1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto- Estado Lara
Plano
Numérico
Fernando Aranguren
Sección HS0143
08/02/2003
2. Plano numérico
Plano numérico o cartesiano:
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano,
a dos restas numéricas perpendiculares, una
horizontal y la otra vertical que se cortan el un punto
llamado origen o punto cero. La finalidad del plano
cartesiano es describir la posición o la ubicación de
un punto en el plano, la cual está representada por el
sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras geométricas como
la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte
de la geometría analítica.
Distancia entre dos puntos:
Dadas las coordenadas de dos puntos, P1
y P2, se deduce la fórmula de distancia entre
estos dos puntos. La demostración usa el
teorema de Pitágoras.
Un ejemplo muestra cómo usar la
fórmula para determinar la distancia entre estos
dos puntos dados sus coordenadas. La distancia
entre el P1 y el P2 del plano la denotamos por d(P1, P2). La fórmula de la distancia
utiliza las coordenadas de los dos puntos.
3. Punto medio:
Es el punto que se encuentra a la misma distancia
de dos elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc. Antes debemos conocer que
es un punto es una figura geométrica adimensional:
no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo
dimensional. No es un objeto físico. Describe una
posición en el espacio, determinada respecto de un
sistema de coordenadas preestablecido.
Punto medio de un segmento:
Representa al punto que se ubica exactamente en la mitad de los dos puntos
extremos del segmento. El punto medio puede ser encontrado al dividir a la suma de
las coordenadas x por 2 y dividir a la suma de las coordenadas y por 2.
Ecuaciones y trazado de circunferencia:
La circunferencia es un lugar geométrico
en el cual todos los puntos equidistan de un
punto fijo llamado centro. De forma
matemática la circunferencia se representa por
una ecuación de segundo grado: x2+y2=r2
Una circunferencia queda determinada cuando
conocemos:
4. Tres puntos de la misma,
equidistante del centro.
El centro y en radio.
El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
Ecuaciones de la parábola:
Es un tipo de función cuadrática porque siempre debe de tener como mínimo 1
término elevado al cuadrado. Además, la ecuación de una parábola depende de si esta
está orientada horizontalmente o verticalmente. La parábola, expresada como una
ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su
descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje
focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide
simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola
y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a
una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al
eje focal que se ubica a una distancia p del
vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica
la magnitud de la distancia entre vértice y
foco, así como entre vértice y
directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a
la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
5. Ecuaciones elipse:
Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que
resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con
ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje x
(abscisa) y b al eje de y (ordenada) la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es
vertical.
Ecuación de la hipérbola:
La hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos de un plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos F y F’ es una
cantidad constante que se representa por 2a.
Así para cualquier punto P de la curva, se
tiene PF – PF’ = 2a
Dados dos puntos F1 y F2 llamados focos,
se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a los focos es constante.
En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a
continuación:
Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y
cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
6. Centro (O). Punto de intersección
de los ejes focal y secundario.
Semidistancia focal (c). La mitad
de la distancia entre los dos focos
F y F'. Su valor es c.
Distancia focal (2c). Distancia del
segmento que une los dos focos F
y F'. Su longitud es 2c.
Los vértices (A y A'). Puntos de la
hipérbola que cortan al eje focal.
Semieje real (a). Segmento que va
desde el origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'. Su longitud es a.
Representación grafica de ecuaciones cónicas:
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; Una sección
cónica es la intersección de un plano y
un cono recto circular doble. Por el cambio
del ángulo y la ubicación de la
intersección, podemos producir diferentes
tipos de cónicas. Hay cuatro tipos
básicos: círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. Ninguna de las intersecciones pasara
a través de los vértices del cono.
