todo lo relacionado con coordenadas polares, su graficacion y conversiones

1. El sistema de coordenadas polares
Presentamos el sistema de coordenadas polares. Para esto, fijamos un punto del plano que
lo denotaremos con O y lo llamaremos polo u origen. Partiendo de O construimos un rayo
(semirrecta) al que llamaremos eje polar. Es usual tomar este rayo horizontalmente,
coincidente con semieje positivo de las abscisas, del sistema cartesiano. A cada par
ordenado de números reales (r, Ѳ) asociamos un único punto P del plano, del modo
siguiente: construimos el rayo del plano que partiendo de O forman un ángulo Ѳ (en
radianes) con el eje polar como lado inicial. Para construir este rayo nos movemos en
sentido contrario a las agujas del reloj si Ѳ es positivo, y en el sentido de las agujas si Ѳ es
negativo. Consideramos tres casos:
1. Si r>0, P es el punto que esta sobre el lado terminal del ángulo Ѳ a una distancia
igual a r del polo.
2. Si r<0, P es el punto que está en el rayo opuesto al lado terminal del ángulo y que
está a una distancia igual | 𝑟| = −𝑟 del polo.
3. Si r=0, P es el polo, o sea P=0
Esta correspondencia entre el par ordenado (r, Ѳ) y con el punto P la denotaremos
así P(r, Ѳ), y diremos que r y Ѳ son coordenadas polares de P.
Conversión de coordenadas
El siguiente teorema nos da las fórmulas que nos permiten cambiar coordenadas
polares a rectangulares y viceversa.
Teorema: si las coordenadas polares y rectangulares de un punto son (r, Ѳ) y (x, y),
entonces
1. 𝑥 = 𝑟cos Ѳ
2. 𝑦 = 𝑟 sin Ѳ
3. 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
4. tan Ѳ =
𝑦
𝑥
Gráficos de Ecuaciones Polares
El grafico de una ecuación polar F(r, Ѳ)=0 está conformado por todos los
puntos P del plano que tienen al menos una representación polar (r, Ѳ) que
satisface la ecuación. Una parte muy importante de ecuaciones la
constituyen las funciones
𝑟 = 𝑓(Ѳ)

2. Teniendo en cuenta que las coordenadas (r, Ѳ) y ((−1) 𝑛
𝑟, Ѳ+nπ)
representan al mismo punto, la gráfica de r=f (Ѳ) es la misma que la de:
(−1) 𝑛
𝑟 = 𝑓(Ѳ + 𝑛𝜋), 𝑛 ∈ ℤ
Recordemos que, en coordenadas rectangulares, si c>0, la gráfica de y=f(x-c)
se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades a la derecha, y la
gráfica de y=f(x+c) se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades
a la izquierda. Este criterio, en términos de coordenadas polares dice:
Si α>0, entonces para obtener la gráfica de:
1. 𝑟 = 𝑓(Ѳ − 𝛼) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en
sentido anti horario.
2. 𝑟 = 𝑓(Ѳ + 𝛼) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en
sentido horario.
Criterios de simetría en coordenadas polares
El grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al
1. Eje polar si al reemplazar (r, Ѳ) por (-r,-Ѳ) o (r, π-Ѳ) en la ecuación se
obtiene, una ecuación equivalente.
2. Eje
𝜋
2
si al reemplazar (r,Ѳ) por (r, π-Ѳ) o (-r, -Ѳ)