Tema_1.3_REALES.pdf

ALGEBRA
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
ÁREA DE ALGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS
1
Tema # 3
Índice Pág.
3.1. Estructuras algebraicas 2
3.2. Axiomas de cuerpo de los
números reales 5
3.3. Inducción matemática 8
3.4. Propiedades del signo sumatorio 9
3.5. Sucesiones 16
3.6. Axiomas de orden de los números
reales 21
3.7. Valor absoluto 33
Recursos complementarios 41
Bibliografía 43
Actividad de aprendizaje autónomo 44

2
Tema # 3
3.1. Estructuras Algebraicas
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y
una relación ó ley de composición interna definida en él.
En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y
también leyes de composición externa, como ejemplo tenemos a los espacios vectoriales.
Operación Binaria o Ley de composición interna:
Se denomina operación binaria o ley de composición interna sobre un conjunto 𝐴 a una
aplicación:
∗: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴
que a cada par de elementos (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴 le asocia un elemento 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴.
Es decir, una operación binaria consiste en esencia en “hacer algo” con un par de elementos de
un conjunto para “producir” un nuevo elemento del conjunto.
Ejemplos:
1. La adición es ley de composición interna en ℕ, ℤ, ℚ, ℝ.
2. ∗ definida en ℤ por 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑎𝑏 es ley de composición interna en ℤ.
Propiedades:
Operación Interna: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐴
Asociativa: ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
Conmutativa: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
Elemento neutro: ∃𝑒 ∈/ ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
Elemento inverso o simétrico: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃𝑎′
∈ 𝐴/ 𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑎′
∗ 𝑎 = 𝑒
Distributiva: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎∆(𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎∆𝑏) ∗ (𝑎∆𝑐)
Proposición: Sea * ley de composición interna en A entonces, si existe elemento neutro, éste es
único.

3
Tema # 3
Semigrupo: Se trata de un conjunto A con una operación *, (A, *), que verifica las
propiedades:
1. * es una operación interna.
2. * es asociativa.
Si además cumple la propiedad conmutativa, se dice que es un semigrupo conmutativo.
Ejemplo: el conjunto de los números naturales con la operación suma.
Monoide: Se trata de un conjunto A con una operación *, (A, *), que verifica las propiedades:
2. * es asociativa.
3. existe elemento neutro para *.
Ejemplo: el conjunto de los números naturales con el cero, con la operación suma.
Grupo: Se trata de un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:
2. * es asociativa.
3. existe elemento neutro para *.
4. Todo elemento de G tiene su inverso para *.
Si además cumple la propiedad conmutativa, se dice que es un grupo conmutativo o también
conocido como grupo abeliano.
Ejemplo: el conjunto de los números enteros (incluido el cero), con la operación suma.
Ejemplo: Sea (ℤ,∗) tal que: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 3, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, Demuestre que (ℤ,∗) es un grupo.

4
Tema # 3
Demostración:
1. * es una operación interna en ℤ, pues dados dos números enteros a, b, también es entero 𝑎 ∗
𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 3
2. se va a comprar qué * es asociativa:
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 3)
= 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 − 3) − 3
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 3 − 3
= (𝑎 + 𝑏 − 3) + 𝑐 − 3
= (𝑎 + 𝑏 − 3) ∗ 𝑐
= (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
3. Se va a comprobar la existencia del elemento neutro para *, utilizando la condición:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Entonces: 𝑎 + 𝑒 − 3 = 𝑎
De donde obtenemos que: 𝑒 = 3
Ahora verificamos que se cumpla: 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, es decir 3 ∗ 𝑎 = 𝑎, entonces:
3 + 𝑎 − 3 = 𝑎, de donde se obtiene que: 𝑎 = 𝑎.
Por lo tanto el elemento neutro existe y es 𝑒 = 3.
4. Se va a comprobar la existencia del elemento inverso para *, es decir se va a demostrar que
para todo 𝑎 ∈ ℤ existe 𝑎′ ∈ ℤ tal que 𝑎 ∗ 𝑎′
= 𝑎′
∗ 𝑎 = 3
Partiendo de la condición: 𝑎 ∗ 𝑎′
= 3,entonces:
𝑎 + 𝑎′
− 3 = 3
Entonces: 𝑎′
= 6 − 𝑎
Por otro lado como: 𝑎′
∗ 𝑎 = 3, entonces:(6 − 𝑎) ∗ 𝑎 = 3, entonces:
6 − 𝑎 + 𝑎 − 3 = 3, de donde obtenemos que: 3 = 3.
Por lo tanto el elemento inverso existe y es 𝑎′
= 6 − 𝑎
Al cumplirse las condiciones necesarias, concluimos que (ℤ,∗) es un grupo.

5
Tema # 3
Anillo: Se trata de un conjunto A con dos operaciones *, (A, *,∆), que verifica las propiedades:
1. (𝐴,∗) es un grupo abeliano
2. (𝐴, ∆) es un semigrupo.
3. Se cumple la propiedad distributiva de ∆ respecto de *.
Si (A, ∆) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *,∆ ) es un anillo conmutativo, y si además
tiene elemento neutro, entonces es un anillo conmutativo con elemento neutro.
Ejemplo: el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las
operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad.
Cuerpo: Se trata de un conjunto A con dos operaciones *, (A, *,∆), que verifica las propiedades:
1. (𝐴,∗, ∆) es un anillo
2. (𝐴 − {0}, ∆) es un grupo.
Si además (𝐴 − {0}, ∆) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (A, *,∆)es un cuerpo
conmutativo.
Ejemplo: El conjunto de los números reales con las operaciones de suma y producto es un cuerpo
conmutativo.
3.2. Axiomas de cuerpo de los números reales
Es importante conocer primero la definición de axioma, la misma que nos indica que es una
proposición que se acepta como verdadera
De lo descrito en Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S.,(2012) se pueden definir los siguientes
axiomas:

