INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Universidad de los Andes-CODENSA
Programación Lineal y el Método Simplex.
Programación No Lineal y los Teoremas de Lagrange y Khun-
Tucker.

Introducción
La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el
proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de
este tipo se deben tener en cuenta:
1. Identificar las posibles decisiones a tomar.
2. Determinar que decisiones resultan admisibles (Conjunto de restricciones).
3. Cálculo coste/beneficio de cada decisión (Función objetivo).
Cualquier problema de programación requiere identificar cuatro componentes
básicos:
1. El conjunto de datos
2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios
respectivos de definición.
3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de
soluciones admisibles.
4. La función lineal que debe ser optimizada.

Problema del Transporte
Cierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u1,…,um, desde cada
uno de m orígenes, y recibirse en cantidades v1,…,vn, en cada uno de los n destinos.
Determine las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, para
conseguir minimizar el coste de envío.
1.Datos
m: el número de orígenes
n: el número de destinos
ui: la cantidad que debe enviarse desde el origen i
vj: la cantidad que debe ser recibida en el destino j
cij: el coste de envío de una cantidad de producto desde el origen i al destino j
2.Variables
xij: la cantidad que se envía desde el origen i al destino j. Se supone que las
variables deben ser no negativas.

(1)
3.Restricciones: Las restricciones del problema son:
(2)
El primer conjunto de condiciones indica que la cantidad del producto que parte
del origen i debe coincidir con la suma de las cantidades que parten de ese origen
hasta los distintos destinos j=1,…,n.
El segundo conjunto de condiciones asegura que el total recibido en el destino j
debe corresponder a la suma de todas las cantidades que llegan a ese destino y
parten de los distintos orígenes i=1,…,m.
Los grupos de restricciones presentados en (1) y (2) muestran las restricciones de
las variables y del problema, respectivamente.
4.Función a maximizar
En el problema de transporte nos interesa minimizar los costos de envío (suma de
los costos de transporte de todas las unidades). Es decir, se debe minimizar:
(3)
n1,...,jm;1,...,i;0 ==≥ijx
∑
∑
=
=
==
==
m
1i
jij
n
1j
iij
n1,...,j;vx
m1,...,i;ux
∑ ∑
= =
=
m
i
n
j
ijij xcZ
1 1

 Ejemplo – El Problema del Transporte:
Considérese el problema de transporte mostrado en la figura 1, donde m=3
orígenes, n=3 destinos, u1=2, u2=3, u3=4, v1=5, v2=2, v3=2.
Figura 1. Esquema del problema de transporte.
En este caso el sistema es




















=
















































=
2
2
5
4
3
2
100100100
010010010
001001001
111000000
000111000
000000111
33
32
31
23
22
21
13
12
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
CX
1,2,3ji,;0 =≥ijx

Las tres primeras ecuaciones establecen la conservación del producto en los tres
orígenes y las tres últimas igualdades, la conservación del producto en los tres
destinos.
Si se concretan los valores particulares:
Para los costos de envío, el problema consiste en minimizar:
El mínimo de la función objetivo es 14, que corresponde a:










=
123
212
321
c
333231232221131211 232232 xxxxxxxxxZ ++++++++=










=
202
021
002
X

Problema de la Planificación de
la Producción
Un productor fabrica una pieza, cuya demanda varía en el tiempo, de acuerdo con
la siguiente figura.
Figura 2. Gráfico de la demanda en función del tiempo.
El productor debe atender la demanda mensual siempre. En general cualquier
problema de planificación admitirá diversas posibilidades que aseguren que la
demanda es convenientemente atendida:

a) Producción variable: El fabricante puede producir cada mes el número
exacto de unidades que le solicitan.
b) Producción Constante: El fabricante que debe atender una demanda que
cambia con el tiempo puede producir por encima de dicho nivel en periodos
de baja demanda y almacenar la sobreproducción para los periodos de
demanda mayor.
Los problemas de esta naturaleza ilustran las dificultades que surgen cuando
objetivos contrarios están presentes en e un sistema dado.
1. Datos
n: el número de meses a considerar
s0: la cantidad almacenada disponible al principio del periodo considerado
dt: el número de unidades (demanda) que se solicita en el mes t
smax
: la capacidad máxima de almacenamiento
at: el precio de venta en el mes t

bt: el costo de producción en el mes t
ct: el costo de almacenamiento en el mes t
2. Variables
xt: el número de unidades producidas en el mes t
st: el número de unidades almacenadas en el mes t
3. Restricciones
La demanda dt en el mes t debe coincidir con el cambio en el almacenamiento ,
st-1–st, más la producción xt en el mes t; la capacidad de almacenamiento no puede
excederse; y la demanda dt, almacenamiento st, y producción xt deben ser no
negativas.
1
max
; 1,2,...,
; 1,2,...,
, 0
t t t t
t
t t
s x d s t n
s s t n
s x
− + − = =
≤ =
≥

