Este documento describe la teoría de conjuntos, incluyendo conceptos como conjuntos, elementos, representaciones extensionales e intencionales de conjuntos, tipos de conjuntos como conjuntos vacíos y universales, relaciones como inclusión e igualdad, y operaciones como unión e intersección.

1. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 1
TEORÍA DE CONJUNTOS
Set theory
Autor: Stiven Valencia Ramírez
Universidad Tecnológica de Pereira
Stivenvalencia19755@gmail.com
objetos no repetidos y no ordenados"; Un conjunto
Fecha de Recepción: (Letra Times New Roman de 8 puntos)
Fecha de Aceptación: Dejar en blanco
Teoría de Conjuntos
Concepto: Es una división de las matemáticasque
estudia los conjuntos.

2. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de
Pereira.
• 5 Fuentes
Noción de conjunto.
Para estudiar la teoría de conjuntos, hay que partir
de establecer qué es un conjunto. Al mencionar esta
palabra vienen a la mente ideas como el conjunto de
los números reales (R), un conjunto de personas, un
conjunto musical o el conjunto de las letras del
alfabeto, y es que, en efecto, todos estos son
conjuntos.
Aunque se plantea que no es posible definir
formalmente el concepto de conjunto, este puede
describirse como una agrupación o colección de
objetos, lo que lleva inevitablemente a establecer
qué es un objeto.
Un objeto o elemento, en la teoría de conjuntos es
cualquier cosa, puede ser algo físico, como una PC,
puede ser también una abstracción como un
programa y puede ser incluso un conjunto. Es
importante notar que entre los objetos que forman
un conjunto no tiene que haber ninguna
característica en común, excepto el propio hecho de
pertenecer al conjunto. Así se encuentran conjunto
homogéneos como el de las impresoras o el de los
componentes de Hard, pero existen conjuntos tan
heterogéneos como se quiera, por ejemplo un
conjunto formado por un una mesa, una persona y
una PC.
Hay que aclarar que un conjunto no es una
agrupación física de objetos, sino una abstracción
que puede corresponderse con agrupaciones físicas,
pero también con agrupaciones que sólo existen
como idea, tal es el caso del conjunto de trabajos
presentados en los eventos de Infoclub, cada una
ocurrió en un momento y lugar distinto.
Convencionalmente, los conjuntos suelen
nombrarse con letras mayúsculas del alfabeto
latino (A, B, C…), mientras los objetos que los
forman se representan con letras minúsculas del
mismo alfabeto.
De los objetos que forman un conjunto se dice que
son elementos del mismo o que pertenecen a él. la
siguiente expresión corresponde a la representación
Si a es un elemento del conjunto A, entonces se
dice que a, pertenece a A
Existen conjuntos muy utilizados como R, N, Z,
para los que es fácil identificar sus elementos, pero
en general no es así, por lo que es útil contar con un
modo de representación de los conjuntos que deje
explícito cuáles son los objetos que los forman. Hay
dos maneras básicas de definir y representar un
conjunto a través de los elementos que lo componen
la representación extensional y la representación
intencional.
La representación extensional de un conjunto no
es más que la enumeración de todos sus elementos,
separados por comas y encerrados entre llaves, los
siguientes ejemplos constituyen representaciones
extensionales de cuatro conjuntos de tres elementos
cada uno y un quinto de cuatro elementos:
1.{mouse, Teclado, Speaker}
2.{a, f, g}
3.{1,2,3}
4.{Rojo, Azul, Verde}
5.{1, f, Maus, Rojo}
La representación intencional, se basa en expresar
mediante una fórmula matemática, una propiedad
que describa a todos los elementos del conjunto y
que ningún elemento ajeno al conjunto la cumpla.
Esta es una manera mucho más compacta de
representar conjuntos de gran cantidad de
elementos e incluso de infinitos elementos, pero
tiene como limitación que no siempre existe tal
fórmula y en muchos casos, aún existiendo, es muy
difícil encontrarla. A continuación aparecen
algunos ejemplos de conjuntos y sus
representaciones intencionales.
1.La representación intencional del conjunto de
todos los números reales del intervalo [3..5] es {x |
x pertenece a R, x mayor o igual a 3 y x menor o
igual a 5}.
