Los temas de algebra de conjuntos para entender su utilización en los Diagramas de Venn

1. APUNTES DE LÓGICA Y MATEMÁTICAS
Autores:
Mtra. Flor Alejandrina Hernández Carballido.
Mtro. Heriberto Marín Arellano.
Profesores de la Escuela Nacional Preparatoria de
la ENP /UNAM. Octubre, 2012.
John Venn (1834 - 923)
INTRODUCCIÓN La Lógica es la rama del saber
Presentamos los siguientes apuntes de Matemáticas y Lógica que sobre los procesos en los que
tienen como finalidad ayudar al alumno en la mejor comprensión del uso discurre el pensar, requiere de la
representación simbólica para su
de los diagramas de Venn para las proposiciones categóricas A, E, I, O
comprensión. Supone superar el
donde el conocimiento de los fundamentos matemáticos permite aplicar reto intelectual que ello implica.
la Lógica en la representación gráfica de este tipo de juicios.
Los temas a desarrollar son:
I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.
1. Clases y Conjuntos
2. Relación entre clases y conjuntos
3. Proposiciones categóricas
I. REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS. DIAGRAMAS DE VENN
1. Esquematización de las clases en un diagrama de Venn.
2. Proposición categórica, A: “Todos S es P”
3. Proposición categórica, E: “Ningún S es P”
4. Proposición categórica, I: “Algún S es P”
5. Proposición categórica, O: “Algún S no es P”
I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.
1. Clases y Conjuntos.Vamos a referirnos a los siguientes temas: a) Noción de clases, b) Igualdad
entre conjuntos y clases. c) Representación gráfica de conjuntos y de clases, d) El conjunto vacío y la
clase que no tiene elementos.
a) Clases.Una clase S se caracteriza como la colección de los objetos que tienen alguna propiedad
en común. Por ejemplo, S la clase de elementos químicos y P la clase de los gases. O bien S, la clase de las
luciérnagas y P la clase de los insectos. De manera semejante, en Matemáticas se dice que un conjunto A es
una colección de objetos que tienen una propiedad en común en la que se pueden citar sus elementos ya
sea de manera explícita o implícita. Por ejemplo, en el conjunto A 8, 3, r , 2, 7,14, 25, , sus elementos
se han citado de forma explícitay se ha escrito con una letra mayúscula. Los elementos se encierran entre
corchetes separados unos de otros mediante una “coma”. Cuando un elemento pertenece al conjunto A, se
escribe x A , se lee: “ x es elemento de A” o “ x pertenece a A” o “ x está en A”. En caso contrario, si un
elemento no pertenece al conjunto A se escribe, x A , “ x no es elemento de A”.

2. Tanto en Lógica como en Matemáticas nos referimos,de manera indistinta a un conjunto citando ya sea, su
clase, sus elementos o ambas cosas y se pueden hacer diagramas (dibujos) para representarlos. Así por
ejemplo, los números reales R, son todos aquellos que se pueden representar mediante una línea recta
horizontal orientada (flecha), en la cual a cada punto de la recta le corresponde un solo número y a cada
número le corresponde un solo punto como se ilustra en la figura 1, donde 2 N , 3 E , 2 Q 1
I , son
algunos elementos de R,
Correspondencia uno
a uno entre puntos
de la recta y los
números reales.
Fig. 1.
En términos de la clase, se puede decir que los números reales R, son los números que resultan de la unión
de la clase de los números naturales N, con la de los enteros E, con la de los racionales Q y con la clase
de los números irracionales I. Por otra parte, un conjunto especificado en forma implícita se expresa mediante
un enunciado, por ejemplo: “B el conjunto de números pares positivos” del cual se pueden citar
explícitamente sus elementos, B 2, 4, 6, 8,10,12... , los puntos suspensivos indican: “y los demás”.