6
Tema # 3
a. AXIOMAS DE LA IGUALDAD
Se denomina igualdad al conjunto de expresiones con el mismo valor numérico, separados por
el signo (=). A cada una de las expresiones se le da el nombre de miembro: El de la izquierda es el
primer miembro y el de la derecha del igual es el segundo miembro.
Se considera en los números Reales (ℝ) , una relación de equivalencia, por lo que: 
 c
b
a ,
, ℝ
a.1 REFLEXIVO: a
a =
Ejemplos: 2
2
3
3 =
a.2 SIMETRICO: a
b
b
a
Si =

=
Ejemplo: 4
2
2
4 2
2
=

=
a.3 TRANSITIVO: c
a
c
b
b
a
Si =

=

=
Ejemplo:
4
2
5
.
0
4
2
2
1
2
1
5
.
0 =

=

=
b. AXIOMAS DE CUERPO
En los números Reales (ℝ) se definen las operaciones de la adición y la multiplicación que
verifican las siguientes propiedades:
b.1. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ entonces

7
Tema # 3
1. Ley de clausura: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ
2. Ley uniforme: c
b
c
a
b
a
Si +
=
+

=
3. Ley conmutativa: a
b
b
a +
=
+
4. Ley asociativa: ( ) ( ) c
b
a
c
b
a +
+
=
+
+
5. Existencia del elemento neutro: a
a
a =
+
=
+
 0
0
0
6. Existencia del inverso aditivo: 0
=
+
=
+
−
=
 a
b
b
a
a
b
b.2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ entonces
1. Ley de clausura: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ → 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ
2. Ley uniforme: c
b
c
a
b
a
Si 
=


=
3. Ley conmutativa: a
b
b
a 
=

4. Ley asociativa: ( ) ( ) c
b
a
c
b
a 

=


5. Existencia del elemento neutro: a
a
a =

=

 1
1
1
6. Existencia del inverso multiplicativo: 1
!
0 1
=

=

=


 −
a
b
b
a
a
b
a .
7. Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
( ) c
a
b
a
c
b
a 
+

=
+

b.3. PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES
Se refiere al orden en las que se tienen que realizar las operaciones.
1. Potenciación y radicación.
2. Multiplicación y división
3. Sumas y restas.

8
Tema # 3
3.3. Inducción matemática
La inducción matemática es en general una técnica de demostración que se utiliza en
matemática. Se suele utilizar para comprobar que una expresión que involucre una variable, es
verdadera para todo entero positivo de la variable (Pérez, J., Caro, V. & Obonaga, E., 1986).
El principio de la inducción matemática nos indica entonces:
“Si una expresión que involucra un número entero positivo n, cumple las dos condiciones siguientes:
- Es verdadera cuando n=1
- Siempre que la expresión es verdadera para algún valor k de n, es también verdadera para
n=k+1
Entonces, la expresión es verdadera para todo valor entero positivo de n” (Pérez, et.al.,1986)
Ejemplo:
Demostrar que 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
para todo entero positivo n.
Solución
1) Se verifica que la proposición es verdadera para n=1
1 =
1(1 + 1)
2
1 =
1(2)
2
1 =
2
2
1 = 1
Por lo tanto se cumple.
2) Se supone que la proposición es verdadera para n=k y se muestra que también es verdadera
para n=k+1
Para n = k se tiene que: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘(𝑘+1)
2
Si se suma el número siguiente k+1 a ambos lados, se obtiene:

9
Tema # 3
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘 + 1)
2
+ (𝑘 + 1)
= (𝑘 + 1) (
𝑘
2
+ 1)
= (𝑘 + 1) (
𝑘 + 2
2
)
=
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
Por tanto, la fórmula cumple para n=k+1
Entonces, por inducción matemática, la fórmula es verdadera para todos los valores enteros
positivos de n.
3.4. Propiedades del signo sumatorio
La sumatoria o sumatorio se emplea para poder representar la suma de muchos o infinitos
sumando. Se denota con la letra griega sigma Σ.
La forma base del signo sumatorio es ∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖 y se lee “sumatoria de Xi donde i toma los valores de
1 hasta n”.
El uso más frecuente del signo sumatorio es la Estadística, en la cual suele usarse para identificar
suma de frecuencias absolutas, para conocer la fórmula de cálculo de la media, etc.
La sumatoria cumple con algunas propiedades:
- La suma del producto de una constante K por una variable es igual a K veces la
sumatoria:
∑ 𝐾𝑋𝑖 = 𝐾 ∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
- La sumatoria hasta n de un constante K es igual a n veces la constante K:
∑ 𝐾
𝑛
𝑖=1
= 𝑛𝐾

10
Tema # 3
- La sumatoria de una suma es igual a la suma de cada sumatoria de cada término:
∑(𝑌𝑖 + 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑌𝑖 + ∑ 𝑍𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
- La sumatoria de un producto NUNCA es igual al producto de cada sumatorio de cada
término.
∑(𝑌𝑖 ∙ 𝑍𝑖)
𝑛
𝑖=1
≠ ∑ 𝑌𝑖 ∙ ∑ 𝑍𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
- La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de
la variable elevado al cuadrado:
∑(𝑋𝑖)2
≠ (∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
)
2
𝑛
𝑖=1
Binomio de Newton con coeficientes binomiales
El Binomio de Newton es un algoritmo que permite calculara una potencia cualesquiera de un
binomio. Para su aplicación debemos considerar las siguientes conceptualizaciones:
Triángulo de Pascal
Obtengamos aquí los valores para potencias del tipo n
a
x )
( + con N
n . Si es necesario, use la
propiedad distributiva para obtener los resultados.
n = 0 1
)
( 0
=
+ a
x
n = 1 a
x
a
x +
=
+ 1
)
(
Los coeficientes son los números: 1 1

