En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema mediante ecuaciones diofánticas.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: ecuaciones diofánticas
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Plantear y resolver un problema utilizando ecuaciones diofánticas.
- Decidir si una ecuación diofántica tiene solución.
- Calcular la solución de una ecuación diofántica.

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PROBLEMA RESUELTO: ecuaciones diofánticas
ENUNCIADO:
Un teatro cobra 18 euros por la entrada de un adulto y 7,5 euros por la entrada de un niño. El
sábado pasado la recaudación del teatro fue de 900 euros. Si entraron más adultos que niños.
¿Cuánta gente acudió al teatro?

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PROBLEMA RESUELTO: ecuaciones diofánticas
En primer lugar vamos a denotar por
𝑥=número de adultos que entraron en el teatro.
𝑦 = número de niños que entraron en el teatro.
Como nos indican que cada adulto para 18 euros y cada niño 7,5 euros se tiene que:
18𝑥 + 7,5𝑦 = 900
Si multiplicamos la ecuación por 10 para eliminar las cifras decimales tenemos que:
180𝑥 + 75𝑦 = 9000
Observemos que las incógnitas x e y corresponden a números enteros, ya que representan el número de adultos y de niños
que entraron a ver el teatro. Por lo tanto estamos ante una ecuación diofántica.

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En primer lugar tenemos que decidir si la ecuación tiene solución, para ello recordemos que una ecuación diofántica del tipo
Ax+By=C, tiene solución sí y sólo sí mcd(A,B) divide a C.
Por tanto para comprobar si tiene solución bastará con hacer el máximo común divisor de los coeficientes de las incógnitas y
comprobar si divide al termino independiente.
Para hacer este máximo común divisor, vamos a aplicar el algorítmo de Euclides.
180 = 75 2 + 30 (dividimos 180 entre 75 y nos da cociente 2 y resto 30)
75 = 30 2 + 15 (dividimos el divisor anterior entre el resto anterior y nos da cociente 2 y resto 15 )
30 = 15 2 + 0 (dividimos el divisor anterior entre el resto anterior y nos da cociente 2 y resto 0)
El último resto no nulo corresponde al máximo común divisor de los números. Por tanto en nuestro caso
𝑀𝐶𝐷 180,75 = 15
Ahora comprobaremos si 15 divide al término independiente. 9000=15 (600)
Por tanto 15 divide a 9000 y en ese caso la ecuación tiene solución.

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Vamos a continuación a resolver la ecuación.
Para ello en primer lugar tenemos que buscar una solución particular de la ecuación.
Para hallar esta solución particular, podemos encontrarla a “ojo”, o bien utilizando la identidad de Bezout.
Si 15=MCD(180,75), entonces existen números enteros u, v, tales que
180𝑢 + 75𝑣 = 15
Vamos a buscar estos valores, para lo cual utilizaremos las divisiones que hemos realizado anteriormente en el cálculo del
MCD(180,75)
180 = 75 2 + 30
75 = 30 2 + 15
De la última igualdad despejamos el MCD, es decir 15 (sin hacer las multiplicaciones)
15 = 75 1 − 30(2)
A continuación despejamos de la primera igualdad 30 y lo sustituimos en la expresión anterior
15 = 75 1 − 30 2 = 75 1 − 2 180 − 75 2 = 75 1 + 180 −2 + 75(4)

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De donde tenemos:
15 = 180 −2 + 75 5
Por tanto tenemos los valores de la identidad de Bezout u=-2, v=5.
Como 9000=15(600), multiplicamos la igualdad anterior por 600 y tenemos:
180 −2 (600) + 75 5 (600) = 15 600
De donde
180 −1200 + 75 3000 = 9000
Tenemos por lo tanto una solución particular de la ecuación. La solución
𝑥0 = −1200 𝑦0 = 3000

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Vamos a continuación a obtener la solución general de la ecuación. Para ello recordemos que si la ecuación viene dada por
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶
Y 𝑥0 𝑦0 es una solución particular de la ecuación, entonces, la solución general viene dada por:
𝑥 = 𝑥0 +
𝐵
𝑑
𝑡
𝑦 = 𝑦0 −
𝐴
𝑑
𝑡
𝑡 ∈ ℤ
Donde 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷 𝐴, 𝐵
En nuestro caso, la solución general vendrá dada por:
𝑥 = −1200 +
75
15
𝑡
𝑦 = 3000 −
180
15
𝑡
𝑥 = −1200 + 5𝑡
𝑦 = 3000 − 12𝑡
𝑡 ∈ ℤ

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En nuestro problema está claro que como x representa al número de adultos e y al número de niños, ambas variables deben
ser positivas.
Por lo tanto
𝑥 > 0 − 1200 + 5𝑡 > 0 𝑡 > 240
𝑦 > 0 3000 − 12𝑡 > 0 𝑡 < 250
Además nos indican que el número de adultos es mayor que el de niños, por lo tanto:
𝑥 > 𝑦 − 1200 + 5𝑡 > 3000 − 12𝑡 𝑡 > 247
Analizando los posibles valores de t, tenemos que: 247<t<250, y como t es un número entero, tenemos sólo dos
posibilidades para t. O bien t=248, o bien t=249.
Vamos a analizar las dos posibilidades.
• t=248
En este caso tenemos:
𝑥 = −1200 + 5 248 = 40
𝑦 = 3000 − 12 248 = 24

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Por tanto habría 40 adultos y 24 niños.
• t=249
En este caso tenemos:
𝑥 = −1200 + 5 249 = 45
𝑦 = 3000 − 12 249 = 12
Por tanto habría 45 adultos y 12 niños.
Las dos soluciones son posibles. Por lo tanto el problema tiene dos soluciones
En el teatro entraron 40 adultos y 24 niños, o 45 adultos y 12 niños.