Como la Lógica y las Matemáticas usan el concepto de conjunto, se puede comprender porque las
operaciones algebraicas entre conjuntos y la lógica que subyace en éstas, contribuyan a plantear y resolver
aspectos relacionados con el razonamiento deductivo en la asignatura de Lógica.Los símbolos del lenguaje
de conjuntos más usados en estos temas de Lógica son los de la figura 2,
Lenguaje de conjuntos en
lógica y algebra de
conjuntos. Fig.2.
b)Igualdad entre conjuntos y clases. Por otra parte, se dice que los conjuntos A y B son iguales,
A B , cuando tienen exactamente los mismos elementos, en caso contrario se dice que los conjuntos son
diferentes, A B . Por ejemplo, A 0, a , 7 es diferente a B 0, a, 7,1 ya que 1 B pero no es elemento
de A. Así mismo, dos clases S y P serán iguales cuando consten de los mismos elementos. Por ejemplo, si S
es la clase de todos los seres vivos y P la clase de todos los seres que respiran; como todo ser vivo es ser
que respira las clases y sus elementos son iguales.
c) Representación gráfica de conjuntos y de clases.En Matemáticas un conjunto puede ser
representado gráficamente mediante un círculo, como se muestra en la figura 3,
A Dos formas diferentes de
representar los elementos de
un conjunto mediante
círculos. Fig. 3.

3. En el dibujo de la izquierda los elementos del conjunto A quedan representados por los puntos que están
dentro del círculo. Distinguimos los elementos del conjunto A por su posición en el círculo, así cada punto
puede ser un elemento diferente. En el círculo de la derecha, los elementos de B son sólo los números 3, 5,
12, 6 y 4,en éste, ya no se consideran los puntos del círculo como elementos de B porque se han citado
explícitamente los elementos del conjunto. En Lógica, la representación de una clase S se hace rotulando un
círculo con el término S que designa la clase. El diagrama es de una clase, no de una proposición ya que el
esquema representa sólo a la clase S pero no nos dice algo más acerca de ella figura 4,
Los miembros de S quedan S
representados esquemáticamente
dentro del círculo. Fig. 4.
d) El conjunto vacío. La clase que no tiene elementos.En el algebra de conjuntos es necesario
definir un conjunto vacío como aquel que no tiene elementos, se escribe como y se lee “fi igual al
conjunto vacio”. Como la interpretación booleana de las proposiciones categóricas depende de la noción de
una clase que no tiene elementos, en Lógica también es necesario usar al conjunto vacío y tener un símbolo
especial para representarlo. Así, para diagramar la proposición de que la clase designada por S no tiene
miembros o bien,“no hay S”,se sombrea todo el círculo, para interpretarla como vacía. Se utiliza el signo “0” y
se simboliza la proposición con la ecuación S 0 , indicando con ello que no contiene nada, que es vacía, ver
figura 5. Usar el símbolo “0”,o bien el símbolo para representar al conjunto vacío es equivalente siempre y
cuando, sepamos que así se ha convenido usar en cada caso.
Representación gráfica del
conjunto vacío en lógica.
Fig. 5.
En Matemáticas, a diferencia de Lógica, en los diagramas de Vennque representan operaciones algebraicas
entre conjuntos, una zona en blancose interpreta como vacía. Ahora bien, en Lógica, cuando hay por lo
menos un miembro de la clase P, se coloca una X para simbolizar que hay algo dentro de él, se escribe
P 0 . Figura 6,
La clase P tiene al menos un
miembro. La X representa que
hay algo. Fig. 6.
2. Relación entre las clases y conjuntos.Los aspectos a desarrollar en este apartado son:
a) Unión, b) Intersección, c) Conjuntos ajenos, d) Subconjunto, e) Resta (diferencia) de conjuntos, f)
Complemento, g) afirmación o negación de relaciones entre clases o en entre conjuntos. En cada una de
estas operaciones los elementos de los conjuntos y las clases guardan entre sí una de estas relaciones,
aquella que corresponde a la relación que hay entre las clases o entre los elementos de los conjuntos.

4. a) Unión. La unión de conjuntos, se escribe A B y se define como A B x/x A o x B .
