Longitud de Curva

1. Longitud de Arco
Alcides Colmenarez
CI: 19.697.398
Matemática II
Prof. Domingo Méndez
Universidad Fermín toro
Sistema de aprendizaje interactivo de distancia
(SAIA)
Cabudare – Estado. Lara

2. Longitud de Curva
• La longitud de arco de una curva, también
llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido
a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para
curvas específicas, la llegada del calculo
trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos
casos.

3. Longitud de Curva
• Formula General:
• Formula La longitud de una curva plana se puede
aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se
ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada
entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño
posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y
aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal
que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos
en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de
la longitud de C.:

4. Longitud de Curva
• Si la primera derivada de una función
es continua en [a,b] se dice que es
suave y su gráfica es una curva suave.
• Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño
segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema
de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2. Si f es suave en [a,b], la
longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

5. Longitud de Curva
• Al considerar una curva definida por una
función F(x) y su respectiva derivada
F‘(x) que son continuas en un intervalo
[a, b], la longitud s del arco delimitado
por a y b es dada por la ecuación:
• En el caso de una curva definida paramétricamente
mediante dos funciones dependientes de t como X =
F(t) e Y = G(t), la longitud del arco desde el punto
(f(a),g(a) hasta el punto (f(b),g(b)) se calcula
mediante:

6. Longitud de Curva
• Si la función está definida por coordenadas polares donde la
coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados
mediante r=F(θ), la longitud del arco comprendido en el
intervalo a,b , toma la forma:

7. Longitud de Curva
• Otro caso es el de
coordenadas curvilíneas
generales (e incluso el de
espacios no euclídeos)
caracterizadas por un tensor
métrico Gik donde la
longitud de una curva C:
[a,b] → M viene dada por:

8. Ejemplo y Aplicación
• El perímetro de una
circunferencia de radio R
puede calcularse a partir de la
ecuación de esta curva en
coordenadas polares.
• Para calcular el perímetro se utiliza entonces la ecuación

9. Ejemplo y Aplicación
• Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es proporcional al
diámetro, lo que se corresponde con la definición de pi.
• Para determinar la longitud de
un arco de circunferencia, basta
restringir el ángulo de barrido
de la curva a un intervalo más
pequeño.
• La longitud del arco queda: