Este documento presenta la resolución de un problema que involucra sistemas de ecuaciones. Se plantean dos partes: 1) determinar precios a partir de ecuaciones dadas y 2) calcular precios después de aplicar descuentos. La solución involucra definir variables, establecer sistemas de ecuaciones y resolverlos para encontrar valores únicos o rangos de valores para las variables.

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PROBLEMA RESUELTO: SISTEMAS DE ECUACIONES
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Plantear las ecuaciones que resuelven un problema.
• Resolver un sistema de ecuaciones compatible indeterminado.
• Decidir si un determinado sistema de ecuaciones tiene solución.

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PROBLEMA RESUELTO: SISTEMAS DE ECUACIONES
ENUNCIADO
Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una
calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y
el estuche juntos.
a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona
las respuestas.
b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un
25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros.
Calcula el precio de cada artículo.

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En primer lugar vamos a denotar por:
𝑥 = "precio del libro"
𝑦 = "precio de la calculadora"
𝑧 = "𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑐ℎ𝑒"
Como nos dicen que en total el estudiante ha gastado 57 euros (y ha comprado una unidad de cada una), se tiene
la primera ecuación:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 57
Nos indican que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos, es decir:
𝑥 = 2(𝑦 + 𝑧)

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Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 57
𝑥 = 2(𝑦 + 𝑧)
Vamos a responder a continuación a los apartados del problema:
a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas.
En este caso se pide que resolvamos el sistema de ecuaciones para comprobar si es posible determinar de forma
única los valores de x,y, ó z.
Para ello ordenamos la segunda ecuación y tenemos que:

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𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 57
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
Si denotamos por 𝐴 =
1 1 1
1 −2 −2
a la matriz de coeficientes y por 𝐴∗ =
1 1 1 57
1 −2 −2 0
Se tiene que 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 2 ya que
1 1
1 −2
= −3 ≠ 0
Por lo tanto 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴∗ = 2
En consecuencia tenemos que:
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 2
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴∗ = 2
𝑛º 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 3
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑆𝐶𝐼
Por el Teorema de Rouché

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El sistema es compatible indeterminado con 1 parámetro, para resolverlo basta con considerar a una de las
incógnitas como un parámetro. Denotamos por
𝑧 = 𝑡
Entonces tenemos:
𝑥 + 𝑦 = 57 − 𝑡
𝑥 − 2𝑦 = 2𝑡
De aquí resolviendo tenemos que:
𝑥 = 38
𝑦 = 19 − 𝑡
𝑧 = 𝑡

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Por lo tanto la única incógnita que queda totalmente determinada es x=38, por lo tanto tenemos que el precio del
libro si está determinado y vale 38 euros.
b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento
respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.
Esta condición se traduciría en la siguiente ecuación:
Si el libro sufre un descuento del 50%, entonces el libro nos cuesta (1-0,5x), es decir, 0,5x
Si la calculadora sufre un descuento del 20%, entonces pagaríamos (1-0,2)y, es decir 0,8y
Si el estuche sufre un descuento del 25%, pagaríamos (1-0,25)z, es decir 0,75z
Nos queda por tanto la ecuación:
0,5𝑥 + 0,8𝑦 + 0,75𝑧 = 34

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Por tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 57
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
0,5𝑥 + 0,8𝑦 + 0,75𝑧 = 34
Si multiplicamos por 100 la segunda ecuación podemos eliminar los decimales y nos quedaría:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 57
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
50𝑥 + 80𝑦 + 75𝑧 = 3400
Si denotamos por A a la matriz de coeficientes y por 𝐴∗ a la matriz ampliada, tenemos que:

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𝐴 =
1 1 1
1 −2 −2
50 80 75
𝐴∗ =
1 1 1 57
1 −2 −2 0
50 80 75 3400
Se tiene que 𝐴 = 15 por lo tanto el rango de A es 3, y en consecuencia por el Teorema de Rouché, el sistema es
compatible determinado.
Las soluciones vienen dadas por:
𝑥 =
57 1 1
0 −2 −2
3400 80 75
1 1 1
1 −2 −2
50 80 75
=
570
15
= 38

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𝑦 =
1 57 1
1 0 −2
50 3400 75
1 1 1
1 −2 −2
50 80 75
=
225
15
= 15
𝑧 =
1 1 57
1 −2 0
50 80 3400
1 1 1
1 −2 −2
50 80 75
=
60
15
= 4
Por tanto el libro costará 38 euros, la calculadora 15 euros y el estuche 4 euros
FIN