Resolución de las cuestiones y problemas de la selectividad de física andaluza del 14 de junio de 2014.

1. [TÍTULO DEL DOCUMENTO]

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quiere realizar un comentario, envíeme un correo (dirección en el pie de página). Si ciertos
símbolos, como los paréntesis, no se visualizan, descargue el documento.
1.- a) Explique las características del campo gravitatorio de una masa puntual.
b) Dos partículas de masas m y 2m están separadas una cierta distancia. Explique qué
fuerza actúa sobre cada una de ellas y cuál es la aceleración de dichas partículas.
a) Cuando una masa se dispone en un punto determinado, se dice que esta genera
una perturbación del espacio que denominamos campo gravitatorio. Más
concretamente, la intensidad de campo gravitatorio en un punto se define como la
fuerza que actúa sobre una masa testigo de 1 kg cuando se sitúa en ese punto, en las
proximidades de la primera. Matemáticamente:
𝑔𝑔 =
𝐹𝐹
𝑚𝑚′
Como es sabido, la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales viene dada por la ley
de gravitación universal:
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚𝑚𝑚′
𝑟𝑟2
Por lo tanto, la intensidad del campo gravitatorio que genera una masa puntual tiene
por expresión:
𝑔𝑔 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚
𝑟𝑟2
Así pues, la intensidad de campo gravitatorio presenta las siguientes características:
 Es directamente proporcional a la masa que crea el campo.
 Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la masa y el punto
considerado.
 Sus unidades en el Sistema Internacional son N kg⁄ .
 La constante de proporcionalidad, 𝐺𝐺, se conoce como constante de gravitación
universal, pues su valor es el mismo en cualquier lugar del universo y
aproximadamente igual a 6,67 ⋅ 10−11
Nm2
kg−2
.
No podemos olvidar que el campo gravitatorio es un campo vectorial, es decir, cada
punto del espacio lleva asociado un vector cuya dirección es la que une ese punto con
la masa que crea el campo. El vector campo gravitatorio siempre está orientado hacia
esta masa, debido a que la fuerza gravitatoria es atractiva y no repulsiva.
Vectorialmente, el vector campo gravitatorio se puede expresar del siguiente modo:
𝑔𝑔⃗ = −𝐺𝐺
𝑚𝑚
𝑟𝑟2
𝑢𝑢̂𝑟𝑟 = −𝐺𝐺
𝑚𝑚
𝑟𝑟3
𝑟𝑟⃗
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3. Donde 𝑢𝑢̂𝑟𝑟 es un vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto donde
estamos estudiando el campo gravitatorio.
Otra característica fundamental del campo gravitatorio es que es conservativo, lo que
supone que:
 La circulación del vector campo gravitatorio en una trayectoria cerrada es cero:
� 𝑔𝑔⃗
𝐿𝐿
⋅ 𝑑𝑑𝑙𝑙⃗= 0
Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria al desplazar su punto de
aplicación sobre un ciclo es también nulo.
 Existe una función o campo escalar asociado al campo gravitatorio denominado
potencial que verifica que:
𝑔𝑔⃗ = −∇������ 𝑉𝑉
De modo que la circulación del vector campo gravitatorio en una línea solo depende
de las posiciones inicial y final y no de la trayectoria descrita. Esta circulación puede
calcularse como la diferencia de los potenciales en estos puntos:
� 𝑔𝑔⃗
𝐵𝐵
𝐴𝐴
⋅ 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗ = 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵
Consecuencia inmediata de esto es que el trabajo efectuado por la fuerza gravitatoria
también es independiente del camino seguido y se puede calcular del siguiente modo:
𝑊𝑊 = 𝑚𝑚(𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑉𝑉𝐵𝐵) = −∆𝐸𝐸𝑝𝑝
(Esta pregunta es muy amplia y debe admitir respuestas muy diferentes a la que yo he propuesto)
b) Para facilitar la resolución de esta cuestión, supondremos que las masas se
encuentran sobre el eje 𝑂𝑂𝑂𝑂, cuyo vector unitario designaré por 𝚤𝚤̂.