Su representación extensional sería: {3,4,5}
2.La representación intencional del conjunto de
todos los números naturales múltiplos de 3 es {x | x
pertenece a N, x = 3k, k pertenece a N }
3.{x | 6x7 + 3x2 + 5 = 0} es la representación
intencional del conjunto de soluciones de la
ecuación 6x7 + 3x2 + 5 = 0
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3. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de Pereira.
4.{x | x pertenece a R, | x > 5 } es la representación
intencional del conjunto de números reales que no
pertenecen al intervalo [-5..5]
Importante es notar que, para un mismo conjunto,
puede haber más de una representación intencional,
como ilustra el siguiente ejemplo:
{x | x pertenece a R, x > -2, x < 4} y {x | x
pertenece a R, | x – 1 | < 3 } son representaciones
intencionales del conjunto de números reales del
intervalo [-2..4]
Tipos de conjuntos
Conjunto vació o conjunto nulo: Es aquel que no
tiene elementos y se simboliza por ∅ o { }.
A = {x2
+ 1 = 0 | x ∈ R}
El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay
ningún número real que satisfaga a x2
+1 = 0
Conjunto universal o conjunto referencial: Es el
conjunto de todos los elementos considerados en
una población o universo, en un problema en
especial. No es único, depende de la situación,
denotado por U o Ω.
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto
cualquiera A se llama conjunto potencia, denotado
por P(A) o 2A
. Este, si no es el conjunto vacío
contiene, necesariamente ∅ y el mismo conjunto,
llamados subconjunto impropios. Si B es
subconjunto de A es lo mismo que B sea un
elemento del conjunto potencia de A.
Si un conjunto es finito con n elementos, entonces
el conjunto potencia tendrá 2n
subconjuntos o
partes.
A = {1, 2 }
El total de subconjuntos es: 22
= 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
Conjuntos disjuntos Son aquellos que no tienen
elementos en común, es decir, cuando no existen
elementos que pertenezcan a ambos. F = {1, 2, 3, 4,
5, 6}
G = {a, b, c, d, e, f}
Partición. Cuando un conjunto es dividido en
subconjuntos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, se le denomina partición.
Inclusión e igualdad entre conjuntos
Entre los conjuntos se establecen dos relaciones
fundamentales, la inclusión y la igualdad, la
primera expresa que todos los elementos de un
conjunto se encuentren en otro, mientras la segunda
plantea que dos conjuntos están formados por los
mismos elementos. A continuación se formalizarán
y ejemplificarán estas relaciones.
Definición. Sean A y B dos conjuntos, se dice que
A está incluido en B, o que A es subconjunto de B
si y sólo si todos los elementos de A son también
elementos de B.
Obsérvense los siguientes ejemplos de inclusión
entre conjuntos:
1.{ Mouse, Teclado, Speaker } subconjunto
{ mouse, Teclado, Speaker, 4}
2.{ Mouse, Teclado, Speaker } subconjunto
{ Teclado, Mouse, Speaker }
Este par de ejemplos evidencia que si A
subconjunto B, en B pueden o no, haber elementos
que no pertenecen al conjunto A, por otro lado, de
la definición de inclusión queda claro que en A no
pueden haber elementos que no pertenezcan a B.
Los siguientes son también ejemplos de inclusión
entre conjuntos:
1.El conjunto de trabajadores del JCCE Camaguey
5 es un subconjunto del conjunto de trabajadores de
los JCCE de Camagüey.
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1. Las notas de pie de página deberán estar en la página donde se citan. Letra Times New Roman de 8 puntos
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4. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de
Pereira.
2.El conjunto de adiestrados de informática en los
Jóvenes Club del Municipio Camaguey es un
subconjunto del conjunto de adiestrados del
Municipio, pero no es subconjunto del conjunto de
habitantes del municipio de Camaguey pues entre
los estudiantes mencionados hay algunos que
habitan en otros municipios.
3.El conjunto de los programas de diseños que se
imparten en los Jóvenes Club es un subconjunto del
conjunto de los programas de Soft que se imparten
en este movimiento.
4.El conjunto de los ingenieros informáticos es un
subconjunto del conjunto de todos los ingenieros,
que a su vez es subconjunto del conjunto de
graduados universitarios.
A partir de la inclusión entre conjuntos se define la
igualdad de la siguiente manera:
Definición. Sean A y B conjuntos, A es igual a B
(A = B) si y sólo si A subconjunto B y B
subconjunto A.