Esta operación entre conjuntos indica que si usted reúne en una sola bolsa los objetos que había en la bolsa
uno y la dos, por ejemplo. Al sacar cualquier objeto de la bolsa donde están unidos todos los objetos, siempre
encontrará que el objeto sacado es elemento de la bolsa uno o de a la dos. Si A 2, 5, a y
B 0, a, ,9,16 la unión de los conjuntos es A B 2, 5, a, 0, , 9,16 y de igual manera cualquier
elemento del conjunto de la uniónpertenece al conjunto A, o bien al conjunto B. Cuando un elemento es el
mismo en ambos conjuntos, sólo se pone una vez en la unión. En estos términos, los números reales R, son
aquellos que resultan de la unión de los conjuntosde las clases individuales R : N E Q I . La operación de
unión entre conjuntos en matemáticas se representa gráficamente como en la figura 7. Establece mediante el
sombreado que los elementos se han unido para formar un nuevo conjunto que abarca a todo elemento de A
y de B,
Diagrama que representa la
operación entre conjuntos A
unión B Fig.7.
En Lógica la unión de dos clases se puede interpretar mediante círculos que traslapan pero sin
sombrear.Automáticamente, se pueden distinguir cuatro zonas que corresponderán, como veremos, a los
productos de las clases S y P; cuyos elementos pueden pertenecer a uno u otro conjunto, o los que
pertenecen a los dos conjuntos obien, los elementos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos, figura 8.
Esto será útil para el análisis y planteamiento de proposiciones categóricas.
Al juntar espacialmente las
clases S y P queda
esquematizada la unión de las
clases. Fig.8.
S P
b) Intersección. Otra relación que se presenta en Lógica entre las clases S y P es cuando éstas
tienen miembros en común. Por ejemplo, S la clase de las manzanas y P la de las frutas, tienen elementos en
común puesto que “las manzanas son frutas”. Si S es la clase de los comedores y Pla clase de los muebles
de madera, hay elementos de S que también son de P y viceversa. La intersección de las clases se refiere
sólo a aquellos comedores que son de madera. La intersección será útil para representar proposiciones
categóricas.
La intersección entre conjuntos se define en Matemáticas como A B x/x A y x B que es
el conjunto formado por los elementos comunes de A y B. Por ejemplo, si A 8,10, 3, a , r y
B 2,10,14, a, 7, 6, 25 la intersección es A B 10, a . Se dice entonces que A B que se lee: “la
intersección de A y B es no vacía” ya que hay elementos en común entre los conjuntos. La representación
gráfica, en Matemáticas, de esta operación se muestra en la figura 9. Obsérvese que el rayado en la zona
central (“pepita”) entre los círculos indica que la intersección es no vacía. Que hay elementos en común entre
los conjuntos. Recuérdese que a diferencia de Matemáticas, en Lógica todo sombreado en un diagrama de
clases indicará que la zona es vacía. Más adelante, veremos que la intersección será útil para representar
proposiciones categóricas.

5. Intersección no vacía entre
conjuntos A y B. Fig.9.
A B 0
c) Conjuntos ajenos. Cuando no hay elementos en común entre dos conjuntos A y B, se dice que
los conjuntos son ajenos, lo que se escribe en matemáticas, como A B . La representación gráfica,
figura 10, correspondiente es,
A B Conjuntos ajenos A y B.
No hay elementos en
común. Fig.10.
A B
Por ejemplo, el conjunto de los números irracionales I y el de los números racionales Qno tienen miembros
en común, ya que no hay números irracionales que sean números racionales y viceversa. Es decir I Q .
Como tampoco hay elementos en común entre los números pares e impares, se dice que los conjuntos son
ajenos en ambos casos. En Lógica, por ejemplo, la clase S“vegetal” y la clase P“elemento químico” no tienen
elementos en común, se escribe como S P 0 . Significa que no hay vegetales que sean elementos químicos
y viceversa. La representación correspondiente, figura 11, es
Intersección vacía. Indica:
“No hay S que sea P” y
viceversa. Fig.11.
SP=0
Al indicar en este diagrama que la parte central del esquema no tiene elementos (zona sombreada), se
mantienen presentesen la contraparte del diagrama (zonas en blanco en forma de “lunas”) los elementos de
dos clases ajenas entre sí. Por su significado, la figura 10, es equivalente a la figura 11. Ambos esquemas
representan que no hay elementos en común, sólo que en la primera representación, el vacío queda como
círculos bien separados. Mientras que en la segunda figura quedan “lunas” muy juntas pero separadas al fin
por casi nada. Así, ambas figuras indican que las clases S y P o los conjuntos A y B son ajenos. La forma de
la figura para esquematizar una clase no tiene importancia, ya sea como círculo, una elipse o algo que
parezca una “luna” o una “pepita”. El concepto de conjuntos ajenos es de utilidad en Lógica para representar
proposiciones categóricas en las que el producto de las clases es vacío.
