Los alumnos encontrarán en este documento los aspectos matemáticos claves para comprender la utilización de los diagramas de Venn en las proposiciones categóricas en la asignatura de Lógica a nivel Preparatoria.

1. APUNTES DE LÓGICA Y MATEMÁTICAS
Autores:
Mtra. Flor Alejandrina Hernández Carballido.
Mtro. Heriberto Marín Arellano.
Profesores de la Escuela Nacional
Preparatoria de la ENP /UNAM.
Octubre, 2012.
John Venn (1834 -
INTRODUCCIÓN
La Lógica es la rama del saber
Presentamos los siguientes apuntes de Matemáticas y Lógica que
sobre los procesos en los que
tienen como finalidad ayudar al alumno en la mejor comprensión del uso discurre el pensar, requiere de la
de los diagramas de Venn para las proposiciones categóricas A, E, I, O representación simbólica para su
donde el conocimiento de los fundamentos matemáticos permite aplicar comprensión. Supone superar el
la Lógica en la representación gráfica de este tipo de juicios. reto intelectual que ello implica.
Los temas a desarrollar son:
I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.
1. Clases y Conjuntos
2. Relación entre clases y conjuntos
3. Proposiciones categóricas
I. REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS. DIAGRAMAS DE VENN
1. Esquematización de las clases en un diagrama de Venn.
2. Proposición categórica, A: “Todos S es P”
3. Proposición categórica, E: “Ningún S es P”
4. Proposición categórica, I: “Algún S es P”
5. Proposición categórica, O: “Algún S no es P”
I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.
1. Clases y Conjuntos. Vamos a referirnos a los siguientes temas: a) Noción de clases, b) Igualdad
entre conjuntos y clases. c) Representación gráfica de conjuntos y de clases, d) El conjunto vacío y la
clase que no tiene elementos.
a) Clases. Una clase S se caracteriza como la colección de los objetos que tienen alguna propiedad
en común. Por ejemplo, S la clase de elementos químicos y P la clase de los gases. O bien S, la clase de las
luciérnagas y P la clase de los insectos. De manera semejante, en Matemáticas se dice que un conjunto A es
una colección de objetos que tienen una propiedad en común en la que se pueden citar sus elementos ya
sea de manera explícita o implícita. Por ejemplo, en el conjunto A = { −8, −3, r ,2,7,14,25, µ, β } sus elementos
se han citado de forma explícita y se ha escrito con una letra mayúscula. Los elementos se encierran entre
corchetes separados unos de otros mediante una “coma”. Cuando un elemento pertenece al conjunto A, se
escribe x ∈ A , se lee: “ x es elemento de A” o “ x pertenece a A” o “ x está en A”. En caso contrario, si un
elemento no pertenece al conjunto A se escribe, x ∉ A , “ x no es elemento de A”.
1