Se evidencia que si A es subconjunto de B, todos
los elementos de A, son elementos de B, mientras
que como B es subconjunto de A, no existen en B
elementos que no pertenezcan al conjunto A, de lo
que se desprende que los elementos de A y B son
exactamente los mismos. A continuación se
ejemplifica la igualdad entre conjuntos.
1.{1, 2, 3} = {1, 2, 3}
2.{1, 2, 3} = {2, 3, 1}
3.{1, 2, 3} = {2, 1, 3}
4.{1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3}
De la definición de igualdad entre conjuntos se
desprende que el orden de los elementos de un
conjunto no tiene ninguna importancia, es más, en
los conjuntos los elementos no tienen orden, aunque
al representarlos extensionalmente sea inevitable
enumerarlos ordenados de alguna manera. Otra
consecuencia lógica de la definición de igualdad
entre conjuntos es que no tiene sentido que existan
elementos repetidos en la representación de un
conjunto, lo que se evidencia mediante el caso 4 del
ejemplo anterior, no puede decirse que el segundo
conjunto tiene cuatro elementos, porque sólo está
compuesto por los elementos 1, 2 y 3.
Cuando un conjunto A es subconjunto de otro
conjunto B pero estos no son iguales, entonces se
dice que A es subconjunto propio de B.
Los siguientes, son ejemplos de la relación anterior:
1. {1, 2, 3} subconjunto propio de {1, 3, 2, 4}
2. {1, 2} subconjunto propio de {2, 8, 4, 10, 1}
Conjuntos distinguidos
Entre los conjuntos, existen algunos que tienen
características muy particulares que los hacen
objeto de interés especial en la teoría de conjuntos.
El primero de estos es el conjunto vacío, que no es
más que la abstracción que representa al conjunto
que no tiene ningún elemento, este se representa
mediante una llave abierta y otra cerrada {}, el
conjunto vacío por definición es subconjunto de
todo conjunto. El papel que juega el conjunto vacío
entre los conjuntos se puede comparar al que
desempeña el cero entre los números.
Al trabajar con cualquier tipo de objetos, resulta
conveniente fijar un conjunto que contenga todos
los objetos de interés, a este conjunto se le llama
Universo de discurso o simplemente conjunto
Universo y se representa como U, de esta manera
cuando se estudian las propiedades de los números
naturales U = N, si se trabaja en el análisis de los
números reales U = R y si se hace un estudio del
personal de una empresa, U será el conjunto de
trabajadores de la misma. Es importante señalar que
una vez fijado el Universo de Discurso, todo
conjunto con el que se trabaje será subconjunto de
U (a menos que sea un conjunto de orden superior o
conjunto de conjuntos).
El tercer conjunto distinguido es el conjunto
potencia, que se define de la siguiente manera;
dado un conjunto A, el conjunto potencia de A
(P(A)) es el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A. Con respecto al conjunto
potencia deben tenerse presente algunos aspectos:
1. Su composición depende del conjunto A que se
tome.
2. Todos sus elementos son a su vez conjuntos.
3. A y {} pertenecen a P(A)
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5. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de Pereira.
Obsérvese el siguiente ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3}, entonces P(A) = {{}, {1}, {2},
{3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}
Álgebra de conjuntos.
El álgebra de conjuntos es el área de la matemática
que estudia a los conjuntos como objetos
matemáticos para los que se define un conjunto de
operaciones que cumplen determinadas leyes. Las
operaciones del álgebra de conjuntos son: unión,
intersección, complemento, complemento relativo y
diferencia simétrica. A continuación se define cada
una de ellas.
La unión entre conjuntos es una operación que
consiste en obtener, a partir de dos conjuntos, uno
nuevo formado por los elementos de ambos.
Es decir, si A y B son conjuntos, la unión de A y B
da como resultado el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A o a B y sólo por estos
elementos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {4, 2,
3}, la unión de A y B será {1, 2, 3, 4},
evidentemente los elementos que pertenecen
simultáneamente a ambos conjuntos A y B,
pertenecen a la unión y se representan en esta solo
una vez, tal es el caso del 2 en el ejemplo anterior.
Conociendo la definición de unión, puede
comprenderse que es lo mismo referirse al conjunto
de los programas de Soft que a la unión de los
conjuntos de los programas de aplicación,
programas de diseños y programas de
programación.
