La longitud de arco de una curva es la medida de la distancia recorrida a lo largo de la curva. Históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para curvas irregulares, pero el cálculo trajo fórmulas generales para calcularla en algunos casos mediante integración. Hoy en día, la longitud de arco se calcula aproximando la curva con segmentos cada vez más pequeños e integrando sus longitudes.

1. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es
la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión
lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud
en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
Al considerar una curva definida por una función y su
respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la
longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:
(1)
En el caso de una curva definida para métricamente mediante dos funciones
dependientes de t como e , la longitud del arco desde el
punto hasta el punto se calcula mediante:
(2)
Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y
el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco
comprendido en el intervalo , toma la forma:
(3)
En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será
necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula
a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda
especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo,
la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la
línea recta.
Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas
curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por
un tensor métrico donde la longitud de una curva viene dada
por:
Longitud de una curva

2. (4)
Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este
haciendo
.
A través de la historia de las matemáticas, grandes pensadores consideraron
imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había
descubierto una aproximación rectangular para calcular el área bajo una curva con
un método de agotamiento, pocos creyeron que fuera posible que una curva
tuviese una longitud definida, como las líneas rectas. Las primeras mediciones se
hicieron posibles, como ya es común en el cálculo, a través de aproximaciones:
los matemáticos de la época trazaban un polígono dentro de la curva, y calculaban
la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de
la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada
uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una
función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de
curva que va desde un punto a uno . Con este propósito es posible diseñar
una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el
arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más
funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos
sean iguales a , de manera que para cada uno existirá un cateto
asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada
hipotenusa, , al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una
aproximación de estaría dada por la sumatoria de todas aquellas hipotenusas
desplegadas. Por eso se tiene que:
Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa
para llegar a una nueva expresión;

3. Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:
Ahora bien, mientras más pequeños sean estos segmentos, mejor será la
aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que
tienda a cero. Así, se convierte en , y cada cociente
incremental se transforma en un general, que es por
definición . Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en
una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos
infinitesimales;
Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si
tenemos dos puntos del plano ( ) 1 2 A aa = , y B = (b b 1 2 , ,) la longitud del
segmento AB es, según el teorema de Pitágoras, ( )( ) 2 2 11 2 2 ba ba − +− .
Análogamente, si A = (aaa 123 , , ) y B = (bbb 123 , , ) son puntos del espacio
tridimensional, la longitud del segmento AB es, ahora, ( )( )( ) 2 22 11 2 2 33 ba
ba ba − +− +− . Sin embargo, no tenemos una noción precisa de la longitud de
segmentos curvilíneos. Este es el objetivo de esta sección: medir la longitud de un
trozo de curva. Comenzaremos con el caso más simple, la gráfica de una función
y : x ∈⎡a,b ⎣ ⎤ ⎦ ⊆ → y = y(x) ∈ que es derivable y tiene derivada continua. Para

4. calcular la longitud de la curva, aproximamos ésta mediante la longitud de una
línea poligonal cuyos vértices son puntos de la curva C.
x
y

6. Gracias por su atención