Longitud con respecto al arco

1. Wilson Alvarez
Longitud
De
Arco

2. Introducción
En este trabajo vamos a tratar el tema de la longitud de arco pues bien
primero les daremos una breve explicación de que es una longitud de arco, la
longitud de arco es la medida de la distancia a lo largo de una curva y dicha medida
se puede hallar a través de la siguiente ecuación:
En la formula encontramos que la longitud (s) del arco delimitado por (a y b)
es considerado una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada
f'(x)

3. Longitud de un Arco.
La longitud de arco se puede calcular por medio de la aplicación de las
integrales, si una curva tiene longitud de arco finita se le denomina rectificable.𝐴𝐵
de una curva que, por definicion, el limite de la suma de las longitudes de las
distintas cueras 𝐴𝑃1, 𝑃1 𝑃2, … , 𝑃𝑛−1 𝐵, que unen los distintos puntos del arco, cuando
el numero de estos crece indefinidamente, de manera que la longitud de cadauna
de las cuerdas tiende a cero.
Sean 𝐴( 𝑎, 𝑐) 𝑦 𝐵( 𝑏, 𝑑) dos puntos de una curva 𝑦 = 𝑓( 𝑥), con 𝑓( 𝑥) y su
derivada, 𝑓´( 𝑥), continua en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; en estas condiciones, la
longitudel arco 𝑨𝑩 viene dada por
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠
𝐴𝐵
= ∫ √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Analogamente, si 𝐴( 𝑎, 𝑐) 𝑦 𝐵( 𝑏, 𝑑) son dos puntos de la curva 𝑥 = 𝑔( 𝑦),
siendo 𝑔( 𝑦)y su derivada con respecto a 𝑦 continua en el intervalo 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, la
longitud del arco 𝐴𝐵 viene dada por:
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠
𝐴𝐵
= ∫ √(
𝑑𝑥
𝑑𝑢
)
2
+ (
𝑑𝑦
𝑑𝑢
)
2
𝑑𝑢
𝑢1
𝑢2
Características de la longitud de arco.
La longitud de arco se puede calcular por medio de la aplicación de las integrales,
si una curva tiene longitud de arco finita se le denomina rectificable.

4. Decimos que una función f definida en [a, b] es continuamente derivable o derivable
con continuidad en [a, b], si f es continua en [a, b]. A su gráfica en dicho intervalo
se le llama curva suave.
Una longitud de arco es la longitud de la curva si se "estirara" en una línea recta.
También se puede pensar en ella como la distancia que viajaría si pasa de un punto
a otro a lo largo de la curva, en lugar de ir directamente a lo largo de una línea recta
entre los puntos.
Longitud del Arco de la gráfica de una función
Si la derivada de la función 𝑓, 𝑓´, es continua en el intervalo [ 𝑎, 𝑏], se dice que
𝑓 es aislada en dicho intervalo.
Lo anterior implica que la gráfica de una función alisada 𝑓 carece de vértices
en el intervalo.
Se denomina arco de una curva continua a la porción comprendida entre dos
de sus puntos. En la siguiente figura se tiene el Arco 𝐴𝐵̂ .
Para hallar la longitud de un segmento de recta, basta con averiguar el
número de veces que un segmento rectilíneo, que se toma como unidad de medida
de longitud, se puede superponer sobre el segmento.
Lo anterior no es posible hacerlo si se trata de medir un arco. Para medir la
longitud de un segmento rectilíneo en el plano, cuyos extremos son los puntos
𝑃1( 𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2( 𝑥2, 𝑦2), se puede utilizar la fórmula de la distancia entre dos puntos
√( 𝑥1 − 𝑥2)2 + ( 𝑦1 − 𝑦2)2

5. En lo que sigue vamos a servirnos de √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + ( 𝑦1 − 𝑦2)2 para deducir otra
fórmula que nos permita calcular fácilmente la medida de un arco de una función
alisada en cualquier intervalo [ 𝑎, 𝑏].
Sea ∆ una partición de [ 𝑎, 𝑏] en 𝑛 sub-intervalos, con 𝑛 − 1 numeros intermedios
entre 𝑎 y 𝑏, de tal modo que:
𝑥0 = 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ 𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 = 𝑏. El i-ésimo o sub-intervalo es [ 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] y su
longitud ∆𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , con 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛.
Ahora sea 𝑃𝑖(𝑥𝑖, 𝑓( 𝑥𝑖)) un punto sobre la curva; resultan así 𝑛 + 1 puntos:
𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛. Obsérvese en la siguiente figura.
Uniendo, mediante un segmento rectilíneo, cada pareja de puntos 𝑃𝑖−1 y 𝑃𝑖,
se obtiene una línea poligonal formada por todos estos segmentos. La longitud de
cada segmento está dada por la fórmula:
| 𝑃𝑖−1 𝑃𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅| = √( 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)2 + (𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓( 𝑥𝑖−1))
2
;
Y la suma de todos los segmentos que forman la poligonal, 𝐿 𝑝 𝐿, es:
𝐿 𝑝 = ∑ √( 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)2 + (𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓( 𝑥𝑖−1))
2
𝑛
𝑖=1
(∗)
Si la norma de partición es pequeña, los puntos 𝑃𝑖−1 y 𝑃𝑖, para todo 𝑖,
estarán muy cercanos entre si y 𝐿 constituye una buena aproximación de la
longitud del arco 𝐴𝐵̂ . Esta es la idea básica para definir la longitud de un arco.
Como 𝑓´ es continua (alisada) en [ 𝑎, 𝑏], el Teorema del Valor Medio,
establece que existe un número 𝑧𝑖 ∈ ( 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) tal que:

6. 𝑓( 𝑥𝑖) − 𝑓( 𝑥𝑖−1) = 𝑓´( 𝑧𝑖)( 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ( 𝑎)
Tomando ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ( 𝑏), y sustituyendo ( 𝑎) y ( 𝑏) en (∗), se obtiene:
𝐿 𝑝 = ∑ √∆𝑥𝑖
2
+ ( 𝑓´( 𝑧𝑖)∆𝑥𝑖)2
𝑛
𝑖=1
𝐿 𝑝 = ∑ √∆𝑥𝑖
2
+ (𝑓´(𝑧𝑖))
2
∆𝑥𝑖
2
𝑛
𝑖=1
𝐿 𝑝 = ∑ √∆𝑥𝑖
2
(1 + (𝑓´(𝑧𝑖))
2
)
𝑛
𝑖=1
,
Entonces:
𝐿 𝑝 = ∑ √1 + (𝑓´(𝑧𝑖))
2
𝑛
𝑖=1
∙ ∆𝑥𝑖 ( 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛)
Por la definición de la integral definida se tiene que:
lim
𝑥→∞
𝐿 𝑝 = ∑ √1 + (𝑓´(𝑧𝑖))
2
𝑛
𝑖=1
∙ ∆𝑥𝑖
lim
𝑥→∞
𝐿 𝑝 = ∫ √1 + (𝑓´(𝑧𝑖))
2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
De todo lo anterior se llega a la siguiente definición:
1° Definición:
Sea la función 𝑦 = 𝑓( 𝑥) alisada en [ 𝑎, 𝑏], la longitud, 𝐿, de arco de la curva de 𝑓
entre los puntos 𝐴(𝑎, 𝑓( 𝑎)) y 𝐵(𝑏, 𝑓( 𝑏)) esta dada por:
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓´( 𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
De igual modo se puede definir la longitud de arco de una curva cuando x se
expresa como una función de y:
2° Definición:
Sea la función 𝑥 = 𝐹( 𝑦) alisada en [ 𝑐, 𝑑], la longitud, 𝐿, de arco de la curva de 𝐹
entre los puntos 𝐶(𝑐, 𝐹( 𝑐)) y 𝐷(𝑑, 𝐹( 𝑑)) esta dada por:

7. 𝐿 = ∫ √1 + [ 𝐹´( 𝑦)]2 𝑑𝑥
𝑑
𝑐
Por ejemplo:
Calcular la longitud del segmento de la recta 𝑦 = 3𝑥 del punto (1,3) al punto (2, 6)
por medio de tres métodos:
a) Usando la fórmula de la distancia
b) Utilizando la 1° Definición ya antes dada
c) Empleando la 2° Definición ya antes dada.
a) La Fórmula de la distancia es:
𝑑 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
Tomemos 𝑃1(1,3) y 𝑃2(2,6), de tal modo que:
𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ = √(2 − 1)2 + (6 − 3)2
𝑃1 𝑃2
̅̅̅̅̅̅ = √(1)2 + (3)2 = √10
b) 𝑓( 𝑥) = 3𝑥, entonces:
𝑓( 𝑥) = 3 (1)
De tal modo que 𝑓 es alisada en (1,2), por lo que, para hallar la longitud de arco
de la curva de 𝑓, entre los puntos (1,3) y (2, 6), se puede utilizar la 1° Definición:
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓´( 𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝐿 = ∫ √1 + (3)2 𝑑𝑥
2
1
𝐿 = ∫ √10𝑑𝑥
2
1
= √10𝑥 |
2
1
𝐿 = √10(2) − √10(1)
𝐿 = 2√10 − √10 = √10.

8. c) 𝑦 = 3𝑥 ⇒ 𝑥 =
1
3
𝑦 ⇔ 𝐹( 𝑦) =
1
3
𝑦.
Por lo que:
𝐹´( 𝑦) =
1
3
Cuando 𝑥 = 1, 𝑦 = 3; y, cuando 𝑥 = 2, 𝑦 = 6.
Sustituyendo todos estos datos en la 2° Definición, se obtiene:
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝐹´( 𝑦)]2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝐿 = ∫ √1 + [
1
3
]
2
𝑑𝑦
6
3
𝐿 = ∫ √1 +
1
9
𝑑𝑦
6
3
𝐿 = ∫ √
10
9
𝑑𝑦
6
3
𝐿 =
1
3
√10𝑦 |
6
3
𝐿 =
1
3
√10(6) −
1
3
√10(3)
𝐿 = 2√10 − √10 = √10

10. Conclusión
La longitud del arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la
distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del
cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para
algunos casos.