En ocasiones es importante trabajar con los
elementos que pertenecen simultáneamente a dos
conjuntos, por ejemplo, en el grupo de informática
de primer año hay un conjunto de estudiantes que
son buenos deportistas y un conjunto de estudiantes
que son muy buenos académicamente, para los
juegos de la carrera se desea determinar que
estudiantes pueden representar el año (lo que
implica que dejarán de asistir a clases por una
semana) sin afectar su desempeño docente, a todas
luces los candidatos ideales son aquellos que
pertenezcan a los dos conjuntos mencionados, o en
otras palabras los que pertenezcan a su intersección.
La intersección entre conjuntos consiste en
obtener, a partir de dos conjuntos, uno nuevo
formado por los elementos que se encuentran
simultáneamente en ambos.
De modo que si A y B son conjuntos, La
intersección de A y B es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen tanto a A como a B, y
sólo por estos elementos. Por ejemplo, si A = {1,2}
y B = {4,2,3}, La intersección de A y B será {2}
Volviendo al caso de los juegos de la carrera
de informática, suponiendo que el conjunto de
estudiantes que son buenos deportistas (D en lo
adelante) es {Luis, Leticia, Alberto, María, José},
mientras el conjunto de estudiantes que son muy
buenos académicamente (A en lo adelante) es
{Pedro, Leticia, Rafael, Ana, José}, se tiene que el
conjunto de los estudiantes idóneos para los juegos
(J en lo adelante) es {Leticia, José}, en términos del
álgebra de conjuntos se expresa: J = a la
intersección de D y A
Ahora analícese el siguiente ejemplo. El
Departamento de Metodología de los JCCE de
Camaguey, está procesando el análisis de los
estudiantes matriculados en el curso, el universo de
su análisis es el conjunto de las edades de cada
alumno, en el que se destacan dos conjuntos: A, el
conjunto de los menores de 15 años; D, el conjunto
de mayores de 15 años, estos dos conjuntos
cumplen la propiedad de que los elementos de uno,
son todos los elementos del universo que no
pertenecen al otro. En este caso se dice que A es el
complemento de D o viceversa.
El complemento de un conjunto A, (Ac) es el
conjunto de todos los elementos que no pertenecen
a A.
Evidentemente debe estar definido U(universo) y
todos los elementos pertenecerán a U. Por ejemplo,
si U = {1,2,3,4,5,6} y A = {4,2,3}, Ac será {1,5,6}
Suele ser útil aplicar este concepto de
complemento, pero en ocasiones en un ámbito mas
restringido. Retomando el ejemplo anterior,
supóngase que no se desea definir como universo al
conjunto de las edades de los estudiantes en curso
(E en lo adelante), sino al conjunto de las edades de
los estudiantes de los últimos diez años, en tal caso
no es posible afirmar que A es el complemento de
D, ni viceversa, pero puede plantearse qué A, es el
complemento relativo de D con respecto a E.
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1. Las notas de pie de página deberán estar en la página donde se citan. Letra Times New Roman de 8 puntos
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6. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de
Pereira.
El complemento relativo de un conjunto A con
respecto a un conjunto B, se representa como B – A
y es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a B, pero no pertenecen a A.
Por ejemplo, si A = {4, 2, 3} y B = {1, 2}, B - A
será {1}. El complemento relativo cualquier
conjunto A, con respecto a U, siempre será Ac.
Supóngase ahora que se tienen dos conjuntos de
automóviles, los de fuerza (F) y los de lujo (L), hay
automóviles que pertenecen a ambos conjuntos, así
como los hay que no pertenecen a ninguno. Un
comprador desea adquirir un auto que pertenezca
solo a uno de los conjuntos, sin importarle cual, o
sea, él desea analizar para la compra todos los autos
que pertenezcan a F o a L pero no a ambos, en tal
caso se dice que él desea analizar los autos que
pertenezcan a la diferencia simétrica de F y L.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B,
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a uno de los dos, pero no a ambos.
Por ejemplo, si A = {1,2} y B = {4, 2, 3}, la
diferencia simétrica de A y B será {1, 3, 4},
quedando el 2 excluido por pertenecer a ambos
conjuntos.
Cubrimientos y particiones.
Entre conjuntos de conjuntos (comúnmente
llamados familias de conjuntos) y conjuntos
cualesquiera se establecen dos relaciones que se
explican a continuación.