2. Tanto en Lógica como en Matemáticas nos referimos, de manera indistinta a un conjunto citando ya sea, su
clase, sus elementos o ambas cosas y se pueden hacer diagramas (dibujos) para representarlos. Así por
ejemplo, los números reales R, son todos aquellos que se pueden representar mediante una línea recta
horizontal orientada (flecha), en la cual a cada punto de la recta le corresponde un solo número y a cada
número le corresponde un solo punto como se ilustra en la figura 1, donde 2 ∈ N , −3 ∈ E , 2 ∈ Q π ∈ I , son
1
algunos elementos de R,
Correspondencia uno
a uno entre puntos
de la recta y los
números reales.
Fig. 1.
En términos de la clase, se puede decir que los números reales R, son los números que resultan de la unión
de la clase de los números naturales N, con la de los enteros E, con la de los racionales Q y con la clase
de los números irracionales I. Por otra parte, un conjunto especificado en forma implícita se expresa mediante
un enunciado, por ejemplo: “B el conjunto de números pares positivos” del cual se pueden citar
explícitamente sus elementos, B = { 2, 4,6,8,10,12...} , los puntos suspensivos indican: “y los demás”.
Como la Lógica y las Matemáticas usan el concepto de conjunto, se puede comprender porque las
operaciones algebraicas entre conjuntos y la lógica que subyace en éstas, contribuyan a plantear y resolver
aspectos relacionados con el razonamiento deductivo en la asignatura de Lógica. Los símbolos del lenguaje
de conjuntos más usados en estos temas de Lógica son los de la figura 2,
Lenguaje de conjuntos en
lógica y algebra de
conjuntos. Fig.2.
b) Igualdad entre conjuntos y clases. Por otra parte, se dice que los conjuntos A y B son iguales,
A=B , cuando tienen exactamente los mismos elementos, en caso contrario se dice que los conjuntos son
diferentes, A ≠ B . Por ejemplo, A = { 0, a,7} es diferente a B = { 0, a,7,1} ya que 1∈ B pero no es elemento
de A. Así mismo, dos clases S y P serán iguales cuando consten de los mismos elementos. Por ejemplo, si S
es la clase de todos los seres vivos y P la clase de todos los seres que respiran; como todo ser vivo es ser
que respira las clases y sus elementos son iguales.
c) Representación gráfica de conjuntos y de clases. En Matemáticas un conjunto puede ser
representado gráficamente mediante un círculo, como se muestra en la figura 3,
A Dos formas diferentes de
representar los elementos de
un conjunto mediante
círculos. Fig. 3.
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3. En el dibujo de la izquierda los elementos del conjunto A quedan representados por los puntos que están
dentro del círculo. Distinguimos los elementos del conjunto A por su posición en el círculo, así cada punto
puede ser un elemento diferente. En el círculo de la derecha, los elementos de B son sólo los números 3, 5,
12, 6 y 4, en éste, ya no se consideran los puntos del círculo como elementos de B porque se han citado
explícitamente los elementos del conjunto. En Lógica, la representación de una clase S se hace rotulando un
círculo con el término S que designa la clase. El diagrama es de una clase, no de una proposición ya que el
esquema representa sólo a la clase S pero no nos dice algo más acerca de ella figura 4,
Los miembros de S quedan S
representados esquemáticamente
dentro del círculo. Fig. 4.
d) El conjunto vacío. La clase que no tiene elementos. En el algebra de conjuntos es necesario
definir un conjunto vacío como aquel que no tiene elementos, se escribe como φ = { } y se lee “fi igual al
conjunto vacio”. Como la interpretación booleana de las proposiciones categóricas depende de la noción de
una clase que no tiene elementos, en Lógica también es necesario usar al conjunto vacío y tener un símbolo
especial para representarlo. Así, para diagramar la proposición de que la clase designada por S no tiene
miembros o bien, “no hay S”, se sombrea todo el círculo, para interpretarla como vacía. Se utiliza el signo “0”
y se simboliza la proposición con la ecuación S = 0 , indicando con ello que no contiene nada, que es vacía,
ver figura 5. Usar el símbolo “0”, o bien el símbolo φ para representar al conjunto vacío es equivalente
siempre y cuando, sepamos que así se ha convenido usar en cada caso.
Representación gráfica del
conjunto vacío en lógica.
Fig. 5.
En Matemáticas, a diferencia de Lógica, en los diagramas de Venn que representan operaciones algebraicas
entre conjuntos, una zona en blanco se interpreta como vacía. Ahora bien, en Lógica, cuando hay por lo
menos un miembro de la clase P, se coloca una X para simbolizar que hay algo dentro de él, se escribe
P ≠ 0 . Figura 6,
La clase P tiene al menos un
miembro. La X representa
que hay algo. Fig. 6.
2. Relación entre las clases y conjuntos. Los aspectos a desarrollar en este apartado son:
a) Unión, b) Intersección, c) Conjuntos ajenos, d) Subconjunto, e) Resta (diferencia) de conjuntos, f)
Complemento, g) afirmación o negación de relaciones entre clases o en entre conjuntos. En cada una de
estas operaciones los elementos de los conjuntos y las clases guardan entre sí una de estas relaciones,
aquella que corresponde a la relación que hay entre las clases o entre los elementos de los conjuntos.
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4. a) Unión. La unión de conjuntos, se escribe A ∪ B y se define como A ∪ B = { x / x ∈ A o x ∈ B} .
Esta operación entre conjuntos indica que si usted reúne en una sola bolsa los objetos que había en la bolsa
uno y la dos, por ejemplo. Al sacar cualquier objeto de la bolsa donde están unidos todos los objetos, siempre
encontrará que el objeto sacado es elemento de la bolsa uno o de a la dos. Si A = { 2,5, a} y
B = { 0, a, π ,9,16}
la unión de los conjuntos es A ∪ B = { 2,5, a,0, π ,9,16} y de igual manera cualquier
elemento del conjunto de la unión pertenece al conjunto A, o bien al conjunto B. Cuando un elemento es el
mismo en ambos conjuntos, sólo se pone una vez en la unión. En estos términos, los números reales R, son
aquellos que resultan de la unión de los conjuntos de las clases individuales R : N ∪ E ∪ Q ∪ I . La operación de
unión entre conjuntos en matemáticas se representa gráficamente como en la figura 7. Establece mediante el
sombreado que los elementos se han unido para formar un nuevo conjunto que abarca a todo elemento de A
y de B,
Diagrama que representa la
operación entre conjuntos A
unión B Fig.7.
En Lógica la unión de dos clases se puede interpretar mediante círculos que traslapan pero sin sombrear.
Automáticamente, se pueden distinguir cuatro zonas que corresponderán, como veremos, a los productos de
las clases S y P; cuyos elementos pueden pertenecer a uno u otro conjunto, o los que pertenecen a los dos
conjuntos o bien, los elementos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos, figura 8. Esto será útil para el
análisis y planteamiento de proposiciones categóricas.
Al juntar espacialmente las
clases S y P queda
esquematizada la unión de las
clases. Fig.8.
S ∪P
b) Intersección. Otra relación que se presenta en Lógica entre las clases S y P es cuando éstas
tienen miembros en común. Por ejemplo, S la clase de las manzanas y P la de las frutas, tienen elementos en
común puesto que “las manzanas son frutas”. Si S es la clase de los comedores y P la clase de los muebles
de madera, hay elementos de S que también son de P y viceversa. La intersección de las clases se refiere
sólo a aquellos comedores que son de madera. La intersección será útil para representar proposiciones
categóricas.
La intersección entre conjuntos se define en Matemáticas como A ∩ B = { x / x ∈ A y x ∈ B} que es
el conjunto formado por los elementos comunes de A y B. Por ejemplo, si A = { 8,10, −3, a, r } y
B = { 2,10,14, a,7,6,25} la intersección es A ∩ B = { 10, a} . Se dice entonces que A ∩ B ≠ φ que se lee: “la
intersección de A y B es no vacía” ya que hay elementos en común entre los conjuntos. La representación
gráfica, en Matemáticas, de esta operación se muestra en la figura 9. Obsérvese que el rayado en la zona
central (“pepita”) entre los círculos indica que la intersección es no vacía. Que hay elementos en común entre
los conjuntos. Recuérdese que a diferencia de Matemáticas, en Lógica todo sombreado en un diagrama de
clases indicará que la zona es vacía. Más adelante, veremos que la intersección será útil para representar
proposiciones categóricas.
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5. Intersección no vacía entre
conjuntos A y B. Fig.9.
A∩B ≠ 0
c) Conjuntos ajenos. Cuando no hay elementos en común entre dos conjuntos A y B, se dice que
los conjuntos son ajenos, lo que se escribe en matemáticas, como A ∩ B = φ . La representación gráfica,
figura 10, correspondiente es,
A B Conjuntos ajenos A y B.
No hay elementos en
común. Fig.10.
A∩B =φ
Por ejemplo, el conjunto de los números irracionales I y el de los números racionales Q no tienen miembros
en común, ya que no hay números irracionales que sean números racionales y viceversa. Es decir I ∩ Q = φ .
Como tampoco hay elementos en común entre los números pares e impares, se dice que los conjuntos son
ajenos en ambos casos. En Lógica, por ejemplo, la clase S “vegetal” y la clase P “elemento químico” no
tienen elementos en común, se escribe como SP = 0 . Significa que no hay vegetales que sean elementos
químicos y viceversa. La representación correspondiente, figura 11, es
Intersección vacía. Indica:
“No hay S que sea P” y
viceversa. Fig.11.
SP=0
Al indicar en este diagrama que la parte central del esquema no tiene elementos (zona sombreada), se
mantienen presentes en la contraparte del diagrama (zonas en blanco en forma de “lunas”) los elementos de
dos clases ajenas entre sí. Por su significado, la figura 10, es equivalente a la figura 11. Ambos esquemas
representan que no hay elementos en común, sólo que en la primera representación, el vacío queda como
círculos bien separados. Mientras que en la segunda figura quedan “lunas” muy juntas pero separadas al fin
por casi nada. Así, ambas figuras indican que las clases S y P o los conjuntos A y B son ajenos. La forma de
la figura para esquematizar una clase no tiene importancia, ya sea como círculo, una elipse o algo que
parezca una “luna” o una “pepita”. El concepto de conjuntos ajenos es de utilidad en Lógica para representar
proposiciones categóricas en las que el producto de las clases es vacío.
d) Subconjunto. Cuando cada miembro de una clase S es también miembro de otra clase P, se dice
entonces que la primera clase está contenida en la segunda. Por ejemplo, la clase S de los “gases de la
tabla periódica de elementos químicos” está contenida en la clase P de los “elementos químicos de la tabla
periódica”. Si S es la clase de los gatos y P la clase de los mamíferos de cuatro patas entonces la clase de
los gatos está contenida en la clase de los mamíferos; en otras palabras, todo gato es mamífero. Esta
relación entre las clases y los elementos de una clase será de mucha utilidad para representar que todo
elemento de una clase es también elemento de la otra. En el algebra de conjuntos se define el concepto de
subconjunto diciendo que el conjunto A está contenido en el conjunto B cuando todo elemento de A es
también elemento de B, se escribe como A ⊂ B , se lee: “A contenido en B”. La contención en Matemáticas y
en Lógica se representa gráficamente de la misma manera, figura 12,
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6. A subconjunto de B. La
forma de la figura cerrada
no importa. Fig.12.
Sean A = { 1,3, 4,5,7,8,9} y B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dos conjuntos, se dice que A está contenido
en B, A ⊂ B , porque todo elemento de A es también elemento de B. El conjunto de los números naturales
N = { 1,2,3, 4,5,6,7,...} es un subconjunto de los enteros E = { ..., −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5,6,7,...} ,
puesto que todo número natural es también número entero, es decir: N ⊂ E . También, los números
naturales están contenidos en los números reales, N ⊂ R . De hecho, E ⊂ R , Q ⊂ R , e I ⊂ R .
e) Resta (diferencia) de conjuntos. Otra operación en el algebra de conjuntos que se usa en
Lógica para representar proposiciones categóricas es la resta entre conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la
diferencia, A – B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen al conjunto B. Se escribe
como A − B = { x / x ∈ A, x ∉ B} . Por ejemplo, sean A = { 8,10, −3, a, r } y B = { 2,10,14, a,7,6,25} cuya
representación, figura 13, es
Conjuntos A y B.
Fig. 13.
de la definición de resta (diferencia) entre conjuntos se obtiene el conjunto A − B = { 8, −3, r } de la figura 14,
,
Resta (A-B) de los
conjuntos A y B. Fig. 14.
Obsérvese que los elementos comunes de A y de B desaparecen al hacer la resta de los conjuntos (los
elementos de B que quedan ya no se toman en cuenta). Ahora bien, si se quiere efectuar la operación
contraria B − A = { x / x ∈ B, x ∉ A} , se obtiene B − A = { 2,14,7,6,25} . Resultado que se puede expresar
gráficamente, figura 15, como
Resta (B-A) de
los conjuntos A y
B. Fig. 15.
De las restas antes efectuadas, se puede comprender que la operación diferencia entre conjuntos no es
conmutativa, es decir A − B ≠ B − A . La no conmutatividad de la resta de conjuntos tiene un significado muy
preciso en Lógica, ya que no será lo mismo la clase, (S – P), cuyos elementos son los S que no son P; y la
clase (P – S) que son los P que no son S. Por ejemplo, si S es la clase de los políticos y P la clase de los
mentirosos. La diferencia (S – P) es la clase de los políticos que no son mentirosos y la resta (P – S) es la
clase de los mentirosos que no son políticos.
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7. e.1) Resta simétrica. En algebra de conjuntos la resta simétrica entre dos conjuntos se define como
A∆B = ( A − B ) ∪ (B − A) que es la unión de dos restas (diferencias). Por ejemplo, si A = { 8,10, −3, a, r } y
B = { 2,10,14, a,7,6,25} son los conjuntos del ejemplo anterior, la representación gráfica, figura 16, es
Resta simétrica de los conjuntos A y
B. ( A − B ) ∩ (B − A ) = φ . Fig. 16.
Observe que han quedado solo aquellos elementos que son de A pero no de B (lado izquierdo) unidos con los
elementos que son de B pero no de A (lado derecho). Para los matemáticos, el centro está vacío. En la
operación A∆B no aparecen los elementos comunes a los conjuntos originales A y B. De las figuras 14 y 15,
se comprende que la figura 16 es el resultado de la unión de los diagramas que resultaron de las operaciones
de resta anteriores para formar un nuevo conjunto donde no hay elementos en común, ( A − B ) ∩ (B − A ) = φ .
Lo que significa que los conjuntos resta (diferencia) son ajenos entre sí.
En lógica, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, como hemos visto, se pueden hacer
dos restas (o diferencias), figura 17
Resta entre clases. Los elementos de
(S-P) están representados en la
“luna” del lado izquierdo. Los de (P-
S) en la del lado derecho. Fig. 17.
De la operación (S-P) tenemos la clase de los políticos que no son mentirosos y de (P – S) tenemos la clase
de los mentirosos que no son políticos. Al hacer la unión de estas dos clases, se obtiene la figura 18,
En la resta simétrica la zona central
es vacía cuando las clases S y P
son ajenas y también cuando no lo
sean. Fig.18.
Las operaciones (S − P ) y (P − S ) dan como resultado dos clases ajenas entre sí. Las restas así efectuadas
han eliminado la posibilidad de representar los elementos en común de S y P. La resta simétrica
(S − P ) ∪ (P − S ) implica que se sombree la zona central del diagrama. El cual, muestra que hay políticos que
no son mentirosos (lado izquierdo) y mentirosos que no son políticos (lado derecho) y, también que no hay
políticos que sean mentirosos y viceversa (centro). Por esta razón la figura 18 se utilizará en Lógica para
representar aquellas proposiciones en las que ningún S sea P.
f) Complemento. Otra operación útil tanto en Matemáticas como en Lógica es la que se denomina
complemento de un conjunto A, se escribe Ac o bien como A’ (aquí usaremos indistintamente una u otra
notación). Una de las maneras de definir el complemento es en términos de un conjunto universal U como
aquel que está formado por todos los elementos de interés en un problema, figura 19. Se representa por un
rectángulo con una U y sus elementos son los puntos encerrados en éste.
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8. Conjunto Universal en
matemáticas. Fig. 19.
Los elementos del conjunto complemento, Ac , son aquellos que pertenecen a U pero no pertenecen al
conjunto A, área sombreada en la figura 20.
Complemento de A en
términos del conjunto
Universal, U. Fig. 20.
En lógica, una clase S se representa gráficamente mediante un círculo rotulado con el término que designa la
clase a la que se refiere, figura 21. Cuando un miembro no es de la clase S, se simboliza como S . Es decir,
el círculo que representa la clase S también representa, por complementación, a la clase S , es su
complemento, ya que en el exterior del círculo para S están todos los miembros que no son de S.
S
Representación de la clase
S y su complemento o
contraparte. Fig. 21.
S
Por ejemplo, sea S la clase de los gases químicos, todo aquello que no sea un gas químico queda
simbolizado por S , que es una clase muy extensa; cubre cualquier cosa que no sea gas químico. En
Matemáticas, el diagrama de Venn para dos conjuntos A y B en términos del conjunto universal U es un
rectángulo con los círculos que se traslapan en su interior, figura 22. Lo que queda fuera del rectángulo ya
no tiene sentido matemático, es simple papel en blanco.
Diagrama de Venn
en Matemáticas.
Fig. 22.
El equivalente diagrama de Venn para Lógica es el de la figura 23. Como no hay rectángulo, todo el espacio
más allá de los círculos traslapados tiene significado lógico. Representa todo objeto que sean ni S ni P.
Diagrama de Venn como se utiliza en
Lógicas. El conjunto universal no está
acotado. Fig.23.
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9. De estas dos últimas figuras obsérvese la diferente manera de representar al conjunto universal. En
Matemáticas este conjunto está acotado por un rectángulo que representa a la clase más general de interés
en un problema; mientras que en lógica el conjunto universal incluye a todo lo que no pertenece a las clases.
Las clases esquematizadas en la figura 23 se describen de la siguiente manera en la tabla 1.
TABLA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS CLASES
SÍMBOLO ZONA CLASE REPRESENTADA
SP Izquierda en forma de “luna” que El producto de las clases S y P ;
no se traslapa con P
“Todos los S que no son P ”
SP Centro común de los círculos en El producto de las dos clases S y P
forma de “pepita”. “Todos los S que también son P ”
SP Derecha en forma de “luna” que no El producto de la clase S y P
se traslapa con S “Todos los P que no son S ”
SP Externa de los dos círculos El producto de las clases no S no P.
“Todas las cosas que no son S ni P ”
Como hemos dicho, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos. La clase de los S que no
son P, ( SP ) representa la clase de los políticos que no son mentirosos. La clase de los P que no son S, (
SP ) representa la clase de los mentirosos que no son políticos. La clase ( SP ) representa la clase de los
políticos que son mentirosos. La zona exterior a los círculos ( SP ) representa a la clase de los “ninis” ni son
S ni son P. Ver figura 23. La clase SP es la misma que la clase PS ya que todos los no políticos que son
mentirosos son lo mismo que los mentirosos que no son políticos. La distinta manera de escribir estos
resultados con el lenguaje de conjuntos y con la simbolización respectiva en Lógica se muestra en la tabla 2,
TABLA 2: EQUIVALENCIAS
( S − P ) = { x ∈ S, x ∉ P } SP “ S que no son P”
Resta de conjuntos en Se representa en
( P − S ) = { x ∈ P , x ∉ S} SP “P que no son de S”
Matemáticas:
Lógica como:
Intersección de conjuntos {
(S ∩ P ) = x ∈ S y x ∈ P } Se representa en SP “S que son P” y
en Matemáticas: viceversa.
Lógica como:
Otra manera de construir un complemento es cuando A es subconjunto de un conjunto B, la resta B − A , es
el conjunto de todos elementos que no están en A pero que están en B por lo que el conjunto resultante es el
complemento de A con respecto a B, es decir, B − A = Ac . Figura 24,
La resta (B – A) resulta ser A´
cuando a esta contenido en B.
Fig.24.
Fig. 18
En lógica, cuando la clase S es subconjunto de la clase P, como se muestra en la figura 25, todos los
elementos de la clase SP son complemento de S, y cuando P está contenido en S todos los elementos de la
clase SP son el complemento de P,
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10. Complementos.
Fig.25.
De las figuras anteriores, se tiene la siguiente tabla 3,
TABLA 3. CONJUNTOS EN MATEMÁTICAS Y LAS CLASES EN LÓGICA
La resta de conjuntos en (P − S ) = S c Que en Lógica se SP “P que no son S”
Matemáticas: c
“ S que no son P”
(S − P ) = P escribe como: SP
g) Afirmación o negación de las relaciones entre clases y conjuntos. El diagrama que consta de
dos círculos, lo introdujo el matemático y lógico inglés John Venn (1834-1923). El esquema de la figura 23 no
representa ninguna proposición puesto que no se está afirmando o negando que haya elementos en la clase
representada por determinada zona. Las proposiciones sólo las representan aquellos diagramas en los que
una parte ha sido sombreada o en la que se ha insertado una X. Así, para representar una proposición
categórica, alguna de las clases: SP , SP o SP debe ser señalada en el sentido de tener o no tener
elementos. El “0” se utiliza para tal fin (equivale al símbolo φ del conjunto vacío en Matemáticas). Si una
clase no tiene elementos, se simboliza mediante una ecuación con la clase correspondiente igualada a “0”.
En caso contrario, la ecuación se escribe con un signo de diferencia seguido de un “0”. Tabla 4,
TABLA 4. CLASES VACÍAS O CON ELEMENTOS
SP = 0 SP ≠ 0
“No hay S que no sea P” “Hay S que no son p”
Clase Clase no
SP = 0 SP ≠ 0
vacía: vacía:
“No hay S que sea P” “Hay S que son P”
SP = 0 SP ≠ 0
“No hay P que no sea S” “Hay P que no son S”
3. Proposiciones Categóricas. Empezamos a estudiar en Lógica las proposiciones categóricas
cuando los pensamientos se expresan de manera formal, es decir, cuando contienen un Sujeto, Verbo y
Predicado, cuando afirman o niegan algo y son objeto de análisis como verdaderos o falsos. Una proposición
es categórica, de acuerdo con la clasificación de los juicios por Relación, cuando lo que expresa, ya sea
afirmando o negando lo hace de manera contundente, sin condición (como en los juicios Hipotéticos) o sin
establecer opciones (como lo hacen los juicios Disyuntivos). Así, las proposiciones Categóricas pueden
analizarse afirmando o negando si una clase S está incluida total o parcialmente en otra clase P y
señalando si es vacía o tiene elementos. Al relacionar los juicios por Cantidad con los de Cualidad surgen 4
tipos de proposiciones que llamamos categóricas: Proposición A, Universal afirmativa, “Todo S es P”;
Proposición E, Universal negativa, “Ningún S es P”; Proposición I, Particular Afirmativa, “Algún S es P”; y
Proposición O, Particular Negativa “Algún S no es P”. Este tipo de proposiciones se usan, regularmente en los
diferentes tipos de razonamiento. Una manera de recordar esta clasificación se muestra en la tabla 5
Tabla 5. SIMBOLIZACIÓN NEMOTÉCNICA
PROPOSICIÓN SÍMBOLOS
A, Universal afirmativa, “Todo S es P” + (Universal que afirma)
U
E, Universal negativa, “Ningún S es P” U − ( Universal que niega)
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11. I, Particular Afirmativa, “Algún S es P” P+ (Particular que afirma)
O, Particular Negativa “Algún S no es P” P− (Particular que niega)
En el razonamiento deductivo las proposiciones se encuentran como premisas que pretenden proporcionar
bases concluyentes para establecer la verdad de su conclusión. La teoría de la deducción intenta explicar la
relación entre las premisas y la conclusión de un argumento válido y proporcionar técnicas para distinguir
argumentos deductivos, esto es, para discriminar entre deducciones válidas e inválidas.
El estudio clásico aristotélico de la deducción está centrado en argumentos que contienen solamente
proposiciones. Tanto las premisas como la conclusión son “proposiciones categóricas”. Demos un ejemplo.
En el argumento: Ningún vicio es recomendable (proposición E)
El alcoholismo es un vicio (proposición I)
______________________________________________________
Por lo tanto, El alcoholismo no es recomendable (proposición O)
Tomando como referencia el ejemplo clásico que expone Irving Copi, en su Introducción a la Lógica, si S la
clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, las relaciones que se presentan están sustentadas en
las operaciones básicas entre conjuntos como se ilustra en el extremo derecho de la siguiente tabla 6,
TABLA 6: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y CONJUNTOS
PROPOSICIÓN TIPO DE PROPSICIÓN PROPOSICIÓN CONJUNTOS
UNIVERSAL AFIRMATIVA:
TODOS LOS La relación de inclusión entre clases tiene lugar Todo S es P (S − P ) = φ
POLÍTICOS SON entre dos clases. Esta inclusión es completa o SP = 0 S menos P es
MENTIROSOS universal ya que todos los miembros de S son
también miembros de P. Cada elemento de S es igual al vacío.
también elemento de P. Representa que todo S contenido
político es mentiroso. en P.
S∩P =φ
UNIVERSAL NEGATIVA: S intersección
NINGÚN La proposición niega que la relación de inclusión Ningún S es P
POLÍTICO ES de clase tenga lugar entre las dos clases. Lo SP = 0 P igual al
MENTIROSO niega en forma universal ya que no hay ningún vacío. Los
miembro de S que también lo sea de P. La
primera clase S excluye totalmente a la segunda conjuntos son
clase P. Se niega en forma universal que los ajenos. Sin
políticos sean mentirosos. elementos en
común.
PARTICULAR AFIRMATIVA: S∩P ≠ φ
La clase de los políticos S y la clase de los S intersección
ALGUNOS mentirosos P tienen por lo menos un miembro Algún S es P
POLÍTICOS SON en común. La proposición afirma que sólo SP ≠ 0 P diferente al
MENTIROSOS algún o algunos políticos son mentirosos pero vacío”. Los
no afirma esto de los políticos considerados
universalmente. No afirma ni niega que todos conjuntos
los políticos sean mentirosos. No dice tienen al
literalmente que algunos políticos no son menos un
mentirosos, aunque en algunos contextos
podemos entenderlo así. elemento en
común.
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12. PARTICULAR NEGATIVA: (S − P ) ≠ φ
ALGUNOS No se refiere universalmente a los políticos sino S menos P es
POLÍTICOS NO sólo a algunos miembros de esa clase. No Algún S no es P diferente al
SON afirma que los miembros particulares de la SP ≠ 0 vacío. Hay al
MENTIROSOS primera clase S están incluidos en la segunda menos un
clase P, esto es precisamente lo que se niega. elemento de S
Dice que por lo menos un miembro que que no son de
pertenece a la clase S, es excluido de la P.
totalidad de la clase P.
II.REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y DIAGRAMAS DE VENN.
Todo esquema, diagrama o simbolización, es siempre una abstracción que representa ideas, conceptos y/o
relaciones importantes que caracterizan a un objeto o una realidad. Son instrumentos abstractos que ayudan
a analizar e inferir sobre la realidad representada; tal como sucede con el lenguaje del Algebra de Conjuntos
y las representaciones de las Proposiciones Categóricas en Lógica. Por ejemplo, una obra de arte de
Salvador Dalí, plasma también de manera simbólica una determinada percepción de la realidad donde ésta
queda representada en formas, colores y texturas que señalan como es percibido el objeto; así se construye
un mensaje bajo una determinada representación abstracta de la realidad. En este sentido son bien conocidos
los relojes “ondulantes” de Dalí, los cuales simbolizan que el tiempo no es rígido sino elástico. El tiempo
relacionado con la forma, la luz, el movimiento y el observador fue racionalizado y representado por Salvador
Dalí de esta manera.
Los errores tienen casi siempre un carácter sagrado.
Nunca intentéis corregirlos. Al contrario: lo que procede
es racionalizarlos, compenetrarse con aquellos
integralmente. Después, será posible subliminarlos.
SALVADOR DALI (1904 – 1989.)
12