d) Subconjunto. Cuando cada miembro de una clase S es también miembro de otra clase P, se dice
entonces que la primera clase está contenida en la segunda. Por ejemplo, la clase S de los “gases de la
tabla periódica de elementos químicos” está contenida en la clase P de los “elementos químicos de la tabla
periódica”. Si S es la clase de los gatos y P la clase de los mamíferos de cuatro patas entonces la clase de
los gatos está contenida en la clase de los mamíferos; en otras palabras, todo gato es mamífero. Esta
relación entre las clases y los elementos de una clase será de mucha utilidad para representar que todo
elemento de una clase es también elemento de la otra. En el algebra de conjuntos se define el concepto de
subconjunto diciendo que el conjunto A está contenido en el conjunto B cuando todo elemento de A es
también elemento de B, se escribe como A B , se lee: “A contenido en B”. La contención en Matemáticas y
en Lógica se representa gráficamente de la misma manera, figura 12,

6. A subconjunto de B. La
forma de la figura cerrada
no importa. Fig.12.
Sean A 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9 y B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 dos conjuntos, se dice que A está contenido
en B, A B , porque todo elemento de A es también elemento de B. El conjunto de los números naturales
N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... es un subconjunto de los enteros E ..., 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... ,
puesto que todo número natural es también número entero, es decir: N E . También, los números
naturales están contenidos en los números reales, N R .De hecho, E R , Q R , e I R .
e) Resta (diferencia) de conjuntos. Otra operación en el algebra de conjuntos que se usa en
Lógica para representar proposiciones categóricas es la resta entre conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la
diferencia, A – Bes el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen al conjunto B. Seescribe
como A B x / x A, x B . Por ejemplo, sean A 8,10, 3, a, r y B 2,10,14, a , 7, 6, 25 cuya
representación, figura 13, es
Conjuntos A y B.
Fig. 13.
dela definición de resta (diferencia) entre conjuntos se obtiene el conjunto A B 8, 3, r de la figura 14,
,
Resta (A-B) de los
conjuntos A y B. Fig. 14.
Obsérvese que los elementos comunes de A y de B desaparecen al hacer la resta de los conjuntos (los
elementos de B que quedan ya no se toman en cuenta). Ahora bien, si se quiere efectuar la operación
contraria B A x / x B , x A , se obtiene B A 2,14, 7, 6, 25 . Resultado que se puede expresar
gráficamente, figura 15, como
Resta (B-A) de
los conjuntos A y
B. Fig. 15.
De las restas antes efectuadas, se puede comprender que la operación diferencia entre conjuntos no es
conmutativa, es decir A B B A . La no conmutatividad de la resta de conjuntos tiene un significado muy
preciso en Lógica, ya que no será lo mismo la clase, (S – P), cuyos elementos son los S que no son P; y la
clase (P – S)que son los P que no son S. Por ejemplo, si Ses la clase de los políticos y P la clase de los
mentirosos. La diferencia (S – P) es la clase de los políticos que no son mentirosos y la resta (P – S) es la
clase de los mentirosos que no son políticos.

7. e.1) Resta simétrica.En algebra de conjuntos la resta simétrica entre dos conjuntos se define como
A B (A B ) ( B A ) que es la unión de dos restas (diferencias). Por ejemplo, si A 8,10, 3, a , r y
B 2,10,14, a , 7, 6, 25 son los conjuntos del ejemplo anterior, la representación gráfica, figura 16, es
Resta simétrica de los conjuntos A y
B. ( A B ) ( B A ) . Fig. 16.
Observe que han quedado solo aquellos elementos que son de A pero no de B (lado izquierdo) unidos con los
elementos que son de B pero no de A (lado derecho). Para los matemáticos, el centro está vacío. En la
operación A B no aparecen los elementos comunes a los conjuntos originales A y B. De las figuras 14 y 15,
se comprende que la figura 16 es el resultado de la unión de los diagramas que resultaron de las operaciones
de resta anteriores para formar un nuevo conjunto donde no hay elementos en común, ( A B ) ( B A ) .
