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Plano numérico
Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de
circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar
gráficamente las ecuaciones de las cónicas
Rosanyely Montilla
0100 Turismo
República Bolivariana de Venezuela
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Universidad politécnica territorial de Lara Andrés Eloy Blanco
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Plano numérico
 conformado por dos rectas numéricas,
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Es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente
en los casos bidimensionales. Los puntos a representar se
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 Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una
recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
 Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje y o en una
recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor
absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
 Ahora si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de
coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación
Distancia
 Para calcular la
distancia entre los
puntos se utiliza la
siguiente formula
 Es el punto que se encuentra a la
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 El punto medio del segmento
AB, que llamaremos M, es un
punto del segmento que dista lo
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quiere decir que: Si es
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Ecuación y trazado de Circunferencias
 La circunferencia es el lugar geométrico
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de un punto fijo llamado centro
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cuando conocemos:
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c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la
circunferencia.
 para cualquier punto, P (x, y) , de una
circunferencia cuyo centro es el
punto C (a, b) y con radio r , la
ecuación ordinaria es
De la ecuación ordinaria a la
ecuación general
 Dados un punto FF (foco) y una
recta rr (directriz), se denomina
parábola al conjunto de puntos
del plano que equidistan del foco
y de la directriz.
 Simbólicamente:
P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
 El eje focal es el eje
perpendicular a la directriz que
pasa por el foco. Es el eje de
simetría de la parábola.
 El punto de la parábola que
pertenece al eje focal se
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parábola: El vértice de la parábola es el
origen de coordenadas, es decir, el punto
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Cuando el vértice de la parábola es un
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ordinaria de la parábola, cuya expresión
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esta orientada de
manera vertical
Parábola que esta
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Ecuación General de la
parábola
una parábola también puede
ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo
de parábolas se usa
la ecuación general de la
parábola
 La elipse es el conjunto de puntos cuya
suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es igual a una constante,
su figura se caracteriza por tener dos ejes:
un eje mayor y un eje menor, los focos se
localizan sobre el eje mayor. Consideremos
una elipse cuyo centro es (h,k) , distancia
focal 2c, eje mayor horizontal 2a , se
genera un eje menor 2b mediante la
siguiente relación:
 También se define la excentricidad como la
relación entre la distancia focal y el eje
mayor o la relación entre la distancia
de cualquier punto de la elipse a un foco y
la distancia del punto a una recta fija
llamada recta directriz
 En la elipse la excentricidad siempre es
menor que 1
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Ecuaciones
de la elipse
•Para la elipse horizontal con centro
C(h, k)
Efectuando un proceso algebraico en el
que eliminamos los denominadores,
desarrollamos los binomios al cuadrado,
agrupamos términos semejantes e
igualamos a cero, obtenemos la
ecuación
En la que podemos renombrar los
coeficientes constantes y expresarla así
Para la elipse Vertical con centro
C(h, k)
Siguiendo el mismo proceso
algebraico que para la elipse
horizontal, llegamos a la
ecuación:
En la que podemos renombrar los
coeficientes constantes y
expresarla así:
Ecuación General de la elipse
Por lo que la ecuación
general es:
 una hipérbola es el lugar geométrico de
los puntos del plano que cumplen la
siguiente condición: el valor absoluto de
la diferencia de las distancias desde un
punto cualquiera de la hipérbola hasta
dos puntos fijos (llamados focos) debe
ser constante.
 el valor de la resta de esas dos
distancias siempre es equivalente a la
distancia entre los dos vértices de la
hipérbola.
Ecuación y trazado de Hipérbola
Focos: son dos puntos fijos característicos de
cada hipérbola puntos F y F’ en el gráfico
Eje focal o principal: es la recta que pasa por los
dos focos de la hipérbola.
Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF’
Centro (O): el punto medio de los dos vértices y
los dos focos.
Vértices (A y A’): son los puntos donde se cortan
las ramas de la hipérbola con el eje focal.
Radios vectores (R): son los segmentos que van
desde cualquier punto de la hipérbola hasta
cada foco.
Distancia focal: es la longitud del segmento
compuesto entre los dos focos.