El módulo de la fuerza atractiva que actúa sobre las masas se deduce de la ley de
gravitación universal:
𝐹𝐹 = 𝐺𝐺
𝑚𝑚𝐴𝐴 𝑚𝑚𝐵𝐵
𝑟𝑟2
= 𝐺𝐺
𝑚𝑚 ⋅ 2𝑚𝑚
𝑑𝑑2
= 𝐺𝐺
2𝑚𝑚2
𝑑𝑑2
En forma vectorial, las fuerzas quedarían del siguiente modo:
𝐹𝐹⃗12 = 𝐺𝐺
2𝑚𝑚2
𝑑𝑑2
𝚤𝚤̂ 𝐹𝐹⃗21 = −𝐺𝐺
2𝑚𝑚2
𝑑𝑑2
𝚤𝚤̂
Donde 𝐹𝐹⃗12 es la fuerza de la masa 1 sobre la masa 2 y viceversa.
Como cabría esperar, se verifica la ley de acción y reacción:
𝐹𝐹⃗12 = −𝐹𝐹⃗21
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4. Por otra parte, las aceleraciones se pueden calcular a través de la segunda ley de
Newton, que establece que la aceleración de la que está animado un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza a la que es sometido, siendo la constante de
proporcionalidad la masa:
𝐹𝐹⃗ = 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ ⟶ 𝑎𝑎⃗ =
𝐹𝐹⃗
𝑚𝑚
Considerando que el cuerpo 2 es aquel cuya masa es 2𝑚𝑚, sustituimos:
𝑎𝑎⃗1 =
𝐹𝐹⃗21
𝑚𝑚1
=
𝐹𝐹⃗21
𝑚𝑚
= −𝐺𝐺
2𝑚𝑚
𝑑𝑑2
𝚤𝚤̂
𝑎𝑎⃗2 =
𝐹𝐹⃗12
𝑚𝑚2
=
𝐹𝐹⃗12
2𝑚𝑚
= 𝐺𝐺
𝑚𝑚
𝑑𝑑2
𝚤𝚤̂
Conclusión: si bien la fuerza que actúa sobre ambas masas es la misma, el cuerpo de
mayor masa se desplaza a una aceleración menor que el otro.
2.- a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz y las leyes que los rigen.
b) Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: i) la imagen de un
objeto en un espejo convexo es siempre real, derecha y de menor tamaño que el objeto;
ii) la luz cambia su longitud de onda y su velocidad de propagación al pasar de aire a
agua.
a) Si la luz (u otra onda) interactúa con un medio cuyas características no coinciden
con el de aquel en el que se está propagando, puede ocurrir, entre otras cosas, que la
luz pase al otro medio o que permanezca en el medio de propagación original.
El primero de estos fenómenos se denomina reflexión, y las leyes que lo gobiernan
son las siguientes:
 La normal a la superficie, el rayo incidente y el rayo reflejado están en el mismo
plano.
 El ángulo de reflexión es igual que el de incidencia:
𝚤𝚤̂ = 𝑟𝑟̂
En caso de que el rayo pase al otro medio, se produce refracción, cuyas leyes son:
 La normal a la superficie, el rayo incidente y el rayo refractado están en el mismo
plano.
 La relación entre los ángulos de incidencia y de refracción viene dada por la ley de
Snell:
𝑛𝑛1 sin 𝚤𝚤̂ = 𝑛𝑛2 sin 𝑅𝑅�
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5. Donde 𝑛𝑛 es el índice de refracción del medio, definido como el cociente que sigue:
𝑛𝑛 =
𝑐𝑐
𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
Un mismo rayo de luz puede sufrir reflexión y refracción al llegar a la superficie que
separa dos medios, tal y como ilustra la imagen.
b) La primera afirmación es falsa. Las imágenes formadas por espejos convexos son
siempre menores, derechas y virtuales. Esto es debido a que los rayos de luz que se
reflejan en el espejo convexo, cuyo radio de curvatura es positivo, se separan del eje
principal y no llegan a cortarse, es decir, no convergen en un punto, sino que divergen.
Las prolongaciones de los rayos de luz detrás del espejo sí intersecan, dando lugar a
una imagen virtual.
Por el contrario, la segunda afirmación es verdadera. La velocidad de la luz en un
medio depende de su índice de refracción. Los índices de refracción del aire y del agua
no son iguales. En consecuencia, la luz no viaja a la misma velocidad en estos medios.