4.Función a Optimizar
Una posibilidad consiste en maximizar el ingreso después de descontar los
costes de la variación de la producción y los inventarios.
Otra posibilidad consiste en minimizar los costos de almacenamiento:
1
( )
n
t t t t t t
t
Z a d b x c s
=
= − −∑
1
n
t t
t
Z c s
=
= ∑

 Ejemplo – El Problema de la Planificación de la Producción:
Considérese la función de demanda en función del tiempo mostrada en la siguiente
tabla:
Tabla 1. Demanda en función del tiempo.
Supóngase que la cantidad almacenada inicialmente es s0=2. Entonces el sistema se
transforma en:
1
2
3
4
1
2
3
4
1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 3
; , ; 1,2,3,4
0 1 1 0 0 0 1 0 6
0 0 1 1 0 0 0 1 1
s
s
s
s
Cx st xt o t
x
x
x
x
 
 ÷
 ÷
 ÷−   
 ÷ ÷  ÷−  ÷ ÷  ÷= = ≥ =
 ÷ ÷  ÷−
 ÷ ÷  ÷
−    ÷
 ÷
 ÷ ÷
 

Donde el cero en la matriz de la derecha procede a restar la demanda para t=1 del
almacenamiento inicial.
Si se maximiza el beneficio después de descontar los costos y los inventarios, y se
toma at=3, bt=1, ct=1, el problema de optimización se convierte en:
Maximizar
Sujeto a las restricciones ya mencionadas.
Resolviendo este problema encontramos que el valor máximo es:
Lo que implica ningún almacenamiento.
1 2 3 4 1 2 3 436Z x x x x s s s s= − − − − − − − −
1 2 3 4 1 2 3 426 para ( , , , , , , , ) (0,0,0,0,0,3,6,1)T
Z x s s s s x x x x= = =

Problema de la Dieta
Se conocen los contenidos nutritivos de ciertos alimentos, sus precios y la cantidad
mínima diaria de nutrientes aconsejada. El problema consiste en determinar la
cantidad de cada alimento que debe comprarse para satisfacer los mínimos
aconsejados y alcanzar un precio total mínimo.
1.Datos
m: el número de nutrientes.
n: el número de Alimentos.
aij: la cantidad del nutriente i en una unidad del alimento j.
bi: la cantidad mínima del nutriente i aconsejada.
cj: el precio de una unidad del alimento j.

2.Variables
xj: la cantidad del alimento j que debe adquirirse.
3.Restricciones
Como la cantidad total de un nutriente dado i es la suma de las cantidades de los
nutrientes en todos los alimentos y las cantidades de alimentos deben ser no
negativas, entonces tenemos:
4.Función a Minimizar
En el problema de la dieta se esta interesado en minimizar el precio de la dieta:
Minimizar
Donde cj es el precio unitario del alimento j.
1
; 1,...,
0; 1,...,
n
ij j i
j
j
a x b i m
x j n
=
≥ =
≥ =
∑
1
n
j j
j
Z c x
=
= ∑

 Ejemplo – El Problema de la Dieta:
Considere un caso con cinco nutrientes y con los mínimos aconsejados para los
nutrientes digeribles (DN), proteínas digeribles (DP), calcio (Ca), y fósforo
(Ph) dados en la siguiente tabla:
Tabla 2. Contenidos nutritivos de cinco alimentos
Las restricciones se convierten en
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
78.6 70.1 80.1 67.2 77.0 74.2
6.50 9.40 8.80 13.7 30.4 14.7
0.02 0.09 0.03 0.14 0.41 0.14
0.27 0.34 0.30 1.29 0.86 0.55
, , , ,
x
x
x
x
x
x x x x x
 