11
Tema # 3
n = 2 2
2
2
.
2
)
).(
(
)
( a
ax
x
a
x
a
x
a
x +
+
=
+
+
=
+
Los coeficientes son los números: 1 2 1
n = 3 )
).(
.
2
(
)
.(
)
(
)
( 2
2
2
3
a
x
a
ax
x
a
x
a
x
a
x +
+
+
=
+
+
=
+
3
2
2
3
3
.
.
3
.
.
3
)
( a
a
x
a
x
x
a
x +
+
+
=
+
Los coeficientes son los números: 1 3 3 1
n = 4 4
3
2
2
3
4
2
2
4
.
.
4
.
.
6
.
.
4
)
.(
)
(
)
( a
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x +
+
+
+
=
+
+
=
+
Los coeficientes son los números: 1 4 6 4 1
Tenga en cuenta que la suma de los exponentes en cada término es siempre igual al exponente
de n
a
x )
( + y hasta ahora:
Los coeficientes del primero y último son iguales a 1;
Cada línea tiene un número más que el anterior;
Utilizando el procedimiento anterior podemos obtener el coeficiente de otras potencias;
Los números así colocados forman una tabla que tiene una forma triangular y se conoce como el
triángulo de Pascal. Así, hasta la línea 6, el triángulo de Pascal es el siguiente:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 etc.

12
Tema # 3
Por ejemplo si tenemos:
6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
6
.
.
6
.
.
15
.
.
20
.
.
15
.
.
6
)
( a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
x +
+
+
+
+
+
=
+
Números Binomiales
Sabemos que los números del triángulo de Pascal son utilizados para desenvolver potencias del
tipo n
a
x )
( + . Como (x + a) es un binomio, o sea, está formado por dos monomios, los números
del triángulo de Pascal son llamados los números binomiales.
La notación utilizada para denotar un número binomial es: 







p
n
que se lee n sobre p. Como
ejemplo vamos a considerar dos números binomiales de la 4ª fila del triángulo de Pascal, que
son: 1 4 6 4 1.
Esos números binomiales, en este orden, se indican de la seguiente maneira, donde el número
superior es 4 (por ser la 4ª.línea) y los inferiores son del 0 al 4.
Así es como fue: 







0
4
=1, 







1
4
= 4, 







2
4
= 6, 







3
4
= 4, 







4
4
=1.
Por una similitud con las fracciones, el número superior se denomina numerador y el inferior
denominador.
DEFINICIÓN: Sean dos enteros n y p tales que n
p 

0 . Se llama número binomial, de
numerador n y clase p, al número dado por:
!
)!
(
!
p
p
n
n
p
n
−
=








Los números binomiales son números de combinaciones simples. Esta fórmula es válida también
cuando el denominador es nulo o n :

13
Tema # 3
1
1
!.
!
!
0
)!.
0
(
!
0
=
=
−
=








n
n
n
n
n
y 1
!
.
1
!
!
!.
0
!
!
)!.
(
!
=
=
=
−
=








n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ejemplos:
a) 6
1
.
2
.
1
.
2
1
.
2
.
3
.
4
1
.
2
!.
2
1
.
2
.
3
.
4
!
2
)!.
2
4
(
!
4
2
4
=
=
=
−
=








, valor conocido del triángulo de Pascal
b) 35
1
.
2
.
3
.
1
.
2
.
3
.
4
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
.
7
!
3
!.
4
!
7
3
7
=
=
=








En el desarrollo de potencias del tipo n
a
x )
( + , podemos observar que:
3
0
2
2
0
3
3
.
.
3
3
.
.
2
3
.
.
1
3
.
.
0
3
)
( a
x
a
x
a
x
a
x
a
x 







+








+








+








=
+
3
2
2
3
3
.
3
3
.
.
2
3
.
.
1
3
.
0
3
)
( a
a
x
a
x
x
a
x 







+








+








+








=
+
3
2
2
3
3
.
.
.
3
.
.
3
)
( a
a
x
a
x
x
a
x +
+
+
=
+
Donde sabemos que los coeficientes pertenecen a la tercera fila del triángulo de Pascal. Esta
forma de desarrollar las potencias del tipo n
a
x )
( + , con N
n , es conocido como desarrollo del
binomio de Newton
Binomio de Newton como tal
Surge cuando desarrollamos potencias del tipo n
a
x )
( + , los coeficientes del desarrollo son todos
los números binomiales del numerador n. Así mismo, para el desarrollo de n
a
x )
( + tenemos una
regla general dada por:

14
Tema # 3
n
n
n
n
n
n
n
a
x
n
n
a
x
n
n
a
x
n
a
x
n
a
x
n
a
x
n
a
x .
.
.
.
1
....
.
.
3
.
.
2
.
.
1
.
.
0
)
( 0
1
1
3
3
2
2
1
0








+








−
+
+








+








+








+








=
+ −
−
−
−
Observaciones:
Observe que el denominador del número binomial es el exponente de a y a diferencia entre el
numerador y el denominador es el expoente de x. La suma de los exponentes es sempre igual a
n
Observe también que la fórmula del binômio es una suma con 1
+
n términos, y en este caso,
podemos escribir el desarrollo del binomio usando el símbolo de suma, que se indicará de la
siguiente manera:

=
−








=
+
n
p
p
p
n
n
a
x
p
n
a
x
0
.
.
)
(
Para él desarrollo de n
a
x )
( − usamos la equivalencia ( )  n
n
a
x
a
x )
(−
+
=
−
Notemos que   
 =
−
=
−
−