Lo que significa que los conjuntos resta (diferencia) son ajenos entre sí.
En lógica, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, como hemos visto, se pueden hacer
dos restas (o diferencias), figura 17
Resta entre clases. Los elementos de
(S-P) están representados en la
“luna” del lado izquierdo. Los de (P-S)
en la del lado derecho. Fig. 17.
De la operación (S-P) tenemos la clase de los políticos que no son mentirosos y de (P – S) tenemos la clase
de los mentirosos que no son políticos. Al hacer la unión de estas dos clases, se obtiene la figura 18,
En la resta simétrica la zona central
es vacía cuando las clases S y P son
ajenas y también cuando no lo
sean. Fig.18.
Las operaciones (S P ) y ( P S ) dan como resultado dos clases ajenas entre sí. Las restas así efectuadas
han eliminado la posibilidad de representar los elementos en común de S y P. La resta simétrica
( S P ) ( P S ) implica que se sombree la zona central del diagrama. El cual, muestra que hay políticos que
no son mentirosos (lado izquierdo) y mentirosos que no son políticos (lado derecho) y, también que no hay
políticos que sean mentirosos y viceversa (centro). Por esta razón la figura 18 se utilizará en Lógica para
representar aquellas proposiciones en las que ningún S sea P.
f)Complemento.Otra operación útil tanto en Matemáticas como en Lógica es la que se denomina
complemento de un conjunto A, se escribe A c o bien como A’ (aquí usaremos indistintamente una u otra
notación). Una de las maneras de definir el complemento es en términos de un conjunto universal U como
aquel que está formado por todos los elementos de interés en un problema, figura 19. Se representa por un
rectángulo con una U y sus elementos son los puntos encerrados en éste.
Conjunto Universal en
matemáticas. Fig. 19.

8. Los elementos del conjuntocomplemento, A c ,son aquellos que pertenecen a U pero no pertenecen al
conjunto A,área sombreada en la figura 20.
Complemento de A en
términos del conjunto
Universal, U. Fig. 20.
En lógica, una clase S se representa gráficamente mediante un círculo rotulado con el término que designa la
clase a la que se refiere, figura 21. Cuando un miembro no es de la clase S,se simboliza como S . Es decir, el
círculo que representa la clase S también representa, por complementación, a la clase S , es su
complemento, ya que en el exterior del círculo para S están todos los miembros que no son de S.
S
Representación de la clase S
y su complemento o
contraparte. Fig. 21.
S
Por ejemplo, sea S la clase de los gases químicos, todo aquello que no sea un gas químico queda
simbolizado por S , que es una clase muy extensa; cubre cualquier cosa que no sea gas químico. En
Matemáticas, el diagrama de Venn para dos conjuntos A y B en términos del conjunto universal U es un
rectángulo con los círculos que se traslapan en su interior, figura 22. Lo que queda fuera del rectángulo ya
no tiene sentido matemático, es simple papel en blanco.
Diagrama de Venn
en Matemáticas.
Fig. 22.
El equivalente diagrama de Venn para Lógica es el de la figura 23. Como no hay rectángulo, todo el espacio
más allá de los círculos traslapados tiene significado lógico. Representa todo objeto que sean ni S ni P.
Diagrama de Venn como se utiliza en
Lógicas. El conjunto universal no está
acotado. Fig.23.
De estas dos últimas figuras obsérvese la diferente manera de representar al conjunto universal. En
Matemáticas este conjunto está acotado por un rectángulo que representa a la clase más general de interés
en un problema; mientras que en lógica el conjunto universal incluye a todo lo que no pertenece a las clases.
Las clases esquematizadas en la figura 23 se describen de la siguiente manera en la tabla 1.

9. TABLA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS CLASES
SÍMBOLO ZONA CLASE REPRESENTADA
SP Izquierda en forma de “luna” que El producto de las clases S y P ;
no se traslapa con P
“Todos los S que no son P ”
SP Centro común de los círculos en El producto de las dos clases S y P
forma de “pepita”.
“Todos los S que también son P ”
SP Derecha en forma de “luna” que no El producto de la clase S y P
se traslapa con S
“Todos los P que no son S ”
SP Externa de los dos círculos El producto de las clases no S no P.
