Cálculo diferencial 2020 2

Cálculo Diferencial
GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO
PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS
Quinto semestre AGOSTO DE 2020
DATOS DEL ALUMNO
Nombre:
Plantel:
Grupo: Turno: Teléfono:

Jaime Bonilla Valdez
GOBERNADOR DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
Catalino Zavala Márquez
SECRETARIO DE EDUCACIÓN Y DIRECTOR GENERAL DEL ISEP DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
Javier González Monroy
SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR E INVESTIGACIÓN
Iván López Báez
DIRECTOR GENERAL DEL CBBC
Jesús Ernesto Robles Rodríguez
DIRECTOR DE PLANEACIÓN ACADÉMICA DEL CBBC
Cálculo Diferencial
Edición, agosto de 2016 (RIEMS), actualizado por:
Ing. Simón Muñoz Sánchez
Ing. Víctor Ramón Carrillo Bretado
Ing. José Ignacio Rojo Lomelí
Edición, agosto de 2019 (NME), actualizado por:
Fís. José Antonio Valdez Yáñez
Ing. Héctor Noé García Trejo
Ing. Feliciano Muñoz Sánchez
Ing. Víctor Alberto Verdugo Gutiérrez
Edición, agosto de 2020 (MEPEO), actualizado por:
Fís. José Antonio Valdez Yáñez
Arq. Juan Ramón Islas Sambrano
Prof. Francisco Javier Zamora Romo
En la realización del presente material, participaron:
Mtro. Alfredo Sánchez Orozco
JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS
Edición, agosto de 2020, revisado por: Mtro. Gerardo Enríquez Niebla
Ing. Diana Castillo Ceceña
La presente edición es propiedad del
Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.
Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión de la
Dirección de Planeación Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.
Blvd. Anáhuac #936, Centro Cívico, Mexicali, B.C., México. www.cobachbc.edu.mx

Presentación
Competencias Genéricas
Competencias Disciplinares Extendidas de Matemáticas
Enfoque de la disciplina
Ubicación de la asignatura
Relación de bloques del programa de Cálculo Diferencial con los contenidos
del Nuevo Modelo Educativo del campo disciplinar de Matemáticas
BLOQUE I: LÍMITES 10
BLOQUE II: LA DERIVADA 38
BLOQUE III: APLICACIONES DE LA DERIVADA 60
Referencias 83
Anexos:
• Formularios 85
Índice
Índice

Con la puesta en marcha del Modelo Educativo para la Educación Obligatoria (MEPEO)
(SEP, 2017), se realizó una reestructuración de los programas de estudio de primero
a sexto semestre por lo que fue necesario realizar una adecuación de los materiales
didácticos de apoyo para los estudiantes y docentes.
Es importante mencionar que el MEPEO, no significa un cambio total de los manifiestos y
preceptos educativos que caracterizaron la Reforma Integral de la Educación Media Superior
(RIEMS); sino que significa: fortalecimiento, articulación, organización y concreción de aspec-
tos educativos y pedagógicos, tal como se manifiesta en los siguientes párrafos:
El Modelo educativo 2016 reorganiza los principales componentes del sistema educativo
nacional para que los estudiantes logren los aprendizajes que el siglo XXI exige y pue-
dan formarse integralmente... En este sentido, el planteamiento pedagógico -es decir, la
organización y los procesos que tienen lugar en la escuela, la prácticas pedagógicas en
el aula y el currículum- constituyen el corazón del modelo.
...El cambio que se plantea está orientado a fortalecer el sentido y el significado de lo que
se aprende. Se propone ensanchar y hacer más sólidos el entendimiento y la compren-
sión de los principios fundamentales, así como de las relaciones que los contenidos ge-
neran entre sí. La memorización de hechos, conceptos o procedimientos es insuficiente
y hoy ocupa demasiado espacio en la enseñanza. El desarrollo de las capacidades de
pensamiento crítico, análisis, razonamiento lógico y argumentación son indispensables
para un aprendizaje profundo que permita trasladarlo a diversas situaciones para re-
solver nuevos problemas. Los aprendizajes adquieren sentido cuando verdaderamente
contribuyen al pleno desarrollo personal y de los individuos. (SEP, 2016: 15-18).
En este sentido, todas las Guías de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competen-
cias de las diferentes asignaturas de los Componentes de Formación Básica y Propedéutica,
así como de las Guías de Aprendizaje de los distintos módulos del Componente de Formación
para el Trabajo, fueron adecuadas a los lineamientos pedagógicos antes citados y a los nue-
vos programas de estudio emanados del MEPEO.
Conscientes de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a una bibliografía adecuada
pertinente y eficaz con el entorno socioeconómico actual, el CBBC brinda la oportunidad a los
estudiantes de contar con materiales didácticos para el óptimo desarrollo de los programas de
estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar que,
dichos materiales son producto de la participación de docentes de la Institución, en los cuales
han manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formación de los
jóvenes bachilleres.
Es necesario, hacer énfasis que la guía no debe ser tomada como la única herramienta de
trabajo y fuente de investigación, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo
un trabajo de consulta e investigación en otras fuentes bibliográficas impresas y electrónicas,
material audiovisual, páginas Web, bases de datos, entre otros recursos didácticos que apo-
yen su formación y aprendizaje.
Presentación
Presentación

COMPETENCIAS GENÉRICAS
SE AUTODETERMINA Y CUIDA DE SÍ
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
CG1.2 Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante
una situación que lo rebase.
CG1.3 Elige alternativas y cursos de acción con base en criterios sustentados y en el marco de un proyecto de vida.
CG1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
CG1.5 Asume las consecuencias de sus comportamientos y decisiones.
CG1.6 Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
CG2.1 Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
CG2.2 Experimenta el arte como un hecho histórico compartido que permite la comunicación entre individuos y cultu-
ras en el tiempo y el espacio, a la vez que desarrolla un sentido de identidad.
CG2.3 Participa en prácticas relacionadas con el arte.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
CG3.1 Reconoce la actividad física como un medio para su desarrollo físico, mental y social.
CG3.2 Toma decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas
de riesgo.
CG3.3 Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.
SE EXPRESA Y COMUNICA
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
CG4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se
encuentra y los objetivos que persigue.
CG4.3 Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
CG4.4 Se comunica en una segunda lengua en situaciones cotidianas.
CG4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
PIENSA CRÍTICA Y REFLEXIVAMENTE
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos con-
tribuye al alcance de un objetivo.
CG5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
CG5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
CG5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
CG5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas
preguntas.
CG5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista
de manera crítica y reflexiva.
CG6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuer-
do a su relevancia y confiabilidad.
CG6.2 Evalúa argumentos y opiniones e identifica prejuicios y falacias.
CG6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos
conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
CG6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
APRENDE DE FORMA AUTÓNOMA
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
CG7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.
CG7.2 Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus
reacciones frente a retos y obstáculos.
CG7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
TRABAJA EN FORMA COLABORATIVA
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
CG8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de ac-
ción con pasos específicos.
CG8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.
PARTICIPA CON RESPONSABILIDAD EN LA SOCIEDAD
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
CG9.1 Privilegia el diálogo como mecanismo para la solución de conflictos.
CG9.2 Toma decisiones a fin de contribuir a la equidad, bienestar y desarrollo democrático de la sociedad.
CG9.3 Conoce sus derechos y obligaciones como mexicano y miembro de distintas comunidades e instituciones, y
reconoce el valor de la participación como herramienta para ejercerlos.
CG9.4 Contribuye a alcanzar un equilibrio entre el interés y bienestar individual y el interés general de la sociedad.
CG9.5 Actúa de manera propositiva frente a fenómenos de la sociedad y se mantiene informado.
CG9.6 Advierte que los fenómenos que se desarrollan en los ámbitos local, nacional e internacional ocurren dentro
de un contexto global interdependiente.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prác-
ticas sociales.
CG10.1 Reconoce que la diversidad tiene lugar en un espacio democrático de igualdad de dignidad y derechos de
todas las personas, y rechaza toda forma de discriminación.
CG10.2 Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicación
de sus propias circunstancias en un contexto más amplio.
CG10.3 Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integración y convivencia en los contextos local,
nacional e internacional.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
CG11.1 Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e inter-
nacional.
CG11.2 Reconoce y comprende las implicaciones biológicas, económicas, políticas y sociales del daño ambiental en
un contexto global interdependiente.
CG11.3 Contribuye al alcance de un equilibrio entre los intereses de corto y largo plazo con relación al ambiente.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS
MATEMÁTICAS
CDEM 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
CDEM 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
CDEM 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
CDEM 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, median-
te el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
CDEM 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su compor-
tamiento.
CDEM 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.
CDEM 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
CDEM 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
La asignatura de Cálculo Diferencial tiene como propósito general el desarrollo de habilida-
des características del pensamiento lógico-matemático, por medio del uso de los procedi-
mientos para derivar y su aplicación en problemas de optimización que le permitan predecir
situaciones reales, formales y/o hipotéticas de su contexto, logrando entender e interpretar
los resultados en diversos ámbitos colaborando a desarrollar su capacidad de razonamien-
to así como su toma de desiciones.
Este programa parte de la solución de Límites en el bloque I, así como Derivadas durante el
bloque II, lo que permitirá al estudiantado, en el bloque III, una compresión de las razones
de cambio en diversos fenómenos de su entorno además de poder analizarlos de forma
cualitativa y cuantitativa. Lo anterior, para propiciar un desarrollo en sus capacidades de
abstracción y razonamiento mediante la aplicación de la Derivada, tema que le será de
utilidad en estudios de nivel superior.
ENFOQUE DE LA DISCIPLINA

1ER. SEMESTRE 2DO. SEMESTRE 3ER. SEMESTRE 4TO. SEMESTRE 5TO. SEMESTRE 6TO. SEMESTRE
Matemáticas I Matemáticas II Matemáticas III Matemáticas IV Geografía
Ecología y Medio
Ambiente
Química I Química II Biología I Biología II
Estructura
Socioeconómica
de México
Cálculo
Integral
Taller de Lectura
y Redacción I
Taller de Lectura
y Redacción II
Física I Física II
Cálculo
Diferencial
Se retomarán las
asignaturas que
en cada plantel se
imparten en 6to.
semestre, tanto del
Componente de
Formación Prope-
déutica como el de
Formación
para el Trabajo
Ética I
Ética II Todas las
asignaturas de
3er. Semestre.
Todas las
asignaturas de
4to. Semestre.
Metodología de la
Investigación
Se retomarán las
asignaturas que
en cada plantel se
imparten en 5to.
semestre, tanto
del Componente
de Formación Pro-
pedéutica como el
de Formación
para el Trabajo
Informática I Informática II
Todas las
asignaturas de
1er. Semestre
Todas las
asignaturas de
2do. Semestre
FORMACIÓN PARA EL TRABAJO
TUTORÍAS
UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA
Al tratarse de una asignatura del Componente Propedéutico del Bachillerato General, tiene
como intención brindarle las herramientas y conocimientos básicos al estudiantado para
que pueda continuar sus estudios a nivel superior además de permitirle su integración en
forma eficiente a las circunstancias de vida y situación tanto académica como laboral de
su entorno; favoreciendo al estudiantado respecto a un interés vocacional enfocado en el
campo de las Matemáticas.
Cabe señalar, que los conocimientos no son el fin de la educación, en este caso los del
campo de las Matemáticas, no elementos aislados sino una herramienta para que el estu-
diantado desarrolle las competencias que definen el perfil de egreso de la Educación Media
Superior, así como elementos indispensables para la comprensión de todos los demás
campos o asignaturas que componen este nivel educativo, aun cuando con algunos como
Física, Biología o Química se encuentre una afinidad más clara que con los demás.