    ÷
 ÷  ÷ ÷
 ÷  ÷ ÷≥
 ÷  ÷ ÷
 ÷  ÷ ÷
    ÷
 
0≥

Supóngase que los precios unitarios de los alimentos son:
De este modo se tiene el siguiente PPL:
Minimizar
Sujeto a las restricciones ya mencionadas.
Con la solución de este sistema se obtiene la solución
1 2 3 4 51, 0.5, 2, 1.2, 3c c c c c= = = = =
1 2 3 4 50.5 2 1.2 3Z x x x x x= + + + +
0.793 en el punto (0,1.530,0,0.023,0)Z =

Problema del Flujo en un a
Red
Supóngase una red de transporte (conducción hidráulica, ferrocarril, carreteras,
etc.) a través de la cual se desea enviar un cierto material (aceite, grano, vehículos,
mensajes, etc.) de un conjunto de nodos de la red, llamados nodos fuente, a un
conjunto de puntos de destino, llamados nodos sumideros. Además de éstos, la red
contiene nodos intermedios, donde no tienen lugar ni entradas ni salidas de
material. Sea xij el flujo que va del nodo i al nodo j (positiva en la dirección ij ,y
negativa en otro caso).
1.Datos
g: el grafo g=(N,A) que describe la red de transporte, donde N es el conjunto de
nudos, y A es el conjunto de conexiones.
n: el número de nudos en la red.
fi: el flujo entrante (positivo) o saliente (negativo) en el nudo i
mij: la capacidad máxima de flujo en la conexión entre el nudo i y el j
cij: el precio de mandar una unidad del bien desde el nudo i al nudo j.

2. Variables
xij: el flujo que va del nodo i al nodo j
3. Restricciones: Las restricciones del problema son:
Imponiendo la condición de conservación del flujo en todos los nudos, y las
restricciones sobre la capacidad de las líneas o conexiones, se obtienen las
siguientes restricciones:
Restricciones de conservación del flujo
(4)
Restricciones de capacidad de las líneas o conexiones
(5)
donde i<j evita la posible duplicación de restricciones.
4. Función a minimizar: El precio total es:
(6)
Así, debe minimizarse (6) bajo (4) y (5).
Las redes de abastecimiento de agua, los sistemas de comunicaciones, y otros,
conducen a problemas de redes de transporte como el descrito aquí.
n1,...,i;)( ==−∑ ij jiij fxx
ji; <∀≤≤− ijijij mxm
∑=
ij
jiij xcZ

 Ejemplo – El Problema de Flujo en Redes:
Considérese el problema de flujo en la red de la figura 3 donde las flechas indican
los valores positivos de las variables del flujo.
Figura 3. Esquema del problema de transporte.
En este caso el sistema es
(7)
Donde se supone que












=




























−−−
−
−
4
3
2
1
34
24
14
13
12
11100
10010
01001
00111
f
f
f
f
x
x
x
x
x
ji;
ji;
<∀≤−
<∀≤
ijij
ijij
mx
mx
2)(7,-4,-1,-)f,f,f,(fyj,i,4 4321 =<∀=ijm

Supóngase además que . El problema de optimización es minimizar
Sometido a (7). Mediante el software adecuado puede obtenerse la siguiente
solución:
Esta solución indica que existe un conjunto de infinitas soluciones, todas ellas
proporcionando el mismo valor óptimo, Z=5.
ji,;1 ∀=ijc
3424141312 xxxxxZ ++++=
10;
2
0
4
1
4
)1(
2
4
4
3
0
puntoelen5
34
24
14
13
12
≤≤
















−
−
−+
















−
=
















= λλλ
x
x
x
x
x
Z

Problema de la Cartera de
Valores
Un inversor es propietario de participaciones de varios valores. Mas
concretamente es dueño de bi participaciones de los valores bursátiles Ai, i=1,2,..m.
Los precios actuales de estos valores son vi. Considérese que se pueden predecir los
dividendos que se pagarán al final del año que comienza y los precios finales de los
diferentes valores bursátiles, esto es, Ai pagará di y tendrá un nuevo precio wi.
El objetivo es ajustar la cartera, es decir, el número de participaciones en cada
valor, de modo que se maximicen los dividendos
1.Datos
m: el número de valores bursátiles
bi: el número actual de participaciones del valor bursátil i
vi: el precio actual del valor i por participación
di: el dividendo que se pagará al final del año en el valor bursátil i
wi: el nuevo precio del valor bursátil i

r: porcentaje mínimo r del valor actual de toda la cartera que no debe superarse en
el ajuste
s: porcentaje mínimo del valor total actual que no debe superarse por el valor
futuro total de la cartera, para hacer frente a la inflación
2. Variables
xi: el cambio en el número de participaciones del valor bursátil i.
3. Restricciones
Se deben asegurar ciertas condiciones que debe satisfacer una cartera bien
equilibrada:
El número de participaciones debe ser no negativo
Exigimos que el capital asociado a todo valor concreto, después del ajuste,
represente al menos una cierta fracción r del capital total actual de la cartera
i ix b≥ −
( ) ( );i i i j j j
i
r v b x v b x j
 
