elementos finitos

1. Ejercicio 1.- Determinar desplazamientos nodales y alargamientos del siguiente sistema de resortes.
Solución:
1.- Energía potencial:
𝛱 = 𝑈 + 𝑊𝑃
𝛱 =
1
2
𝑘𝑖 𝛿𝑖
2
− 𝐹𝑖 𝑞𝑖 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛
D.C.L.
𝛱 =
1
2
𝑘1 𝛿1
2
+
1
2
𝑘2 𝛿2
2
+
1
2
𝑘3 𝛿3
2
+
1
2
𝑘4 𝛿4
2
− 𝐹3 𝑞3
2.- Desplazamientos:
0 0
𝛿1 = 𝑞2 − 𝑞1 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞3 𝛿4 = 𝑞5 − 𝑞4
𝛿1 = 𝑞2 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞3 𝛿4 = −𝑞4
𝛱 =
1
2
𝑘1 (𝑞2)2
+
1
2
𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘3 (𝑞4 − 𝑞3)2
+
1
2
𝑘4 (−𝑞4)2
− 𝐹3 𝑞3
𝛱 =
1
2
𝑘1 𝑞2
2
+
1
2
𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘3 (𝑞4 − 𝑞3)2
+
1
2
𝑘4 𝑞4
2
− 𝐹3 𝑞3
Donde: 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 𝑘4 = 20
𝑘𝑁
𝑚
𝐹4 = 5 𝑘𝑁
3.- Principio mínimo de conservación de la energía:

2. 𝜕𝛱
𝜕𝑞𝑖
= 0 𝑖 = 2,3,4
𝜕𝛱
𝜕𝑞2
= 𝑘1 𝑞2 + 𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)(−1) = 0
20 𝑞2 − 20 (𝑞3 − 𝑞2) = 0
𝑞2 − 𝑞3 + 𝑞2 = 0
2 𝑞2 − 𝑞3 = 0 (1)
𝜕𝛱
𝜕𝑞3
= 𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)(1) + 𝑘3 (𝑞4 − 𝑞3)(−1) − 𝐹3 = 0
20 (𝑞3 − 𝑞2) − 20 (𝑞4 − 𝑞3) − 5 = 0
20 𝑞3 − 20 𝑞2 − 20 𝑞4 + 𝑞3 = 5
−20 𝑞2 + 40 𝑞3 − 20 𝑞4 = 5 (2)
𝜕𝛱
𝜕𝑞4
= 𝑘3 (𝑞4 − 𝑞3)(1) + 𝑘4 𝑞4 = 0
20 (𝑞4 − 𝑞3) + 20 𝑞4 = 0
𝑞4 − 𝑞3 + 𝑞4 = 0
−𝑞3 + 2 𝑞4 = 0 (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
𝑞2 = 0.125 𝑚 𝑞3 = 0.25 𝑚 𝑞4 = 0.125 𝑚
Alargamiento de los resortes:
𝛿1 = 𝑞2 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞3 𝛿4 = −𝑞4
𝛿1 = 0.125 𝑚 𝛿2 = 0.25 − 0.125 𝛿3 = 0.125 − 0.25 𝛿4 = −0.125 𝑚
𝛿2 = 0.125 𝑚 𝛿3 = −0.125 𝑚
Tracción Compresión
Tracción Compresión

3. Ejercicio 2.- Determine desplazamientos nodales y alargamientos del siguiente sistema de resortes.
Solución:
1.- Energía potencial:
𝛱 = 𝑈 + 𝑊𝑃
𝛱 =
1
2
𝑘𝑖 𝛿𝑖
2
− 𝐹𝑖 𝑞𝑖 𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛
D.C.L.
𝛱 =
1
2
𝑘1 𝛿1
2
+
1
2
𝑘2 𝛿2
2
+
1
2
𝑘3 𝛿3
2
+
1
2
𝑘4 𝛿4
2
− 𝐹3 𝑞3 − 𝐹4 𝑞4
2.- Desplazamientos:
0 0
𝛿1 = 𝑞2 − 𝑞1 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞2 𝛿4 = 𝑞5 − 𝑞4
𝛿1 = 𝑞2 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞2 𝛿4 = −𝑞4