EJE COMPONENTE CONTENIDO CENTRAL BLOQUE
Pensamiento y
lenguaje
variacional.
Cambio y
predicción:
Elementos
del Cálculo
Conceptos básicos de sistemas de coordenadas, orienta-
ción y posición.
I
III
Introducción a las funciones algebraicas y elementos de
las funciones trascedentes elementales.
II
Usos de la Derivada en diversas situaciones contextuales.
II
III
Tratamiento intuitivo: numérico, visual y algebraico de los
límites.
I
Tratamiento del cambio y la variación: estrategias varia-
cionales.
I
II
III
Graficación de funciones por diversos métodos.
I
III
Introducción a las funciones continuas y a la Derivada
como una función
I
II
Criterios de optimización: Criterios de localización para
máximos y mínimos de funciones.
III
Nociones básicas de derivación de orden dos (primera y
segunda derivada), optimización y Graficación de funcio-
nes elementales (algebraicas y trascendentes).
II
III
RELACIÓN DE BLOQUES DEL PROGRAMA DE
CÁLCULO DIFERENCIAL CON LOS CONTENIDOS
DEL NUEVO MODELO EDUCATIVO DEL
CAMPO DISCIPLINAR DE MATEMÁTICAS

Competencias
Competencias
g e n é r i c a s d i s c i p l i n a r e s e x t e n d i da s
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborta proble-
mas y retos teniendo en cuenta los objetivos
que persigue.
CG1.1 Enfrenta las dificultades que se le presen-
tan y es consciente de sus valores, fortalezas y de-
bilidades.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinen-
tes en distintos contextos mediante la utiliza-
ción de medios, códigos y herramientas apro-
piados.
CG4.1 Expresa ideas y conceptos mediante repre-
sentaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones
a problemas a partir de métodos establecidos.
CG5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de
manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno
de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
CDEM 5. Analiza las rela-
ciones entre dos o más va-
riables de un proceso social
o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
CDEM 8. Interpreta tablas,
gráficas, mapas, diagramas
y textos con símbolos mate-
máticos y científicos.
Bloque I
LÍMITES

Bloque I
LÍMITES
PROPÓSITO DEL BLOQUE
Emplea de manera crítica y reflexiva el concepto de Límite en la solu-
ción de diversas situaciones de su entorno, reconociendo su impor-
tancia en la construcción de nuevos conocimientos.
I N T E R D I S C I P L I N A R I E D A D T R A N S V E R S A L I D A D
● Geografía ● Eje transversal social
● Eje transversal de salud
● Eje transversal ambiental
● Eje transversal de habilidades
lectoras
C O N O C I M I E N T O S H A B I L I D A D E S A C T I T U D E S
Antecedentes y aplicaciones
del cálculo
● Límites:
○ Concepto e interpretación
de límites.
○ Propiedades de los límites.
○ Límites de funciones alge-
braicas.
○ Límites de funciones tras-
cendentes.
● Reconoce a los principales per-
sonajes y sus aportaciones en el
desarrollo del cálculo, así como
la importancia de su aplicación
en la actualidad.
● Interpreta gráficamente los dife-
rentes tipos de límites.
● Identifica de forma analítica los
distintos tipos de límites (finitos,
infinitos e indeterminados).
● Reconoce sus fortale-
zas y áreas de oportu-
nidad.
● Externa un pensamien-
to crítico y reflexivo de
manera solidaria.
● Muestra disposición
al trabajo metódico y
organizado.
● Privilegia el diálogo
para la construcción de
nuevos conocimientos.
APRENDIZAJES ESPERADOS
● Explica la importancia del cálculo, por medio del conocimiento de sus antecedentes y apli-
caciones, reflexionando sobre su relevancia en procesos actualmente de su entorno.
● Calcula límites de funciones algebraicas y trascendentes, a través del análisis de situacio-
nes de su contexto para la construcción de nuevos conocimientos.
11
COBACH Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California

LÍMITES
Bloque I
DIAGNÓSTICO: OPERACIONES BÁSICAS Y ALGEBRAICAS
Instrucciones. Resuelve los siguientes ejercicios sin omitir los pasos intermedios.
Utiliza las reglas de exponentes y simplifica donde se requiera:
1. (2ab2
)5
=
2. 2-2
=
3. 8(4x2
y-3
)-2
=
Realiza las siguientes operaciones con fracciones (sin usar calculadora):
1. + = 2. - 1 =
3. = 4. ÷ =
Realiza las siguientes operaciones con términos algebraicos (aquí sí se permite
calculadora):
1. 6x3
+ 4x - 2x3
+ 10x2
- 9x2
- 8x =
2. 5a(2ab - 4a2
c) =
3. x(7x + 4)(x - 3) =
4. (3x2
- x)(5x + 4) =
5. Llena la tabla que se presenta si x varía de 0 a 4 y la función es f(x) = 2x2
– 3x + 4

Realiza las siguientes factorizaciones:
1. x2
+ 3x + 2 =
2. x2
- 6x + 9 =
3. 4x2
- 4x + 1 =
4. 2x2
+ 5x - 3 =
1
5
9
4
(3)
(2)
(4)
(3)
4
7
(8)
(10)
(5)
(4)
(5)
(8)
x f(x) = 2x2
– 3x + 4
0
1
2
3
4
12 CÁLCULO DIFERENCIAL Guía de actividades del alumno para el desarrollo de competencias

Bloque I
Obtén el valor de f(x) de las siguientes funciones (se requiere calculadora):
1. f(2 ) = cos(2 ) =
2. f( ) = sen( ) =
3. f(3) = e3
=
4. f(256) = log4
256 =
5. f(ln8) = e2ln8
=
ALGUNOS ASPECTOS DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA, PARA QUE DESPUÉS TE
SEA MÁS FÁCIL SU APLICACIÓN EN EL CÁLCULO
Leyes de los signos
Tanto en la multiplicación como en la división “signos iguales, resultado positivo. Signos dife-
rentes, resultado negativo”.
Axiomas de los números reales
SUMA
Propiedad conmutativa: A + B = B + A
Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C = B + (A + C)
Neutro aditivo: A + 0 = A
Inverso aditivo: A + (–A) = 0
MULTIPLICACIÓN
Propiedad conmutativa: AB = BA
Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C = B(AC)
Propiedad distributiva: A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC
Neutro multiplicativo: A(1) = A
Inverso multiplicativo: A( ) = 1
Importante: en los números reales solo existen dos operaciones básicas en realidad, la resta
es una particularidad de la suma, ejemplo: 4 + (-2) = 4 - 2 = 2
por leyes de signos es que se convierte en resta.
La división también es un caso particular de multiplicación, ejemplo:
8( ) = = 2
Se hace la multiplicación de 8 × 1 × 1/4, esto es 8 × 1/4 que da como resultado 2.
4 4
1
A
Multiplicación:
(+) (+) = + (–) (–) = +
(–) (+) = – (+) (–) = –
1
4
8
4
División:
(+)
(+)
= +
(–)
(–)
= +
(–)
(+)
= –
(+)
(–)
= –
13

LÍMITES
Bloque I
NÚMEROS RACIONALES Y SUS OPERACIONES
Iniciaremos con el concepto de numero racional “es todo aquel número que puede expresarse
como el cociente de dos números enteros”, por ejemplo: , , , etc.
Así, un número racional se puede escribir de varias maneras, es decir, sus equivalencias o
como se les llama en matemáticas, fracciones equivalentes. La regla dice que se tiene que
multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número o dividir, si es que es divisible
entre ese mismo número, lo cual tendrá que dar algo equivalente porque en realidad estamos
multiplicando por “uno”. Algunos ejemplos son:
1) = ; a tres quintos lo multiplicamos y lo dividimos por dos y obtenemos seis
décimos. Aquí se aplicó el axioma llamado NEUTRO MULTIPLICATIVO al multiplicar por
2 al numerador y al denominador.
2) = ; a doce dieciochoavos los dividimos entre tres y obtenemos cuatro sextos.
Aquí se aplicó el axioma llamado INVERSO MULTIPLICATIVO el numerador y el denomi-
nador por 3.
3) El 2 convertido a tercios; = ; esto da como resultado seis tercios. Aquí se
aplicó el axioma llamado NEUTRO MULTIPICATIVO al multiplicar por 3 el numerador y el
denominador.
Algo parecido se hace para elevar una fracción a una potencia:
Aquí fue la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA del exponente en el numerador y denominador.
Para obtener una raíz:
Es el mismo caso anterior, la propiedad distributiva con la raíz cuadrada en el numerador y el
denominador.
Las operaciones con fracciones comunes suelen ser motivo de confusiones entre los estudian-
tes, aquí se presentarán las más básicas como son: suma, resta, multiplicación, división.
Suma de fracciones
Cuando la fracción presenta el mismo denominador la suma se vuelve muy sencilla, pues solo
se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
Casos con un mismo denominador, simplemente se fusiona el denominador y se realiza la
consecuente suma:
1)
2)
2
5
3
5
12
18
2
1
6
7
(2)
(2)
÷3
÷3
(3)
(3)
1
3
6
10
4
6
6
3

Casos con un denominador diferente:
1)
Cuando es denominador diferente, se busca un común denominador utilizando la
técnica del mínimo común múltiplo MCM. Aunque cuando son dos fracciones so-
lamente se usa la técnica de multiplicar cruzado en el numerador y se multiplican
también los denominadores:
2)
Aquí se calculó el MCM para el denominador, posteriormente, se aplicó la regla y se
muestra paso a paso lo referente a la suma y resta de estas fracciones.
Resta de fracciones
Para restar fracciones se utilizan los mismos métodos que para la suma, retomare-
mos el ejemplo anterior para que hagas tus comparaciones:
Para complementar la información visita: http://y2u.be/1ktyVZthSX4
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones solo se realiza el producto de todos los numeradores y
luego el producto de todos los denominadores:
División de fracciones
Se multiplican los extremos poniéndose el resultado en el numerador, luego se mul-
tiplican los centros y el resultado en el denominador, por ejemplo:
Para ampliar la información visita: http://y2u.be/va9eoz7q_vQ
15

LÍMITES
Bloque I
Leyes de exponentes
Elevar un número a una potencia significa que lo multiplicaremos tantas veces como
lo indique esa potencia o exponente:
24
= (2)(2)(2)(2) = 16
También podemos hacerlo a la inversa, es decir, las veces que multipliquemos un
número ese será el exponente de él:
a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a = a5
El producto de dos o más potencias, los exponentes de suman:
am
∙ an
= am+n
, en ejemplo: 23
∙ 24
= 23+4
= 27
El cociente de dos potencias, los exponentes se restan:
= am-n
, en ejemplo: = 27-4
= 23
Cuando se presenta un número elevado a una potencia y a la vez a otra potencia,
los exponentes se deben multiplicar:
(am
)n
= am ∙ n
, en ejemplo: (23
)4
= 2(3)(4)
= 212
Cuando una potencia se encuentra dentro de una raíz, el exponente será una
fracción, donde el numerador es la potencia del número y el denominador el valor
de la raíz:
Esta regla también se aplica a la inversa:
Para las potencias negativas se mueve la potencia al denominador y se volverá
positivo el exponente:
Esta regla también se aplica a la inversa:
Para ampliar la información visita: http://y2u.be/6jNWN-o0__Y
am
an
27
24