=
−








=
−
+
=
−
n
p
p
p
p
n
n
p
p
p
n
n
n
a
x
p
n
a
x
p
n
a
x
a
x
0
0
.
)
1
.(
.
)
.(
.
)
(
)
( , es decir

=
−
−








=
−
n
p
p
p
n
p
n
a
x
p
n
a
x
0
.
.
)
1
.(
)
( y concluímos que todos los términos del desarrollo de n
a
x )
( + y
n
a
x )
( − son respectivamente de la misma forma p
p
n
a
x
p
n
.
. −








.
Cuando se desarrolla n
a
x )
( + todos los términos son positivos, mientras que cuando
desarrollamos n
a
x )
( − los términos de acuerdo al expoente de a si este es par es positivo o si es
impar es negativo, respectivamente.
Ejemplos:
a) Use del binomio de Newton en para desarrollar 4
)
2
( −
x

15
Tema # 3
Solución
Podemos considerar  4
4
)
2
(
)
2
( −
+
=
− x
x y tenemos:
4
3
2
2
1
3
4
4
)
2
(
)
2
.(
.
4
)
2
.(
.
6
)
2
.(
.
4
)
2
( −
+
−
+
−
+
−
+
=
− x
x
x
x
x
O sea 16
.
32
.
24
.
8
)
2
( 2
3
4
4
+
−
+
−
=
− x
x
x
x
x
b) Realice el desarrollo de
4
2 2






+
x
x
Solución
Sabendo que la 4ª. fila del triângulo de Pascal es: 1,4,6,4,1.
4
0
2
3
2
2
2
2
1
3
2
0
4
2
4
2 2
.
)
.(
1
2
).
.(
4
2
.
)
.(
6
2
.
)
.(
4
2
.
)
.(
1
2






+






+






+






+






=






+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x








+








+








+






+
=






+ 4
4
3
3
2
2
2
4
6
8
4
2 2
2
.
.
4
2
.
.
6
2
.
.
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
2
5
8
4
2
.
16
.
32
.
24
.
8
2 −
−
+
+
+
+
=






+ x
x
x
x
x
x
x
Y finalmente 4
2
5
8
4
2 16
32
.
24
.
8
2
x
x
x
x
x
x
x +
+
+
+
=






+
En algunas situaciones precisamos encontrar apenas uno o dos términos del desarrollo, en ese
caso usamos la siguiente fórmula:
p
p
n
p a
x
p
n
T .
.
1
−
+ 







= ,
Donde 1
+
p
T es el término que se pretende encontrar.

16
Tema # 3
Ejemplo:
Determinar el cuarto término del desarrollo de ( )6
2
6
.
3 +
x
Solución
Como pretendemos encontrar él 4º término entonces 3
4
1 =

=
+ p
p .
Sustituyendo en la fórmula general tenemos:
( )
3
6
3
3
3
6
2
4 6
3
!
3
!
3
6
!
6
6
.
)
.
3
.(
3
6




−
=








= −
x
x
T
3
6
3
3
6
3
4 6
3
!
3
4
5
6
6
3
!
3
!
3
!
3
4
5
6





=







= x
x
T
3
6
3
3
6
3
4 6
3
20
6
3
1
2
3
4
5
6



=







= x
x
T
Y tenemos como respuesta: 6
4 .
116640 x
T =
3.5. Sucesiones
Una sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o
infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por 𝑎𝑛, siendo 𝑛 la
posición del término en la secuencia.
Ejemplo:
1) La sucesión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...
Donde el primer término es 𝑎1 = 1 y el quinto término es 𝑎5 = 9.
2) La sucesión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos).
El segundo término es 𝑎2 = 2 y el cuarto es 𝑎4 = 4.

17
Tema # 3
Una sucesión puede ser
Numérica
Es el conjunto de número con un orden determinado regido por una ley de formación. La relación
entre ellos puede ser a través de un patrón entre operaciones matemáticas.
Ejemplo:
4, 7, 11, 17, 26, 𝑥
Literal: Es el conjunto de letras con un orden determinado regido por una ley de formación. La
relación entre ellos puede ser a través de un patrón numérico.
Ejemplo: Que letra continua en la sucesión: C, P, E, R, G, T, I,…
Creciente: si cada término es mayor o igual que el término que ocupa una posición anterior
𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛
Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,...
Decreciente: si cada término es menor que el término que ocupa una posición anterior
𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛
Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,...
Constante: si todos los términos son iguales 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛

18
Tema # 3
Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,...
Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior.
Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,...
Solución
Término general: En una sucesión es la fórmula 𝑎𝑛 , que permite conocer cada término en
función de su posición 𝑛.
Ejemplos:
1) El término general de la progresión de los números impares (1, 3, 5, 7,...) es 𝑎𝑛 = 2 ∙ 𝑛 − 1
Utilizamos el término general para calcular algunos sus términos sustituyendo la posición n:
𝑎1 = 2 ∙ 1 − 1 = 1
𝑎2 = 2 ∙ 2 − 1 = 3
𝑎3 = 2 ∙ 3 − 1 = 5
2) El término general de la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36,... es
A la sucesión la podemos escribir como:
(1)2
, (2)2
, (3)2
, (4)2
, (5)2
, (6)2
⋯
Entonces el término general es.
𝑎𝑛 = (𝑛)2
= 𝑛2

19
Tema # 3
Progresión aritmética:
Una progresión es aritmética si cada término se obtiene sumando un número constante
(diferencia) al término anterior.
Ejemplos:
1) 100, 105, 110, 115, 120,...
Es una sucesión aritmética (infinita) cuya diferencia es 𝑑 = 5.
2) -5, -3, -1, 1, 3, 5
Es una sucesión aritmética (finita) cuya diferencia es 𝑑 = 2.
3) 1, 4, 9, 16, 25, 36,...
No es una sucesión aritmética porque, aunque el segundo término se obtiene sumando 3 al
primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.
El término general de una progresión aritmética es
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 ∙ (𝑛 − 1)
La diferencia (𝑑) de la progresión es:
𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛
Una progresión aritmética es:
Creciente: Si 𝑑 > 0
Decreciente: Si 𝑑 < 0
Constante: Si 𝑑 = 0
La suma de los primeros términos de una progresión aritmética es:

20
Tema # 3
𝑆𝑛 =
𝑛 ∙ (𝑎𝑛 + 𝑎1)
2
Progresión geométrica
Una progresión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando un número constante
(razón) por el término anterior.
Ejemplos:
1) 1, 3, 9, 27, 81, …
Es una sucesión geométrica cuya razón es 𝑟 = 3.
2) 6, 12, 24, 48, 96,…
Es una sucesión geométrica cuya razón es 𝑟 = 3.
3) 5, 25, 50, 150,…
No es una sucesión geométrica porque, aunque el segundo término se obtiene multiplicando por
5 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.
El término general de una progresión geométrica es
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟𝑛−1
La razón (𝑟) de la progresión es:
𝑟 =
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
Una progresión geométrica cuyo primer término es positivo, es:
Creciente. Si 𝒓 > 𝟏

21
Tema # 3
Constante. Si 𝒓 = 𝟏
Decreciente. Si 0 < 𝒓 < 𝟏
Alternada (el signo va cambiando). Si 𝒓 < 𝟎
La suma de los primeros términos de una progresión geométrica es:
𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙ (
𝑟𝑛
− 1
𝑟 − 1
)
Ejemplos:
1) La sucesión 1, 2, 4, 8, 16,…
Es creciente porque la razón es 𝑟 = 2 > 𝟏
2) La sucesión 2, 2, 2, 2,…
Es constante porque la razón es 𝑟 = 1.
3) La sucesión 80, 40, 20, 10, 5, 2.5,…
Es decreciente porque la razón es 0 < 𝒓 = 𝟎, 𝟓 < 𝟏.
4) La sucesión 1, -2, 4, -8, 16,…
Es alternada porque la razón es 𝒓 = −𝟐 < 𝟎.
3.6. Axiomas de orden de los números reales
En el conjunto de los ℝ, se postula la existencia de un subconjunto, llamado de los reales
positivos ℝ+
. Este verifica los axiomas conocidos como axiomas de orden:
A1. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ+

22
Tema # 3
A2. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+
⇒ 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ+
A3. ∀ 𝑎 ∈ ℝ, se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
𝑖) 𝑎 = 0 𝑖𝑖) 𝑎 > 0 𝑖𝑖𝑖) 𝑎 < 0
Notar que si se define el conjunto de los números reales negativos
ℝ−
= {−𝑥 𝑥 ∈ ℝ+
⁄ } se tendrá que: ℝ = ℝ−
∪ {0} ∪ ℝ+
Proposición 1. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, podemos decir que:
1. 𝑎 = 𝑏
2. 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+
3. 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 ˅ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+
4. 𝑎 > 𝑏 ⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℝ+
Observar que la manera de definir “mayor o igual que" constituye una relación de orden, es decir,
satisface las siguientes propiedades:
P1. Reflexiva ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≥ 𝑎
P2. Antisimétrica ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑎 ≥ 𝑏 ˄ 𝑏 ≥ 𝑎 ⇒ 𝑎 = 𝑏
P3. Transitiva ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑎 ≥ 𝑏 ˄ 𝑏 ≥ 𝑐 ⇒ 𝑎 ≥ 𝑐
Proposición 2. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, entonces se tiene que si 𝑎 < 𝑏 :
1. 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
2. Si 𝑐 ∈ ℝ+
⇒ 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐

23
Tema # 3
3. Si −𝑐 ∈ ℝ+
⇒ 𝑏 ∙ 𝑐 < 𝑎 ∙ 𝑐
4. Si 𝑐 < 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
5. Si 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 ˄ 0 ≤ 𝑐 < 𝑑 ⇒ 0 ≤ 𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑑
Proposición 3. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, entonces se tiene que:
1. 1 ∈ ℝ+
2. ∀ 𝑎 ∈ ℝ ⇒ 𝑎2
∈ ℝ ∪ {0 }
3. Si 𝑎 > 0 ⇒
1
𝑎
> 0
4. Si 𝑎 ∙ 𝑏 > 0 ⇒ 𝑖) 𝑎 > 0 ˄ 𝑏 > 0 ˅ 𝑖𝑖) 𝑎 < 0 ˄ 𝑏 < 0
Además si 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏, entonces se tiene que:
5. Si 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎2
≤ 𝑏2
6. Si 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ √𝑎 ≤ √𝑏
Intervalos (Stewart, 2012, pág. 73)
Se llama al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman
extremos del intervalo.
TIPOS DE INTERVALOS
1. Intervalo abierto
 
b
a ; , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

24
Tema # 3
   
b
x
a
R
x
b
a <
<
; 
=
2. Intervalo cerrado
 
b
a ; , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales
que b.
   
b
x
a
R
x
b
a 


=
;
3. Intervalo semi-abierto
3.1. Por la izquierda
 
b
a ; , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
   
b
x
a
R
x
b
a 

= <
;
3.2. Por la derecha

25
Tema # 3
 
b
a ; , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
   
b
x
a
R
x
b
a <
; 

=
4. Intervalos infinitos
Los intervalos infinitos están determinados por un número. En un intervalo infinito se encuentran
todos los números mayores (o menores) que él.
4.1 x > a
   