13. Nuestro sentido común cotidiano
nos indica que los relojes
funcionan de la misma forma,
sin importar cómo se mueven.
Sin embargo, de acuerdo con la
Teoría de la Relatividad de
Einstein, el tiempo no
transcurre en forma igual para
observadores distintos, es
mayor para un observador que
para el otro.
Einstein mostró matemáticamente que el tiempo y el espacio relacionados con el observador, la luz y el
movimiento no son rígidos; lo que Dalí representó artísticamente con unos relojes deformados y/o en
movimiento. En ambos casos el observador siempre tiene algo qué ver al representar o simbolizar la realidad.
Tanto más las leyes matemáticas se refieren a
la realidad, éstas no son ciertas, y tanto más
ciertas son, no se refieren a la realidad.
ALBERT EINSTEIN. (1879 -1955)
Un sencillo dibujo como el que se muestra en la figura 26, también simboliza o representa cosas y la relación
que hay entre ellas; también es una ayuda para pensar. El símbolo en global y cada parte de él se refieren a
algo. La “M” representa al sistema de transporte conocido como “metro”. El nombre de la estación proviene
de palabra Taxco o Tlaxco (lugar donde se realiza el juego de pelota) y Taxqueña (lugar cercano a donde se
juega con la pelota).
ESTACIÓN Cualquier dibujo simboliza o
TAXQUEÑA representa cosas relacionadas
entre si. Fig. 26
La luna ( en su versión: histórica : se relaciona con la cultura de los antiguos habitantes de Tlaxco y con la
plata por su brillo y color; en versión romántica: se eligió la luna para simbolizar la plata de Taxco por aquello
de la canción que hizo famosa la frase “la luna de plata” y también en homenaje a la belleza femenina oriunda
de Taxco; en la versión práctica y de ubicación geográfica: cuando se fundó la línea dos del metro un punto
de referencia al sur de la ciudad era la Panadería la Luna, cuyo símbolo es el mismo que el de la estación). El
color Azul, representa el número dos de esta línea.
Como un todo, en el dibujo quedan representados aspectos culturales, históricos, ubicación espacio/tiempo
de hechos, referencias, etc. es el lugar común con el queda representada la estación de metro Taxqueña.
Observamos que entre el símbolo y la realidad a la que se refiere hay una relación, no obstante que el
símbolo no es la realidad ni ésta es el símbolo. Por otra parte, si una persona que viaja en el metro y que iba
para Observatorio, llega a la estación Taxqueña porque se quedó dormida, al ver la luna o el color o el
nombre, deduce que se ha equivocado y que tiene que regresar. La importancia de la simbolización se
13