Suma y resta de términos algebraicos
El lenguaje algebraico facilita generalizar una expresión matemática, como los son
las fórmulas de áreas de figuras geométricas, por ejemplo, el área de un triángulo:
A = , donde se utilizan números, símbolos y letras. Un término algebraico consta
de 4 partes: signo, coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:
-3x2
Podemos sumar o restar solo los términos algebraicos semejantes (reducción de
términos semejantes), es decir, aquellos que tengan la misma parte literal con el
mismo exponente, por ejemplo:
1) 7a2
- 3a2
= 4a2
2) a + 2a + 3a = 6a
3) 5m + 3m - 7n - 2n = 8m - 9n
4) 10a + 5a3
- 3a - 2a3
= (5a3
- 2a3
) + (10a - 3a) = 3a3
+ 7a
Para más información visita: http://y2u.be/Tbl00zznaAU
Multiplicación algebraica
Para multiplicar términos algebraicos lo ejemplificaremos de tres formas: monomio
por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio. Pero antes vale la
pena recordar las siguientes reglas de exponentes:
1.
am
∙ an
= am+n
2.
(ab)n
= an
bn
3.
(am
)n
= am ∙ n
Monomio por monomio
Se multiplican los coeficientes y los exponentes se suman de una misma parte
literal:
1) 3ab4
c2
(-5a3
bc6
) = (3)(-5)a1+3
b4+1
c2+6
= -15a4
b5
c8
2) 2m(5n) = (2)(5)mn = 10 mn
3) (-2x)(3xy)(2x) = (-2)(3)(2)x1+1
y = -8x2
y
4) 3mn5
(12m-3
n2
) = (3)(12)m1+(-3)
n5+2
= 36m-2
n7
17

LÍMITES
Bloque I
Monomio por polinomio
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio, no olvidando la regla anterior:
1) 3a(a - 2b) = 3a(a) + 3a(-2b) = 3a2
- 6ab
2) 7b(2a - b) = 7b(2a) + 7b(-b) = 14ab - 7b2
3) 3x2
(4x6
- 2x4
+ x3
- 5x + 3) = 12x8
- 6x6
+ 3x5
- 15x3
+ 9x2
4) 2m4
n2
(3m2
- 2mn + n6
) = 6m6
n2
- 4m5
n3
+ 2m4
n8
Polinomio por polinomio
Multiplicaremos cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. No
olvidar reducir (sumar o restar) los términos semejantes:
1) (x+y)(x2
+ 3) = x(x2
) + x(3) + y(x2
) + y(3) = x3
+ 3x + x2
y +3y
2) (x+7)(x-2) = x(x) -x(2) + 7(x) - 7(2) = x2
+ 5x -14
3) (a - a2
)(2b - 3ab + b2
) = a(2b) - a(3ab) + a(b2
) + a2
(2b) - a2
(3ab) + a2
(b2
) =
2ab - 3a2
b + ab2
+ 2a2
b - 3a3
b + a2
b2
= -3a3
b + a2
b2
- a2
b + ab2
+ 2ab
Para más información visita: http://y2u.be/hlyBPkEJmXc
Simplificación de expresiones racionales y expresiones
racionales algebraicas
Prácticamente nos basaremos en que un número dividido entre él mismo es igual a uno, y si
está multiplicando a otro número este no se alterará si los anteriores se cancelan. Por ejemplo:
Esto también funciona con expresiones algebraicas, como se muestra a continuación:
1)
2)
3)

En otras ocasiones se tendrá que recurrir a buscar los factores de un número o expresión alge-
braica para poder cancelarlos:
1)
2)
3)
4)
En los ejercicios anteriores no se omiten pasos para que el estudiante visualice de mejor ma-
nera el procedimiento, pero una vez aprendido y comprendido podrá acortar gran parte de este.
Para más información visita: http://y2u.be/hFKRrOwmruY
Operaciones con radicales: radicalización.
1) Raíz cuadrada:
2) Raíz cúbica:
3) Radicalización por conjugado:
Las Matemáticas existen porque día a día nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podría-
mos hacer la mayoría de nuestra rutina, necesitamos las Matemáticas constantemente, en la
escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemáticas
han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos
que el Hombre ha ido adquiriendo.
Pero lo más misterioso de todo es que las matemáticas son el único medio que tenemos para
entender el mundo que nos rodea.
¿Cuáles son los beneficios de las Matemáticas en tu vida?
19

LÍMITES
Bloque I
Antecedentes del Cálculo
El cálculo es la rama de las Matemáticas
que se ocupa del estudio de los cambios
en las variables, pendientes de curvas,
valores máximos y mínimos de funciones,
entre otras la determinación de longitu-
des, áreas y volúmenes.
En forma individual para entregar impreso, ver el siguiente video y responder a las
preguntas que el profesor que indique:
¿Qué es el cálculo? https://www.youtube.com/watch?v=U5aW5aR0qbU&t=641s
En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que
se representan de diferentes formas, esto es: tablas, gráficas, entre otras.
En un problema importante es establecer la dependencia de las variables, es decir,
determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, por ejemplo:
● El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, de-
pende de la velocidad que lleva.
● El volumen que hay en un recipiente expuesto a la intensidad del calor y el
tiempo que duraría expuesto.
Cuando se tiene el registro numérico de un problema, tal como la velocidad, fuer-
za, presión temperatura, se pueden analizar varios aspectos (factores), se puede
predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o bien, si no se tiene toda
la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las
que se llevó a cabo.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
¿Qué significa la palabra límite y función?
Límite y función, son palabras que proceden etimológicamente del latín. Emanan del
sustantivo “limes” y “function”, donde el primero puede traducirse como “frontera o
borde” y el otro como “función o ejecución (realización de una acción)”
¿Para qué sirven los límites?
La definición de límite de una función es un tema fundamental en todos los campos
del cálculo; de hecho, la derivada, que es el tema principal de este curso de cálculo
diferencial, es por definición, un límite.Un primer acercamiento a los límites lo tienes
cuando los términos de una sucesión se van acercando a un número cualquiera
Actividad 1
Actividad 1

rápidamente, entonces decimos que tiende a ese número, o bien, que su límite es
dicho número. Debemos decirte que no todas las sucesiones se aproximan a un nú-
mero, pero las sucesiones que tienen este comportamiento se llaman convergentes.
El concepto de límite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemáti-
cas; en el que se fundamenta el cálculo infinitesimal. Aunque muchos matemáticos
utilizaron la idea intuitiva de límite, fue el barón de Cauchy (1789-1857), a principios
del siglo XIX, quién dio una definición satisfactoria de límite y, en consecuencia, de
derivada de una función.
Situación didáctica 1
Antonio encuentra un mapa de un tesoro dentro de
una botella, identifica rápidamente los dibujos y mar-
cas, se da cuenta que está por su casa, se emociona
tanto que toma la decisión de buscar el tesoro.
Cuando ubica el cofre del mapa se enfrenta al si-
guiente problema: el paso del tiempo produjo una
zanja en el piso y es muy profunda, pero al acercarse
a la orilla se puede ver un brillo en el piso.
¿Crees que Antonio pueda alcanzar lo brilloso desde
la parte de arriba de la zanja?
¿Cómo pudiera examinar o excavar lo brilloso?
¿Crees que en Matemáticas esta situación tenga un
nombre?
PROCEDIMIENTO INTUITIVO DE LÍMITES PARA UNA FUNCIÓN
Introducción: a continuación, se va a explicar un procedimiento intuitivo para poder entender
un límite, se va a proponer la siguiente función racional:
Si evalúas la función f(x) con un solo valor de la variable independiente x que está representado
por la constate c se obtiene en el resultado el valor de la constante R = f(x)
Lo anterior se escribe con la notación:
Procedimiento para realizarlo:
Se sustituye el valor de x = 2 y
posteriormente se eleva al cuadrado
el 2 y posteriormente realizar la resta.
SITUACIÓN
DIDÁCTICA
21

LÍMITES
Bloque I
Como dio resultado la forma indefinida CERO ENTRE CERO, por lo tanto, no siempre es
conveniente sustituir el valor al que tiende x. Por lo tanto, se requieren otras alternativas de
solución.
La condición que aplicaremos para encontrar la respuesta expresa lo siguiente: la diferencia
absoluta de las variables dependiente |Δf(x)| e independientes |Δx|, cuando tienden a aproxi-
marse a cero Δf(x) = Δx ≈ 0, se podrán acercar Δf(x) = Δx = 0.0001 pero nunca podrá ser cero
Δf(x) = Δx ≈ 0
Donde: | ∆f(x) | = | f(xi+1
) - f(xi
) |
| ∆x | = | xi+1
- xi
|
Para poder aplicar la condición vamos a ocupar proponerle valores a las siguientes variables
“Δxi
” y calcular “xi
”, las cantidades que se sugieren son “0.0001, 0.001, 0.01 , 0.1 y 1”, no olvidar
que se tiene que tomar en cuenta que la cantidad problema está ubicada en la mitad, tienes
que comenzar restando de mayor a menor las cantidades sugeridas hasta llegar a la mitad,
para después sumar de menor a mayor estas mismas:
Después se procede a la operación correspondiente, sumar o restar a xp
el valor de | ∆xi
|.
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1
2 0.01
2 0.0001
Límite 2
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001
2 0.01
2 1
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1 1
2 0.01 1.99
2 0.0001 1.9999
Límite 2
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001 2.0001
2 0.01 2.01
2 1 3

Una vez determinados los respectivos valores de xi
se procede a determinar f(xi
).
El siguiente paso es determinar la diferencia | ∆f(xi
) |:
Las partes sombreadas manifiestan que los datos marcados tienden a cero, cumpliéndose la
condición.
Después de haber evaluado la función f(xi
) con xi
y representado las cantidades en una tabla,
podemos pasar a analizar el comportamiento del valor de f(xi
), para poder realizar una conclu-
sión de cuál sería el valor de la función f(xp
) que le corresponde a la variable problema xp
y a
este valor se le conoce como límite de la función f(xp
) = R cuando xp
tiende al valor de c.
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
f(xi
)
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1 1 3
2 0.01 1.99 3.99
2 0.0001 1.9999 3.9999
Límite 2
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001 2.0001 4.0001
2 0.01 2.01 4.01
2 1 3 5
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
f(xi
) | ∆f(xi
) |
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1 1 3
2 0.01 1.99 3.99 .09
2 0.0001 1.9999 3.9999 .0009
Límite 2
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001 2.0001 4.0001 .0009
2 0.01 2.01 4.01 .09
2 1 3 5
23

