En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un límite utilizando la regla de L´Hôpital.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: LÍMITES
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Resolver un límite indeterminado.
- Aplicar correctamente la regla de L´Hôpital

2. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: LÍMITES
ENUNCIADO:
Sabiendo que el límite:
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1
−
𝑎
𝐿𝑛𝑥
es finito, calcula el valor de a y el valor del límite

3. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: LÍMITES
En primer lugar, si sustituimos x=1, en la función nos quedaría:
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1
−
𝑎
𝐿𝑛𝑥
=
∞ 𝑠𝑖 𝑎 = 0
∞ − ∞ (𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡) 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0
Por lo tanto si 𝑎 = 0, el límite nos queda ∞. Pero en caso que 𝑎 ≠ 0, nos quedaría una indeterminación del tipo ∞ − ∞.
Vamos a estudiar el caso en que 𝑎 ≠ 0. En este caso vamos a realizar la operación que aparece en la función, es decir:
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1
−
𝑎
𝐿𝑛𝑥
= lim
𝑥→1
𝑥𝐿𝑛𝑥 − 𝑎 𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝐿𝑛𝑥
=
0
0
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Para resolver esta indeterminación, vamos a aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1
−
𝑎
𝐿𝑛𝑥
= lim
𝑥→1
𝑥𝐿𝑛𝑥 − 𝑎 𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝐿𝑛𝑥
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 𝑥
1
𝑥
− 𝑎
𝐿𝑛𝑥 + (𝑥 − 1)
1
𝑥

4. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: LÍMITES
lim
𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1
−
𝑎
𝐿𝑛𝑥
= lim
𝑥→1
𝑥𝐿𝑛𝑥 − 𝑎 𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝐿𝑛𝑥
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 𝑥
1
𝑥
− 𝑎
𝐿𝑛𝑥 + (𝑥 − 1)
1
𝑥
Simplificamos a continuación la expresión que hemos obtenido
lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 𝑥
1
𝑥 − 𝑎
𝐿𝑛𝑥 + (𝑥 − 1)
1
𝑥
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 1 − 𝑎
𝐿𝑛𝑥 +
𝑥 − 1
𝑥
=
1 − 𝑎
0
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚. ) 𝑎 = 1
∞ 𝑎 ≠ 1
Como en el enunciado se nos indica que el límite existe y es finito, entonces se tiene que a=1.
Procedemos a continuación a calcular el valor del límite.

5. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: LÍMITES
Para a=1, tenemos:
lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 1 − 1
𝐿𝑛𝑥 +
𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥
𝐿𝑛𝑥 +
𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥
𝑥𝐿𝑛𝑥 + 𝑥 − 1
𝑥
= lim
𝑥→1
𝑥𝐿𝑛𝑥
𝑥𝐿𝑛𝑥 + 𝑥 − 1
=
0
0
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡
Por lo tanto podemos aplicar de nuevo la regla de L´Hôpital, y nos quedaría:
lim
𝑥→1
𝑥𝐿𝑛𝑥
𝑥𝐿𝑛𝑥 + 𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 𝑥
1
𝑥
𝐿𝑛𝑥 + 𝑥
1
𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
𝐿𝑛𝑥 + 1
𝐿𝑛𝑥 + 2
=
1
2
Por tanto el valor de a, para que el límite sea finito es a=1, y el valor del límite es
1
2
.