Este documento presenta una introducción a los triángulos. Define un triángulo como una región del plano delimitada por tres segmentos que se cortan dos a dos. Explica los elementos básicos de un triángulo como vértices, lados y ángulos. Luego introduce conceptos como igualdad de triángulos, ángulos determinados por rectas paralelas y teoremas sobre triángulos rectángulos.

1. Unidad 3
Los TRIANGULOS
1. Definicion´ de triangulo´
Comenzamos la Geometr´ıa viendo como organizar figuras en el plano.
Los ejemplos mas´ sencillos de figuras a estudiar son los pol´ıgonos y, dentro de ellos, los
triangu´-los.
Para aclararnos vamos a ver que´ vamos a entender por un triangulo:´
Un triangulo´ es la region´ (cerrada) del plano delimitada por tres segmentos que se cortan dos
a dos en sus extremos.
¿Que´ elementos son de destacar en un triangulo?´
(1) Los vertices´. Son los puntos de interseccion´ de los segmentos.
(2) Los lados. Son los segmentos que delimitan el triangulo´. Cada lado tiene una longitud que
se mide en la unidad de longitud que estemos usando (mil´ımetros, cent´ımetros, metros,
etc.) La suma de las longitudes de los tres lados de un triangulo´ se llama per´ımetro.
(3) Los angulos´. Estan´ determinados por los lados del triangulo´. Los angulos´ se miden en
gra-dos o en radianes. As´ı tenemos que 180 grados (180
o
) corresponden a radianes. En lo
que sigue los angulos´ var´ıan entre 0
o
y 360
o
y un angulo´ de 360
o
sera´ equivalente a un
angulo´ de 0
o
.
s
A
c b
B s a sC
(Triangulo´ 1)
1

2. ABC es la representacion´ para el triangulo´ de la figura.
A, B, C es la representacion´ para los vertices´ del triangulo´.
a = BC, b = CA, c = AB es la representacion´ para los lados del triangulo´. Su longitud se
representa por BC, CA, AB o´ a, b, c respectivamente.
d
, CBA
Los angulos´ del triangulo´ se representan por BAC
d
, ACB
d
o´ A
b
, B
b
, C
b
respectivamente.
Existen otros elementos que seran´ utiles´ para el estudio de los triangulos´.
(4) Base. Es uno cualquiera de los lados del triangulo´. Fijada una base, la altura es el segmento
perpendicular a la recta que contiene a la base y que la une con el vertice´ opuesto.
a) En la Figura “‘Triangulo´ IIb”se comprueba que el pie de la altura de un triangulo´ pue-de
no estar en la base del triangulo´.
b) Como cada triangulo´ tiene tres posibles bases, tambien´ tiene tres posibles alturas.
´ ´ ´
5. Area. Es el numero de unidades de superficie que tiene el triangulo. Se calcula como la
mitad del producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Representamos
por A(ABC) el area´ del triangulo´ ABC.
(Triangulo´ IIa) (Triangulo´ IIb)
2. Igualdad de triangulos´
Diremos que dos triangulos´ son iguales si tienen iguales sus tres lados y sus tres angulos´.
Aunque hemos incluido la igualdad de los angulos,´ esta propiedad se deduce de la igualdad de los
lados como afirma el tercer criterio de igualdad de triangulos´ que se cita a continuacion´.
De hecho, para ver que dos triangulos´ son iguales tenemos los siguientes
Criterios de igualdad de triangulos´
(a) Tienen iguales un lado y los dos angulos´ adyacentes. Es claro que fijado el lado AB y los
angulos´ A
b
y B
b
, trazando las rectas b y a, segun´ el “Triangulo´ IIIa”, la interseccion´ de

3. estas dos rectas define un punto C y los puntos A, B y C definen un unico´ triangulo´.
(b) Tienen iguales dos lados y el angulo´ que forman. Si nos fijamos en el “Triangulo´ IIIb”,
existe un unico´ segmento a = BC que cierra la figura y por tanto existe un unico´
triangulo´ con lados b, c conociendo el angulo´ que forman.
(c) Tienen iguales sus tres lados. Consideramos un lado, por ejemplo el lado AB en el
“Triangu´-lo IIIc”. Trazamos la circunferencia que con centro en A tiene de radio la
longitud de otro de los lados, y otra circunferencia que con centro en B tenga de radio la
longitud del tercer lado. Los puntos de interseccion´ de estas dos circunferencias definen
0
0
dos puntos C y C
que junto con A y B definen dos triangulos´ ABC y AC
B.
(Triangulo´ IIIa) (Triangulo´ IIIb)
(Triangulo´ IIIc)
Conviene destacar que los dos triangulos´ que se han construido en el “Triangulo´ IIIc” resuel-ven el
problema, pero pueden considerarse el mismo ya que se obtiene uno del otro haciendo una simetr´ıa con
respecto a la recta que contiene el segmento AB (tienen los mismos lados y angulos)´.
Vamos a destacar dos tipos especiales de triangulos:´
(1) Equilateros´. Tienen los tres lados iguales.
(2) Isosceles´. Tienen iguales dos lados (podemos demostrar que tambien´ tienen iguales dos
angulos)´.
Otra clase especial de triangulos´ la forman los triangulos´ rectangulos´, esto es, aquellos que tienen