+

=

+ <
<
; x
a
R
x
a
4.2 x ≥ a
   

+


=

+ <
; x
a
R
x
a
4.3 x < a
   
a
x
x
a <
<
; 
−


=

−

26
Tema # 3
4.4 x ≤ a
   
a
x
R
x
a 

−

=

− <
;
4.5 R
x
   

+

−

=

+

− <
<
; x
R
x
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se
utiliza la unión entre ellos con el signo U.
OPERACIONES CON INTERVALOS
Las principales operaciones que pueden efectuarse entre intervalos son tres: Unión, Intersección
y Diferencia de intervalos. Al efectuar cualquiera de estas tres operaciones debe tenerse en
cuenta que en el resultado ningún número debe aparecer más de una vez.
Si A y B son dos intervalos cualesquiera, entonces:

27
Tema # 3
1. La Unión
Ejemplo
Para los intervalos  
3
;
1
=
A y  
2
;
0
=
B . Encontrar B
A
Solución:
Representamos gráficamente los intervalos uno debajo del otro.
-∞ 1 3 +∞
-∞ 0 2 +∞
-∞ 0 3 +∞
Auxiliándose del gráfico tenemos lo siguiente:  
3
;
0
=
 B
A

28
Tema # 3
2. La Intersección
Ejemplo
Para los intervalos  
4
;

−
=
A y  

+
= ;
2
B . Encontrar B
A
Solución
Al graficar ambos intervalos se tiene:
-∞ 4 +∞
-∞ 2 +∞
-∞ 2 4 +∞
Auxiliándose del gráfico tenemos lo siguiente:  
4
;
2
=
 B
A

29
Tema # 3
3. La Diferencia
Ejemplo
Para los intervalos  
3
;
1
=
A y  
2
;
0
=
B . Encontrar B
A −
Solución:
Primeramente representamos gráficamente los intervalos uno debajo del otro.
-∞ 1 3 +∞
-∞ 0 2 +∞
-∞ 2 3 +∞
Auxiliándose del gráfico tenemos lo siguiente:  
3
;
2
=
− B
A

30
Tema # 3
EJERCICIOS DE APLICACION:
1) Represente en la recta real la siguiente expresión:
Al graficar ambos intervalos se tiene:
-∞ 0 3 +∞
-∞ - 2 4 +∞
Auxiliándose del gráfico tenemos la intersección de los intervalos.
La solución es:    
4
;
3
0
;
2 
−
b. Exprese en forma de desigualdad el intervalo:
La solución es: 8
3 

− x
INTERVALOS PREDETERMINADOS
La determinación se los efectúa a partir de un intervalo dado debiendo utilizarse las propiedades
de las desigualdades para la obtención de los mismos.
( ) 4
2
3
0 

−



 x
x
x
 
8
;
3
−

31
Tema # 3
EJERCICIOS DE APLICACION:
1) Sí  
5
;
2
−

x . Determinar el intervalo al que pertenece la expresión 3
2 +
x
Solución:
El intervalo dado lo expresamos como desigualdad: 5
<
2 x

−
Y a partir de este construimos la nueva expresión esto es multiplicar por 2 y sumar 3.
10
<
2
4 x

−
3
10
<
3
2
3
4 +
+

+
− x
13
<
3
2
1 +

− x
Entonces  
13
;
1
3
2 −

+
x
2) Si  
4.11
3
2x 
+ halle el menor valor de m que satisfaga la desigualdad m
x
x

+
+
2
4
Solución:
Determinamos a que intervalo pertenece x, restando 3 y dividiendo por 2
11
3
2
4 
+
 x
3
11
3
3
2
3
4 −

−
+

− x
8
2
1 
 x

32
Tema # 3
4
2
1

 x
La fracción la descomponemos y vamos construyendo el nuevo intervalo
2
2
1
2
4
+
+
=
+
+
x
x
x
El intervalo de x sumamos 2
4
2
1

 x 2
4
2
2
2
1
+

+

+ x 6
2
2
5

+
 x
Dividimos por 2: 3
2
2
4
5

+

x
Para ahora invertir la fracción:
5
4
2
2
3
1

+

x
Y sumamos 1 quedándonos:
1
5
4
2
2
1
1
3
1
+

+
+

+
x 5
9
2
4
3
4

+
+

x
x
m
x
x

+
+
2
4
La solución es:
5
9
=
m

33
Tema # 3
c. Si 






3
22
,
2
13
x halle el mayor valor de M que satisfaga M
x
x

−
−
2
4
Solución
2
2
1
2
4
−
−
+
=
−
−
x
x
x
3
22
2
13

 x 2
3
22
2
2
2
13
−

−

− x
3
16
2
2
9

−
 x
4
9
2
2
3
8
−

−
−

−
x
8
3
2
2
9
4
−

−
−

−
x
1
8
3
2
2
1
1
9
4
+
−

−
−
+

+
−
x
8
5
2
4
9
5

−
−

x
x
9
5
2
4
8
5

−
−

x
x
M
x
x

−
−
2
4
La solución es:
9
5
=
M
3.7. Valor absoluto
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:






−
=
0
,
0
<
,
a
Si
a
a
Si
a
a

34
Tema # 3
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
a. Propiedades fundamentales
0

a
0
0 =

= a
a
b
a
b
a =

=
− 0
a
a =
−
b
a
b
a =
.
0


= b
b
a
b
a
2
2
a
a =
0
<
4
2
2
2
ac
b
c
bx
ax
c
bx
ax −

+
+
=
+
+
par
n
a
a
n n

=
b
a
b
a +

+
b. Propiedades para la resolución de ecuaciones
( )
 
b
a
b
a
b
b
a =

−
=



= 0
b
a
b
a
b
a =

−
=

=
c. Propiedades para la resolución de inecuaciones
( )
 
b
a
b
b
b
a <
<
0
< −



( )
 
b
a
b
b
b
a 

−



 0
 
b
a
b
a
b
a >
<
> 
−

 
b
a
b
a
b
a 

−




35
Tema # 3
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones con valor absoluto se deben aplicar las propiedades para la resolución
de ecuaciones.
Ejemplos:
1) Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto: 5
x
1
2
+
=
−
x
Solución:
Aplicamos la propiedad ( )
 
b
a
b
a
b
b
a =

−
=



= 0 para nuestro ejemplo nos
queda:
0
5 
+
x - +
-∞ -5 +∞
( )
5
1
5
x
1
-
x 2
2
+
−
=
−