14. manifiesta aquí porque no es necesario que salga de la estación para checar nombres de las calles o que
compruebe que los edificios no son los del lugar al que va. Nótese que si solo ve la “M” no puede deducir que
se ha equivocado, solo pensaría que va en el metro sin poder saber si va bien o mal. Vemos entonces que un
símbolo representa algo y que además es una ayuda para pensar o inferir.
En este sentido, los diagramas de Venn constituyen también una representación gráfica de las relaciones que
corresponden a exclusiones e inclusiones espaciales y de clases. Apoyados en un diagrama es posible
sostener el análisis y alcanzar las deducciones correspondientes en los silogismos siguiendo un método. A
propósito del método sirva este pensamiento del filósofo y matemático francés René Descartes,
Mejor que buscar la verdad sin método es no
pensar nunca en ella, porque los estudios
desordenados y las meditaciones oscuras turban
las luces naturales de la razón y ciegan la
inteligencia. René Descartes (1596 - 1650)
1. Esquematización de las clases en un diagrama de Venn. Como hemos dicho, dadas las clases S y P
cualesquiera quedan representadas mediante círculos rotulados con las letras S y P, respectivamente. Todos
los puntos que se ubican dentro de cada círculo son los elementos que constituyen la clase, como se
muestra en la figura 27. Las clases así representadas indican solo los elementos de una y otra clase por
separado pero no cuales son las clases posibles que se pueden tener con estas dos clases.
S P
Clases S y P. Solo traslapando los círculos se
puede observar las clases que se forman a
partir de S y P. Fig. 27
Al traslapar los círculos, figura 23 Bis. , se forman zonas (o espacios en el diagrama) que separan o incluyen
los elementos que pertenecen a cada, tal como se “separan” o “incluyen” en la mente de las personas que
dedican tiempo a pensar sobre las clase S y P. Se construye entonces una correspondencia entre las zonas
del diagrama de Venn en el papel y las relaciones que se presentan en la realidad y en la mente sobre las
clases. Las relaciones lógicas se desarrollan en la mente pero también se hacen presentes en las
representaciones gráficas de una realidad. Los gráficos son entonces poderosos auxiliares para el análisis,
como se sintetiza en la siguiente figura,
El acto de razonar, deducir o inferir puede
empezar en cualquier punto y ocurrir de un
sentido a otro. Puede repetirse una y otra vez
ganando siempre, al final de cuentas, claridad
y entendimiento. Fig. A
Aunque con algunas diferencias de notación (escritura) y de simbolización, como se ha venido señalando, hay
una utilidad práctica para representar mediante los diagramas tanto las operaciones algebraicas entre
14