4. uno de los angulos´ recto (90
o
o´ =2 radianes).
En un triangulo´ rectangulo´ se llaman catetos a los lados adyacentes al angulo´ recto e hipotenu-sa al
lado opuesto.
Los triangulos´ rectangulos´ son de interes´ como mas´ adelante veremos; por esto es conveniente
enunciar criterios de igualdad para esta clase de triangulos
Criterios de igualdad de triangulos´ rectangulos´
(1) Tienen iguales la hipotenusa y un angulo´ adyacente. (Triangulo´ IVa)
(2) Tienen iguales la hipotenusa y un cateto. (Triangulo´ IVb)
(Triangulo´ IVa) (Triangulo´ IVb)
En el caso del “Triangulo´ IVa”, si se tiene como dato el lado c y la recta a, entonces b esta´ un´ıvo-camente
determinado por ser la perpendicular a a que pasa por el punto A. En el caso del “Triangulo´
IVb”tenemos que el angulo´ ACB
d
es recto, por ser la recta b tangente a la circunfe-rencia. Veamos que´
hemos hecho en el “Triangulo´ IVb”: con centro en B hemos trazado la cir-cunferencia c1 de radio a, y
desde el punto A hemos trazado la tangente a c1, que la corta en el punto C, obtenemos entonces el
triangulo´ ABC. Observese´ que hay otra posible eleccion´ de la recta tangente a c1 que pasa por A, y que
esta recta dar´ıa lugar a otro rectangulo´ que por simetr´ıa se prueba que es igual al anterior.
3. Angulos determinados por rectas paralelas
Lema. 3.1.
Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan y consideramos los angulos´ que aparecen

5. (Triangulo´ V)
Se verifica = y = .
DEMOSTRACION´. Puesto que + = 180
o
y tambien´ + = 180
o
, entonces = . De la misma forma
llegamos a que = .
Lema. 3.2.
Sean l1 y l2 dos rectas paralelas y t una tercera recta que corta a l1 y l2 y consideremos los
0
0
angulos´ que aparecen. Se verifica =
y =
.
(Triangulo´ VI)
DEMOSTRACION´. Si t es perpendicular a l1, entonces tambien´ es perpendicular a l2 y el resul-tado
es cierto. Si t no es perpendicular a l1, llamamos A al punto de interseccion´ de t y l1, B al punto de
interseccion´ de t y l2 y O al punto medio del segmento AB. Si trazamos la perpendi-cular por O a l1
y la llamamos l
0
, la interseccion´ de l1 y l
0
es un punto A
0
y la interseccion´ de l2 y l
0
es un punto
B
0
. Los triangulos´ A
0
OA y OBB
0
son iguales por ser rectangulos´ y tener iguales la
[0 [0 0
hipotenusa y un angulo´ adyacente. Entonces = A AO = B BO = .
Como ejercicio probar que =
0
.

6. (Triangulo´ VII)
Ejercicio. 3.3.
Probar que el resultado rec´ıproco tambien´ es cierto, esto es, si se verifica la igualdad de
angulos´ que muestra el enunciado, entonces las rectas l1 y l2 son paralelas.
Como consecuencia del resultado del Lema 3.2. tenemos tambien´ el siguiente:
Lema. 3.4.
Sean l1 y l2 rectas paralelas y t1, t2 rectas paralelas que cortan a l1 y l2, entonces se verifica la
igualdad de angulos´ que muestra la figura.
(Triangulo´ VIII)
Lema. 3.5.
Sean l1 y l2 rectas paralelas y t1, t2 rectas paralelas que cortan a l1 y l2 segun´ muestra la figura,
(Triangulo´ IX)

7. entonces BA = CD y BC = AD.
DEMOSTRACION´. Si consideramos el segmento BD obtenemos triangulos´ ABD y BCD que son
iguales ya que tienen un lado igual e iguales los angulos´ adyacentes, en consecuencia sus
lados son iguales.
Lema. 3.6.
o
La suma de los angulos´ de un triangulo´ es igual a 180
.
´
DEMOSTRACION. Es evidente a la vista de la siguiente figura y el resultado del Lema 3.2..
(Triangulo´ X)
4. Triangulos´ rectangulos´
Recordemos que un triangulo´ es rectangulo´ si uno de sus angulos´ mide 90
o
.
Para triangulos´ rectangulos´ tenemos la siguiente relacion´ entre sus lados.
Lema. 4.1. (Teorema de Pitagoras´.)
Si ACB es un triangulo´ rectangulo,´ con lados a, b y c, entonces se verifica c
2
= a
2
+ b
2
.
(Triangulo´ XI)
Otros de los resultados sobre triangulos´ rectangulos´ es la ley de las alturas.
Lema. 4.2. (Ley de las alturas)
Dado un triangulo´ rectangulo,´ si trazamos la altura sobre la hipotenusa, esta´ divide a la

8. hipote-nusa en dos partes, sean m y n las longitudes, segun´ se indica en la figura.
(Triangulo´ XII)
2
= mn.
Entonces se verifica: h
DEMOSTRACION´. Como el triangulo´ de la derecha, de lados a, h y m, es rectangulo´ con hipo-tenusa
2
= h
a, se verifica: a
2
+ m
2
. Ademas´ el triangulo´ exterior, de lados a, b y c es tambien´
2
= a
rectangulo´. luego se tiene c
2
+ b
2
. Procedemos como sigue:
h
2
= a
2
2
= c
m
2
b
2
2
m