Este documento resume conceptos estadísticos clave como la distribución de la media y proporción muestral. Explica que la media muestral de una población normal sigue una distribución normal, mientras que para poblaciones no normales el Teorema Central del Límite puede aplicarse para muestras grandes. También cubre la distribución binomial de la proporción muestral y cómo la Ley Débil de los Grandes Números garantiza que la media y proporción muestral convergen a los parámetros poblacionales a medida que el t
2. Estadístico para
Esperanza
Varianza (muestreo con reemplazo)
Varianza (muestreo sin reemplazo)
Estadístico para
Esperanza
Varianza (muestreo con reemplazo)
Varianza (muestreo sin reemplazo)
μ
¯
X =
∑
n
i=1
Xi
n
E(
¯
X) = μ
V (
¯
X) =
σ
2
X
n
V (X̄) =
σ
2
X
n
N − n
N − 1
P
^
p = =
∑
n
i=1
Yi
n
X
n
E( ^
p ) = p
V ( ^
p ) =
p(1 − p)
n
V ( ^
p ) =
p(1 − p)
n
N − n
N − 1
2 / 24
3. Distribución de la media muestral
1. Población normal
2. Población no normal
3 / 24
4. Distribución de la media muestral
👉1. Población normal
2. Población no normal
4 / 24
5. Función de densidad de Función de densidad de
1. Población normal
X ∼ N (μ, σ
2
)
¯
X ∼ N (μ
X̄
= μ, σ
2
X̄
= )
σ
2
n
X ¯
X 5 / 24
6. Ejemplo n = 10
X ∼ N (μ = 120, σ
2
= 2500)
X̄ ∼ N (μ
X̄
= 120, σ
2
X̄
= )
2500
10
6 / 24
7. Ejemplo n = 20
X ∼ N (μ = 120, σ
2
= 2500)
X̄ ∼ N (μ
X̄
= 120, σ
2
X̄
= )
2500
20
7 / 24
8. Ejemplo n = 30
X ∼ N (μ = 120, σ
2
= 2500)
X̄ ∼ N (μ
X̄
= 120, σ
2
X̄
= )
2500
30
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9. Distribución de la media muestral
1. Población normal
👉2. Población no normal
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10. 2. Población no normal
2.1. Teorema Central del Límite (TCL)
es una sucesión de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas. Se
define , el TCL refiere a la siguiente convergencia en distribución
Si y varianza , se verifica que
Muestras suficientemente grandes:
X1, X2, … , Xn
Sn =
n
∑
i=1
Xn
→ Z ∼ N (0, 1)
Sn − E(Sn)
√V ar(Sn)
d
E(Sn) = μ V ar(Sn) = σ
2
→ Z ∼ N (0, 1) ⇒
¯
X
a
∼ N (μ
X̄
= μ, σ
2
X̄
= )
X̄ − μ
σ
√n
d σ
2
n
(n > 30)
10 / 24
11. Ejemplo
Distribución de la población
Cantidad de muestras
Tamaño de muestra
Distribución de ` `
X ∼ Exp(λ = 2)
m = 1000
n = 5
x̄
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12. Ejemplo
Distribución de la población
Cantidad de muestras
Tamaño de muestra
Distribución de ` `
X ∼ Exp(λ = 2)
m = 1000
n = 10
x̄
12 / 24
13. Ejemplo
Distribución de la población
Cantidad de muestras
Tamaño de muestra
Distribución de ` `
X ∼ Exp(λ = 2)
m = 1000
n = 20
x̄
13 / 24
14. Ejemplo
Distribución de la población
Cantidad de muestras
Tamaño de muestra
Distribución de ` `
X ∼ Exp(λ = 2)
m = 1000
n = 30
x̄
14 / 24
15. Ejemplo
Distribución de la población
Cantidad de muestras
Tamaño de muestra
Distribución de ` `
X ∼ Exp(λ = 2)
m = 1000
n = 60
x̄
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16. 2. Población no normal
2.2. Desigualdad de Tchebycheff
Distribución de probabilidad desconocida
Tamaño de muestra no lo suficientemente grande para aplicar TCL
y
E(
¯
X) = μ V (
¯
X) =
σ
2
n
P (|
¯
X − E(
¯
X)| ≤ d) ≥ 1 −
V (X̄)
d
2
P (|
¯
X − μ| ≤ d) ≥ 1 −
σ
2
n d
2
P (|
¯
X − E(
¯
X)| > d) <
V (X̄)
d
2
P (|
¯
X − μ| > d) <
σ
2
n d
2
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18. Distribución del estadístico
Distribución "exacta" de
^
p =
X
n
X ∼ B(n, p)
^
p
P (
^
P = ^
p ) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
C
n ^
p
n p
n ^
p
(1 − p)
n−n ^
p
para ^
p = 0, , , … , 1
0 caso contrario
1
n
2
n
E( ^
p ) = P
V ( ^
p ) =
P (1 − P )
n
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19. Distribución del estadístico
Teorema Central del Límite (TCL)
Si y
Alternativamente, se puede considerarar a la v.a.
n p ≥ 5 n (1 − p) ≥ 5
= → Z ∼ N (0, 1) ⇒ ^
p
a
∼ N (μ
^
p
= p, σ
2
^
p
= )
^
p − E( ^
p )
σ^
p
^
p − p
√
p(1 − p)
n
d p(1 − p)
n
X
= → Z ∼ N (0, 1) ⇒ X
a
∼ N (μ
X
= np, σ
2
X
= np(1 − p))
X − E(X)
σ
X
X − np
√np(1 − p)
d
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20. Máquina de Galton
Éxito: la bollilla cae hacia la derecha al golpear
con una clavija, con una probabilidad igual a
n: la cantidad de clavijas que gopeará la bola es
igual a la catidad de filas de clavijas de la
máquina.
Si al caer la bollilla se dirige veces hacia la
derecha, acabará en el canal (contenedor) -
ésimo.
El número de sendas o caminos para llegar al
-ésimo canal es .
0, 5
k
k
k
C
k
n
p(k) = C
k
n p
k
(1 − p)
n−k
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23. Ley Débil de los Grandes Números (LDGN)
Para el caso de la proporción muestral
Para el caso de la media muestral
lim
n→∞
P (|
^
θ − E(
^
θ )| ≤ d) = 1
lim
n→∞
P (| ^
p − p| ≤ d) = 1
lim
n→∞
P (|
¯
X − μ| ≤ d) = 1
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