+
= x
x
0
4
0
6
-
x
-
x 2
2
=
+
+

= x
x
( )( ) 0
4
0
2
x
3
-
x 2
=
+
+

=
+ x
x ; no factorable
2
3
x 2
1 −
=

= x
Estos dos valores de x tenemos que ver si pertenecen al intervalo  

+
− ;
5 , forman parte de la
solución caso contrario se excluyen los que no pertenezcan al mismo.
En este ejemplo los dos pertenecen a la solución de la ecuación.
 
3
;
2
-
Sol.=
2) Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto: 2
1
2 +
=
− x
x

36
Tema # 3
Solución:
Aplicamos la propiedad b
a
b
a
b
a =

−
=

= para nuestro ejemplo nos queda:
( )
2
1
2
2
x
1
-
2x +
−
=
−

+
= x
x
0
1
3
0
3
-
x =
+

= x
3
1
3
x 2
1 −
=

= x






= 3
;
3
1
-
Sol.
3) Resuelva para x las siguientes ecuaciones: 8
3
2
3 −
=
+ x
x
Solución:
Si: ( ) ( )2
2
8
3
3
2
0
8
3 −
=
+


− x
x
x
Si: ( ) ( ) 0
8
3
3
2
3
8 2
2
=
−
−
+

 x
x
x
Si: ( )( ) 0
8
3
3
2
8
3
3
2
3
8
=
+
−
+
−
+
+

 x
x
x
x
x
Si: ( )( ) 0
11
5
5
3
8
=
+
−
−

 x
x
x
Si: ( )( ) 0
11
1
3
8
=
−
−

 x
x
x
Si: ( ) ( )
 
0
11
0
1
3
8
=
−

=
−

 x
x
x
Si:  
11
1
3
8
=

=

 x
x
x
Sol: x = 11

37
Tema # 3
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver inecuaciones con valor absoluto se deben aplicar las propiedades para la resolución
de inecuaciones.
Ejemplos:
1) Resolver la siguiente inecuación con valor absoluto: 9
3 
−
x
Solución:
 
b
a
b
b
b
a 

−



 0 para nuestro ejemplo nos queda:
9
3
9
0
9 
−

−

 x
3
9
3
3
3
9 +

+
−

+
− x
12
6 

− x
Entonces el intervalo solución es  
12
;
6
−

x
3
2 −

+ x
x
Solución:
 
b
a
b
b
b
a 

−



 0 para nuestro ejemplo nos queda:
( ) 2
3
2
2
0
2 −

+

−
−


− x
x
x
x
Cuando se tienen desigualdades de este tipo para resolverlas hay que formar un sistema de
inecuaciones de la siguiente forma:
( )





−

+
+

−
−

−
2
3
2
3
2
2
0
2
x
x
x
x
x

38
Tema # 3
Entonces cada inecuación resolvemos por separado.
0
2 
−
x _ +
-∞ 2 +∞
( ) 3
2
2 +

−
− x
x 0
3
2
2 
−
−
+
− x
x 0
1
3 
−
− x 0
1
3 
+
x
_ +
-∞ -1/3 +∞
2
3
2 −

+ x
x 0
2
3
2 
+
−
+ x
x 0
5 
+
x
_ +
-∞ -5 +∞
Para determinar la solución efectuamos la intersección de los tres intervalos gráficos.
-∞ -5 -1/3 2 +∞
Entonces el intervalo solución es 

x : o sea no tiene solución ya que los tres intervalos no tienen
elementos en común para los tres.
2
>
8
3 −
− x
x
Solución:
Aplicamos la propiedad  
b
a
b
a
b
a >
<
> 
−
 para nuestro ejemplo nos queda:
( ) 7
2
>
8
3
7
2
<
8
3 −
−

−
−
− x
x
x
x
0
>
7
2
8
3
0
<
7
2
8
3 +
−
−

−
+
− x
x
x
x

39
Tema # 3
0
>
1
0
<
15
5 −

− x
x
0
>
1
0
<
3 −

− x
x
La solución grafica de cada inecuación es:
0
>
1
−
x _ +
-∞ 1 +∞
0
<
3
−
x _ +
-∞ 3 +∞
Para determinar la solución efectuamos la unión de los dos intervalos gráficos.
-∞ 1 3 +∞
Entonces el intervalo solución es 

x .
4) Resolver la siguiente inecuación con valor absoluto:
3
3
16
3
−

+
+
x
x
x



−
+

+ Siempre es verdad y aplicando la propiedad:
3
3
16
3
3
3
16
3
−
−

+
+

−

+
+
x
x
x
x
x
x
0
3
3
16
3
0
3
3
16
3

−
+
+
+


−
−
+
+
x
x
x
x
x
x
( )
( )( )
( )
( )( )
0
3
16
16
3
9
0
3
16
16
3
9 2
2

−
+
+
+
−


−
+
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x

40
Tema # 3
( )( ) ( )( )
0
3
16
48
3
9
0
3
16
48
3
9 2
2

−
+
+
+
−


−
+
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
( )( ) ( )( )
0
3
16
39
3
0
3
16
57
3 2
2

−
+
+
+


−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
( )( )( ) ( ) 0
3
16
2
.
9
2
.
6 
−
+
−
+ x
x
x
x 
( )( ) 0
3
16 
−
+