“Todas las cosas que no son S ni P ”
Como hemos dicho,si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos. La clase de los S que no
son P,( S P ) representa la clase de los políticos que no son mentirosos. La clase de los P que no son S, (
S P ) representa la clase de los mentirosos que no son políticos. La clase ( S P ) representa la clase de los
políticos que son mentirosos. La zona exterior a los círculos ( S P ) representa a la clase de los “ninis” ni son S
ni son P. Ver figura 23. La clase S P es la misma que la clase P S ya que todos los no políticos que son
mentirosos son lo mismo que los mentirosos que no son políticos. La distinta manera de escribir estos
resultados con el lenguaje de conjuntos y con la simbolización respectiva en Lógica se muestra en la tabla 2,
TABLA 2: EQUIVALENCIAS
(S P) x S, x P SP “ S que no son P”
Resta de conjuntos en Se representa en
(P S) x P, x S SP “P que no son de S”
Matemáticas: Lógica como:
Intersección de conjuntos (S P) x S y x P Se representa en SP “S que son P” y
en Matemáticas: Lógica como: viceversa.
Otra manera de construir un complemento es cuando A es subconjunto de un conjunto B, la resta B A , es
el conjunto de todos elementos que no están en A pero que están en B por lo que el conjunto resultante es el
complemento de A con respecto a B, es decir, B A A c . Figura 24,
La resta (B – A) resulta ser A´
cuando a esta contenido en B.
Fig.24.
Fig. 18
En lógica, cuando la clase S es subconjunto de la clase P, como se muestra en la figura 25, todos los
elementos de la clase S P son complemento de S, y cuando P está contenido en S todos los elementos de la
clase S P son el complemento de P,
Complementos.
Fig.25.

10. De las figuras anteriores, se tiene la siguiente tabla 3,
TABLA 3. CONJUNTOS EN MATEMÁTICAS Y LAS CLASES EN LÓGICA
La resta de conjuntos en (P S ) S
c
Que en Lógica se SP “P que no son S”
Matemáticas: c escribe como: “ S que no son P”
(S P ) P SP
g) Afirmación o negación de las relaciones entre clases y conjuntos. El diagrama que consta de
dos círculos, lo introdujo el matemático y lógico inglés John Venn (1834-1923). El esquema de la figura 23no
representa ninguna proposición puesto que no se está afirmando o negando que haya elementos en la clase
representada por determinada zona. Las proposiciones sólo las representan aquellos diagramas en los que
una parte ha sido sombreada o en la que se ha insertado una X. Así, para representar una proposición
categórica, alguna de las clases: S P , S P o S P debe ser señalada en el sentido de tener o no tener
elementos. El “0” se utiliza para tal fin (equivale al símbolo del conjunto vacío en Matemáticas). Si una
clase no tiene elementos, se simboliza mediante una ecuación con la clase correspondiente igualada a “0”.
En caso contrario, la ecuación se escribe con un signo de diferencia seguido de un “0”. Tabla 4,
TABLA 4. CLASES VACÍAS O CON ELEMENTOS
SP 0 SP 0
“No hay S que no sea P” “Hay S que no son p”
Clase SP 0 Clase no SP 0
vacía: “No hay S que sea P” vacía: “Hay S que son P”
SP 0 SP 0
“No hay P que no sea S” “Hay P que no son S”
3. Proposiciones Categóricas. Empezamos a estudiar en Lógica las proposiciones categóricas
cuando los pensamientos se expresan de manera formal, es decir, cuando contienen un Sujeto, Verbo y
Predicado, cuando afirman o niegan algo y son objeto de análisis como verdaderos o falsos. Una proposición
es categórica, de acuerdo con la clasificación de los juicios por Relación, cuando lo que expresa, ya sea
afirmando o negando lo hace de manera contundente, sin condición (como en los juicios Hipotéticos) o sin
establecer opciones (como lo hacen los juicios Disyuntivos). Así, las proposiciones Categóricas pueden
analizarse afirmando o negando si una clase S está incluida total o parcialmente en otra clase P y
señalando si es vacía o tiene elementos. Al relacionar los juicios por Cantidad con los de Cualidad surgen 4