Eje mayor o real: es el segmento que va desde
el punto A hasta el punto A’
Eje menor o imaginario: es el segmento que va
desde el punto B hasta el punto B’
Elementos de la hipérbola
Ecuaciones de la Hipérbola
Ecuación ordinaria
Hipérbolas cuyo eje
focal es horizontal
Hipérbolas con un eje
focal vertical
Ecuación reducida o
canónica
Hipérbolas
cuyo eje focal
es horizontal
Hipérbolas
con un eje
focal vertical
Ecuación General
 Las cónicas también son
llamadas secciones cónicas, se
presentan cuando un doble cono
se intercepta con planos.
 las cónicas son representadas
mediante círculos, parábolas,
elipses e hipérbolas
 La formula general de las
cónicas es:
Las cónicas
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Plano numerico. rosanyely

  • 1. Plano numérico Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas Rosanyely Montilla 0100 Turismo República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad politécnica territorial de Lara Andrés Eloy Blanco Barquisimeto-Lara
  • 2. Plano numérico  conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje X o de las abscisas y al vertical eje Y o de las coordenadas.  El origen de coordenadas es el punto en el que se cruzan los dos ejes de manera perpendicular. Es decir, el punto (0,0).  En un plan cartesiano se crean cuatro zonas que llamamos cuadrantes Es una forma de ubicar puntos en el espacio, habitualmente en los casos bidimensionales. Los puntos a representar se marcan entre paréntesis separados por una coma.
  • 3.  Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.  Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.  Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación Distancia  Para calcular la distancia entre los puntos se utiliza la siguiente formula
  • 4.  Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos  El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento  La formula para encontrar el punto medio entre dos puntos es: Punto medio
  • 5. Ecuación y trazado de Circunferencias  La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro  Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.  para cualquier punto, P (x, y) , de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r , la ecuación ordinaria es
  • 6. De la ecuación ordinaria a la ecuación general
  • 7.  Dados un punto FF (foco) y una recta rr (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.  Simbólicamente: P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}  El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.  El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice. Ecuación y trazado de Parábolas
  • 8. Ecuación reducida o canónica de la parábola: El vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0). La forma de la ecuación reducida depende de la orientación de la parábola Ecuaciones de la parábola Ecuación ordinaria de la parábola Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es: Parábola que esta orientada de manera vertical Parábola que esta orientada de manera horizontal Ecuación General de la parábola una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola
  • 9.  La elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante, su figura se caracteriza por tener dos ejes: un eje mayor y un eje menor, los focos se localizan sobre el eje mayor. Consideremos una elipse cuyo centro es (h,k) , distancia focal 2c, eje mayor horizontal 2a , se genera un eje menor 2b mediante la siguiente relación:  También se define la excentricidad como la relación entre la distancia focal y el eje mayor o la relación entre la distancia de cualquier punto de la elipse a un foco y la distancia del punto a una recta fija llamada recta directriz  En la elipse la excentricidad siempre es menor que 1 Ecuación y trazado de Elipses
  • 10. Ecuaciones de la elipse •Para la elipse horizontal con centro C(h, k) Efectuando un proceso algebraico en el que eliminamos los denominadores, desarrollamos los binomios al cuadrado, agrupamos términos semejantes e igualamos a cero, obtenemos la ecuación En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así Para la elipse Vertical con centro C(h, k) Siguiendo el mismo proceso algebraico que para la elipse horizontal, llegamos a la ecuación: En la que podemos renombrar los coeficientes constantes y expresarla así: Ecuación General de la elipse Por lo que la ecuación general es:
  • 11.  una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de la diferencia de las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola hasta dos puntos fijos (llamados focos) debe ser constante.  el valor de la resta de esas dos distancias siempre es equivalente a la distancia entre los dos vértices de la hipérbola. Ecuación y trazado de Hipérbola
  • 12. Focos: son dos puntos fijos característicos de cada hipérbola puntos F y F’ en el gráfico Eje focal o principal: es la recta que pasa por los dos focos de la hipérbola. Eje secundario: es la mediatriz del segmento FF’ Centro (O): el punto medio de los dos vértices y los dos focos. Vértices (A y A’): son los puntos donde se cortan las ramas de la hipérbola con el eje focal. Radios vectores (R): son los segmentos que van desde cualquier punto de la hipérbola hasta cada foco. Distancia focal: es la longitud del segmento compuesto entre los dos focos. Eje mayor o real: es el segmento que va desde el punto A hasta el punto A’ Eje menor o imaginario: es el segmento que va desde el punto B hasta el punto B’ Elementos de la hipérbola
  • 13. Ecuaciones de la Hipérbola Ecuación ordinaria Hipérbolas cuyo eje focal es horizontal Hipérbolas con un eje focal vertical Ecuación reducida o canónica Hipérbolas cuyo eje focal es horizontal Hipérbolas con un eje focal vertical Ecuación General
  • 14.  Las cónicas también son llamadas secciones cónicas, se presentan cuando un doble cono se intercepta con planos.  las cónicas son representadas mediante círculos, parábolas, elipses e hipérbolas  La formula general de las cónicas es: Las cónicas
  • 15. Representación grafica y ecuaciones de las cónicas Circunferencia Parábola