Integrales Impropias y sus tipos

1. Integración Impropia
Integral Impropia del tipo I
a) Si ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
existe para todo numero t≥a, entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 = lim
𝑡→∞
∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
∞
𝑎
Siempre que este límite exista como numero finito.
b) Si ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
existe para todo numero t≤b entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 =
𝑏
−∞
lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
Siempre que este límite exista como numero finito.
Las integrales impropias se denominan convergentes si existe el límite
correspondiente, y divergentes si el límite no existe.
c) Si ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
∞
𝑎
y ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑎
−∞
son convergentes entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 =
∞
−∞
∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
∞
𝑎
𝑎
−∞
Integral Impropia del tipo II
a) Si f es continua en [a,b) y discontinua en b, entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
𝑡→𝑏− ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑡
𝑎
si este límite existe.
b) Si f es continua en (a, b] y discontinua en a, entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
𝑥→𝑎+
∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑡
la integral ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es convergente si el limite existe y
diverge si el limite no existe.
c) Si f tiene una discontinuidad en c, a<c<b y tanto ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
y ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
son
convergentes, entonces ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓( 𝑥). 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Ejercicios Resueltos:
Estudie la naturaleza de las siguientes integrales:
1)∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
1
0
2)∫
𝑑𝑥
(1+𝑥).√𝑥
∞
0
Solución:
1) Estudiemos ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
2/3
0
y ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
1
2/3

2. ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
Haciendo cambio de variable tenemos que: u=2-3x => du=-3.dx
=> −
𝑑𝑢
3
= 𝑑𝑥
= -
1
3
∫
𝑑𝑢
𝑢
= -
1
3
ln| 𝑢| + 𝑐
=−
1
3
ln|2 − 3𝑥| + 𝑐
∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
= lim
𝑡→2/3− ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
2/3
0
2/3
0
= lim
𝑡→2/3−
−
1
3
ln|2 − 3𝑥|] 𝑡
0
= lim
𝑡→2/3−
−
1
3
ln|2 − 3𝑡| +
1
3
ln|2|=-∞
Así, ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
2/3
0
diverge, por tanto ∫
𝑑𝑥
2−3𝑥
1
0
diverge.
2) Estudiemos ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
1
0
, ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
∞
1
∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
=∫
2𝑢.𝑑𝑢
𝑢(1+𝑢2)
u2=x
2u.du=dx =2 ∫
𝑑𝑢
1+𝑢2
=2tan−1
(𝑢) + 𝑐
=2tan−1
(√ 𝑥 ) + c
∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
1
0
= lim
𝑡→0+
∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
1
𝑡
= lim
𝑡→0+
2 tan−1
(√ 𝑥 )]1
𝑡
= lim
𝑡→0+
2tan−1(1) − 2 tan−1
√ 𝑡 =
𝜋
2
∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
∞
1
= lim
𝑡→∞
∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
𝑡
1
=lim
𝑡→∞
2 tan−1
√ 𝑥] 𝑡
1
= lim
𝑡→∞
2 tan−1
√ 𝑡 -2tan−1
(1)
= π-2 tan−1
(1)
Así, ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
∞
0
= ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
+ ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
∞
1
1
0
=2 tan−1(1) + 𝜋 − 2 tan−1
(1)
=π
Por lo tanto, la integral ∫
𝑑𝑥
(1+𝑥)√ 𝑥
∞
0
converge.