tipos de proposiciones que llamamos categóricas: Proposición A, Universal afirmativa, “Todo S es P”;
Proposición E, Universal negativa, “Ningún S es P”; Proposición I, Particular Afirmativa, “Algún S es P”; y
Proposición O, Particular Negativa “Algún S no es P”. Este tipo de proposiciones se usan, regularmente en los
diferentes tipos de razonamiento. Una manera de recordar esta clasificación se muestra en la tabla 5
Tabla 5. SIMBOLIZACIÓN NEMOTÉCNICA
PROPOSICIÓN SÍMBOLOS
A, Universal afirmativa, “Todo S es P” U (Universal que afirma)
E, Universal negativa, “Ningún S es P” U ( Universal que niega)
I, Particular Afirmativa, “Algún S es P” P (Particular queafirma)
O, Particular Negativa “Algún S no es P” P (Particular queniega)
En el razonamiento deductivo las proposiciones se encuentran como premisas que pretenden proporcionar
bases concluyentes para establecer la verdad de su conclusión. La teoría de la deducción intenta explicar la
relación entre las premisas y la conclusión de un argumento válido y proporcionar técnicas para distinguir
argumentos deductivos, esto es, para discriminar entre deducciones válidas e inválidas.

11. El estudio clásico aristotélico de la deducción está centrado en argumentos que contienen solamente
proposiciones. Tanto las premisas como la conclusión son “proposiciones categóricas”. Demos un ejemplo.
En el argumento: Ningún vicio es recomendable (proposición E)
El alcoholismo es un vicio (proposición I)
______________________________________________________
Por lo tanto, El alcoholismo no es recomendable (proposición O)
Tomando como referencia el ejemplo clásico que expone Irving Copi, en su Introducción a la Lógica, si S la
clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, las relaciones que se presentan están sustentadas en
las operaciones básicas entre conjuntos como se ilustra en el extremo derecho de la siguiente tabla 6,
TABLA 6: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y CONJUNTOS
PROPOSICIÓN TIPO DE PROPSICIÓN PROPOSICIÓN CONJUNTOS
UNIVERSAL AFIRMATIVA:
TODOS LOS La relación de inclusión entre clases tiene lugar Todo S es P (S P)
POLÍTICOS SON entre dos clases. Esta inclusión es completa o SP 0 S menos P es
MENTIROSOS universal ya que todos los miembros de S son igual al vacío.
también miembros de P. Cada elemento de S es S contenido
también elemento de P. Representa que todo en P.
político es mentiroso.
S P
UNIVERSAL NEGATIVA: S intersección
NINGÚN La proposición niega que la relación de inclusión Ningún S es P P igual al
POLÍTICO ES de clase tenga lugar entre las dos clases. Lo SP 0 vacío. Los
MENTIROSO niega en forma universal ya que no hay ningún conjuntos son
miembro de S que también lo sea de P. La ajenos. Sin
primera clase S excluye totalmente a la segunda elementos en
clase P. Se niega en forma universal que los común.
políticos sean mentirosos.
PARTICULAR AFIRMATIVA: S P
La clase de los políticos S y la clase de los S intersección
ALGUNOS mentirosos P tienen por lo menos un miembro Algún S es P P diferente al
POLÍTICOS SON en común. La proposición afirma que sólo SP 0 vacío”. Los
MENTIROSOS algún o algunos políticos son mentirosos pero conjuntos
no afirma esto de los políticos considerados tienen al
universalmente. No afirma ni niega que todos menos un
los políticos sean mentirosos. No dice elemento en
literalmente que algunos políticos no son común.
mentirosos, aunque en algunos contextos
podemos entenderlo así.
PARTICULAR NEGATIVA: (S P)
ALGUNOS No se refiere universalmente a los políticos sino S menos P es
POLÍTICOS NO sólo a algunos miembros de esa clase. No Algún S no es P diferente al
SON afirma que los miembros particulares de la SP 0 vacío. Hay al
MENTIROSOS primera clase S están incluidos en la segunda menos un
clase P, esto es precisamente lo que se niega. elemento de S
Dice que por lo menos un miembro que que no son de
pertenece a la clase S, es excluido de la P.
totalidad de la clase P.