15. conjuntos como las proposiciones categóricas. Pasar del ejemplo concreto con las palabras del lenguaje
cotidiano a su representación abstracta y simbólica (y viceversa) para alcanzar un razonamiento claro será un
reto a superar a lo largo de este tema.
Podemos decir, que en las secciones anteriores se han abordado ya las definiciones y los conceptos básicos
así como la simbolización y la esquematización que permiten representar cualquiera de las proposiciones
categóricas: A, E, I, O. El algebra y la lógica de conjuntos sustentan los resultados que se pueden obtener
con este lenguaje abstracto cuando es usado para la representar proposiciones categóricas. Para ello, se
parte siempre del esquema de la figura 23Bis. Mostrar las posibilidades en las que se pueden considerar las
clases se denomina ESQUEMATIZAR. Indicar en un diagrama si un clase posee o no elementos se llama
REPRESENTAR (diagramar) una proposición categórica.
Esquema de posibilidades de las
clases. Sin sombreados o indicaciones
con una x, no representa proposición
alguna. Fig.23 Bis.
Antes de representar las proposiciones categóricas utilizando los diagramas de Venn, conviene en primera
instancia, asignar a la clase S y a la clase P un contenido concreto. Pensemos que la clase S comprende a
“los alumnos del grupo 454” y la clase P a “los alumnos de la Preparatoria 5 de la ENP”. En fotografías,
CLASE “S” comprende a los integrantes del “GRUPO 454” (que pueden ser también de otros planteles):
CLASE “P” comprende SOLO “ALUMNOS DE LA PREPARATORIA 5 DE LA ENP”:
Con las clases S y P descritas anteriormente podemos describir las diversas clases que se forman en el
esquema de la figura 23Bis, de la siguiente manera:
15

