Descripción básica de teoría de conjuntos

1. CONJUNTOS
BREVE HISTORIA
Aunque la noción de agrupación, clase, familia, etc. están presente durante
todo el desarrollo histórico de la matemática, no había sido tratada como se la
conoce hoy.
La teoría de conjuntos, uno de los pilares de la matemática moderna, tiene una
vida relativamente joven.
La corriente formalista de la matemática, con gran influjo en el siglo XIX, tiene a
B. Bolzano como uno de los iniciadores de este tema, G. Frege con sus
fundamentos de la aritmética basada en la teoría conjuntos, B. Russell analítico
y crítico permanente, G. Cantor que introduce la idea de los conjuntos infinitos,
Zermelo cuyos axiomas dan solidez a las construcciones matemáticas.
INTRODUCCIÓN
Tal vez no reparemos pero en nuestra actividad diaria, en el lugar donde nos
encontramos estamos rodeados de conjuntos.
Si nos encontramos en un salón de clase, las ventanas del salón, los medios
usados por el docente para el desarrollo de su clase, los bolígrafos de los
alumnos, constituyen conjuntos; en una oficina, el mobiliario que se encuentra
en ella, los trabajadores de ese recinto, las computadoras que ahí se utilizan,
forman conjuntos; en un estadio deportivo, los jugadores, los espectadores, los
árbitro, son conjuntos de ese ambiente; en un centro de recreaciones, los
juegos recreativos, los empleados del centro, las señoras mayores de 30 años,
las niñas, son conjuntos que los podemos distinguir.
La idea de conjunto resulta importante en el ámbito académico y en particular
en la matemática. Por ejemplo, nos permite precisar en concepto de número,
definir el triángulo o hablar con propiedad de una función.
En ese sentido, su tratamiento mecerá tener el rigor adecuado para un
estudiante que se inicia en la carrera de educación: Por un lado, haciendo uso
con de los conceptos lógicos ya estudiados y el razonamiento deductivo y, por
otro lado, del razonamiento inductivo y la intuición.

2. Noción de conjunto
En nuestro lenguaje común pocas veces utilizamos el término conjunto, más
bien hacemos referencia a agrupaciones, como por ejemplo la Selección
nacional de vóley femenino de 1988; colecciones, como las Obras escogidas
de V.I Lenin; sistemas, como el Sistema planetario solar.
En matemática, las expresiones anteriores nos dan la idea de conjunto. Así,
también son conjuntos.
 Los días de la semana.
 Los habitantes de Lima.
 Las vocales del alfabeto castellano.
 Los centros educativos del departamento del Cuzco.
Y los hay de tipo matemáticos.
 Los números naturales mayores que 5 pero menores que 7.
 Los números reales x tales que 1 < x < 2.
 La intersección de dos rectas paralelas y diferentes.
 Los puntos de una circunferencia de 30 centímetros de diámetro.
 Los números enteros positivos menores que 10.
Aunque en matemática conjunto es un término primitivo, es decir, no definido.
La característica de todo conjunto es que siempre es posible identificar
inequívocamente a sus componentes o elementos..
Notación de conjuntos
Se acostumbra a denotar conjuntos con letras mayúsculas y si los elementos
son letras, con letras minúsculas, así:
A = {los meses del año}
B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
C = { 6 }
D = { x / x es un habitante de Lima }
E = { p , a , n }
F = { x / x es número real , 1 < x < 2 }
Los componentes o elementos del conjunto A, tienen la característica de ser
mes del año, luego enero es un elemento de A, los once meses restantes
también lo son.

3. Cualquiera de los números enteros positivos menores que 10 son elementos
del conjunto B.
El 6 es el único elemento del conjunto C.
Identifique los elementos de los conjuntos D, E y F.
Relación de pertenencia
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece al conjunto,
para ello se utiliza el símbolo “  “. Si el elemento no pertenece al conjunto se
utiliza el símbolo “  “.
En el diagrama de Venn siguiente se muestra al conjunto A = {x, y, z}
A
Iiiii .m
. n
donde los elementos del conjunto A son los que se encuentran en el interior de
la figura tales como x , y , z . Los que no pertenecen al conjunto se
encuentran en el exterior de la figura tales como m, n .
Simbólicamente:
x  A y  A z  A
m  A n  A
que se lee: el elemento x pertenece al conjunto A o simplemente x
pertenece a A, y pertenece a A, z pertenece a A. Además m no pertenece
a A, o n no pertenece a A.
Determinación de un conjunto
Los conjuntos se determinan de dos maneras: por extensión y por
comprensión.
Por extensión: Cuando es posible mostrar a cada uno de los elementos del
conjunto.
Ejemplos:
1. A = { a , e , i , o , u }
2. B = {  ,  ,  ,  ,  , }
. x . y
. z