4. 𝛱 =
1
2
𝑘1 (𝑞2)2
+
1
2
𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘3 (𝑞4 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘4 (−𝑞4)2
− 𝐹3 𝑞3 − 𝐹4 𝑞4
𝛱 =
1
2
𝑘1 𝑞2
2
+
1
2
𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘3 (𝑞4 − 𝑞2)2
+
1
2
𝑘4 𝑞4
2
− 𝐹3 𝑞3 − 𝐹4 𝑞4
Donde: 𝑘1 = 𝑘4 = 500
𝑁
𝑚
𝑘2 = 𝑘3 = 400
𝑁
𝑚
𝐹3 = 𝐹4 = 200 𝑁
3.- Principio mínimo de conservación de la energía:
𝜕𝛱
𝜕𝑞𝑖
= 0 𝑖 = 2,3,4
𝜕𝛱
𝜕𝑞2
= 𝑘1 𝑞2 + 𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)(−1) + 𝑘3(𝑞4 − 𝑞2)(−1) = 0
500 𝑞2 − 400 (𝑞3 − 𝑞2) − 400 (𝑞4 − 𝑞2) = 0
500 𝑞2 − 400 𝑞3 + 400 𝑞2 − 400 𝑞4 + 400 𝑞2 = 0
13 𝑞2 − 4 𝑞3 − 4 𝑞4 = 0 (1)
𝜕𝛱
𝜕𝑞3
= 𝑘2 (𝑞3 − 𝑞2)(1) − 𝐹3 = 0
400 (𝑞3 − 𝑞2) − 200 = 0
𝑞3 − 𝑞2 =
200
400
− 𝑞2 + 𝑞3 = 0.5 (2)
𝜕𝛱
𝜕𝑞4
= 𝑘3 (𝑞4 − 𝑞2)(1) + 𝑘4 𝑞4 − 𝐹4 = 0
400 (𝑞4 − 𝑞2) + 500 𝑞4 − 200 = 0
400 𝑞4 − 400 𝑞2 + 500 𝑞4 = 200
−4 𝑞2 + 9 𝑞4 = 2 (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
𝑞2 = 0.4 𝑚 𝑞3 = 0.9 𝑚 𝑞4 = 0. 4 𝑚
Alargamiento de los resortes:
𝛿1 = 𝑞2 𝛿2 = 𝑞3 − 𝑞2 𝛿3 = 𝑞4 − 𝑞2 𝛿4 = −𝑞4

5. 𝛿1 = 0.4 𝑚 𝛿2 = 0.9 − 0.4 𝛿3 = 0.4 − 0.4 𝛿4 = −0.4 𝑚
𝛿2 = 0.5 𝑚 𝛿3 = 0
Tracción Compresión
Tracción
Ejercicio 3.- Determinar el campo de desplazamientos y esfuerzos aplicando el método de Rayleigh
Ritz. Asumir el siguiente campo de desplazamientos: 𝑢 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
Solución:
1.-Campo de desplazamientos:
𝑢 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝜀 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑎1 + 2 𝑎2 𝑥
Según condiciones de borde
𝑆𝑖: 𝑥 = 0 → 𝑢 = 0
𝑆𝑖: 𝑥 = 1.8 → 𝑢 = 0
0 = 𝑎1 (1.8) + 𝑎2 (1.8)2
𝑎1 = −1.8 𝑎2

6. 𝑢 = −1.8 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝑢 = 𝑎2(−1.8 𝑥 + 𝑥2
)
𝜀 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑎2(−1.8 + 2 𝑥)
2.- Energía potencial: 0
𝛱 =
1
2
∫ 𝜎𝑇
𝜀 𝑑𝑉 − ∫ 𝑢𝑇
𝑓 𝑑𝑉 − ∫ 𝑢𝑇
𝑇 𝑑𝑆 − ∑ 𝑢𝑇
𝑃
𝑛
𝑖=1
𝑆
𝑉
𝑉
𝜎 = 𝐸 𝜀 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥
𝛱 =
1
2
∫ 𝐸 𝜀 𝜀 𝐴 𝑑𝑥 − ∫ 𝑢𝑇
𝑇 𝑑𝑆 − ∑ 𝑢𝑇
𝑃
𝑛
𝑖=1
𝑆
𝑉
𝛱 =
𝐸 𝐴
2
∫ 𝜀2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑢𝑇 𝑇 𝑑𝑥 − ∑ 𝑢𝑇 𝑃
𝑛
𝑖=1
𝑙𝑒
𝑙𝑒
𝛱 =
𝐸 𝐴1
2
∫ (−1.8 𝑎2 + 2 𝑎2 𝑥)2
𝑑𝑥 +
𝐸 𝐴2
2
∫ (−1.8 𝑎2 + 2 𝑎2 𝑥)2
𝑑𝑥
1.8
1
1
0
− ∫ (−1.8 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
) 10 𝑑𝑥 − [(−1.8 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) 40]𝑥=1
1
0
𝛱 =
𝐸 𝐴1
2
∫ (3.24 𝑎2
2
− 7.20 𝑎2
2
𝑥 + 4 𝑎2
2
𝑥2
) 𝑑𝑥 +
𝐸 𝐴2
2
∫ (3.24 𝑎2
2
− 7.20 𝑎2
2
𝑥 + 4 𝑎2
2
𝑥2
) 𝑑𝑥
1.8
1
1
0
− 10 ∫ (−1.8 𝑎2 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
) 𝑑𝑥 − [(−1.8 𝑎2 1 + 𝑎2 12
) 40]
1
0
𝛱 =
𝐸 𝐴1
2
(3.24 𝑎2
2
𝑥 −
7.20
2
𝑎2
2
𝑥2 +
4
3
𝑎2
2
𝑥3)]
0
1
+
𝐸 𝐴2
2
(3.24 𝑎2
2
𝑥 −
7.20
2
𝑎2
2
𝑥2 +
4
3
𝑎2
2
𝑥3)]
1
1.8
− 10 (−
1.80
2
𝑎2 𝑥2 +
1
3
𝑎2 𝑥3)]
0
1
− 40 (−1.8 𝑎2 + 𝑎2 )
𝛱 =
𝐸 2𝑋10−4
2
(0.973 𝑎2
2) +
𝐸 3𝑋10−4
2
(0.971 𝑎2
2) − 10(−0.567 𝑎2) + 72 𝑎2 − 40 𝑎2
𝛱 = 9.73𝑋10−5
𝑎2
2
𝐸 + 1.457𝑋10−4
𝑎2
2
𝐸 + 5.67 𝑎2 + 72 𝑎2 − 40 𝑎2
𝛱 = 2.43𝑋10−4
𝑎2
2
𝐸 + 37.67 𝑎2
3.- Principio mínimo de conservación de la energía:
𝜕𝛱
𝜕 𝑎𝑖
= 0 𝑖 = 2

