0
(2.9)
Reemplazando y separando variables
∫ ∫=
−
P
p
t
dt
PBA
dP
0 0
(2.10)

51
Haciendo un nuevo reemplazo de variables
BdPdu
PBAu
−=
−=
La integral se expresa de la siguiente forma
∫ ∫−=
t
dtB
u
du
0
Integrando y reemplazando en función de las variables anteriores queda
BtBtPA
tP
Po
−=−
)(
))(ln(
( ) ( )
( )tVmV
VV
AK
VmV
VV
AK
P
VV
PAVK
VmV
VV
AK
tP
VV
PAVK
GL
LG
L
GL
LG
L
GL
GL
GL
LG
L
GL
GL
+−
=





+−−+− 0
00
ln))(ln(
(2.11)
Organizando la expresión
( )
( )
( )tVmV
VV
AK
VmV
VV
AK
P
VV
PAVK
VmV
VV
AK
tP
VV
PAVK
GL
LG
L
GL
LG
L
GL
GL
GL
LG
L
GL
GL
+−=












+−
+−
)(
))((
ln
0
0
0
(2.14)
( )
t
VV
m
AK
mV
VmV
P
tP
V
LG
L
L
GLG






+−=














−






+−
1
)(
ln 0
(2.15)

52
De donde se despeja y se encuentra que
DfAKL = (2.16)
Donde:
=D coeficiente de difusividad [cm2
]
=f Factor de calibración [cm]
=t Tiempo [s]

53
3. RESULTADOS
3.1. SOLUBILIDAD DE ARGÓN EN AGUA
Aplicando la ecuación 2.1. se encontraron los valores de solubilidad para el sistema
argón-agua y se compararon con valores reportados en la literatura (tabla 1).
Tabla 1. Solubilidad de Argón en agua pura a 15°C y 25 °C (mol/mol)
Referencia 15°C 25°C
Lannung ---- 0,0252
Euken 0,0298 ----
Friedman 0,0307 0,02499
Morrison 0,0295 0,0246
Koenig 0,0287 ----
Douglas 0,0321 0,0251
Ben-Naim 0,0302 0,025
Klots 0,0302 0,0252
Holland ---- 0,0253
Este trabajo 0,0283 0,0249
Referencia [8]
Los resultados encontrados en este trabajo de solubilidad de argón en agua a las
temperaturas de trabajo, muestran una buena coherencia con datos reportados por otros
autores como se ve en la tabla anterior, lo cual permite establecer que el equipo
utilizado es apto para el desarrollo del experimento.

54
3.2. SOLUBILIDAD DE ARGÓN EN SOLUCIONES ACUOSAS DE YODURO
DE TETRABUTIL AMONIO
Aplicando la ecuación (2.1) que describe la solubilidad de acuerdo a los planteamientos
de la ley de Henry, utilizada para valores bajos de de solubilidad, se encontró la
solubilidad de argón a concentraciones de 0,02m y 0,04m de soluciones acuosas de
yoduro de tetrabutil amonio a 15°C y 25°C.
Tabla 2. Solubilidad de argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 15°C
Concentración
(m)
Solubilidad
(mol/mol)
PPrreessiióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo
[[mmmmHHgg]]
0,00 0,0283 669911,,7700
0,02 0,0286 669911,,1100
0,04 0,0294 669900,,2222
15°C.
Solubilidad de argón a 15°C
0,0282
0,0284
0,0286
0,0288
0,029
0,0292
0,0294
0,0296
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Concentración [m]
Solubilidad[mol/mol].
Tabla 3. Solubilidad de Argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 25°C
Concentración
(m)
Solubilidad
(mol/mol)
PPrreessiióónn ddee eeqquuiilliibbrriioo
[[mmmmHHgg]]
0,00 0,0249 668888,,0044
0,02 0,0255 668877,,6688
0,04 0,0263 668866,,8866

55
25°C.
Solubilidad de argón a 25°C
0,0245
0,025
0,0255
0,026
0,0265
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Concentración [m]
Solubilidad[mol/mol].
3.3. DIFUSIVIDAD DE ARGÓN EN AGUA
Aplicando la ecuación 2.14 y 2.15, y utilizando los valores de literatura de coeficientes
de difusividad para argón a 15 °C se encontró el valor f, el cual es el factor de
calibración con un valor de 0,000094 [cm]. El valor encontrado se verificó para la
difusividad de argón en agua a 25 °C.
Tabla 4. Difusividad de argón en agua pura a 15 y 25 °C (105
cm2
.s-1
)
Referencia 15 °C 25 °C
Wise [18]
2,00 2,53
Ec. Einstein 1,10 1,40
Ec. Diaz[19]
1,90 2,20
Ec. Wilke-Chang 1,71 2,25
Ec. Scheibel 1,96 2,60
Himmelblau [5]
---- 1,46
Este trabajo 2,00 2,60
3.4. DIFUSIVIDAD DE ARGÓN EN SOLUCIONES ACUOSAS DE YODURO
DE TETRABUTIL AMONIO
Realizando el procedimiento de sección 2.2.2 se midió el coeficiente de difusión de
argón a concentraciones entre 0,02m y 0,04m de soluciones acuosas de yoduro de
tetrabutil amonio a 15°C y 25°C

56
Tabla 5. Difusividad de argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 15°C
Concentración
(m)
Difusividad
(105
cm2
.s-1
)
0,00 2,00
0,02 2,90
0,04 3,10
Figura 11. Difusividad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a
15°C.
Difusividad de argón a 15°C
1,90E-05
2,40E-05
2,90E-05
3,40E-05
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Concentración [mol/mol]
Difusividad[cm
2
.s
-1
]
.
Tabla 6. Difusividad de argón en solución de yoduro de tetrabutil amonio a 25°C
Concentración
(m)
Difusividad
(105
cm2
.s-1
)
0,00 2,63
0,02 3,33
0,04 3,62

57
Figura 12. Difusividad de argón en soluciones de yoduro de tetrabutil-amonio a
25°C.
Difusividad de argón a 25°C
2,50E-05
2,70E-05
2,90E-05
3,10E-05
3,30E-05
3,50E-05
3,70E-05
0 0,01 0,02 0,03 0,04
Concentración [mol/mol]
Difusividad[cm
2
.s
-1
]
.
4. ANALISIS DE RESULTADOS
SOLUBILIDAD
4.1.1. La Solubilidad y el efecto de la temperatura
Los valores encontrados para la solubilidad de argón en agua y en soluciones de yoduro
de tetrabutil amonio permiten hacer un análisis del efecto que solutos de este tipo tienen
sobre el comportamiento de algunas propiedades de las soluciones acuosas. A
continuación se presenta la comparación de valores de solubilidad de argón en agua de
diferentes autores en donde solo se pretende hacer notar la tendencia de la solubilidad
en función de la temperatura, como se muestra de igual manera en la tabla 1. Aunque
no se puede hacer generalizaciones, el comportamiento que presenta el sistema argón-
agua es característico de la mayoría de gases a bajas temperaturas, en el cual se presenta
un descenso en la solubilidad con el aumento de la temperatura. El efecto en la
solubilidad debido a la variación en la temperatura afecta tanto esta propiedad como la
densidad [11]
, viscosidad, y propiedades termodinámicas [9]
. La cuantificación de los
cambios en las propiedades de transporte y termodinámicas ha sido estudiada por varios
autores como Hildebrand, Scott, y Sherwood [9]
.

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