4. Los conjuntos infinitos no se pueden expresar por extensión, aunque a veces,
abusando de la notación para referirnos al conjunto de los números enteros
positivos, se escribe
C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,…... }
donde los puntos suspensivos indican que los números consecutivos siguen sin
fin, es decir, 7 , 8 , 9 etc., también pertenecen al conjunto C .
Para indicar que algunos elementos pertenecen al conjunto C y otros no
pertenecen a C, escribimos:
1  C -2  C 5  C
10  C 0  C 5,5  C
Por comprensión: Cuando se enuncia la propiedad que caracteriza a cada
elemento del conjunto.
La forma general de expresarlo es, A = { x / p ( x ) }
siendo p ( x ) la característica común de cada elemento .
Ejemplos:
1. A = { x / x es vocal del alfabeto }
la característica de los elementos del conjunto A es ser vocal del alfabeto .
2. B = { x / x es conectivo lógico }
la característica de los elementos del conjunto B es ser un conectivo lógico .
3. C = { x / x es número entero positivo }
la característica de cada elemento del conjunto C es ser un número entero
positivo.
Como en matemática generalmente los objetos de estudio son números,
existen notaciones usuales para caracterizarlos, así:
N: Conjunto de los números naturales.
Z: Conjunto de los números enteros.
Q: Conjunto de los números racionales.
R: Conjunto de los números reales.
C: Conjunto de los números complejos.
Para referirnos al conjunto de los números enteros bastará escribir Z.

5. Ejercicios:
1. Para el conjunto A, completa los espacios dejados entre llaves y en la
elipse coloca los elementos del conjunto B.
1.1
A
 A = { 2 , 4 , , , 10 }
1.2
B
B = , , , 
2. Escribe tres conjuntos y determínalos por extensión y comprensión.
Haz una representación gráfica para cada uno de ellos.
Por extensión
A =
B =
C =
Por comprensión
A =
B =
C =
Representación gráfica
A B C
.2 .4
.6
.8 .10
. .
. .

6. En las tres líneas siguientes utiliza los símbolos de “” y “” para relacionar los
elementos de los conjuntos A, B y C, con sus elementos
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________________
Conjunto vacío y conjunto universal
Conjunto Vacío
Es aquel que no tiene elementos. Se denota por { } o por 
Ejemplos:
1. A = {x  N / x  x }
el conjunto A no tiene elementos pues no existe un número natural que sea
diferente a sí mismo. Se puede escribir A = { } ó A = 
2. B = {x / x es diagonal de un triángulo}
es vacío porque no existen triángulos que tienen diagonal, luego B = .
Para reforzar el concepto de conjunto vacío, en los espacios en blanco escribe
dos ejemplos de ellos.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______________
Conjunto Universal
Es el conjunto en el que se encuentran todos los elementos del conjunto o de
los conjuntos en estudio. A éste conjunto también se le llama conjunto
referencial. Se le denota con “ U ” y se le representa por un rectángulo.
Ejemplos:
1. Si A = {x / x es un trapecio}
B = {x / x es un cuadrado}
C = {x / x es un rombo}
Un conjunto universal es U = {x / x es un cuadrilátero}.

7. Gráficamente:
U
C B
A
2. Si A = { x / x es número natural par }
B = { x / x es número natural impar }
Escribe y grafica un conjunto universal para los conjuntos A y B.
_____________________________________________________________
U
INCLUSIÓN E IGUALDAD DE CONJUNTOS
Inclusión de conjuntos
En una familia de 6 miembros Juan y María son los padres; Elena, Dalia,
Néstor y Manuel los hijos. Con éstas personas podemos formar los conjuntos
F, H y P referidos a la familia.
F = {x / x es miembro de la familia}
H = {x / x es hijo}
P = {x / x es padre}