LÍMITES
Bloque I
Después del análisis realizado se concluye de la siguiente manera:
Conclusión textual: conforme x tiende al valor de 2, la función f(x) tiende al valor de 4.
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
f(xi
) | ∆f(xi
) |
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1 1 3
2 0.01 1.99 3.99 .09
2 0.0001 1.9999 3.9999 .0009
Límite 2 Conclusión
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001 2.0001 4.0001 .0009
2 0.01 2.01 4.01 .09
2 1 3 5
Sentido
Variable
independiente
problema xp
| ∆xi
| xi
f(xi
)
Lado izquierdo
Resta
xp
- | ∆xi
| = xi
2 1
2 0.01
2 0.0001
Límite 2 Conclusión
Lado derecho
Suma
xp
+ | ∆xi
| = xi
2 0.0001
2 0.01
2 1
De manera individual, contesta lo que se te pide a continuación:
a) Llena los espacios vacíos de la tabla de acuerdo con los valores de x que se dan y a la
función f(x) = x2
- 4, luego escribe tu conclusión en notación de límites:
Actividad 2
Actividad 2

b) De acuerdo con la gráfica escribe el límite de la función f(x) = x3
–4x, cuando x tiende al
valor de -1
Tu conclusión:
lim ( ) = _________
x → -1
f(x) = x3
- 4x
8
6
4
2
0
-2
-2
-3
-4
-6
-8
0 1 2 3
-1
25

LÍMITES
Bloque I
LÍMITES DEFINIDOS EN UN PUNTO
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Son aquellos que se pueden evaluar directamente en el punto al que tiende el valor,
para ello se tienen las siguientes propiedades.
Definición Expresión
El límite de una función constante c cuando x tiende al
valor de a es la constante c.
El límite de la función identidad f(x) = x cuando x tiende
al valor de a es la constante a.
El límite de la función f(x) = xn
cuando x tiende al valor
de a, es la constante a a la potencia n.
El límite de una función exponencial base b cuando x
tiende al valor de a, es la función exponencial base b
elevada al límite de la función.
El límite de una función logarítmica base b cuando x
tiende al valor de a, es el logaritmo base b del límite de la
función.
El límite de una función trigonométrica con argumento
cuando x tiende al valor de a, es la función trigonométrica
del límite del argumento. El poner Trig es para indicar
que puede ser una de las 6 funciones trigonométricas
básicas.
El límite cuando x tiende al valor de a de una suma o res-
ta de funciones es igual a la suma o resta de los límites
de las funciones.
Esta se considera la propiedad distributiva para una
suma o resta de funciones.
El límite cuando x tiende al valor de a de un producto
de funciones es igual al producto de los límites de las
funciones.
Esta se considera la propiedad distributiva para un pro-
ducto de funciones.
El límite cuando x tiende al valor de a de un cociente de
funciones es igual al cociente de los límites de funciones.
Esta se considera la propiedad distributiva para un co-
ciente de funciones.

A continuación, se muestran algunos ejemplos de funciones algebraicas y funciones
trascendentes para la obtención de límites:
27

LÍMITES
Bloque I
Nota: en los números reales no existe la división entre cero, si al realizar las sustituciones
y operaciones, el denominador es cero, la función puede no tender hacia un límite, pero
más adelante se expondrá una forma de solucionar esos casos (Fuenlabrada de la Vega,
S. 2008, pág. 33).

LÍMITES NO DEFINIDOS EN UN PUNTO
Este tipo de límites tiene dos situaciones:
● Forma CERO ENTRE CERO.
● Forma INFINITO ENTRE INFINITO.
Ninguno de estos dos casos se realiza como los del ejercicio anterior, pues al hacerlo nos
toparemos con el problema de que quede como resultado CERO ENTRE CERO o INFINITO
ENTRE INFINITO.
FORMA CERO ENTRE CERO
Ejemplo 1: consideremos el siguiente límite
El primer paso es evaluar directamente
Actividad 3
Actividad 3
Reúnete en equipo de 3 integrantes y determinen el valor de los límites de las funciones que se les
presentan:
29

LÍMITES
Bloque I
Se confirma que es de la forma CERO ENTRE CERO, por lo tanto, se procede a la estrategia
de factorización:
Ejemplo 2: ahora consideremos el siguiente límite:
Si hacemos el mismo procedimiento que el caso anterior, forma directa, confirmaremos la for-
ma CERO ENTRE CERO, por lo tanto, procedemos al siguiente procedimiento:
FACTORIZO
SIMPLIFICO
APLICO PROPIEDADES
EVALÚO = 3 - 4
OBTENGO EL RESULTADO = -1
FACTORIZO
SIMPLIFICO
APLICO PROPIEDADES
EVALÚO = 2 + 2
OBTENGO EL RESULTADO = 4

FORMA INFINITO ENTRE INFINITO
Ejemplo 1. Considerar el siguiente límite:
Evaluar directamente nos llevará, sin duda alguna, al resultado INFINITO ENTRE INFINITO, lo
que ahora se lleva a cabo es lo siguiente:
DIVIDO CADA TÉRMINO POR LA VARIABLE
DE MÁXIMO GRADO
SIMPLIFICO CADA EXPRESIÓN APLICANDO
LEYES DE EXPONENTES
APLICO LAS PROPIEDADES
EVALÚO Y SIMPLIFICO: TODO TÉRMINO
QUE CONTENGA EL INFINITO SE HARÁ
CERO
OBTENGO EL RESULTADO
Actividad 4
Actividad 4
Reúnete en equipo de 3 integrantes y determinen el valor de los límites de las funciones que se les
presentan:
31

LÍMITES
Bloque I
Reúnete en equipo de 3 integrantes y determinen el valor de los límites de las fun-
ciones que se les presentan (anexar 3 más).
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Hasta este momento, ya se han visto ejemplos de límites de funciones algebraicas
y trascendentes, pero ¿en qué se puede aplicar un límite? El objetivo principal de
este bloque es precisamente conocer situaciones donde podamos aplicar dichas
propiedades de límites.
Actividad 5
Actividad 5
APLICACIONES DE LÍMITES EN CASOS REALES
La rapidez terminal de un paracaidista que cae hacia la superficie terrestre.
Cuando una paracaidista se somete a la acción de
la gravedad sufre un aumento en su rapidez de caí-
da, sin embargo, gracias a la resistencia que el aire
ofrece, al principio es grande el cambio de la rapi-
dez, pero al paso del tiempo, el cambio en la rapidez
es cada vez menor hasta que llega un momento en
el que ya caerá casi a rapidez constante.
Un caso particular para considerar es la ecuación
siguiente:
Determinar la velocidad de caída para los siguientes casos:
a) Cuando t = 1 segundo

b) Cuando t = 5 segundos


c) Cuando t es excesivamente grande
Para fines prácticos, podremos tomar una conclusión viendo la gráfica de cómo evoluciona la
rapidez de caída
En conclusión, se puede decir que la velocidad
terminal prácticamente se alcanza cuando ya
han transcurrido unos 6 o 7 segundos. Después
de este tiempo la caída será casi a rapidez cons-
tante.
Actividad 6
Actividad 6
Lee y analiza la información que se te presenta sobre “Condiciones de continuidad”, después, re-
suelve el ejercicio.
Condiciones de continuidad
Definición: una función es continua en un número a si:
Si f no es continua en a, decimos que f es discontinua en a o que tiene una discontinui-
dad en a. La definición anterior requiere tres cosas si f es continua en a:
1. f(a) está definido (es decir, a está en el dominio de f).
2. lím f(x) existe (de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contie-
ne al número “a”).
Ejemplo ¿En dónde es discontinua la siguiente función?
Solución: basta con determinar en dónde se hace cero el denominador para saber dónde hay una
discontinuidad y con esto comprobar que no se cumple la tercera ley de discontinuidad.
x - 2 = 0 x = 2
33

LÍMITES
Bloque I
Como se puede apreciar, no se cumple la tercera condición de continuidad, por lo
tanto, la función no es continua en x = 2, sin embargo, el límite existe y tiende al
valor de 3. Observa la siguiente gráfica:
El dominio representa los valores de x y
el rango los valores de y.
El dominio es: D(-∞,2) U (2,+∞)
El rango es: R(-∞,3) U (3,+∞)
Nota: la razón oficial de que f es disconti-
nua cuando x = 2 es que f(2) no está de-
finida. Como se observa en la gráfica, no
se pude dibujar esta sin levantar el lápiz
del papel, porque se presenta un agujero,
una ruptura o un salto en esta gráfica.
Ejercicio. Para la función encuentra:
a) El valor del límite cuando x→ -2 (si es que existe).
b) A partir de la gráfica identifica el valor de x donde la función es discontinua.
c) Escribe el dominio y el rango de la función.
Solución:
La función es discontinua en
x =___________________________
El dominio de la función es:
______________________________
El rango de la función es:
______________________________
Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación de límites en forma individual:
1. El costo promedio (en pesos) por disco cubierto por una compañía grabadora
al imprimir x discos compactos de audio, está dado por la función:
a) ¿Cuál es el costo de 50 discos?
b) ¿Cómo interpretas el costo cuando x tiende al infinito o es excesivamente grande?
Actividad 7
Actividad 7

2. Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque de tratamiento,
este se va oxidando(O) y la cantidad de oxígeno varía con respecto al tiempo
(t en semanas) de acuerdo con la siguiente función:

a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque para t = 1
semana?
b)
¿Para t = 15 semanas?
c) ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para t sea excesivamente grande?
3. Las feromonas, son sustancias químicas que libera un organismo cuando em-
pieza a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de
hiperactividad.
Si la función , represen-
ta el porcentaje de esta sustancia en
una persona, durante una etapa de su
enamoramiento, donde t representa el
número de meses, qué cantidad de es-
tas sustancias se generarán cuando:

a)
Grafica los datos obtenidos:
Tiempo (meses) % F
1
2
6
10
15
20
25
30
35

LÍMITES
Bloque I
4. El valor de capitalización de un inmueble que genera rentas mensuales netas
de R = $8,500.00 pesos y una tasa de interés de i = 3% mensual, se puede
determinar mediante la fórmula:
Donde n es el tiempo medido en meses. Calcular:
a) Cuando n es 240 meses.
b) Cuando n es excesivamente grande.
5. Einstein, en uno de sus postulados de la teoría de la relatividad especial, dice
que si viajamos a velocidades cercanas a la luz el tiempo se dilata. Es una
muestra sencilla de lo que es la paradoja de los gemelos.
Vamos a suponer que viajamos en una nave en el espacio interestelar. La fór-
mula que rige esta dilatación es:
Donde γ es el factor de Lorentz. Determinar cuánto se dilata el tiempo, en por-
centaje, de acuerdo con lo que se indica:
Factor de Lorentz Porcentaje de dilatación
0.5
0.1
0.01
0.001
0

