Este documento describe cómo calcular intervalos de confianza para la media de una población utilizando la distribución t de Student cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Explica que la distribución t de Student fue descubierta por William Gossett en 1908 y proporciona la fórmula para calcular el intervalo de confianza. Además, presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar la fórmula a datos reales y determinar el intervalo de confianza resultante.

1. Intervalo de confianza para
la media poblacional con
muestras pequeñas
Felipe de Jesús Cordero González 2° “D”
Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz

2. Introducción
› Para calcular intervalos de confianza para la media de una
población que requieren que el tamaño muestral sea
pequeño, se puede utilizar una distribución de probabilidad
denominada t de Student.
› La distribución t de Student fue descubierta en 1908 por
William Sealy Gossett, un estadístico que trabajó en la
cervecera Guinness, en Dublín, Irlanda. La dirección de
Guinness consideró que el descubrimiento era información
privada y prohibió a Gossett que lo publicara. Aun así, él lo
publicó, usando el seudónimo “Estudiante”.

3. Restricciones
› No use la estadística t de Student si la muestra
contiene datos atípicos.
› Para que la estadística t de Student sea válida, la muestra
debe provenir de una población que es aproximadamente
normal. Tales muestras rara vez contienen datos atípicos.
Por tanto, los métodos que implican la estadística t de
Student no se deben utilizar en muestras que contienen
datos atípicos.
› Para comprobar que no existan datos atípicos en la
muestra, se utiliza la gráfica de caja y bigotes, donde
claramente se puede notar la distribución normal de los
datos.
› El número de muestras debe ser ≤ que 30.

4. La fórmula para obtener la media poblacional
utilizando la distribución t de Student es la
siguiente:
Donde:
: Media de las muestras.
tn-1,α/2: Valor obtenido de la tabla de Puntos porcentuales
superiores para la distribución t de Student.
S: Desviación estándar.
n: Número de muestras.

5. Ejemplo
› El ingeniero civil Toñín realizó una serie de pruebas
destructivas sobre vigas de concreto, acerca de su
resistencia de esfuerzo cortante. Realizó 13 pruebas y
obtuvo los siguientes resultados en KN:
380, 725, 415, 532, 864, 920, 642, 821, 632, 945, 713, 521
, 639.
› Determina un intervalo de confianza al 98% para la media
poblacional.

6. Comprobación de datos atípicos
› Cálculo de posibles datos atípicos creando un gráfico de
caja y bigotes en Excel.
380 Valores Anchos
725 Min 380 380
415 Q1 532 152
532 Q2 642 110
864 Q3 821 179
920 Max 945 124
642
821 RIC 289
632 Min 98.5
945 Max 1254.5
713
521
639
0
200
400
600
800
1000
Gráfico de Caja y bigotes

7. › Como se puede observar en los resultados obtenidos, las
pruebas no muestran algún dato atípico, fuera de
rango, que afecte la utilización de la distribución t de
Student.
› Posteriormente, comienza el desarrollo del problema
sustituyendo la fórmula anteriormente mostrada, para
llegar al resultado deseado.

8. Resolución
› Sustitución de la fórmula:
: 673
tn-1,α/2: 2.681
S: 181.86
n: 13
› Resultado:
µ = 673±135.22
µ€(808.22, 537.77) al 98%

9. Interpretación del resultado
› El intervalo de confianza para la media poblacional con
una distribución t de Student para el ejemplo mostrado es
de 808.22 KN y 537.77 KN, con un nivel de confianza del
98%.
µ€(808.22, 537.77) al 98%