Longitud de curva Francisco Llarenas

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
ESCUELA DE INGENIERÍA
LONGITUD DE CURVA
Autor:
Francisco Llarenas C.I: 27.198.245
CABUDARE, MARZO DE 2020

2. Introducción
A lo largo del tiempo, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo
la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Con respecto a lo anterior podemos decir que usualmente medimos la longitud con una
línea recta, pero las curvas también tienen longitud.
Longitud de una curva
Es la medida de la distancia recorrida a lo largo de una curva o dimensión lineal.
- Formula general
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta
que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez
sean lo más pequeño posible.
Al escoger una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud
de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor sería el
valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

3. Cálculo mediante integrales
Al considerar una curva definida por una función ƒ(x) y su respectiva derivada ƒ’(x) que
son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la
ecuación
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo
polar están relacionados mediante r = ƒ (θ), la longitud del arco comprendido en el intervalo [ α,ß
], toma la forma

4. Ejemplos de cálculo
El perímetro de una circunferencia de radio R puede calcularse a partir de
Para calcular el perímetro
Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es proporcional al diámetro, lo que se
corresponde con la definición de π.
Para determinar la longitud de un arco de circunferencia, basta restringir el ángulo de barrido de
la curva a un intervalo más pequeño.
La longitud del arco queda
Conclusión
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron imposible
calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había descubierto
una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con un método de agotamiento,
pocos creyeron que fuera posible que una curva tuviese una longitud definida, como las líneas
rectas.
Las primeras mediciones se hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de
aproximaciones: los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban
la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva.
Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una
aproximación cada vez mejor.
Como anteriormente mencionado, gracias a la llegada del cálculo, se determinó la fórmula
general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.