8. Donde se cumple que el conjunto P de los padres, es una parte del conjunto F
de los miembros de la familia. También el conjunto H de los hijos es una parte
del conjunto F.
Para indicar que un conjunto es una parte de otro se usa el símbolo “”. Así
para indicar que H es una parte de F, se escribe H  F.
¿Cómo se lee y cómo se interpreta P  F? Escribe en las dos líneas
siguientes
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_____________
Los siguientes gráficos muestran que un conjunto es una parte de otro
F F
en uno de los gráficos se observa que H  F y en el otro P  F.
Considerando solo a los conjuntos P de los padres y H de los hijos ¿se
puede decir que P  H ?, que ¿ H  P ? En ambos casos la respuesta es
no, pues en la familia antes definida ni los hijos tienen la propiedad de ser
padres ni los padres tienen la propiedad de ser hijos.
Cuando un conjunto no es una parte de otro se usa el símbolo “  ”. Así como
H no es una parte de P, se escribe H  P. También se cumple que P 
H.
En matemática se usan con frecuencia los términos incluido, contenido o
subconjunto como sinónimo de parte de un conjunto.
Así A  B se lee: A está incluido en B, A esta contenido en B, A es un
subconjunto de B o A es una parte de B.
PH

9. Definición
El conjunto A está incluido en B, si cada elemento del conjunto A es
también elemento del conjunto B.
Simbólicamente
A  B  (  x: x  A  x  B )
En virtud de la definición anterior, diremos que A no esta incluido en B,
si no todos los elementos de A son elementos de B, equivalentemente, si al
menos un elemento de A no es elemento de B .
Simbólicamente
A  B  (  x : x  A  x  B )
Ejemplos:
1. Si tomamos como referencia al conjunto de los números naturales
menores que 10.
A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
y consideramos los conjuntos
B = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }
C = { 0 , 3 , 6 , 9 }
D = { 3 , 4 , 5 , 6 }
las relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos A,
B, C y D, son :
B  A A  B B  C C  D
C  A A  C B  D D  B
D  A A  D C  B D  C

10. En un diagrama de Venn, establecer las relaciones entre los conjuntos A, B, C,
D.
2. Si el conjunto de letras de nuestro alfabeto se representa por A, es
decir,
A = {x / x es letra de nuestro alfabeto}, ¿Cuál es el valor de verdad de la
afirmación
A  A?
Para que A  A sea verdadera, todos los elementos del primer conjunto A
deben ser elementos del segundo conjunto A. Lo que evidentemente se
cumple, por lo que la proposición es verdadera.
La proposición anterior es una ley matemática o propiedad que se cumple
cualesquiera que sea el conjunto A.
Propiedad
Todo conjunto está incluido en sí mismo. En símbolos:
 A, A  A; llamada propiedad reflexiva
pues x, x  A  x  A, que se justifica con la ley lógica p  p
Esta propiedad ¿regirá también para cuando A =  ?
Intuitivamente no es fácil aceptar que   , pero siguiendo la definición
podemos verificar que  x: x    x   es verdadera, ¿puedes
justificar por qué?
Propiedad
El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. En símbolos
  A,  A
Esta propiedad se puede demostrar, tomando como guía la prueba anterior
¡intenta hacerlo!
Como te habrás percatado en matemática el significado de inclusión o parte de
un conjunto es más amplio que en el lenguaje común, ya que además de
considerar la inclusión propiamente dicha considera también que un conjunto
está incluido en sí mismo. Para referirnos a la inclusión propia, diremos que:

11. Si A  B y A  B, se dice que A está contenido propiamente en B.
3. Observa el gráfico
Como recordarás N, Z y R representan los conjuntos de los números
naturales, enteros y reales respectivamente.
Escribe la relación de inclusión de conjuntos, tomados de dos en dos.
N  ____ ____  R ____ ___ R
En este caso, es posible establecer la relación de inclusión entre los tres
conjuntos N, Z y R así, N  Z  R
Propiedad
Si un conjunto A está contenido en otro conjunto B y éste está contenido
en un tercer conjunto C, entonces, el primer conjunto A esta contenido en el
tercero C. En símbolos:
( A  B  B  C )  A  C, llamada propiedad transitiva
N
Z
R