Una familia de conjuntos, {A1, ... An} es un
cubrimiento de un conjunto B, si y sólo si la unión
de todos los conjuntos de la familia incluye a B.
Obsérvese el siguiente ejemplo:
A1 = {1, 2, 3}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 3, 4, 8, 10}
La familia de conjuntos {A1, A2, A3} constituye
un cubrimiento de B, sin embargo, {A2, A3} no lo
constituye pues en la unión de los conjuntos de la
familia no está el 1 que sí pertenece a B.
Una partición de un conjunto B, es una familia de
conjuntos {A1,... An} tal que se cumplan las
siguientes condiciones:
El vacío pertenece a {A1, ... An}
B es igual a la unión de Ai
2.La intersección de Ai y Aj es igual al vacío para
toda i, toda j entre 1 y n tal que i diferente de j
Toda partición es un cubrimiento, pero todo
cubrimiento no es una partición, el ejemplo de
cubrimiento anterior no es una partición sin
embargo el siguiente si es un ejemplo de partición:
A1 = {1, 2}, A2 = {4, 5}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10}
Importante es aclarar, que tanto en el caso de los
cubrimientos como en de las particiones, la familia
de conjuntos puede ser infinita, como en el ejemplo
que aparece a continuación:
Ai = {x | x es múltiplo de i}
La familia {x | x = Ai , con i mayor o igual a 1} es
cubrimiento de cualquier conjunto de números
enteros positivos.
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7. Scientia et Technica Año XVI, No 49, Diciembre de 2011. Universidad Tecnológica de
Pereira.
El complemento relativo de un conjunto A con
respecto a un conjunto B, se representa como B – A
y es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen a B, pero no pertenecen a A.
Por ejemplo, si A = {4, 2, 3} y B = {1, 2}, B - A
será {1}. El complemento relativo cualquier
conjunto A, con respecto a U, siempre será Ac.
Supóngase ahora que se tienen dos conjuntos de
automóviles, los de fuerza (F) y los de lujo (L), hay
automóviles que pertenecen a ambos conjuntos, así
como los hay que no pertenecen a ninguno. Un
comprador desea adquirir un auto que pertenezca
solo a uno de los conjuntos, sin importarle cual, o
sea, él desea analizar para la compra todos los autos
que pertenezcan a F o a L pero no a ambos, en tal
caso se dice que él desea analizar los autos que
pertenezcan a la diferencia simétrica de F y L.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B,
es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a uno de los dos, pero no a ambos.
Por ejemplo, si A = {1,2} y B = {4, 2, 3}, la
diferencia simétrica de A y B será {1, 3, 4},
quedando el 2 excluido por pertenecer a ambos
conjuntos.
Cubrimientos y particiones.
Entre conjuntos de conjuntos (comúnmente
llamados familias de conjuntos) y conjuntos
cualesquiera se establecen dos relaciones que se
explican a continuación.
Una familia de conjuntos, {A1, ... An} es un
cubrimiento de un conjunto B, si y sólo si la unión
de todos los conjuntos de la familia incluye a B.
Obsérvese el siguiente ejemplo:
A1 = {1, 2, 3}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 3, 4, 8, 10}
La familia de conjuntos {A1, A2, A3} constituye
un cubrimiento de B, sin embargo, {A2, A3} no lo
constituye pues en la unión de los conjuntos de la
familia no está el 1 que sí pertenece a B.
Una partición de un conjunto B, es una familia de
conjuntos {A1,... An} tal que se cumplan las
siguientes condiciones:
El vacío pertenece a {A1, ... An}
B es igual a la unión de Ai
2.La intersección de Ai y Aj es igual al vacío para
toda i, toda j entre 1 y n tal que i diferente de j
Toda partición es un cubrimiento, pero todo
cubrimiento no es una partición, el ejemplo de
cubrimiento anterior no es una partición sin
embargo el siguiente si es un ejemplo de partición:
A1 = {1, 2}, A2 = {4, 5}, A3 = {6, 8, 10}
B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10}
Importante es aclarar, que tanto en el caso de los
cubrimientos como en de las particiones, la familia
de conjuntos puede ser infinita, como en el ejemplo
que aparece a continuación:
Ai = {x | x es múltiplo de i}
La familia {x | x = Ai , con i mayor o igual a 1} es
cubrimiento de cualquier conjunto de números
enteros positivos.
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