+ ≤ + ∀ ÷
 
∑

El capital total de la cartera no debe cambiar en el ajuste pues se supone que no se
invierte dinero adicional
Para hacer frente a la inflación, el capital total en el futuro debe ser al menos un
cierto porcentaje s mayor que el capital invertido actualmente:
4.Función a optimizar
Nuestro objetivo es maximizar los dividendos
La tarea se concreta al determinar el valor máximo de los dividendos sujeto a todas
las restricciones anteriores.
0i i
i
v x =∑
( ) (1 )i i i i i
i i
w b x s v b+ ≥ +∑ ∑
( )i i i
i
Z d b x= +∑

 Ejemplo – El Problema de la Cartera de Valores:
Se tienen participaciones de tres valores bursátiles, 75 de A, 100 de B y 35 de C,
con precios 20, 20 y 100 dólares, respectivamente. Se dispone de la siguiente
información: A no pagará dividendos y alcanzará una nueva cotización de 18
dólares, B pagará 3 dólares por participación y la nueva cotización será 23
dólares, y C pagará 5 dólares por participación con una nueva cotización de
102 dólares. Si se toman los porcentajes r como 25 y s, 0.30, todas las
restricciones se escriben como:
[ ]
[ ]
[ ]
75
100
35
0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(75 )
0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(100 )
0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 100(35 )
20 20 100 0
18(75 ) 23(100 ) 102(35
A
B
C
A B C A
A B C B
A B C C
A B C
A B
x
x
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x
≥ −
≥ −
≥ −
+ + + + + ≤ +
+ + + + + ≤ +
+ + + + + ≤ +
+ + =
+ + + + ) 1.03(7000)Cx+ ≥

Después de varias simplificaciones , las restricciones anteriores se transforman en:
La solución obtenida es:
75
100
35
15 5 25 250
5 15 25 250
5 5 75 1750
20 20 100 0
18 23 102 270
A
B
C
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C
x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
≥ −
≥ −
≥ −
− − ≥
− + − ≥ −
− − + ≥ −
+ + =
+ + ≥
612.5 dólares y 12.5, 75, 17.5A B CZ x x x= = = = −

Problema de Distribución de
Energía
Los generadores de energía, así como las demandas de la misma se sitúan en una
red energética. El objetivo de este problema consiste en decidir la energía a
producir por cada generador de forma tal que se satisfagan las diferentes
condiciones técnicas de la red y los generadores, así como las demandas, al mínimo
coste.
Cada línea de transmisión de una red de energía transmite energía de un bus a
otro. La energía transmitida es proporcional a la diferencia de los ángulos de estos
buses (de forma similar a que el agua que fluye en una tubería que conecta dos
tanques es proporcional a la diferencia de alturas del agua en ambos). La constante
de proporcionalidad tiene un nombre divertido ¨susceptibilidad¨. La potencia
transmitida desde el bus i al j a través de la línea i-j es por tanto
(8)
donde Bij es la susceptibilidad de la línea i-j, y y los ángulos de los buses i y j,
respectivamente. Por razones físicas, la cantidad de energía transmitida a través de
una línea tiene un límite. Este límite está relacionado con consideraciones térmicas
o de estabilidad. Por tanto, una línea energética debe ser operada de forma tal que
su límite de transmisión no sea excedido.
)( jiijB δδ −
iδ jδ

Esta condición puede formularse como
(9)
donde es la capacidad de transmisión de la línea i-j. Debe notarse que la potencia
transmitida es proporcional a la diferencia de ángulos y no, a un ángulo dado.
Por tanto, puede fijarse el valor de un ángulo arbitrario a 0, y tomarlo como
origen. Es decir, para un bus arbitrario k:
(10)
Una consecuencia que se deriva de esta posibilidad de fijar arbitrariamente un
origen es que los ángulos son variables no restringidas en signo. La potencia
generada por un generador es una magnitud positiva limitada inferiormente,
debido a las condiciones de estabilidad (de forma similar a la de un automóvil,
que no puede moverse a una velocidad inferior a un cierto límite), y
superiormente, debido a límites térmicos (similarmente a la de un automóvil
que no puede moverse a más de una cierta velocidad máxima). Las restricciones
anteriores conducen a:
(11)
donde pi es la potencia producida por el generador i, y y son constantes
positivas que representan, respectivamente, el mínimo y el máximo de las
potencias generadas por el generador i.
0=kδ
ijjiijij PBP ≤−≤− )( δδ
ijP
iii PpP ≤≤
iPiP