12. Esta propiedad se puede probar, haciendo uso del silogismo hipotético
( p  q  q  r )  (p  r )
Escribe dos grupos de tres conjuntos cada uno, donde se cumpla la propiedad
transitiva de la inclusión.
1. A = __________________________________________________
B = __________________________________________________
C = __________________________________________________
Luego A  B  C
2. D = _________________________________________________
E = _________________________________________________
F = _________________________________________________
Luego D  E  F
Igualdad de conjuntos
Para el conjunto de los miembros de la familia tratado anteriormente, como
nos lo recuerda el siguiente gráfico
F
al conjunto de los padres formado por Juan y María, podemos escribirlo
P1 = {Juan, María}
O también
P2 = {María, Juan}
Como P1 y P2 representan al mismo conjunto (de los padres), decimos
que son iguales. Su representación simbólica es:
P1 = P2
Es importante notar que los elementos de P1, Juan y María son también
elementos de P2, esto es, P1  P2. Lo simétrico P2  P1, también se cumple.
P
Juan
María
H
Elena
Manuel
Dalia
Néstor

13. Definición
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
En símbolos
A = B  (A  B  B  A)
Esta definición nos dice que si se sabe que A = B entonces A  B y B  A
y si se sabe que A  B y B  A entonces A = B.
Por eso se dice que para probar la igualdad de dos conjuntos se debe
probar la mutua inclusión de ellos.
Ejemplo
A = {x  N / x es impar}
B = {2y + 1 / y  N}
Al construir la tabla
x 1 3 5 7 9 11 13 …
y 0 1 2 3 4 5 6
…
2y+1 1 3 5 7 9 11 13
…
observamos que los elementos x del conjunto A y los elementos 2y +1 del
conjunto B que se muestran en las filas 1 y 3 sombreadas, son iguales, por lo
que intuitivamente podemos decir que los conjuntos A y B son iguales.
Dicho matemáticamente:
Si x pertenece al conjunto A, entonces x es número natural impar y como tal
se puede escribir como 2 y +1, que a su vez es elemento del conjunto B. Como
x es un elemento cualesquiera de A podemos afirmar que todos los elementos
de A son elementos de B. En consecuencia A está incluido en B.
Formalmente.
Sea x  A  x es impar por definición de A
 x = 2 y + 1, y  N por definición de número impar
 x  B por definición de B

14.  A  B por definición de inclusión ( I )
Análogamente
Sea x  B  x = 2 y + 1, y  N por definición de B
 x es impar por definición de número impar
 x  A por definición de A
 B  A por definición de inclusión ( I I )
De ( I ) y ( I I ) se tiene que A  B  B  A entonces A = B
Conjunto potencia o conjunto de partes
En un conjunto A finito, es posible obtener un nuevo conjunto formado por
todos los subconjuntos de A. Tal conjunto que se escribe P(A), se llama
conjunto potencia o conjunto de partes del conjunto A.
Definición
El conjunto potencia del conjunto A, es el conjunto de todos los subconjuntos
o partes de A. De allí el nombre de conjunto de partes.
P ( A ) = { B / B  A }
Esto es, B  P (A)  B  A
Lo que se lee, el conjunto B es elemento del conjunto de partes P ( A ) si y
sólo si B es subconjunto de A .
Ejemplos:
1. Sea A = { 1 , 4 }
Los subconjuntos de A son : { 1 } , { 4 } , { 1 , 4 } , 
Luego, el conjunto potencia es P ( A ) = {  , { 1 } , { 4 } , { 1 , 4 } }
Observa que P ( A ) está formado por 4 elementos, que a su vez son
conjuntos.
2. Sea B = {a ,b,c}
Los subconjuntos de B son :  , { a } , { b } , { c } , {a , b} , {a , c} , {b , c} , {a ,
b , c} . Luego el conjunto potencia de B es
P ( B ) = {  , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } }
Observa que P ( B ) está formado por 8 elementos, que a su vez son
conjuntos.

15. 3. Sea C = { 0 }
P (C) tiene dos elementos. ¿Cuáles son?, escribe el conjunto P (C) = { ,
}
Importante
Si el número de elementos del conjunto A es 2 , n ( A ) = 2 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 2 2
= 4 , n ( P ( A ) ) = 4.
Si el número de elementos del conjunto B es 3 , n ( B ) = 3 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 2 3
= 8 , n ( P ( B ) ) = 8.
Si el número de elementos del conjunto C es 1 , n ( C ) = 1 , entonces el
número de elementos del conjunto potencia es 21
= 2 , n ( P ( C ) ) = 2.
En general si el número de elementos del conjunto A es m , n ( A ) = m
entonces el número de elementos del conjunto potencia es, n ( P ( A ) ) = 2m
.
De ésta relación deriva el nombre de conjunto potencia.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Intersección de conjuntos
Supongamos que Luis Enrique se dedica a estudiar y trabajar. Los días que
estudia lo representamos por E y los que trabaja por T, como se muestra.
E = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
T = {jueves, viernes, sábado}.
Gráficamente:
Es fácil deducir que los días de semana que Luis Enrique realiza las dos
actividades a la vez - estudia y trabaja- son jueves y viernes, esto es,
decimos que la afirmación “Luis Enrique estudia y trabaja” es verdadera si y