𝑐𝑐
𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
≠
𝑐𝑐
𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
⟶ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
Asimismo, a sabiendas de que la frecuencia de una onda no se modifica cuando esta
sufre refracción (de lo contrario, un rayo de luz roja monocromática dejaría de ser
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6. rojo al pasar de aire a agua), la longitud de onda también varía, pues existe una relación
entre esta y la velocidad de propagación de la onda:
𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝜆𝜆𝜆𝜆
Es decir:
𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 𝑣𝑣𝑝𝑝,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ⟶ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓 ≠ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑓𝑓 ⟶ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
3.- Por el conductor A de la figura circula una corriente de intensidad 200 A. El conductor
B, de 1 m de longitud y situado a 10 mm del conductor A, es libre de moverse en la
dirección vertical.
a) Dibuje las líneas de campo magnético y calcule su valor para un punto situado en la
vertical del conductor A y a 10 cm de él.
b) Si la masa del conductor B es de 10 g, determine el sentido de la corriente y el valor
de la intensidad que debe circular por el conductor B para que permanezca suspendido
en equilibrio en esa posición.
g = 9,8 m s-2 μo = 4π ⋅ 10-7 T m A-1
a) Consideraremos que la corriente circula en el sentido positivo del eje de abcisas. El
vector campo magnético en un punto viene dada por la ley de Biot y Savart:
𝑑𝑑𝐵𝐵����� =
𝜇𝜇0
4𝜋𝜋
𝐼𝐼𝐼𝐼𝑙𝑙⃗× 𝑟𝑟̂
𝑟𝑟2
De esta ecuación se desprende que este vector es en todo momento perpendicular al
plano determinado por el vector cuya dirección y sentido son los de la corriente
eléctrica y el vector de posición, y que el sentido del mismo vendrá dado por la regla
de la mano derecha.
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7. El módulo del campo magnético creado una corriente rectilínea, uniforme e
indefinida se calcula a través de la siguiente fórmula:
𝐵𝐵 =
𝜇𝜇0 𝐼𝐼
2𝜋𝜋𝜋𝜋
Introducimos los datos que proporciona el enunciado:
𝐵𝐵 =
4𝜋𝜋 ⋅ 10−7
TmA−1
⋅ 200 A
2𝜋𝜋 ⋅ 0,1 m
= 4 ⋅ 10−4
T
b) La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
es cero, es decir:
� 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 = 0
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
Las fuerzas que se dan sobre el conductor B son el peso y la fuerza magnética. Así, se
tiene que cumplir que:
𝑃𝑃⃗ + 𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0 ⟶ �𝑃𝑃⃗� = �𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�
La fuerza magnética sobre un conductor se calcula a través de la primera ley de
Laplace:
𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐼𝐼 𝑙𝑙⃗× 𝐵𝐵����� ⟶ �𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 sin 𝜃𝜃
El ángulo que forman el vector 𝑙𝑙⃗ y el campo magnético (que es el creado por el
conductor A) es de 90°:
�𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� = 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑙𝑙
Empezaremos por calcular la intensidad de corriente que ha de circular por el
conductor B para que la fuerza magnética equilibre el peso. Para ello, igualamos los
módulos de estas fuerzas y despejamos la intensidad que no conocemos:
⎩
�
⎨
�
⎧�𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� = 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝑙𝑙
𝐵𝐵 =
𝜇𝜇0 𝐼𝐼𝐴𝐴
2𝜋𝜋𝜋𝜋
⟶ �𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� =
𝐼𝐼𝐴𝐴 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝜇𝜇0 𝑙𝑙
2𝜋𝜋𝜋𝜋
�𝑃𝑃⃗� = �𝐹𝐹⃗𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚� ⟶ 𝑚𝑚𝑚𝑚 =
𝐼𝐼𝐴𝐴 𝐼𝐼𝐵𝐵 𝜇𝜇0 𝑙𝑙
2𝜋𝜋𝜋𝜋
⟶ 𝐼𝐼𝐵𝐵 =
2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋
𝐼𝐼𝐴𝐴 𝜇𝜇0 𝑙𝑙
𝐼𝐼𝐵𝐵 =
2𝜋𝜋 ⋅ 0,01 kg ⋅ 9,8 m s2
⁄ ⋅ 0,01 m
200 𝐴𝐴 ⋅ 4𝜋𝜋 ⋅ 10−7 TmA−1 ⋅ 1 m
= 24,5 A
Para comprobar que hemos despejado de forma adecuada, podemos verificar si la
ecuación obtenida es dimensionalmente correcta, es decir, si sus unidades se
corresponden con la de la intensidad de corriente.
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8. Las dimensiones de la expresión de 𝐼𝐼𝐵𝐵 en función del resto de parámetros son las
siguientes:
[𝐼𝐼𝐵𝐵] =
kg
[𝐵𝐵]s2
Las dimensiones del tesla son kg ⋅ s−2
⋅ A−1
. Sustituyendo se comprueba fácilmente
que la ecuación es dimensionalmente correcta.