En todo bus, la potencia que entra debe ser igual a la potencia que sale (ley de la
conservación de la energía), que puede escribirse como
(12)
donde es el conjunto de buses conectados a través de las líneas al bus i y Di la
demanda asociada al bus i.
Como se ha indicado anteriormente, la potencia transmitida a través de toda línea
es limitada, por tanto
(13)
1.Datos
n: el número de generadores.
: la mínima energía de salida asociada al generador i.
: la máxima energía de salida asociada al generador i.
Bij: la susceptancia de la línea i-j.
: la capacidad máxima de transmisión de la línea i-j.
Ci: el coste de producir energía en el generador i.
: el conjunto de buses conectados a través de líneas al bus i.
Di: la demanda asociada al bus i.
i;)( ∀=+−∑
Ω∈
ii
j
jiij DpB
i
δδ
iΩ
i,j,)( i ∀Ω∈∀≤−≤− ijjiijij PBP δδ
iP
iP
ijP
iΩ

2. Variables
pi: la energía producida por el generador i.
: el ángulo del bus i.
3. Restricciones: Las restricciones de este problema son
(14)
4. Función a minimizar: El objetivo es minimizar el precio total de la
producción de potencia
(15)
donde Ci es el precio de la producción del generador i, y n el número de
generadores.
iδ
n1,2,...,imax;min
,...,2,1;jmax;)(max
,..,2,1i;)(
0
i
=≤≤
=Ω∈∀≤−≤−
==+−
=
∑
Ω∈
ii
ijjiijij
j
iijiij
k
PpiP
niPBP
nDPB
i
δδ
δδ
δ
∑
=
=
n
i
ii pCZ
1

 Ejemplo – El Problema de Distribución de Energía:
Considérese el sistema de la figura 4:
Figura 4. Esquema del problema de Distribución de Energía.
El generador del bus 1 produce un coste 6 y sus límites inferiores y superiores son,
respectivamente, 0.15 y 0.6. El coste de producción del generador del bus 2 es 7
y sus límites de potencia son, respectivamente, 0.1 y 0.4. La línea 1-2 tiene una
susceptancia 2.5 y un límite de transmisión máximo de 0.3, la línea 1-3 tiene una
susceptancia de 3.5 y un límite de transmisión de 0.5, y, finalmente, la línea 2-3
tiene una susceptancia de 3.0 y un límite de transmisión de 0.4. Este sistema
tiene una demanda simple localizada en el bus 3 con un valor de 0.85. Se
considera un periodo de una hora, y se toma como origen el bus 3.

Este problema puede escribirse como:
minimizar
sometido a
Las variables de optimización son p1, p2, y .
La solución de este problema es:
La solución óptima requiere que el generador 1 produzca 0.565 y el generador 2
produzca 0.285.
21 76 pp +
5.0)(5.35.0
4.0)(0.34.0
3.0)(5.23.0
4.010.0
6.015.0
85.0)(0.3)(5.3
0)(5.2)(0.3
0)(5.2)(5.3
0
31
32
21
2
1
3231
22123
11213
3
≤−≤−
≤−≤−
≤−≤−
≤≤
≤≤
=−+−
=+−+−
=+−+−
=
δδ
δδ
δδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δ
P
P
p
p
1δ 2δ
TT
.117,0)(-0.143,-0,85)(0.565,0.2p,385.5 === δZ

Introducción a la Programación
Lineal
 Problema de Programación Lineal (PPL): La forma mas general de un
problema de programación lineal consiste en minimizar o maximizar:
Sujeto a:
donde p ,q y m son enteros positivos tales que .
 Solución Factible: Un punto
que satisface todas las restricciones se denomina solución factible. El conjunto de
todas esas soluciones es la región de factibilidad.
∑
=
==
n
j
jj xcXfZ
1
)(
∑
∑
∑
=
=
=
=≤
=≥
==
n
j
ijij
n
j
ijij
n
j
ijij
bxa
bxa
bxa
1
1
1
1-1,2,...pi,
1-1,2,...pi,
1-1,2,...pi,
mqp ≤≤≤1
),...,,( 21 nxxxX =