−
=

+
=
x
x
a
+ - + - +
-∞ -16 - 6.2 3 9.2 +∞
 •  •
+ - +
-∞ -16 3 +∞
 
La solución es la unión, Sol:      

+

−

−

− ;
2
.
9
3
;
16
16
;
( )( )( ) ( )( )( ) 3
16
0
3
16
39
3
0
3
16
57
3 2
2


−



−
+
+
+


−
+
−
− x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

41
Tema # 3
Recursos complementarios / Videos
Estructuras Algebraicas:
https://www.youtube.com/watch?v=0qlQsetnWPA
https://www.youtube.com/watch?v=hhRA_pPwOzc
Axiomas de cuerpo:
https://www.youtube.com/watch?v=PnCfd6LJGOE
https://www.youtube.com/watch?v=q5miPBhLNuc
Inducción matemática:
https://www.youtube.com/watch?v=orhBEEKe9Ws
https://www.youtube.com/watch?v=yEfz3ZsX02s
Binomio de Newton:
https://www.youtube.com/watch?v=9ri5dwV2K6E
https://www.youtube.com/watch?v=vmv0VIBglc4
https://www.youtube.com/watch?v=GwYTkB1cBDs
Sucesiones:
https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg
https://www.youtube.com/watch?v=pamgTqMFKcg
https://www.youtube.com/watch?v=avxnZy3kYhM
https://www.youtube.com/watch?v=RS6MWaHigcw
https://www.youtube.com/watch?v=1sb3tAxYV8w
https://www.youtube.com/watch?v=4IQiSytb4wk
https://www.youtube.com/watch?v=_2alEjypssE

42
Tema # 3
https://www.youtube.com/watch?v=urD4CVZnqOc
https://www.youtube.com/watch?v=lRg8u1JTcOQ
https://www.youtube.com/watch?v=rwZVkMX50Rg
https://www.youtube.com/watch?v=wRdhU_cvVQY
https://www.youtube.com/watch?v=xC6yplSb0bk
https://www.youtube.com/watch?v=hRmpV16Zcio
https://www.youtube.com/watch?v=XGUMD--Govg
https://www.youtube.com/watch?v=dR_gK1IzKgw
https://www.youtube.com/watch?v=66vZIr3-cYg
https://www.youtube.com/watch?v=sMt7kPxZ5yc
Axiomas de orden:
https://www.youtube.com/watch?v=x1pxIdxub3Q
https://www.youtube.com/watch?v=pNL-w5qvIzo
Valor Absoluto:
https://www.youtube.com/watch?v=4KY4yOOAPSg
https://www.youtube.com/watch?v=Sr1YreAajps
https://www.youtube.com/watch?v=Bfb0efPKb-0

43
Tema # 3
Bibliografía
1. Castillo, C., Navas , F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. Quito: EPN.
2. Espinoza Ramos, E. (2004). Álgebra Pre Universitaria. Lima-Perú: Servicios Gráficos J.J.
3. Flores P., M. (2018). Álgebra. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
4. Gamarra Morales, H. (2016). Arimética. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
5. Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S. (2012). Precálculo, Matemáticas para el Cálculo. México.
Sexta Edición. Cengage Learning.
6. Obonaga, E., Pérez, J. &Caro, V. (1984). Matemáticas 3 (Algebra y Geometría).Colombia. PIME
Ltda. Editores.

44
Tema # 3
Actividades de aprendizaje autónomo
1. Sea (ℤ,∗) tal que: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 5, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, Demuestre que (ℤ,∗) es un grupo
2. Determine el noveno término de (𝑥
1
2 + 𝑦
1
2)
12
3. Calcule los dos términos centrales de (
𝑥2
2
− 𝑦)
9
4. Calcular el término independiente de 𝑥 (si lo hay), en el desarrollo del binomio
(𝑥4
−
1
𝑥2
)
9
5. Realizar la siguiente sumatoria:
∑ 2 ∙ 3𝑖−1
10
𝑖=1
6. Hallar x + y de:
4
7
,
8
14
,
12
28
,
16
56
,
𝑥
𝑦
7. En una progresión aritmética, sabemos que el sexto término es 28 y que la diferencia es 5.
Calcular el término general y los 5 primeros términos.
8. En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto 48. Calcular el
término general y la suma de los 5 primeros términos.
9. Encontrar el término general de la sucesión 20, 19.3, 18.6, 17.9, … ¿Es aritmética o
geométrica? Encontrar los términos: décimo (10), vigésimo (20) y trigésimo (30).

45
Tema # 3
10. ¿La sumatoria de 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ 40 es?
11. ¿La suma de los 25 primeros términos de 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ es?
12. Resuelva las siguientes operaciones con intervalos:
a) Si 𝑥 𝜖 [5,10], hallar los valores de m y n tal que 𝑚 ≤
3𝑥+2
2𝑥−1
≤ 𝑛
b) Si (2𝑥2
− 1)𝜖 ]7,31[, ¿A qué intervalo pertenece 𝑥 ?
c) Si se sabe que 𝑥 > −3 y además que: 𝑎 < √
9𝑥+46
𝑥+5
< √𝑏 , hallar el valor de 𝑎 + 𝑏.
13. Resuelva las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
a) |𝑥 − 2| = |𝑥2
+ 2𝑥 + 4|
b) |2𝑥 + |𝑥 − 1|| = 5
c) |3𝑥 − 1| − |𝑥 − 2| = 1
14. Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
a) |5𝑥 − 2| ≥ 3𝑥 + 4
b) |
𝑥2+3𝑥+11
𝑥−2
| ≥ 3
c)
2|𝑥|
|2𝑥+1|
<
|2𝑥+1|
|3𝑥|
.

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