Falta por determinar el sentido de la corriente que circula por el conductor B. El
sentido debe ser elegido de modo que la fuerza magnética resultante se oponga al
peso. Si dibujamos un esquema:
Vemos que las corrientes de los conductores A y B deben circular en sentidos
contrarios. De este modo, las fuerzas magnéticas entre los conductores son repulsivas
y es posible equilibrar la fuerza peso.
4.- Sobre una superficie de potasio, cuyo trabajo de extracción es 2,29 eV, incide una
radiación de 0,2 ⋅ 10-6 m de longitud de onda.
a) Razone si se produce efecto fotoeléctrico y, en caso afirmativo, calcule la velocidad
de los electrones emitidos y la frecuencia umbral del material.
b) Se coloca una placa metálica frente al cátodo. ¿Cuál debe ser la diferencia de
potencial entre ella y el cátodo para que no lleguen electrones a la placa?
h = 6,6 ⋅ 10-34 J s ; c = 3 ⋅ 108 m s-1 ; e = 1,6 ⋅ 10-19 C ; me = 9,1 ⋅ 10-31 kg
a) Se producirá efecto fotoeléctrico si y solo si la energía de los fotones que llegan a
la superficie de potasio es suficiente para ionizar los electrones del metal, es decir, si
esta energía supera el trabajo de extracción o trabajo umbral.
Según la hipótesis cuántica de Planck, la energía de un fotón es directamente
proporcional a su frecuencia, siendo la constante de proporcionalidad la constante de
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9. Planck. Por otra parte, el enunciado no nos da la frecuencia de los fotones, pero sí su
longitud de onda.
�
𝐸𝐸 = ℎ𝑓𝑓
𝑐𝑐 = 𝜆𝜆𝜆𝜆
⟶ 𝐸𝐸 =
ℎ𝑐𝑐
𝜆𝜆
=
6,6 ⋅ 10−34
Js ⋅ 3 ⋅ 108
m s⁄
0,2 ⋅ 10−6 m
= 9,9 ⋅ 10−19
J
Nos proporcionan el trabajo de extracción en electrón-voltios. Lo pasamos a julios:
𝑊𝑊0 = 2,29 eV ⋅
1,6 ⋅ 10−19
J
1 eV
= 3,7 ⋅ 10−19
J
La energía que portan los fotones es mayor que el trabajo umbral: sí se produce efecto
fotoeléctrico.
En segundo lugar, hallaremos la frecuencia umbral del material, que se define como
la frecuencia de los fotones cuya energía es igual al trabajo de extracción:
𝑊𝑊0 = ℎ𝑓𝑓0 ⟶ 𝑓𝑓0 =
𝑊𝑊0
ℎ
=
3,7 ⋅ 10−19
J
6,6 ⋅ 10−34 Js
= 5,6 ⋅ 1014
Hz
Finalmente, la velocidad máxima de los fotoelectrones se puede calcular haciendo uso
de la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛𝑛 = 𝑊𝑊0 +
1
2
𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
⟶ 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �
2�𝐸𝐸𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓ó𝑛𝑛 − 𝑊𝑊0�
𝑚𝑚𝑒𝑒
𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �
2(9,9 ⋅ 10−19 J − 3,7 ⋅ 10−19 J)
9,1 ⋅ 10−31 kg
= 1,2 ⋅ 106 m
s
b) Lo que hemos de determinar es el potencial de frenado, esto es, la mínima
diferencia de potencial necesaria para detener a los electrones emitidos. Cuando un
electrón con una determinada velocidad inicial penetra en una región en la que existe
una diferencia de potencial de forma que el campo del que esta se deriva frena al
electrón, se produce una conversión de energía cinética en energía potencial. El
principio de conservación de la energía mecánica implica que:
∆𝐸𝐸𝑐𝑐 + ∆𝐸𝐸𝑝𝑝 = 0 ⟶ ∆𝐸𝐸𝑐𝑐 = −∆𝐸𝐸𝑝𝑝 ⟶
1
2
𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
= 𝑒𝑒𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
Despejamos el potencial de frenado:
𝑉𝑉𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 =
𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
2
2𝑒𝑒
=
9,1 ⋅ 10−31
kg ⋅ (1,2 ⋅ 106
m s⁄ )2
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 C
= 4,1 V
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