INSTRUMENTO DE AUTOEVALUACIÓN
Instrucciones: contesta honestamente sí o no, marcando con una a los siguientes cuestionamientos.
INSTRUMENTO DE COEVALUACIÓN
Nombre del alumno:
Materia: Grupo: Corte: Semestre:
Criterios de evaluación Siempre A veces Difícilmente
¿Participaste al responder las preguntas que te propuso el docente?
¿Te resultó útil la información que se muestra en el video?
Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas académicas.
Soy consciente de mis hábitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud
física, mental y social.
Puedo expresar mis ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.).
Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren.
Formulo hipótesis y compruebo su validez para la solución de problemas planteados en
diversas asignaturas.
Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las más relevantes y confiables.
Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas.
Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.
Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compañeros.
Contribuyo con acciones para la solución de problemas ambientales de mi comunidad.
Observaciones y retroalimentación:
Nombre del compañero:
¿Tu compañero participó en la actividad propuesta por el docente?
¿Mostró coherencia en sus respuestas?
Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.
Lleva a cabo hábitos de consumo que favorecen su salud física, mental y social.
Expresa sus ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc).
Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren.
Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas.
Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las más relevantes y confiables.
Realiza trabajos donde aplica saberes de varias asignaturas.
Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.
Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compañeros.
Participa en acciones para la solución de problemas ambientales de su entorno.
37

Competencias
Competencias
piados.
8. Participa y colabora de manera afectiva en
equipos diversos.
CG8.1 Propone maneras de solucionar un proble-
ma o desarrollar un proyecto en equipos, definien-
do un curso de acción con pasos específicos.
CDEM 2. Formula y resuel-
ve problemas matemáticos
aplicando diferentes enfo-
ques.
CDEM 3. Explica e interpre-
ta los resultados obtenidos
mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta
con modelos establecidos o
situaciones reales.
Bloque II
LA DERIVADA

Bloque II
LA DERIVADA
Aplica los métodos de derivación trabajando de forma metódica y or-
ganizada para contribuir en la solución de situaciones hipotéticas o
reales de manera crítica o reflexiva.
● Se retomarán las asignaturas que en
cada plantel se impartan en 5to. se-
mestre, tanto el componente de for-
mación propedéutico como el de for-
mación para el trabajo.
● Eje transversal social
lectoras
● Derivada pro definición de
funciones polinómicas (regla de
cuatro pasos).
● Derivada de funciones algebrai-
cas.
● Derivada de funciones trascen-
dentes.
● Derivada de orden superior
● Interpreta la definición de la deri-
vada como una razón de cambio.
● Distingue distintas formas de ob-
tener la derivada de una función.
● Externa un pensamien-
to crítico y reflexivo de
manera solidaria.
organizado.
● Aporta ideas en la
solución de problemas
proponiendo su creati-
vidad.
● Emplea la regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función y la relación
con situaciones presentes en su contexto, promoviendo su pensamiento crítico y reflexivo.
● Aplica fórmulas o teoremas de derivados en la solución de problemas reales o hipotéticos
de su vida cotidiana, trabajando de forma metódica y organizada.
39

LA DERIVADA
Bloque II
Situación Didáctica
Los censos realizados de 1921 a 2010, así como la Encuesta Intercensal en 2015
muestran el crecimiento de la población en el estado de Baja California.
Población total del estado de Baja California
(1921 - 2015)
Observa en la gráfica que:
● En el periodo de 1940 a 1950, casi se triplica la población.
● Para comentar con tus compañeros:
La población de Baja California se ha incrementado considerablemente, ¿cuán-
tos habitantes más hay en el estado de 1921 a 2015? ¿Cuántos años pasa-
ron? Si divides estas dos cantidades (habitantes entre años que pasaron) ¿qué
obtienes? ¿Podremos predecir una aproximación de la población que habrá
en 2020? ¿Cómo se le llama a la rapidez con la que cambia la población con
respecto al transcurso del tiempo?
Comparte tus respuestas y conclusiones con el resto del grupo.
RAZÓN DE CAMBIO
El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable cambia con
relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de
cambio.
Una razón de cambio muy común es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto re-
corrido por una unidad de tiempo (km/h o m/h). Esto quiere decir que la velocidad se entiende
a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo con cómo se
modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer
cuál es su velocidad.
SITUACIÓN
DIDÁCTICA

Supongamos que un automóvil recorre 80 kilómetros en dos horas. La razón de cambio exis-
tente entre ambas variables es 40 kilómetros por hora. Ese valor representa su velocidad, ya
que v = d / t (velocidad = distancia / tiempo).
A partir del conocimiento de una razón de cambio, es posible desarrollar diferentes cálculos y
previsiones. Si conocemos el nivel de contaminación que está llegando a un arroyo a partir del
vertido de sustancias químicas por parte de una industria, es posible utilizar la razón de cambio
para señalar qué tan rápido se incrementa el nivel de contaminación.
Con un cálculo similar, se puede calcular la velocidad de propagación de una epidemia
en una determina ciudad, tomando como datos la cantidad de personas que contrajo el
virus en x días.
Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las
cuales se explican a continuación. Es importante resaltar que, haciendo uso de estos concep-
tos, se abren las puertas a la solución de ciertos problemas para los cuales los métodos alge-
braicos no son efectivos, pero sí el cálculo.
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
Nuestro día a día nos enfrenta a diversas razones de cambio de situaciones sociales, econó-
micas y naturales, entre otras, en las cuales deseamos saber cuál es el valor más grande o el
más pequeño (el máximo y el mínimo, respectivamente), su crecimiento o su disminución en un
período de tiempo determinado. Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos
relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria
una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y mode-
los matemáticos.
Así como en el ejemplo del coche que recorre 80 kilómetros en dos horas, los problemas que
nos llevan a calcular la razón de cambio promedio arrojan resultados en los cuales se determi-
na una variación que no necesariamente existe en la realidad a cada momento; en otras pala-
bras, un coche no mantiene esta velocidad a lo largo de las dos horas por diferentes razones,
como el tráfico, subidas, bajadas, curvas etc., sino que estimamos el promedio de unidades de
distancia al cual debió avanzar para completar dicho recorrido.
En semestres anteriores, se analizó la fórmula para calcular la pendiente de una función lineal,
la cual se puede utilizar también como la razón de cambio promedio realizando la siguiente
afirmación:
Entonces para calcular la razón de cambio promedio se utiliza la fórmula:
41

LA DERIVADA
Bloque II
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
La razón de cambio instantánea también se denomina derivada y hace referencia a la rapidez
con la cual cambia la pendiente de una curva en un momento determinado. No olvidemos que
la razón de cambio muestra la proporción en la que cambia una variable con respecto a otra o,
desde un punto de vista gráfico, la pendiente de una curva.
Si retomamos el ejemplo del coche, la razón de cambio instantánea podría resultar útil para
conocer el trayecto recorrido en un punto específico de las dos horas, que es el plazo de tiem-
po total analizado en el problema. A diferencia de la razón promedio, la instantánea tiene una
visión muy puntual, ya que busca conocer o corregir valores antes de que finalice el periodo
(Gardey, 2013).
Recuperado el 29 de Enero de 2019, de Definición. De: https://definicion.de/razon-de-cambio/
DEFINICIÓN DE DERIVADA COMO EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función se conoce como el límite de las rectas secantes cuando la diferen-
cia ∆x tiende al valor de cero. Es decir:
En la figura mostrada aquí se puede ob-
servar cómo la diferencia x2
– x1
= Δx
va disminuyendo hasta que práctica-
mente x2
está junto con x1
, de allí que
se mencione que se trata de un límite
donde los cruces de las rectas secan-
tes (rectas punteadas) se van acercan-
do cada vez más hasta que se llega a
la situación límite x2
– x1
= ∆x → 0.
Así entonces se concluye que la deriva-
da es la recta tangente (recta continua)
a un punto dado sobre la función f(x).
Para resumir, aplicamos el proceso de los cuatro pasos:
Paso 1: se suma un ∆x a cada variable x de la función, es decir, f(x + ∆x)
Paso 2: se le resta la función al resultado anterior, es decir, f(x + ∆x) - f(x), y al resultado lo
llamamos ∆y
Paso 3: dividimos ∆y entre ∆x, esto para cancelar algunos ∆x
Paso 4: se evalúa el límite cuando ∆x → 0

Ejemplo 1: encontrar la derivada de la función f(x) = 4x - 2 con la regla de los 4 pasos.
Paso 1:
Si f(x) = 4x - 2 entonces: f(x + ∆x) = 4(x + ∆x) - 2 = 4x + 4∆x - 2
Paso 2:
f(x + ∆x) - f(x) = (4x + 4∆x - 2) - (4x - 2) = 4x + 4∆x - 2 - 4x + 2
El resultado es ∆y = 4∆x
Paso 3:
Dividimos entre
Paso 4:
Evaluamos el límite ∆x → 0
Entonces la derivada de f(x) = 4x - 2 es igual a 4. La notación que se utiliza para indicar la de-
rivada de una función es:
Ejemplo 2: derivar la función f(x) = -3x2
- 5x + 7 con la regla de los cuatro pasos.
Paso 1:
Paso 2:

Paso 3:
Paso 4:
43

LA DERIVADA
Bloque II
A continuación, en binas, aplicando la regla de los cuatro pasos, calcula la derivada
en el punto dado:
1. f(x) = x2
- 3x + 4, cuando x = 1
2. f(x) = -x + 2, cuando x = 3
3. f(x) = -4x + 5, cuando x = 4
4. f(x) = -3x2
- x + 7, cuando x = 0
Lee la siguiente situación hipotética y resuelve lo que se te pide.
En la siguiente tabla se muestra el dolor de cabeza que siente una persona a través diez horas
después de tomar un analgésico de cierta marca.
Nota: se ha tomado en 10 puntos el máximo dolor experimentado y cero como nulo dolor.
Calcula la rapidez cambio instantáneo de dolor
por hora (la derivada) con la regla de los cua-
tro pasos e indica en la tabla como disminuye
(derivada negativa) o como aumenta (derivada
positiva).
La función de la curva es: y = f(x) =0.4x2
- 4x + 10
Paso 1:
Paso 2:
Actividad 1
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 2
x = horas 0 1 2 4 5 8 9 9.5 10
y = dolor 10 6.4 3.6 0.4 0 3.6 6.4 8.1 10

Paso 3:
Paso 4:
Sustituye los valores de “x” en la derivada para obtener lo que se te pide en la siguiente tabla:
¿En qué hora tiene el máximo efecto el analgésico, es decir, no se siente dolor?
Debido a lo tediosa que puede llegar a ser la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada
de una función, se puede resumir considerablemente el tiempo de calcular la derivada utilizan-
do algunas reglas y fórmulas, las cuales se enlistan a continuación:
FORMULARIO DE DERIVACIÓN
Para resumir textos, en la tabla las letras a, b, c y n se considerarán constantes. Se utiliza la
notación de Newton.
x = horas 2 4 5 7 9
f'(x)=
dolor
hora
45

LA DERIVADA
Bloque II

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES
En todos los casos se identifica la fórmula, se aplica y se despliega el consecuente resultado.
Importante: en todos los casos se mostrará el procedimiento completo para manifestar lo que
se realiza en cada ejercicio, esto con el fin de analizar paso a paso cada procedimiento.
Función constante f(x) = c ; Fórmula (c)' = 0
Entonces, como conclusión, la derivada de cualquier número real es cero.
Función constante por variable f(x) = bx y función lineal f(x) = a + bx
Fórmulas (bx)' = b y (a + bx)' = b
Se concluye que constante por variable y función lineal siempre dará
como resultado una constante.
47

LA DERIVADA
Bloque II
Función cuadrática f(x) = a + bx + cx2
; fórmula: (a + bx + cx2
)' = b + 2cx
El resultado de derivar una función cuadrática dará siempre
como resultado una función lineal.
Función con potencia positiva y función con potencia negativa
Al final de cuentas, tanto en la potencia positiva como en la negativa se resta 1 al exponente,
esto hace que cuando sea una potencia negativa aumente en vez de disminuir.