16. sólo si es jueves o viernes. Nótese que la proposición Luis Enrique estudia y
trabaja es un conjunción.
En matemática, al conjunto formado por los días jueves y viernes, se le conoce
como la intersección de los conjuntos de los días que estudia con los días que
trabaja.
Seguramente nos vamos dando cuenta que existe una relación directa entre la
conjunción de dos proposiciones y la intersección de dos conjuntos, como se
evidencia en la siguiente definición.
Definición
La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A  B y
está formado por los elementos comunes de A y de B.
Simbólicamente
A  B = { x / x  A  x  B }
Dicho de otra manera
x  A  B  , x  A  x  B
esto es, el elemento x pertenece al conjunto A  B si y sólo si pertenece al
conjunto A y al conjunto B, a la vez.
Ejemplos:
1. A = {personas mayores de 20 años}
B = {personas menores de 40 años}
A  B = {personas mayores de 20 años pero menores de 40años}
Lo que nos indica que pertenece al conjunto A  B toda persona cuya edad
supera los 20 años y que al mismo tiempo no llega a 40 años. Su
representación gráfica es:
La región rayada representa al conjunto A  B

17. Z
Nótese que una persona cuya edad es de 15 años pertenece al conjunto B
pero no pertenece a A  B; asimismo, una persona de 50 años que es
elemento del conjunto A no es elemento de A  B. Esto, porque la persona de
15 años no pertenece a A y la persona de 50 años no pertenece a B.
En general, de la definición de intersección y la propiedad contra-
recíproca se tiene
x  A  B  x  A  x  B
Lo que significa que un elemento no pertenece a A  B sí y solo sí tal
elemento no pertenece a A o no pertenece a B.
2. Para los conjuntos numéricos
N = { x / x es número natural }
Z = { x / x es número entero }
la intersección es
N  Z = { x / x es número natural } = N,
porque todos los números naturales son enteros.
Gráficamente
Ahora en la línea siguiente escribe tres elementos que no pertenecen a N  Z
_____________________________________________________________
¿Es lo mismo N  Z que Z  N? _________________________________
3. Si se tiene los conjuntos A y B tales que
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ……… }
B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, ………}
N N  Z

18. entonces A  B =  . Di por qué esta intersección carece de elementos
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Cuando la intersección de dos conjuntos A y B es vacía, se dice que los
conjuntos son disjuntos.
El gráfico muestra que A y B son conjuntos disjuntos.
Unión De Conjuntos
Recordando las actividades que realiza Luis Enrique durante la semana,
diremos que los días que estudia o trabaja son: lunes, martes, miércoles,
jueves, viernes y sábado. Esto es, el nuevo conjunto (estudia o trabaja) está
formado por los días que estudia, los días que trabaja y los días que estudia y
trabaja.
Al nuevo conjunto, se le conoce con el nombre de unión de los conjuntos de
los días que estudia con los días que trabaja.
Debemos notar que existe una relación directa entre la disjunción de dos
proposiciones y la unión de dos conjuntos, como se afirma en la siguiente
Definición
La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A  B y está
formado por los elementos de A, de B y los comunes a A y B.
Simbólicamente
A  B = { x / x  A  x  B }
Dicho de otra manera
x  A  B  ( x  A  x  B )
A B

19. esto es, el elemento x pertenece a A  B si y sólo si pertenece a A,
pertenece a B o pertenece a ambos.
Se dice que x no pertenece a A  B si no pertenece a A ni tampoco
pertenece a B. En símbolos
x  A  B  ( x  A  x  B )
Ejemplos:
1. A = {personas mayores de 20 años}
B = {personas menores de 40 años}
La unión es, A  B = {personas de todas las edades}
Lo que nos indica que pertenece al conjunto A  B toda persona cuya edad
no supera los 20 años (pertenecen a B), no es menor de 40 años (pertenece a
A), y aquellos que tienen entre 20 y 40 años (pertenece a A y a B), es decir,
todas las personas.
Su representación gráfica es:
La región sombreada representa al conjunto A  B.
2. Sean los conjuntos (semiplanos)
A = {(x, y)  R X R / x  0}
B = {(x, y)  R X R / y  0}
La unión es, A  B = {(x, y)  R X R / x  0  y  0}
Es decir, son elementos de A  B los pares de números reales ( x , y ) con x
mayor o igual que cero, con y mayor o igual que cero y los pares con x e y
mayor o igual que cero.