16. 1) La clase SP contiene todas y sólo aquellas cosas que pertenecen a ambas. Cada miembro de SP
debe ser miembro de S y P es decir, debe ser tanto alumno del grupo 454 como alumno de la
Preparatoria 5 de la ENP (zona de intersección de los círculos).
2) La clase SP contiene a todas aquellas cosas y solamente aquellas que pertenecen a la clase S pero
no a la clase P; es el producto de la primera clase y el complemento de la segunda. Es la clase de
todos los alumnos que pertenecen a un grupo 454 pero que no son alumnos de la Preparatoria 5 de
la ENP; (zona de la “luna” del lado izquierdo).
3) La clase SP es el producto o la clase que contiene todas aquellas cosas y solo éstas que
pertenecen a P pero no a S. En este caso, son todos los alumnos de la Preparatoria 5 de la ENP que
no son del grupo 454; (zona de la “luna” del lado derecho)
4) La clase SP contiene todas aquellas cosas que no son alumnos del grupo 454 ni alumnos de la
preparatoria 5 de la ENP; es una clase muy extensa ya que es el producto de los complementos de
las dos clases originales (toda la zona externa a los dos círculos traslapados).
16

17. A continuación se representan las proposiciones categóricas partiendo de situaciones concretas de carácter
hipotético pero que permiten ilustrar el procedimiento y los resultados en forma general. Cada representación
incluye ejemplos de matemáticas.
1. Representación de la proposición categórica A: “Todo S es P”. Considérese la siguiente
“historia” que ayuda a familiarizarse con aspectos que intervienen al diagramar una proposición categórica de
este tipo. Con las clases S (alumno del grupo 454) y P (alumno de la Preparatoria 5 de la ENP) descritas
anteriormente, supongamos que en un salón de la Prepa 5 hay un grupo de alumnos trabajando con su
maestro, mientras que los demás alumnos del Plantel toman clases en sus salones correspondientes (o
andan en los pasillos) como sucede en cualquier día de actividades escolares. Llegan al salón del grupo 454
un funcionario del Plantel 5 acompañado de una secretaria. Buscan a un estudiante, probablemente del grupo
454 pero de otro plantel, que molesta a los alumnos. El funcionario pide a los estudiantes tengan la
amabilidad de identificarse. Acto seguido, con credencial en mano confirma que todos los ahí presentes son
alumnos del grupo 454 y a la vez, son alumnos de la Preparatoria 5 de la ENP. El funcionario comenta a la
secretaría: “aquí no está… vámonos.” Se retiran del salón pero al salir comentan:
“Maestro lo que yo digo es que en este salón no hay alumnos del grupo 454 que no sean de la
Preparatoria 5 de la ENP” – dice la secretaria-
“Exacto...lo que usted dice es equivalente a: “todos los estudiantes de este salón son alumnos del
grupo 454 y alumnos de la Preparatoria 5 de la ENP”…estamos hablando de lo mismo nada más que
con diferentes palabras…” - comenta el funcionario-
En pocas palabras, el funcionario ha expresado: “Todo S es P” que es la proposición categórica A. Se ha
efectuado una conclusión lógica referente a esta proposición que se presenta en una situación hipotética de
la vida cotidiana. Ahora bien, para representar en un diagrama de Venn la proposición categórica A con base
en este ejemplo, se considera como punto de partida el esquema de la figura 23, el cual representa las
relaciones que corresponden a inclusiones y exclusiones espaciales de las clases: SP , SP , SP y SP
ubicadas en los círculos traslapados en cuatro zonas espaciales diferentes: en la “luna izquierda”, al “centro o
pepita”, en la “luna” derecha o en la parte exterior a los dos círculos, respectivamente.
De acuerdo con la historia que estamos suponiendo, la siguiente sucesión de fotografías muestra las
inclusiones y exclusiones de las clases que se esquematizan en los círculos traslapados. De izquierda a
derecha: la clase vacía de los S que no son P (la ponemos de negro), luego la fotografía de la clase de los S
que son P que estaban en el salón con su maestro, la clase de los P que no son S que estaban en otros
salones o en los pasillos con las tres fotografías siguientes. Finalmente, la clase de los elementos que son ni
S ni P se han colocado en la parte de abajo.
17

18. De acuerdo al procedimiento aceptado por los filósofos especializados en lógica, como la clase SP es vacía
se sombrea la zona de la “luna” del lado izquierdo y se simboliza con la igualdad SP = 0 , figura 28.
Proposición categórica A:
“Todo S es P” Fig. 28.
Tanto el diagrama como la igualdad SP = 0 , indican lo mismo: “no hay S (alumno grupo del 454) que no sea
P (alumno de la prepa 5 de la ENP)” tal como afirmó la secretaria. De modo que esta frase es otra forma de
decir “Todo S (alumno del grupo 454) es P (alumno de la Preparatoria 5 de la ENP) como aclaró el
funcionario. Hemos representado así mediante un diagrama de Venn la proposición A.
Podemos entender lo mismo de otra manera. Al traslapar los círculos que representan las clases S y P, y
reconocer que la clase SP es vacía, observamos que en la figura 27, se mantienen representados tanto los
elementos SP (“pepita” zona central) como los elementos SP (“luna” derecha). Ambas zonas forman el
círculo completo que se ha rotulado como P. Los elementos SP constituyen un subconjunto de P ya que el
círculo para P los contiene. Este subconjunto, (“pepita” al centro), representa en nuestro ejemplo, a los
alumnos del grupom454 que son alumnos de Prepa 5. Entonces, reconocer vacía la zona del lado izquierdo
del diagrama conlleva a que toda la zona del lado derecho sea equivalente a la situación que se representa
en la siguiente figura, la 29. Aquí se ve claramente que todo S, del círculo pequeño, es P ya que S está
contenido completamente en P; que es una forma equivalente de entender la representación de la proposición
categórica A: “Todo S es P”.
Proposición categórica
estándar A: “Todo S es P”
Fig. 29.
18

19. Ahora bien, el alumno podría preguntar ¿qué pasa con la clase SP ? Se responde diciendo: “es posible
afirmar de manera categórica “Todo S es P” pero no a la inversa (todo P es S). Ya que respecto de P hay
dos clases, las: SP y las SP , por lo que no todo P es S. Finalmente, lo que se ha hecho para este caso
particular, se puede hacer para toda S y P cuando la relación entre las clases es tal que una está contenida
en la otra. En ese caso, siempre será posible representar la proposición categórica, A: “Todo S es P”.
1.1 La proposición categórica A: “Todo S es P” con un ejemplo de la Matemática. Considérense los
números naturales N y los enteros E. La clase de los números NE es vacía, es decir: NE = 0 (parte
sombreada de acuerdo como se acostumbra en lógica) ya que no hay números naturales que no sean
números enteros o bien, todo número natural es entero. Así, en la parte derecha no sombreada tenemos
representados, en ese círculo, a todos los números enteros E = { ... − 3, −2, −1,0,1,2,3, 4,5,...} que incluyen, por
supuesto, aquellos que también son números naturales, N = { 0,1,2,3,4,5,...} , del número cero en adelante
(“pepita” zona central). El siguiente diagrama, figura 30, muestra la proposición categórica A: “Todo N
(número natural) es E (número entero)”. Nótese que N es subconjunto de E por lo que no puede haber
números naturales que no sean enteros, esta clase tiene que ser vacía por necesidad.
Proposición categórica estándar
A: “Todo N es E” usando la
notación y simbolización de
Lógica. Fig. 30.
2. Representación de la proposición categórica, E: “Ningún S es P”. Para representar
formalmente la proposición E, seguimos con un ejemplo de la vida cotidiana, pensemos en otra “historia”
referente a la Prepa 5 y sus alumnos que ayude a la familiarización con aspectos básicos que intervienen
cuando se quiere diagramar una proposición de este tipo. Consideremos las clases S y P descritas
anteriormente. Supongamos ahora, que en un día de “quema del burro” unos alumnos de otras preparatorias
ingresan al plantel y junto con alumnos de la prepa 5 andan haciendo alboroto.
Funcionarios del plantel identifican a alumnos de otras preparatorias del grupo 454, entre otros alumnos, que
están causando alboroto, los reúnen en un auditorio junto con otros estudiantes de Prepa 5 y les dan la
siguiente indicación: “Los alumnos del grupo 454 que no son de Prepa 5, ( SP ), es decir de otras prepas,
19