 Solución Óptima: Un punto factible tal que para cualquier
otro punto factible X se denomina una solución óptima del problema.
Típicamente n es mucho mayor que m. Lo que distingue a un PPL de otros
problemas de optimización es que todas las funciones que aparecen son lineales.
En un PPL la región factible es un Politopo o un Poliedro.
El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sin
embargo, las condiciones de optimalidad garantizan por lo general óptimos
locales. Sin embargo, los PPL presentan propiedades que hacen posible
garantizar el óptimo global:
o Si la región factible esta acotada, el problema siempre tiene una solución
(condición suficiente pero no necesaria).
o El óptimo de un PPL es siempre un óptimo global.
o Si x e y son óptimos de un PPL, entonces cualquier combinación lineal de ellos
es también un óptimo. Nótese que una combinación lineal convexa de óptimos
no cambia el valor de la función objetivo.
o La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la
región factible.
X
~
)
~
()( XfXf ≥

 Ejemplo – Solución Única:
Maximizar
Sometido a
tiene por solución única Z=12, que se alcanza en el punto P=(3,3)
Figura 5. Ejemplo Solución Única.
213 xxZ +=
0
1
0
42
3
6
2
1
21
2
21
1
21
21
≤−
−≤−−
≤−
≤−
≤
≤+
≤+−
x
xx
x
xx
x
xx
xx

 Ejemplo – Solución Múltiple:
Si la función objetivo del problema anterior se reemplaza por:
el problema tiene múltiples soluciones
Figura 6. Ejemplo Solución Múltiple.
En efecto, cualquier punto del segmento con extremos en los puntos (2; 4)T
y
(3; 3)T
da la solución óptima del problema (Z = 6).
213 xxZ +=

 Ejemplo – Solución No Acotada:
Maximizar
Sometido a
tiene solución no acotada
Figura 7. Ejemplo No Acotada.
213 xxZ +=
0
1
0
2
1
21
2
21
≤−
−≤−−
≤−
≤+−
x
xx
x
xx

 Ejemplo – Solución No Factible:
Maximizar
Sometido a
No tiene solución factible porque la nueva restricción
no es compatible con las anteriores.
213 xxZ +=
021 ≤+ xx
0
0
1
0
42
3
6
2
21
1
21
2
21
1
21
21
≤+
≤−
−≤−−
≤−
≤−
≤
≤+
≤+−
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx

Problema en la Forma
Estándar
Un PPL definido en la forma:
Minimizar
Sometido a
Se dice que está en forma estándar. Ello implica:
1. La función objetivo debe minimizarse.
2. las restricciones deben ser de igualdad.
3. El vector debe ser no negativo.
4. Las variables x deben ser no-negativas.
Cualquier problema puede ponerse en forma estándar.
XCZ T
=
ox
bAx
≥
=
m
b ℜ∈

 Paso a un Problema de Minimización:
Un problema de maximización puede convertirse en uno de minimización
cambiando el signo de la función objetivo. El problema:
Maximizar
es equivalente al problema
Minimizar
sometidos ambos a las mismas restricciones.
 Paso a Variables No Negativas:
El conjunto de r variables no restringidas puede escribirse en función de
otro conjunto de r + 1 variables no negativas:
De esta forma se añade una variable en vez del método usual de añadir r nuevas
variables.
 Paso a Restricciones de Igualdad:
Se puede conseguir usando variables de holgura:
XCZ T
=max
XCZ T
−=max
{ }rxx ,...,1
{ }***
,,...,1
xxx r
1,2,...ri;**
=−= xxx ii

o La desigualdad:
con , equivale a la igualdad
o La Desigualdad:
con , equivale a la igualdad
ininii bxaxaxa ≤+++ ...2211
01 ≥+nx
inninii bxxaxaxa =++++ +12211 ...
ininii bxaxaxa ≥+++ ...2211
01 ≥+nx
inninii bxxaxaxa =−+++ +12211 ...