Argumento u(x) con potencia positiva y argumento con potencia negativa
Al final de cuentas, en todos los casos primero se derivó el argumento u
y posteriormente, se aplicó la fórmula de la potencia.
49

LA DERIVADA
Bloque II
Raíz cuadrada sin argumento y raíz cuadrada con argumento
En general, las raíces cuadradas, al ser derivadas, termina el
término original en el denominador.

Raíz cúbica sin argumento y raíz cúbica con argumento
En todos los casos, aparte de derivar el argumento, se usó la fórmula,
sin embargo, en algunos casos, no quedará con denominador debido a
que el término dentro de la raíz es de grado 3 o mayor.
51

LA DERIVADA
Bloque II
Función exponencial base b y función exponencial base e.
En las funciones exponenciales se aplica la misma estrategia que
se ha utilizado en las demás funciones.
Funciones trigonométricas con argumento u(x).

En las funciones trigonométricas, como en cualquier otro tipo
de función, se realiza el mismo procedimiento para llegar a un resultado.
53

LA DERIVADA
Bloque II
Funciones logarítmicas con argumento u(x).
En las funciones logarítmicas, como en cualquier otro tipo de función, se realiza el mismo
procedimiento para llegar a un resultado y es de cierta forma más rápido.
El usar logaritmos en derivación ayudará a simplificar expresiones
como producto o cocientes de funciones.

Producto de funciones
(uv)' = uv' + vu'
Aquí ya se resumirán algunos pasos que no se resumían previamente, para dar paso a otros
pasos nuevos en el tema de derivación. Se simplificarán las expresiones en todos los casos.
En los productos de funciones siempre se busca simplificar las expresiones mediante el uso
de factorización, ya sea para funciones polinomiales o funciones trascendentes.
1. Derivo u y v.
2. Aplico la fórmula.
3. Sustituyo lo que se derivó por partes.
4. Conmuto y asocio términos.
5. Factorizo y simplifico.
Hasta este momento vimos todos los casos de funciones básicas derivables. A continuación,
se verán ejemplos de productos y cocientes de funciones donde se involucran las funciones
vistas anteriormente.
55

LA DERIVADA
Bloque II
Cociente de funciones
Al igual que en el producto, aquí se resumirán algunos pasos que no se resumían previamen-
te, para dar paso a otros pasos nuevos en el tema de derivación. Se simplificarán las expre-
siones en todos los casos.
En los cocientes de funciones siempre se busca simplificar las expresiones mediante el uso de
factorización, ya sea para funciones polinomiales o funciones trascendentes.
1. Derivo u y v.
2. Aplico la fórmula.
3. Sustituyo lo que se derivó por partes.
4. Conmuto y asocio términos.
5. Factorizo y simplifico.

Actividad 3
Actividad 3
Instrucciones: una vez distinguidas y analizadas las distintas formas de obtener la derivada de
una función, en equipo de tres personas, realizar los siguientes ejercicios de derivación utilizando
las reglas y fórmulas correspondientes. NO SE PERMITE OMITIR PASOS INTERMEDIOS QUE
PUEDAN RESULTAR OBVIOS.
Después de haber aprendido a calcular la primera derivada de una función, a continuación, en la si-
guiente página, aprenderemos a calcular las derivadas de orden superior conocidas también como
derivadas sucesivas.
DERIVADAS SUCESIVAS
Las derivadas sucesivas, conocidas también como derivadas de orden superior, son aquellas en las
cuales una vez que se calcule la primera derivada f'(x) se procede a calcular una nueva derivada
partiendo del resultado obtenido con anterioridad a la que se le conoce como segunda derivada
de la función f''(x) y así, sucesivamente, hasta obtener la derivada que le sea solicitada como se
muestra en los ejemplos siguientes:
x + 1
2x + 3
x + cosx
x - senx
x + 1
x - 1
1. f(x) = 6x + 5 10. f(x) = 5x3
- 3x 19. f(x) = 2sen3x + cos2x
2. f(x) = 5x2
- 8x + 3 11. f(x) = (7x + 2)5
20. f(x) = tan2x - cot2x
3. f(x) = 2x5
- x6
+ 8 12. f(x) = 53x
+ 54x
21. y = (2x + 3)(x - 4)
4. f(x) = 5x-4
- 2x-3
13. f(x) = 67x - 8x + 4
22. y = (x2
+ 4)(3x3
- 8)
5. f(x) = (2x3
- 5x + 1)4
14. f(x) = ex- x
23. y = e3x
(x2
+ 3x - 1)
6. f(x) = (5x - x2
)-2
15. f(x) = log3
(9x + x2
) 24. y = x4
sen3x
7. f(x) = 2x + x2
16. f(x) = log2
(x3
- 6x) 25. y =
8. f(x) = (3x+2)5
17. f(x) = ln(x2
- 7x + 2) 26. y =
9. f(x) = x+3 18. f(x) = ln( x + x - 5) 27. y =
Desafío: determinar la derivada de la función f(x) = [ x + x)] cos x
3
3
2
3
57

LA DERIVADA
Bloque II
Después de analizar los ejemplos anteriores, calcula hasta la segunda derivada de las siguien-
tes funciones:
Desafío: determinar la segunda derivada de la función f(x) = [x4
+ (x2
+ 1)2
]8
Caso de una función polinomial Caso de una función trascendental

INSTRUMENTO DE AUTOEVALUACIÓN
INSTRUMENTO DE COEVALUACIÓN
Nombre del alumno:
Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas académicas.
Soy consciente de mis hábitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud
física, mental y social.
Puedo expresar mis ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.).
Utilizo las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren.
Formulo hipótesis y compruebo su validez para la solución de problemas planteados en
diversas asignaturas.
Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las más relevantes y confiables.
Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas.
Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.
Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compañeros.
Contribuyo con acciones para la solución de problemas ambientales de mi comunidad.
Nombre del compañero:
Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.
Lleva a cabo hábitos de consumo que favorecen su salud física, mental y social.
Expresa sus ideas a través de diversos lenguajes (común, matemático, etc.).
Utiliza las Tecnologías de la Información y Comunicación en los trabajos que lo requieren.
Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas.
Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las más relevantes y confiables.
Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas.
Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.
Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compañeros.
Participa en acciones para la solución de problemas ambientales de su entorno.
59

Competencias
Competencias
piados.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo lar-
go de la vida.
CG7.3 Articula saberes de diversos campos y esta-
blece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
8. Participa y colabora de manera afectiva en
equipos diversos.
CG8.3 Asume una actitud constructiva, congruente
con los conocimientos y habilidades con los que
cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
CDEM 1. Construye e inter-
preta modelos matemáticos
mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos,
algebraicos, geométricos y
variacionales, para la com-
prensión y análisis de situa-
ciones reales, hipotéticas o
formales.
CDEM 2. Formula y resuel-
ve problemas matemáticos
aplicando diferentes enfo-
ques.
CDEM 3. Explica e interpre-
ta los resultados obtenidos
mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta
con modelos establecidos o
situaciones reales.
CDEM 4. Argumenta la so-
lución obtenida de un pro-
blema, con métodos numé-
ricos, gráficos, analíticos o
variacionales, mediante el
lenguaje verbal, matemático
y el uso de las Tecnologías
de la Información y la Comu-
nicación.
Bloque III
APLICACIONES DE LA DERIVADA

Bloque III
Utiliza las reglas de derivación para resolver situaciones reales o hi-
potéticas del medio que lo rodea, favoreciendo con ello la construc-
ción de nuevos conocimientos y afrontando los retos que se le pre-
senten.
● Geografía ● Eje transversal social
lectoras
● Máximos, mínimos y puntos de
inflexión de una función.
● Optimización.
● Velocidad, aceleración y rapidez
de un móvil.
● Regla de L’Hópital.
● Interpreta gráficamente los
máximos, mínimos y puntos de
inflexión de una función.
● Reconoce los criterios de primera
y segunda derivada para obtener
los máximos, mínimos y puntos
de inflexión de una función.
● Asocia distintas variables para
generar modelos matemáticos.
● Interpreta la primera derivada de
la posición como la velocidad y la
segunda derivada de la posición
como la aceleración.
organizado.
● Expresa ideas y con-
ceptos favoreciendo su
creatividad.
● Afronta retos asumien-
do la frustración como
parte de un proceso.
● Esboza de madera metódica y organizada la gráfica de una función a partir del cálculo de
sus máximos, mínimos y puntos de inflexión para representar situaciones reales o hipotéti-
cas de su entorno.
● Resuelve de forma creativa problemas de optimización, aplicando los criterios de máximos
y mínimos que le permitan la construcción de modelos que representen situaciones reales
o hipotéticas de su contexto.
● Aplica las reglas de derivación para calcular la velocidad y aceleración de un móvil a partir
de su posición en situaciones de su entorno, afrontando la frustración como parte de un
proceso de aprendizaje.
61

Bloque III
Situación didáctica 1
El comportamiento de la producción de
uva para elaborar vino de mesa en la
región del Valle de Guadalupe de cierta
compañía, se estima con la función:
f(x) = -x2
+ 70x - 1189
donde x representa el tiempo en semanas
y f(x) la producción de uva en toneladas
por semana.
a) ¿En qué semana comienza la cosecha de uva?
b) ¿En qué semana termina?
c) ¿En qué semana se obtendrá la máxima producción?
d) ¿Cuántas toneladas se cosechan en esa semana?
e) ¿Se alcanza la meta de las 125 toneladas?
f) ¿En qué momento?
g) ¿Cómo será la gráfica que representa la producción de uva?
SITUACIÓN
DIDÁCTICA

Actividad 1
Actividad 1
Una compañía empacadora de uva de mesa necesita cajas abiertas para almacenar su producto
de volumen máximo y se van a construir a partir de un trozo cuadrado de material que tiene 24
pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.
Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas, tienes la libertad de elegir el tamaño de x, des-
pués se recortarán cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la figura que está en la
página siguiente para que quede de la forma que está a la derecha.

a) Escribe el volumen V como función de x.
b) Completa analíticamente seis renglones de una tabla como la que sigue (se muestran los dos
primeros renglones). Usa la tabla para hacer una conjetura acerca del volumen máximo.
c) Aplica el cálculo para hallar el número crítico de la función del inciso a y encuentra el valor
máximo. Usa un medio para el efecto con el fin de construir la gráfica del inciso a y localiza el
volumen máximo a partir de esa gráfica.
63