20. Gráficamente
La región sombreada corresponde al conjunto A  B.
Se puede observar que los elementos que no pertenecen a A  B son los
pares (x, y) con x menor que cero e y menor que cero.
3. Para los siguientes conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 4, 6, 8}
La unión es A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Importante : Si en éste último ejemplo consideramos al conjunto A como el
representante del número 5 y al conjunto B como representante del número 4,
el conjunto A  B representa al número 9, es decir, A  B define al número
5 + 4 que se llama la suma de los números 5 y 4. Queda claro que sólo se
cumple si los conjuntos A y B son disjuntos.
Explica brevemente ¿qué pasa con A  B si A tiene 3 elementos y B tiene 4
elementos, siendo A y B no disjuntos ?
_______________________________________________________________
_____________________________________________________________
En este último caso, por definición de unión de conjuntos se puede afirmar que
B  A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Es decir, se cumple que A  B = B  A. Lo que pasamos a demostrar.
4. Se cumple la propiedad conmutativa de la unión de conjuntos
 A , B, A  B = B  A.

21. Quedará probada la igualdad de los dos conjuntos, cuando probemos que
están mutuamente incluidos: i. A  B  B  A y ii. B  A  A  B.
Probemos la inclusión i. A  B  B  A.
1. Sea x un elemento cualesquiera de A  B hipótesis.
2. entonces x  A v x  B definición de unión.
3. pero, x  B v x  A p. conmutativa de la disyunción.
4. de donde x  B  A definición de unión.
5. de los pasos 1 y 4 decimos que como todo elemento x de A  B, también es
elemento de B  A , entonces, A  B  B  A definición de inclusión.
Análogamente, probemos la inclusión ii. B  A  A  B.
1’. Sea x  B  A hipótesis.
2’. entonces x  B v x  A definición de unión.
3’. pero x  A v x  B prop. conmutativa de la
disyunción. 4’. de donde x  A  B
definición de unión.
5’. de los pasos 1’ y 4’ decimos que como todo elemento x de B  A también
es elemento de A  B, entonces, B  A  A  B definición de inclusión.
Por tanto, de 5 y 5’ se concluye que A  B = B  A definición de igualdad.
Diferencia De Conjuntos
Volviendo al caso de Luis Enrique, diremos que los días que estudia pero no
trabaja son: lunes, martes y miércoles. Estos tres días forman un nuevo
conjunto, llamado el conjunto diferencia de los días que estudia menos los
días que trabaja (E menos T).
Aunque no se ve directamente, no es difícil darse cuenta que existe una
relación entre la negación del condicional de dos proposiciones y la diferencia
de dos conjuntos.
Definición
La diferencia de los conjuntos A y B (en ése orden), es el conjunto que se
escribe A – B y está formado por los elementos de A pero no de B.

22. Simbólicamente
A – B = { x / x  A  x  B }
Dicho de otra manera
x  A – B  ( x  A  x  B )
esto es, el elemento x pertenece a A – B si y sólo si pertenece a A, pero no
pertenece a B.
Se dice que x no pertenece a A – B si y sólo si no pertenece a A
o pertenece a B.
En símbolos
Ejemplos:
. 1. Para los conjuntos
A = {x  N / x < 10}
B = {x  N / x > 5}
La diferencia A – B, está formada por los números naturales menores que 10
pero no mayores que cinco, es decir, del cero al 5, esto es
A – B = { x  N / x < 6 } . Cuya gráfica es
La región sombreada representa al conjunto A – B
x  A – B  ( x  A  x  B )

23. En cambio la diferencia B – A, está formada por los números naturales
mayores que cinco pero no menores que 10, es decir, los mayores que 9. Esto
es,
B – A = { x  N / x > 9 } . Cuya gráfica es
La región sombreada representa al conjunto B – A.
Nótese que la diferencia A – B no es igual a la diferencia B – A, A – B B – A.
2. Para los conjuntos
A = {x / x es una letra del alfabeto castellano}
B = {x / x es una vocal}
La diferencia A – B está formada por las consonantes, pues,
pertenecen a A (letras del alfabeto) pero no pertenecen a B (vocales). Lo que
se escribe
A – B = {x / x es una consonante}
Una representación gráfica es
La región sombreada corresponde al conjunto A – B

