Longitud de Curva

1. Longitud de Curva
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVO DE DISTANCIA (SAIA)
CABUDARE – ESTADO. LARA
LUIS EDUARDO FRANCO RUZ
CI: 27.085.291

2. Longitud de Curva
 En matemática, la longitud de arco, también
llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a
lo largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para
curvas específicas. La llegada del cálculo
trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos
casos.

3. Longitud de Curva
 Al considerar una curva definida por una función F(x) y su respectiva derivada
F‘(x) que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado
por a y b es dada por la ecuación:

4. Longitud de Curva
 En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones
dependientes de t como X = F(t) e Y = G(t), la longitud del arco desde el punto
(f(a),g(a) hasta el punto (f(b),g(b)) se calcula mediante:

5. Longitud de Curva
 Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas
radial y el ángulo polar están relacionados mediante r=F(θ), la longitud del arco
comprendido en el intervalo , toma la forma:

6. Longitud de Curva
 En la mayoría de los casos, no
hay una solución cerrada
disponible y será necesario usar
métodos de integración
numérica. Por ejemplo, aplicar
esta fórmula a la circunferencia
de una elipse llevará a una
integral elíptica de segunda
especie. Entre las curvas con
soluciones cerradas están la
catenaria, el círculo, la cicloide,
la espiral logarítmica, la
parábola, la parábola semicúbica
y la línea recta.
 Un caso un poco más general que el último,
es el caso de coordenadas curvilíneas
generales (e incluso el de espacios no
euclídeos) caracterizadas por un tensor
métrico Gik donde la longitud de una curva C:
[a,b] → M viene dada por:

7. Longitud de Curva
 Para calcular el perímetro se
utiliza entonces la ecuación
Ejemplo y Aplicación:
 El perímetro de una
circunferencia de radio R
puede calcularse a partir
de la ecuación de esta
curva en coordenadas
polares

8. Longitud de Curva
 La longitud del arco
queda:
Ejemplo y Aplicación:
 Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es
proporcional al diámetro, lo que se corresponde con la
definición de pi.
 Para determinar la longitud de un arco de
circunferencia, basta restringir el ángulo de barrido de
la curva a un intervalo más pequeño.