7. 𝜕𝛱
𝜕 𝑎2
= 4.86 𝑋10−4
𝑎2 𝐸 + 37.67 = 0
𝑎2 = −
77510.288
𝐸
4.- Desplazamientos y esfuerzos:
 Campo de desplazamientos:
𝑢 = 𝑎2(−1.8 𝑥 + 𝑥2
)
𝑢 = −
77510.288
𝐸
(−1.8 𝑥 + 𝑥2
)
 Campo de esfuerzos:
𝜎 = 𝐸 𝜀 = 𝐸
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝐸 𝑎2(−1.8 + 2 𝑥)
𝜎 = 𝐸 (−
77510.288
𝐸
) (−1.8 + 2 𝑥)
𝜎 = −77510.288 (−1.8 + 2 𝑥)
Ejercicio 4.- Determinar el campo de desplazamientos y esfuerzos aplicando el método de Rayleigh
Ritz.

8. Solución:
1.-Campo de desplazamientos: (Asumir)
𝑢 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝜀 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑎1 + 2 𝑎2 𝑥
2.- Energía potencial: 0 0
𝛱 =
1
2
∫ 𝜎𝑇
𝜀 𝑑𝑉 − ∫ 𝑢𝑇
𝑓 𝑑𝑉 − ∫ 𝑢𝑇
𝑇 𝑑𝑆 − ∑ 𝑢𝑇
𝑃
𝑛
𝑖=1
𝑆
𝑉
𝑉
𝜎 = 𝐸 𝜀 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥
𝛱 =
1
2
𝐸 𝐴 ∫ 𝜀2
𝑑𝑥 − ∫ 𝑢𝑇
𝑇 𝑑𝑥
𝑙𝑒
𝑙𝑒
Según la siguiente figura utilizando relación de triángulos se obtiene T:
80
4
=
𝑇
𝑥
𝑇(𝑥) = 20 𝑥
𝛱 =
1
2
𝐸 𝐴 ∫ (𝑎1 + 2 𝑎2 𝑥)2
𝑑𝑥 − ∫ (𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
) (20 𝑥) 𝑑𝑥
4
0
4
0
𝛱 =
1
2
𝐸 𝐴 ∫ (𝑎1
2
+ 4 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 4 𝑎2
2
𝑥2
)𝑑𝑥 − ∫ (20 𝑎1 𝑥2
+ 20 𝑎2 𝑥3
) 𝑑𝑥
4
0
4
0
𝛱 =
1
2
𝐸 𝐴 (𝑎1
2
𝑥 + 2 𝑎1 𝑎2 𝑥2
+
4
3
𝑎2
2
𝑥3
)]
0
4
− (
20
3
𝑎1 𝑥3
+ 5 𝑎2 𝑥4
)]
0
4
𝛱 =
1
2
𝐸 𝐴 (4 𝑎1
2
+ 32 𝑎1 𝑎2 + 85.333 𝑎2
2) − 426.667 𝑎1 − 1280 𝑎2
3.- Principio mínimo de conservación de la energía:

9. 𝜕𝛱
𝜕 𝑎𝑖
= 0 𝑖 = 1,2
𝜕𝛱
𝜕 𝑎1
=
𝐸 𝐴
2
(8 𝑎1 + 32 𝑎2) − 426.667 = 0
8 𝑎1 + 32 𝑎2 =
853.334
𝐸 𝐴
(1)
𝜕𝛱
𝜕 𝑎2
=
𝐸 𝐴
2
(32 𝑎1 + 170.666 𝑎2) − 1280 = 0
32 𝑎1 + 170.666 𝑎2 =
2560
𝐸 𝐴
(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
𝑎1 =
186.668
𝐸𝐴
𝑎2 = −
20
𝐸𝐴
4.- Desplazamientos y esfuerzos:
 Campo de desplazamientos:
𝑢 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
𝑢 =
186.668
𝐸𝐴
𝑥 −
20
𝐸𝐴
𝑥2
 Campo de esfuerzos:
𝜎 = 𝐸 𝜀 = 𝐸
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝐸 𝑎1 + 2 𝑎2 𝑥
𝜎 = 𝐸 (
186.668
𝐸𝐴
−
20
𝐸𝐴
𝑥)
𝜎 =
1
𝐴
(186.668 − 20 𝑥)