24. 3. Para los conjuntos
N = {x / x es un número natural}
I = {x / x es un número natural impar}
Como todo número natural par tiene la propiedad de no ser impar, entonces,
N – I = {x / x es un número natural par}
Encuentre el conjunto I – N __________________
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Al recordar las actividades que realiza Luis Enrique podemos hacer
afirmaciones como:
1. Luis Enrique no estudia los días sábados y domingos. Al conjunto
formado por ésos días de la semana, se le llama complemento del conjunto de
los días que estudia.
2. Luis Enrique no trabaja los días domingo, lunes, martes y miércoles.
Éstos forman el complemento del conjunto de los días que trabaja.
Es fácil notar que existe una relación entre la negación de una
proposición y el complemento de un conjunto, como se observa en la siguiente
Definición
Si A  B, el complemento de A respecto de B que se escribe CBA, es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen a B pero no pertenecen a
A. Al conjunto B se le conoce como conjunto referencial.
CBA = { x / x  B  x  A }
Observa que es la misma definición de B – A, o sea CBA = B – A
Si el conjunto referencial es el universal U, el complemento de A respecto
de U se escribe A΄. Simbólicamente
Si B = U  CUA = A΄= {x / x  U  x  A} = U – A
O también CUA = A΄= {x  U / x  A} = U – A
Ejemplos:
1. A = {x / x es departamento de la costa peruana}
U = {x / x es departamento del Perú}

25. El complemento de A respecto de U, lo conforman los departamentos no
costeños del Perú. En símbolos
A΄= U – A = {x / x es departamento no costeño del Perú}
Gráficamente
La región sombreada representa a A’
De la definición y del gráfico salen de inmediato x  A’  x  A
2. A = {x / x es múltiplo de 3}
Z = {x / x es número entero}
El complemento de A los forman todos los números enteros que no son
múltiplos de 3, que se puede escribir
A΄ = Z – A = {x  Z / x  3 k , k  Z }
3. Para los siguientes conjuntos.
A: es el conjunto formado por los esposos, Antonio y Zenobia
B: es el conjunto unitario formado por Antonio
C: es el conjunto formado por Zenobia .
Completa los espacios en blanco
CAB: es el conjunto formado por _____________________________
CAC: es el conjunto _________________________________________
CAA: es __________________________________________________
Completa el gráfico para cada uno de los conjuntos anteriores.

26. Diferencia Simétrica
Recordemos que los días que Luis Enrique estudia pero no trabaja son: lunes,
martes y miércoles; asimismo Luis Enrique trabaja pero no estudia los
sábados. Los días lunes, martes, miércoles y sábado; forman el conjunto de los
días que Luis Enrique solamente estudia o solamente trabaja. A este nuevo
conjunto se le conoce como la diferencia simétrica del conjunto de los días que
estudia con el conjunto de los días que trabaja.
Si recordamos definiciones anteriores coincidiremos que existe una relación
entre la disyunción exclusiva de dos proposiciones y la diferencia simétrica de
dos conjuntos.
Definición
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto que se escribe A
Δ B y está formado por los elementos de A o de B, pero no de ambos.
Simbólicamente
A Δ B = { x / x  ( A U B ) , x  ( A  B ) } = ( A U B ) – ( A  B )
Esto es
x  A Δ B  x  ( A U B ) , x  ( A  B )
De donde
x  A Δ B  x  A  B V x  ( A U B )
De la definición de diferencia simétrica se deduce otra equivalente
A Δ B = ( A – B ) U ( B – A )
Ejemplos:
1. Para los conjuntos
A = { 1, 2, 3, 4 } ; B = { 3, 4, 5, 6 }
Como A U B = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 } y A  B = { 3, 4 } , entonces
A Δ B = { 1, 2 , 5 , 6 }

27. Su representación gráfica es:
La región sombreada representa la diferencia simétrica de A y B
2. Para los conjuntos
K = { x  R / 2 < x < 8 }
M = { x  R / -2 < x < 5 }
Como K U M = { x  R / -2 < x < 8 } y K  M = { x  R / 2 < x < 5 }
entonces K Δ M = { x  R / -2 < x  2 v 5  x < 8 }
Gráficamente
********************* [*************
-2 2 5 8
Ahora, halla M Δ K
_____________________________________________________________
y verifica que se cumple K Δ M = M Δ K. Lo que pasaremos a
demostrar.
3. La diferencia simétrica es conmutativa, es decir,
 A, B, A Δ B = B Δ A
Recordemos que para probar la igualdad de dos conjuntos, debemos
probar que están mutuamente incluidos, o sea
A Δ B  B Δ A y B Δ A  A Δ B
Probemos la primera inclusión ( A Δ B  B Δ A )
1. Sea x  A Δ B hipótesis.
2. luego x  ( A U B ) , x  ( A  B ) definición de diferencia simétrica.