20. colóquense en el auditorio a mano derecha. Los alumnos del grupo 454 de la preparatoria 5 ( SP ) ubíquense
de pie al centro y; los alumnos de la preparatoria 5 pero que son de otros grupos, es decir que no son del
grupo 454 ( SP ) a mano izquierda del auditorio”. Los alumnos ahí presentes, proceden a colocarse como
les indican y resulta que la parte central de las escaleras del auditorio queda vacía como se ve en la
fotografía. Los funcionarios comprueban así, que en ese auditorio, “No hay S (alumno del grupo 454) que
sea P (alumno de la preparatoria 5 de la ENP”) que haya participando en el alboroto. En otras palabras:
“Ningún S es P”, que es lo que expresa la proposición categórica E.
Para representar esta proposición, se retoma el diagrama de la figura 23. Ahora bien, que no hay alumnos
del grupo 454 que sean de la Preparatoria 5 de la ENP en la zona central del auditorio, en Lógica se
simboliza con la igualdad SP = 0 que significa: “no hay S que sea P”. Como la clase SP es vacía, de acuerdo
al procedimiento de los especialistas en lógica, se sombrea la parte del esquema que representa a esta clase
(zona central) indicando con ello que no tiene miembros, figura 31,
Proposición categórica
A: “Todo S es P” Fig.
31.
Tanto el diagrama anterior como la igualdad SP = 0 indican exactamente lo mismo: “no hay S (alumno del
grupo 454) que sea P (alumno de la Prepa 5 de la ENP)” tal como confirmó el funcionario en el auditorio.
Obsérvese cómo en este diagrama de Venn, se está representando las inclusiones y exclusiones de las
clases que se forman con S y P así como la distribución espacial entre ellas tal como ocurre en el “auditorio
grande”. Es decir, una clase de alumnos a la izquierda, al centro vacío y a la derecha alumnos de otra clase.
20

21. Como sucedió anteriormente, haber traslapado los círculos que representan las clases, ayuda a observar que
al sombrear la clase vacía SP se mantienen representadas tanto la clase SP , (zona izquierda) como la
clase SP (lado derecho). Ambas zonas representan clases que son ajenas entre sí, ya que no tienen
elementos en común (una clase contiene S que nos son P y la otra, P que no son S).
Cuando los conjuntos A y B (o las clases S y P) no tienen elementos en común, significa que la intersección
es vacía: A ∩ B = φ ; en estos casos, siempre será posible representar la proposición categórica, E: “Ningún
S es P”. Finalmente, aunque hemos utilizado un ejemplo particular el resultado es completamente aplicable
para representar cualquier proposición categórica de tipo E: “Ningún S es P”.
2.1 La proposición categórica, E: “Ningún S es P” con un ejemplo de la Matemática. Sea A el
conjunto de los números pares positivos y B el conjunto de los números impares positivos, es decir
A = { 2, 4,6,8,10,12,...} y B = { 1,3,5,7,9,...} . Los conjuntos son ajenos pues la intersección es vacía,
A∩B =φ ={ } No hay números pares positivos que sean, a la vez, números impares positivos y viceversa.
Otro ejemplo; Si S es la clase de los números irracionales I, cuyos elementos son aquellos números
que tienen parte decimal infinita pero no cíclica y, si P es la clase de los números racionales Q cuyos
elementos son todos aquellos números que pueden tener parte decimal finita, o infinita pero cíclica entonces
no hay número irracional que sea racional, son conjuntos ajenos entre sí. Es decir, ningún I es Q porque
I ∩Q = φ .
Veamos el siguiente diagrama que muestra que en Matemáticas, a diferencia de Lógica, se representa el área
central en blanco porque no tiene elementos y se sombrea las partes que sí los tienen, además se utiliza un
recuadro para el conjunto universal U, figura 32, tal como se ha venido diciendo en las secciones anteriores,
En Matemáticas, se representa
así que los conjuntos A y B son
ajenos, A ∩ B = φ . No tienen
elementos en común. Fig. 32.
3. Representación de la proposición categórica, I: “Algún S es P”. Nuevamente, con S y P
descritos anteriormente. Supongamos que un día unos alumnos de la Prepa 5 están invitados a la Prepa 6 a
una conferencia en un salón. Y que ese día un profesor de Matemáticas, algo despistado, se equivoca de
escuela (trabaja en la prepa 5 y 6).
21

22. Entra al salón para dar su clase, ve caras desconocidas menos una. Pide credenciales y verifica, por una
parte, que hay alumnos del grupo 454 pero que son de la Prepa 6 ( SP ) y por otra, que hay alumnos de la
Prepa 5 que no son del grupo 454 ( SP ). El profesor, piensa que algo raro debe estar pasando puesto que
hay sólo un alumno que es del grupo 454 que también es de la Preparatoria 5 de la ENP.
Alumno del 454 de PREPA 6 Alumno del 454 de PREPA 5, Alumna del 551 de Prepa 5
Como en los casos anteriores, para representar con este ejemplo, la proposición categórica I partimos del
diagrama de la figura 23. En esta situación, el profesor constata que hay integrantes en las tres de clases: la
de los S que no es P (alumnos del 454 que no son de la Preparatoria 5), en la de los SP (alumno del 454 que
es de la Prepa 5) y en la clase de los P que no son S (alumnos de Prepa 5 pero que no son del 454).
Ahora bien, comparando lo que hemos hecho anteriormente para representar las proposiciones A y E,
observamos que, en este caso, por una parte no es posible sombrear ninguna de las zonas de los círculos
traslapados. El sombreado indicaría el vacío o la inexistencia de integrantes de la clase, que no es el caso.
Por otra parte, tampoco es posible poner X en las diferentes partes del diagrama. Dos o más X no
representan alguna proposición según el método para representar a éstas. ¿Cómo vamos a representar esta
nueva situación, cuando tenemos información en las tres zonas del esquema? Aclaremos:
En la zona del diagrama para SP, (es decir en la intersección) tenemos conocimiento que hay elementos y
entonces, de acuerdo al procedimiento, debemos poner una X en esta zona porque no es vacía de tal
manera que sólo algunos de los elementos de las clases S y P son elementos en común, PERO NO
TODOS. Como no son todos, no se puede quedar sin X. Estamos seguros de esto, porque si la intersección
incluyera a todos los elementos SP, los círculos tendrían que estar uno sobre otro, representando así que S y
P son la misma clase; lo cual no tiene sentido para diagramar la proposición.
Supongamos que queremos poner una X en cualquiera de las otras zonas restantes, ¿por qué esto no es
correcto? En una zona (luna izquierda) que corresponde a la clase de los S que no son P y la otra zona (luna
derecha) de la clase de los P que no son S, quedan esquematizados un número cualquiera de elementos
(desde uno a infinito) No es vacía, como se ve en nuestro ejemplo donde el profesor reconoce a los
integrantes de cada clase. Los cuales corresponden, en el ejemplo, a la clase de todos los S que no son P,
así como a la clase de todos los P que no son S, por ello no podemos poner una X en estas zonas. Ya que
al representar a todos los elementos el método indica no poner señalamiento alguno.
22