 Ejemplos – Transformación a la Forma Estándar:
o Maximizar
sometido a
Este problema en la forma estándar es
Minimizar
sometido a
o Maximizar
sometido a
321 532 xxxZ +−=
0,
33
2
21
321
21
≥
≥−+
≤+
xx
xxx
xx
)(532 7621 xxxxZ −−+−=
0,,,,,
3)(3
2
765421
57621
421
≥
=−−−+
=++
xxxxxx
xxxxx
xxx
313 xxZ −=
0
1
1
1
1
31
321
321
≥
−≥+
≤−−
=++
x
xx
xxx
xxx

Este problema en la forma estándar es
Minimizar
sometido a
3313 zyxZ −+−=
0,,,,,,,
1
1
1
2133221
2331
133221
33221
≥
−=−−+
=++−+−
=−+−+
uuzyzyx
uzyx
uzyzyx
zyzyx

El Método Simplex
Sea el PPL:
Minimizar
Sujeto a
Donde es una matriz de costos y A es una matriz de m x n.
El método simplex (MS) consta de dos etapas:
oEtapa de Iniciación
El conjunto inicial de restricciones se transforma en otro equivalente de
igualdades, asociadas a una solución básica.
Los valores de las variables básicas se transforman en no negativos (se
obtiene una solución básica factible). Esta etapa se llama reguladora.
xcxf T
=)(
,0
,0;
≥
≥=
x
bbAx
T
ncccc ),...,,( 21=

oEtapa de Iteraciones Estándar
En esta etapa los coeficientes de la función de costo se transforman en no
positivos y el valor de la función de costo se mejora iterativamente, hasta obtener
la solución óptima, se detecta solución no factible, o solución no acotada. En este
proceso iterativo se obtienen diferentes soluciones factibles. Para este fin se utiliza
la llamada transformación elemental de pivotaje.
Fase de Iniciación: Una de las peculiaridades del SM consiste en incorporar una
nueva variable Z, igual a la función objetivo del problema, y la restricción asociada
Las restricciones son
Y la función objetivo
Donde (B N) es una partición de la matriz A, y XB y XN definen otra partición de
x, en variables básicas y no básicas, respectivamente.
nn xcxcZ ++= ...11
b
x
x
NB
N
B
=





)(










=
N
B
T
N
T
B
x
xccZ
1
)0(

Usando la ecuación de restricciones podemos obtener
donde
Ahora, de la ecuación de la función objetivo y la anterior ecuación obtenemos
donde
Para obtener
NNB
NB
UxvNxBbBx
bNxBx
+=−=
=+
−− 11
NBU
bBv
1
1
−
−
−=
=
N
N
T
N
T
B
T
B
N
T
NN
T
B
wxuZ
xcUcvcZ
xcUxvcZ
+=
++=
++=
0
)(
)(
T
N
T
B
T
B
cUcw
vcu
+=
=0












=





NB xUv
wu
x
Z 10

El MS comienza con el conjunto de restricciones
Donde es una partición del conjunto de variables . Las matrices
se obtienen resolviendo las restricciones en xB
donde son los coeficientes de costo asociados a xB y xN, respectivamente.
Podemos entonces obtener un nuevo conjunto equivalente de restricciones con la
misma estructura
donde t se refiere al número de la iteración y t=0 es la iteración inicial.










−−=










−−












−+−=










−−
NNB x
Z
xUv
wu
x
Z
T
11
)0(
)0()0(
)0()0(
0
NB xx ∪ { }nxxx ,...2,1
)0()0(
y Uv
T
N
T
B
T
B cUcwVCU +== )0()0()0()0(
,
T
NcyT
Bc










−−=










−−












−+−=










−−
)(
)(
)()()(
)()(
)(
)(
110
t
t
ttt
tt
t
t
NN
T
B
x
Z
xUv
wu
x
Z

Programación No Lineal
El problema más general de programación no lineal (PPNL), puede plantearse
como:
Minimizar
Sujeto a
En forma compacta el modelo anterior puede escribirse:
Minimizar
Sujeto a
),...,( 1 nxxfZ =
0),...,(
0),...,(
0),...,(
0),...,(
1
11
1
11
≤
≤
=
=
nm
n
nl
n
xxg
xxg
xxh
xxh


)(xfZ =
0)(
0)(
≤
=
xg
xh

Donde es el vector de las variables de decisión, es la
función objetivo, y y , donde y
son las restricciones de desigualdad y de igualdad,
respectivamente.
La figura 8a muestra que el mínimo del problema se alcanza en el conjunto de
puntos en los que la tangente es horizontal.
Figura 8. Mínimos Locales y Globales.
Sin embargo, si se busca el mínimo de la función:
en , se encuentra uno con dificultades, pues no tiene puntos con derivada nula.
Sin embargo, el hecho de que f tienda a cero cuando x tiende a ±∞ y que tome
valores negativos, indica que f debe alcanzar su mínimo en algún lugar.
T
nxxx ),...,( 1= ℜ→ℜn
f :
mn
g ℜ→ℜ: ln
h ℜ→ℜ: T
m xgxgxg ))(),...,(()( 1=
T
l xhxhxh ))(),...,(()( 1=
3/23/2
)2()2()( −−+= xxxf
ℜ