28. 3. pero x  ( B U A ) , x  ( B  A ) propiedad de unión e intersección.
4. de donde x  B Δ A definición de diferencia simétrica.
5. de los pasos 1 y 4 decimos que como todo elemento x de A Δ B, también es
elemento de B Δ A, entonces, A Δ B  B Δ A definición de inclusión.
A modo de ejercicio y siguiendo de manera inversa, completa la verificación de
la segunda inclusión, B Δ A  A Δ B.
1’. Sea x  B Δ A hipótesis.
2’. _____________________________ definición de diferencia simétrica.
3’. _____________________________ propiedad de unión e intersección.
.
4’. de donde x  ___ Δ ___ definición de __________________
5’.de 1’ y 4’ B Δ A  A Δ B. __________________________________
Como se ha verificado la doble inclusión podemos afirmar que
A Δ B = B Δ A
Cardinal o número de elementos de un conjunto
Definición
El cardinal de un conjunto A, que se escribe n ( A ), es el número de elementos
diferentes que tiene el conjunto A.
Ejemplos:
1. Si volvemos a las actividades que realiza Luis Enrique, representados
por los conjuntos E y T:
E = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
T = {jueves, viernes, sábado}
entonces n (E) = 5 , N (T) = 3
Como E  T = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}
Luego, n ( E  T ) = 6. Es decir, el número de elementos de E  T es 6 y no 8
que es el resultado de sumar de 5 con 3. ¿Por qué la diferencia? Porque hay
dos elementos que se repiten en ambos conjuntos, esto es, n(ET) = 2.
Pudiéndose expresar el resultado de la siguiente manera:
n ( E  T ) = n ( E ) + n ( T ) – n ( E  T ) = 5 + 3 – 2 = 6

29. Lo que podemos escribirlo como una Propiedad: Si A y B son dos
conjuntos cualesquiera, entonces
n ( A  B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A  B )
Si n ( A  B ) =  entonces n ( A  B ) = n ( A ) + n ( B )
2. En una biblioteca donde hay 20 personas, de los cuales 10 leen libros
de ciencias; 11 leen obras literarias y 5 leen libros de ciencias y obras literarias
¿Cuántas personas no leen libros de ciencias ni obras literarias?
Como te podrás dar cuenta para resolver el problema se pueden aplicar
diferentes estrategias. Esta vez seguiremos el camino donde apliquemos la
propiedad enunciada en el ejercicio anterior.
Si C es el conjunto de personas que leen ciencias, entonces n (C) = 10
Si L es el conjunto de personas que leen obras literarias, entonces n (L) = 11..
Además n ( C  L) = 5 y n ( U ) = 20 , luego:
n ( C  L ) = n ( C ) + n ( L ) – n ( C  L ) = 10 +11 – 5 = 16
que son las personas que leen ciencias u obras literarias. Por lo tanto, los que
no leen ni ciencias ni obras literarias son
n ( U ) – n ( C  L ) = 20 – 16 = 4 personas .
3. Resolver el problema anterior, haciendo uso de diagramas de Venn.
De los datos n(C) = 10 , n (L) = 11, n ( C  L) = 5, n ( U ) = 20, se tiene:
10 – 5 = 5 personas que leen ciencias pero no obras literarias, n ( C– L) = 5
11 – 5 = 6 personas que leen obras literarias pero no ciencias, n ( L– C) = 6
Graficamos los diagramas de Venn y coloquemos las cantidades 5 , 5 y 6 en
las regiones correspondientes a los conjuntos C – L , C  L y L – C
respectivamente.

30. Puedes observar que del total de 20 lectores, la cantidad de personas
que no se encuentran en uno u otro región son 4, que es el número que da la
respuesta al problema.
La propiedad anterior se puede ampliar para hallar el cardinal de la unión
de tres conjuntos. Si A, B y C son tres conjuntos cualesquiera, entonces:
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(BC) + n (A  B  C )