23. De ahí que el diagrama de la proposición I, con este ejemplo, expresa que hay algún alumno que pertenece
al grupo 454 y que es de la Prepa 5, la clase SP tiene por lo menos un elemento. La clase SP no es vacía
SP ≠ 0 . De acuerdo al procedimiento de los especialistas en Lógica, para representar la proposición
categórica I: “Algún S es P”, se introduce una X en la parte central del diagrama que representa la clase SP
para indicar que, al menos, tiene un elemento (algún) o algunos elementos, figura 33.
Proposición categórica
I: “Algún S es P” Fig.
33.
Tanto el diagrama anterior como la no igualdad SP ≠ 0 , indican exactamente lo mismo: “hay al menos un S
(alumno grupo del 454) que es P (alumno de la prepa 5 de la ENP) tal como lo confirmó el profesor en el
salón. Obsérvese como en este diagrama de Venn, se está representando las inclusiones y exclusiones de
las clases que se forman con S y P tal como ocurre en el salón así como la distribución espacial entre ellas.
Aunque hemos utilizado un ejemplo particular el resultado y el procedimiento es completamente aplicable
para representar cualquier proposición categórica de tipo I: “Algún S es P”. Ahora bien, obsérvese los
diagramas de las figuras 31 y 33, que presentamos aquí como la figura 34,
Comparación entre las
proposiciones E e I. Son
contradictorias entre sí.
Fig. 34
Comparando ambos diagramas, se comprende que, en general, la proposición E y la proposición I difieren en
la cantidad y la cualidad de elementos a la que se refiere la clase SP. Como la proposición E requiere que la
clase SP sea vacía mientras que la proposición I que sea no vacía; se dice entonces que son proposiciones
contradictorias entre sí. En Matemáticas como en Lógica, un conjunto (o clase) no pueden tener elementos y,
a la vez, no tenerlos en una misma situación.
3.1La proposición categórica, I: “Algún S es P” con un ejemplo de la Matemática. Sean Q y E
los conjuntos (o clases) de los números racionales y de los enteros respectivamente, es decir:
Q = { ... − 5 , − 3 , − 2 , 2 , 6 , 8 , 20 ,...}
3 2
1 1 4 7
5 y E = { ... − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,...} . Como hay casos en los que el cociente
de números da como resultado un número entero, por ejemplo:
p
q
= 20
5
= 4 , entonces en Q hay números que
son enteros, E. Se concluye que algunos números racionales son números enteros. Esta proposición
categórica, se representa (a la manera de Lógica), como en la figura 35,
23

24. La intersección de los
conjuntos Q y E es no vacía,
Q ∩ E ≠ φ Fig. 35.
Por otra parte, si S es la clase de todos los triángulos y P la de los triángulos equiláteros, se puede afirmar
categóricamente: “algunos triángulos son triángulos equiláteros”
4. Representación de la proposición categórica, O: “Algún S no es P”. Traigamos de regreso a
la Prepa 5 al profesor de nuestro ejemplo anterior. Con S y P definidas como siempre. Supongamos que el
profesor va a su clase con el grupo 454 en la Prepa 5, ve una cara desconocida (la de un alumno que
acompaña a una estudiante, al parecer su novio).
Al tiempo que dice: “usted no es del grupo 454, identifíquese”. El alumno le responde que sí es del grupo 454
y le muestra su credencial. El profesor, ve que efectivamente es alumno del grupo 454 pero ve que no es
alumno de la Preparatoria 5. Motivo por el cual, dice que deberá pasar a la dirección del plantel por haberle
mentido. El alumno responde:
“Con el debido respeto profesor, yo no le mentí, usted me preguntó que si era del grupo
454 pero no de qué Prepa”
Ante la claridad del argumento y ganándose la simpatía del profesor, éste acepta la situación y le dice:
“Está bien, pero debe pedir permiso para quedarse en mi clase”
Para representar (diagramar) con este ejemplo la proposición categórica O: “Algún S no es P”, se parte del
diagrama que esquematiza las clases, figura 23Bis que es el punto de partida para el análisis de las clases
para saber qué hacer cuando se quiere diagramar una proposición de este tipo. Como tenemos conocimiento
de que la zona del diagrama (luna izquierda) tiene al menos un integrante, y que en las otras zonas quedan
esquematizados los integrantes que son SP y los elementos P que no son S (al igual que en la proposición
anterior) no se debe sombrear ninguna zona del esquema y por razones similares a las vertidas anteriormente
tampoco se debe poner una X en la zona central o derecha del diagrama. Como hay algún S que no es P, ya
que en ese salón se encuentra un alumno que pertenece al grupo 454 que NO es de Prepa 5, la clase SP
no es vacía: SP ≠ 0 , Insertemos un X en la parte izquierda del diagrama que representa a esta clase para
indicar que no es vacía, que tiene por lo menos un miembro como se ilustra en la figura 36. La X indica que
hay al menos un (algún) o algunos elementos en esta clase (pero no todos).
24

25. Representación de la Proposición
ccategórica O: “Algún S no e P”.
Fig. 36.
Este diagrama y la expresión SP ≠ 0 , indican exactamente lo mismo: “hay al menos un S (alumno grupo del
454) que no es P (alumno de la prepa 5 de la ENP)” tal como lo confirmó el profesor en el aula. Obsérvese
que en este diagrama de Venn, se están representando las inclusiones y exclusiones de las clases que se
forman con S y P así como la distribución espacial entre ellas tal como ocurren en el salón. Como hay por lo
menos un S que no es P es suficiente para representar la proposición, O: “Algún S es no P”.
Ahora bien, si la clase SP no tuviera algún miembro sería vacía, tendríamos que sombrear la zona
de la “luna” izquierda y entonces estaríamos hablando de la proposición categórica A y no de la O.
Finalmente, obsérvese que el diagrama para la proposición A y para la proposición O muestra el por qué
estas proposiciones, según el cuadro de oposición de los juicios son contradictorias, porque la proposición A
requiere que la clase SP sea vacía ( SP = 0 ) mientras que la proposición O necesita que esa misma clase
no sea vacía ( SP ≠ 0 ). Figura 37,
Comparación entre las
proposiciones A y O. Son
contradictorias entre sí.
Fig. 37
4.1 La proposición categórica, O: “Algún S no es P” con un ejemplo de la Matemática. Sea
S la clase de los números naturales, N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} , y P la clase de los números enteros,
E = { ... − 4, −3, −2, −1,0,1,2,3, 4,...} . Se puede diagramar: “algunos enteros NO son números naturales”, porque
hay números enteros negativos. De igual forma, si S es la clase de los polígonos y P la clase de los
polígonos de cuatro lados podemos representar en un diagrama de Venn: “algunos polígonos NO tienen
cuatro lados”.
BIBLIOGRAFÍA.
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De Oteyza, Elena; Lam, Emma, Hernández, Carlos; Carrillo Ángel. Algebra. México. Pearson. 2007
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