Bloque III
EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Los máximos y mínimos son una herramienta fundamental del cálculo diferencial
que permite el uso de distintos materiales de la mejor forma, de tal manera, que
no se desperdicie dicho material. Por ejemplo, existen compañías que se dedican
a embotellar diferentes líquidos y para ello deberán conocer la forma que le darán
a la botella para utilizar la menor cantidad (mínimo) de material y que se pueda
almacenar la mayor cantidad (máximo) de líquido. A continuación, se indica el pro-
cedimiento que se debe realizar para calcular los máximos y mínimos mediante el
uso de las derivadas sucesivas.
En el siguiente esquema se localizan los extremos absolutos y relativos:
En cualquier gráfica que esté acotada, tal como ocurre con la que se muestra, siem-
pre deberá tener extremos relativos y extremos absolutos.
Altura
Longitud
y ancho
Volumen
1 24 - 2(1) 1[24 - 2(1)]2
= 484
2 24 - 2(2) 2[24 - 2(2)]2
= 800
3
4
5
6

Criterio de la primera derivada para calcular máximos y mínimos
Para calcular los máximos de una función mediante el criterio de la primera derivada
se realizan los siguientes pasos:
1. Se calcula la primera derivada de la función.
2. Se iguala a cero la primera derivada y se calculan los valores críticos x1
, x2
,…
xn
. Los cuáles serán nuestros probables máximos o mínimos.
3. Se toman valores inmediatamente menor y mayor de cada valor crítico obte-
nido y se sustituyen en la primera derivada, si los signos cambian de (-) a (+)
entonces existe un mínimo en dicho valor crítico, pero si los signos cambian de
(+) a (-) entonces existe un máximo en el valor crítico de la función.
4. Para trazan la gráfica se sustituyen los valores críticos en la función original para
obtener las coordenadas de dichos puntos máximos y mínimos (CBBC, SF).
A continuación, se proporcionan algunos ejemplos con el procedimiento descrito
con anterioridad para calcular los puntos máximos y mínimos de una función, así
como también el trazo de su gráfica.
Primer ejemplo f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
Paso 1. Se calcula la primera derivada de la función.
f'(x) = 3x2
+ 4x - 15
Paso 2. Se iguala a cero la primera derivada y se calculan los valores críticos x1
y
x2
, los cuáles serán nuestros probables máximos o mínimos.
3x2
+ 4x - 15 = 0
Es importante mencionar que en este punto existen diferentes procedimientos para
calcular los valores críticos, de los cuales los más utilizados son la fórmula general
y la factorización, como se muestra en el siguiente procedimiento:
Entonces 3x2
+ 4x - 15 = 0 donde:
65

Bloque III
Entonces primero tomamos el signo positivo y después el signo negativo o vicever-
sa, ya que el orden no importa.
Paso 3. Se toman los valores inmediatamente menores e inmediatamente mayores
y se sustituyen en la primera derivada para observar el cambio de signo.

Como el cambio de signo es de (–) a (+), entonces se dice que existe un mínimo en
x1
= 1.66.
Como el cambio de signo es de (+) a (–), entonces se dice que existe un máximo
en x2
= -3.
El valor inmediatamente menor a
x1
= 1.66 es x = 1
f'(x) = 3x2
+ 2x - 15
f'(1) = 3(1)2
+ 2(1) - 15
f'(1) = 3(1) + 2 - 15
f'(1) = -10
El valor inmediatamente mayor a
x1
= 1.66 es x = 2
f'(x) = 3x2
+ 2x - 15
f'(2) = 3(2)2
+ 2(2) - 15
f'(2) = 3(4) + 4 - 15
f'(2) = +1
El valor inmediatamente menor a
x2
= -3 es x = -4
f'(x) = 3x2
+ 2x - 15
f'(x) = 3(-4)2
+ 2(-4) - 15
f'(x) = 3(16) - 8 -15
f'(x) = +25
El valor inmediatamente mayor a
x2
= -3 es x = -2
f'(x) = 3x2
+ 2x - 15
f'(x) = 3(-2)2
+ 2(-2) - 15
f'(x) = 3(4) - 4 - 15
f'(x) = -7

f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
f(x) = (1.66)3
+ 2(1.66)2
- 15(1.66) - 20
f(x) = 4.63 + 5.56 - 25 - 20
f(x) = -34.81
Las coordenadas son (1.66, -34.81)
f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
f(x) = (-3)3
+ 2(-3)2
- 15(-3) - 20
f(x) = -27 + 18 + 45 - 20
f(x) = 16
Las coordenadas son (-3, 16)
Paso 4. Para trazar la gráfica se sustituyen los valores críticos en la función original para así
obtener las coordenadas de dichos puntos máximos y mínimos.
Una vez localizadas las coordenadas del punto máximo y el punto mínimo, se ubican en el
plano cartesiano como se muestra en la siguiente figura:
Segundo ejemplo f(x) = x3
- 6x2
+ 4
Paso 1. f'(x) = 3x2
- 12x
Paso 2. 3x2
- 12x = 0
Factorización por factor común
3x(x - 4) = 0
67

Bloque III
Como el cambio de signo es de (+) a (–), entonces se dice que existe un máximo
en x1
= 0.
Como el cambio de signo es de (–) a (+), entonces se dice que existe un mínimo en
x2
= 4.
Una vez localizadas las coordenadas del punto máximo y el punto mínimo re-
lativos se ubican en el plano cartesiano como se muestra en la figura de la
siguiente página:
Paso 3.
Para x1
= 0 el inmediatamente menor
x = -1
f'(x) = 3x2
- 12x
f'(x) = 3(-1)2
- 12(-1)
f'(x) = 3 + 12
f'(x) = 15
Para x1
= 0 el inmediatamente mayor
x = 1
f'(x) = 3x2
- 12x
f'(x) = 3(1)2
- 12(1)
f'(x) = 3 - 12
f'(x) = -9
Para x2
= 4 el inmediatamente menor
x = 3
f´(x) = 3x2
- 12x
f´(x) = 3(3)2
- 12(3)
f´(x) = 27 - 36
f´(x) = -9
Para x2
= 4 el inmediatamente mayor
x = 5
f´(x) = 3x2
- 12x
f´(x) = 3(5)2
- 12(5)
f´(x) = 75 - 60
f´(x) = 15
Paso 4.
f(x) =x3
- 6x2
+ 4
f(x) = (0)3
- 6(0)2
+ 4
f(x) = 4
Las coordenadas son (0, 4)
f(x) = x3
- 6x2
+4
f(x) = (4)3
- 6(4)2
+ 4
f(x) = 64 - 96 + 4
f(x)= -28
Las coordenadas son (4, -28)

Actividad 2
Actividad 2
Calcula los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones aplicando el criterio de la prime-
ra derivada y traza su gráfica (CBBC, SF).
1. f(x) = x2
- 8x + 1
2. f(x) = -x2
+ 8x - 2
3. f(x) = x3
- 6x2
+ 16
4. f(x) = x3
+ 12x2
+ 45x - 52
5. f(x) = -x3
+ 6x2
- 9x + 1
6. f(x) = x3
- 12x + 1
Criterio de la segunda derivada para calcular máximos y mínimos
Para poder calcular los máximos de una función mediante el criterio de la primera derivada, se
realizan los siguientes pasos:
1. Se calcula la primera y segunda derivada de la función.
2. Se iguala a cero la primera derivada y se calculan los valores críticos x1
,x2
…,xn
. Los cua-
les serán nuestros probables máximos o mínimos.
3. Se sustituyen los valores críticos encontrados en la segunda derivada y si el resultado ob-
tenido es negativo, entonces existe un máximo, pero, si el resultado es positivo entonces
existe un mínimo en la función.
4. Para trazar la gráfica se sustituyen los valores críticos en la función original, para obtener
las coordenadas de dichos puntos máximos y mínimos (CBBC, SF).
69

Bloque III
A continuación, se proporcionan algunos ejemplos con el procedimiento descrito
previamente para calcular los puntos máximos y mínimos de una función, así como
también el trazo de su gráfica.
a) f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
Paso 1. Se calcula la primera y segunda derivada de la función
f'(x) = 3x2
+ 4x - 15
f''(x) = 6x + 4
Paso 2. Se iguala a cero la primera derivada y se calculan los valores críticos x1
,
x2
…, xn
. Los cuáles serán nuestros probables máximos o mínimos
3x2
+ 4x - 15 = 0
Entonces 3x2
+ 4x - 15 = 0 donde:
Entonces primero tomamos el signo positivo y después el signo negativo o vicever-
sa, ya que el orden no importa

Paso 3. Se sustituyen los valores críticos encontrados en la segunda derivada y si
el resultado obtenido es negativo, entonces existe un máximo, pero, si el resultado
es positivo entonces existe un mínimo en la función
f''(x) = 6x + 4
Paso 4. Para trazar la gráfica se sustituyen los valores críticos en la función original
para obtener las coordenadas de dichos puntos máximos y mínimos
Una vez localizadas las coordenadas del punto
máximo y el punto mínimo, se ubican en el pla-
no cartesiano como se muestra en la siguiente
figura:
Para x1
= 1.66
f''(x) = 6(1.66) + 4
f''(x) = +14
Como el signo es positivo, entonces
existe un mínimo
Para x2
= -3
f''(x) = 6(-3) +4
f''(x) = -14
Como el signo es negativo, entonces
existe un máximo
f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
f(x) = (1.66)3
+ 2(1.66)2
- 15(1.66) - 20
f(x) = 4.63 + 5.56 - 25 - 20
f(x) = -34.81
Las coordenadas son (1.66, -34.81)
f(x) = x3
+ 2x2
- 15x - 20
f(x) = (-3)3
+ 2(-3)2
- 15(-3) - 20
f(x) = -27 + 18 + 45 - 20
f(x) = 16
Las coordenadas son (-3, 16)
Actividad 3
Actividad 3
Calcula los puntos máximos y mínimos de las siguientes funciones aplicando el criterio de la segun-
da derivada y traza su gráfica (CBBC, SF).
1. f(x) = x2
- 6x + 1
2. f(x) = -4x2
+ 8x
3. f(x) = x3
- 6x2
+ 4
4. f(x) = x3
+ 7x2
+ 15x
5. f(x) = -x3
+ 9x2
- 24x + 7
6. f(x) = x3
- 6x2
+ 9x + 1
71

Bloque III
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Se dice que una función f(x) tiene un punto de inflexión cuando cambia su sentido
de concavidad. Como se muestra en la siguiente figura:
En la gráfica anterior se observa que en el punto C la curva cambia de sentido de
cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, indicando entonces que dicho punto
se llama punto de inflexión.
Criterio de la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión
Si la concavidad cambia de sentido, entonces, la segunda derivada cambia de signo
y, por lo tanto, es igual a cero en el punto de inflexión. De aquí que se puede deter-
minar el punto de inflexión con el criterio de la segunda derivada.
Criterio de la segunda derivada
1. Se calcula la primera y segunda derivada de la función.
2. Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación que resulta
para calcular las abscisas donde la función puede tener un punto de inflexión.
3. Se determinan los intervalos con valores inmediatamente menores y mayores
para cada abscisa encontrada para las cuales existe inflexión cuando la segun-
da derivada cambia de signo.
4. Se sustituyen las raíces de la segunda derivada en la función original para cal-
cular las ordenadas de los puntos de inflexión (CBBC, SF).
Ejemplo:
Calcula los puntos de inflexión de la función f(x) = x3
- 6x2
+ 9x - 1
Paso 1.
f'(x) = 3x2
- 12x + 9
f''(x) = 6x - 12

Paso 2.
6x - 12 = 0
6x = 12
x =
x = 2
12
6

Como el signo de la segunda derivada pasa de negativo a positivo, la función tiene un punto
de inflexión en x = 2
Paso 4. Para calcular la ordenada del punto de inflexión se sustituye x=2 en la función original
para conocer las coordenadas del punto de inflexión
f(x) = x3
- 6x2
+ 9x - 1
f(x) = (2)3
- 6(2)2
+ 9(2) - 1
f(x) = 8 - 24 + 18 - 1
f(x) = 1
Entonces la coordenada del punto de inflexión
es: (2,1)
La gráfica de la función f(x) = x3
- 6x2 + 9x - 1
se muestra en la siguiente gráfica:
Paso 3. Cuando x = 2
Inmediatamente menor x = 1
f''(x) = 6x - 12
f''(x) = 6(1) - 12
f''(x) = 6 - 12
f''(x) = -6
Inmediatamente mayor x = 3
f''(x) = 6x - 12
f''(x) = 6(3) - 12
f''(x) = 18 - 12
f''(x) = 6
73

Bloque III
Calcula el punto de inflexión de las siguientes funciones. Realizar en hojas para
entregar.
1. f(x) = x3
- 6x2
+ 9x - 1
2. f(x) = 2x3
- 6x2
+ 12x + 3
3. f(x) = -x3
+ 9x2
- 24x + 5
4. f(x) = 2x3
- 6x + 5
5. f(x) = 4 + 3x - x3
6. f(x) = 2 + 9x + 6x2
- x3
7. f(x) = 4x3
- 36x2
+ 28x - 87
Actividad 4
Actividad 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA: OPTIMIZACIÓN
Dentro de los temas de máximos y mínimos ahora corresponde aplicar a problemas de casos
que vemos en la vida cotidiana.
Ejemplo 1. Determinar el área máxima inscrita posible de un rectángulo limitado por los ejes
cartesianos y la recta y = 20 -
Solución. Para darse una idea de cómo comenzar el problema es necesario utilizar un grafica-
dor o en caso de no contar con un graficador tabular algunos valores para trazarlos en el plano
cartesiano.
Necesito el área del rectángulo:
A = xy
Al tener dos variables, es necesario sustituir el
valor y para tener una sola variable, es decir:
A = x(20 - )
Una vez así se realiza el producto notable y posteriormente la derivación.
A = 20x -
A' = 20 - = 20 - x
x
2
x
2
x2
2
2x
2

Ahora para optimizar se iguala a cero, debido a que, en cualquier extremo relativo,
máximo o mínimo, la pendiente en el punto es cero.
Entonces:
A' = 0
20 - x = 0
20 = x
Con esto se obtiene el valor crítico para x. Ahora corresponde encontrar el valor de y
y = 20 -
y = 20 -
y = 20 - 10
y = 10
Una vez encontrados los valores, se calcula el área máxima
Amax
= (20)(10) = 200 u2
En conclusión, de acuerdo con las características del problema, el área máxima se
obtiene cuando el valor de x es el doble del valor de y
Ejemplo 2. Una hoja cuadrada, inicialmente de 30 cm, se le realizan cortes en las
esquinas de x cm para hacer dobleces y formar una caja. ¿Para qué valor de x el
volumen de la caja que se obtenga será un máximo?
Como en cada lado se están recortan-
do las esquinas con x cm, entonces mi
fórmula resultante por lado ahora será
de 30 - 2x cm por lado y x cm de altura.
Es decir, V(x) = x(30 - 2x)2
Solución: para evitar el uso de la regla de la cadena y la regla del producto convie-
ne primero desarrollar el binomio y, posteriormente, multiplicar por x
V(x) = x(900 - 120x + 4x2
)
V(x) = 900x - 120x2
+ 4x3
Ahora derivo con respecto a x e igualo a cero para obtener los valores críticos
V'(x) = 900 - 120(2x) +4(3x2
)
V'(x) = 900 - 240x + 12x2
= 0
20
2
x
2
75

Bloque III
En esta ecuación resultante es posible simplificar dividiendo por 12, esto resulta ser:
75 - 20x + x2
= 0
Una vez igualada a cero la expresión derivada, se procede a obtener los valores críticos. Convie-
ne el uso de la fórmula general
Sustituyo los coeficientes y realizo el procedimiento de obtención de los valores
De aquí se obtienen los valores críticos: x1
= 5
x2
= 15
Para nuestro caso, es necesario comprobar cuál me arrojará un valor máximo, el que me intere-
sa. Conviene usar el criterio de la segunda derivada.
Para ello obtengo la segunda derivada: V''(x) = -240 + 24x
Compruebo los valores críticos:
V"(5) = -240 + 24(5) = -240 + 120 = -120 < 0
V"(15) = -240 + 24(15) = -240 + 360 = 120 > 0
Conclusión: de acuerdo con los criterios de la segunda derivada, el valor de x = 5 será mi valor
de interés, por lo tanto, me llevará a obtener un volumen máximo.

Actividad 5
Actividad 5
En hojas para entregar, resuelve los siguientes problemas de optimización.
1. El costo total C de almacenaje de x unidades está dado por la fórmula siguiente:
Determinar el valor de x para el cual se minimiza el costo.
2. La suma de dos números es igual a 120. Determinar dichos números de tal manera que su
producto sea el máximo posible.
3. Al toser, nuestra tráquea se contrae. La velocidad del aire al toser se rige mediante la fórmula
v(r) = 2r2
(4 - r), 4 cm es el radio original de la tráquea y r el radio al toser. Determinar el radio
r para el cual la velocidad del aire al toser es máxima.
4. En un día determinado, el ritmo o tasa de flujo de tráfico (vehículos por hora) en cierto boule-
vard congestionado es:
Donde v es la rapidez en millas por hora. ¿Qué rapidez maximizará el ritmo o tasa de flujo en
la autopista?
5. Una persona posee 2,400 metros de malla y desea cercar un terreno a la orilla de un río. Si no
necesita cercar del lado del río, ¿cuáles son las dimensiones del terreno que posee para así
optimizar su malla?
300000
x
C = 2x +
v
22 + 0.02 v2
F =
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
La velocidad instantánea se define como el cambio de la posición con respecto al tiempo o bien,
la primera derivada de la posición con respecto al tiempo. Matemáticamente es:
Como se trata ya de un límite se convierte en:
v(t) = s'(t)
Ejemplo
Calcular la velocidad instantánea de una partícula que tiene la trayectoria en metros s(t) = 20t
- t2
al tiempo t = 4s y al tiempo t = 6s. Concluir los resultados.
Se procede a derivar la posición s(t):
s' (t) = v(t) = 20 - 2t
77

Bloque III
Se evalúa en el valor t = 4:
v(4) = 20 - 2(4)
v(4) = 20 - 8
v(4) = 12 m/s
Ahora para t = 6:
v(6) = 20 - 2(6)
v(6) = 20 - 12
v(6) = 8 m/s
De acuerdo con los resultados obtenidos, se comprueba que la partícula está dis-
minuyendo su velocidad.
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
En lo sucesivo de derivación, después de la velocidad, sigue la aceleración ins-
tantánea, que es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. También es la
segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. Matemáticamente es:
Al ser un límite también se puede expresar como doble igualdad por su doble signi-
ficado como sigue:
a(t) = v' (t) = s''(t)
Ejemplo 1
Calcular la velocidad y aceleración instantáneas de un automóvil que tiene la trayec-
toria en metros s(t) = 2t2
+ t al tiempo t = 3s y al tiempo t = 6s. ¿Existe algún cambio
en la aceleración?
Para ser prácticos se van a determinar la primera y segunda derivada
(s'(t) = v(t) = 4t + 1
s''(t) = a(t) = 4
Ahora calculamos ambos elementos en el tiempo t = 3
v(3) = 4(3) + 1 = 13 m/s
a(3) = 4 m/s2
Sigue para el tiempo t = 6
(v(6) = 4(6) + 1 = 25 m/s
a(6) = 4 m/s2
Respondiendo a la pregunta, no existe cambio en la aceleración, por lo tanto, es
constante y es positiva, por lo que la velocidad aumenta conforme el tiempo pasa.

Actividad 6
Actividad 6
Realizar en el cuaderno
a) Determinar la velocidad instantánea en los siguientes ejercicios sujetos a la condición dada:
1. s(t) = 4t2
- 3t, al tiempo t = 2s
2. s(t) = 20t - 3t2
, al tiempo t = 5s
3.
s(t) = 80t - t3
, al tiempo t = 3s
b) Determinar la aceleración instantánea en los ejercicios siguientes sujetos a la condición dada:
1. s(t) = 28t - t2
, al tiempo t = 4s
2. s(t) = 25t2
- 2t3
, al tiempo t = 10s
3. s(t) = 200 + 3t - t3
, al tiempo t = 5s
Ejemplo 2
Calcular la velocidad y aceleración instantáneas de una serie de partículas alfa, dentro de un
acelerador de partículas que obedecen a la trayectoria
s(t) = t3
- 75t2
- 2125t + 84375 a los tiempos t = 10s, t = 50s, t = 90s
Se determinarán de forma simultánea la velocidad y la aceleración
s'(t) = v(t) = 3t2
- 150t - 2125
s''(t) = a(t) = 6t - 75
Determinando los valores a los tiempos indicados:
v(10) = 3(10)2
- 150(10) - 2125 a(10) = 6(10) - 75
v(50) = 3(50)2
- 150(50) - 2125 a(50) = 6(50) - 75
v(90) = 3(90)2
- 150(90) -2125 a(90) = 6(90) - 75)
v(10) = -3325 m/s a(10) = -15 m/s2
v(50) = -2125 m/s a(50) = 225 m/s2
v(90) = 8675 m/s a(90) = 465 m/s2
Es importante observar que, al tratarse de partículas alfa en un acelerador, las cantidades ob-
tenidas son grandes.
79

Bloque III
LA REGLA DE L’HÔPITAL PARA EVALUACIÓN DE LÍMITES
La regla la usaremos para calcular límites con la indeterminación del tipo 0/0 y la de
∞/∞, en realidad, esta regla no es exclusiva para los casos mencionados, solamente
funciona para situaciones convencionales. Matemáticamente se representa como
sigue:
El poner igualdades consecutivas significa que la regla se puede aplicar las veces
que sea necesario hasta que la indefinición desaparezca.
Como veremos en los ejemplos, podemos usarla para todos los tipos.
Ejemplo 1
Este límite en particular es de la forma 0/0, se puede resolver factorizando la expre-
sión del numerador y nos resulta un valor de 4, pero ahora usaremos la regla para
comprobar que dé el mismo resultado que la forma convencional
Como vemos, también dio el mismo resultado, por tanto, fue efectiva la regla.
Ejemplo 2
Pensar en una estrategia diferente a la regla resulta en un procedimiento tedioso y
largo, por lo tanto, iremos directamente a aplicar la regla
Ejemplo 3
Este es un caso donde tengo la indefinición 0/0, por lo cual debo aplicar la regla para
poder llegar a un resultado diferente de 0/0

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