Un análisis más profundo de f revela que el mínimo se alcanza en , pero f no
es diferenciable en este punto. Este simple ejemplo muestra que se debe tener
especial cuidado cuando las funciones que intervienen no son diferenciables.
Figura 9. Grafica de la función .
Hay además otro problema igualmente relevante, referente a los problemas no
lineales diferenciables. Para ilustrarlo, se considera la función objetivo siguiente
Figura 10. Grafica de la función .
2−=x
3/23/2
)2()2()( −−+= xxxf
)cos(sin10)10/1()( 2
xxxxxf −+=

Esta función es diferenciable en todo , pero tiene un conjunto infinito de puntos
con tangente horizontal (puntos en los que f´(x) = 0). Estos puntos reciben el
nombre de puntos estacionarios y todos ellos, salvo uno, son óptimos locales.
Puesto que si se restringe la atención a un pequeño entorno de ellos, se convierten
en máximos o mínimos locales. La ecuación f´(x) = 0 no puede ser resuelta en
forma cerrada, por lo que se deben utilizar métodos numéricos. La existencia de
un conjunto infinito de puntos candidatos y la ausencia de un método para
generarlos explícitamente, conducen a la imposibilidad de conocer, con total
certidumbre, si un determinado candidato es el óptimo global.
Estamos interesados en la clase de funciones tales que sus mínimos locales sean
también globales. En la figura se da una función que no cumple esta condición.
Hay puntos en el intervalo que están por encima del segmento que une los
mínimos. La convexidad es aquí suficiente para evitar este comportamiento. Para
ser convexa se exige que el grafo esté por debajo del intervalo que une los
extremos.
Figura 11. Ilustración de la Propiedad de Convexidad
ℜ
[ ]*
, xx

Un PPNL puede no tener solución por:
1. La función no es acotada en S. Por ejemplo, f(x) = x, donde decrece sin
límite hasta −∞ cuando x tiende a −∞. En este caso se escribe
2. La función es acotada en S pero no se alcanza la cota inferior: en S.
Por ejemplo, la función está acotada en y la cota inferior es 0
pero es inalcanzable por f(x).
 Teorema 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)
Sea S un conjunto cerrado, acotado y no vacío de y una función
continua. El problema
Minimizar
Sujeto a
admite al menos una solución óptima.
 Corolario 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)
Sea S un conjunto cerrado y no vacío (posiblemente no acotado) de y
una función continua.
ℜ∈x
∞=∈ -)(Ínfimo Sx xf
)(Ínfimo Sx xf∈
x
exf −
=)( ℜ=S
n
ℜ ℜ→Sf :
)(xfZ =
Sx∈
n
ℜ
ℜ→Sf :

Si tenemos:
Entonces el problema es:
Minimizar
sujeto a
admite al menos una solución óptima.
Estos resultados pueden hacerse más explícitos cuando la función f es convexa.
 Definición 1 (Mínimo global)
Una función f(x) tiene un mínimo global (mínimo global estricto) en el punto ,
de S, si para todo x en S.
 Definición 2 (Mínimo local)
Una función f(x) tiene un mínimo local (mínimo local estricto) en el punto , de S,
si existe un número positivo tal que (respectivamente,
) para todo x en S tal que .
+∞=∈∞→ )(lim , xfSxx
)(xfZ =
Sx∈
x
ε
))()(()()( **
xfxfxfxf <≤
*
x
)()( xfxf ≤ )()( xfxf <
ε<−< xx0

De ello se concluye que un mínimo global es también un mínimo local. En una
dimensión es fácil ilustrar los conceptos anteriores. En la figura 11, S es el
segmento . es el conjunto de los mínimos locales, y es
el conjunto de los mínimos globales.
Figura 12. Una función con tres mínimos locales y dos globales.
Definición 3 (Diferenciabilidad)
Se dice que es diferenciable en x si existen las derivadas parciales y
, y
donde es el gradiente de f en x.
[ ]ba, { }21,, xxaS = { }2
*
,xaS =
ℜ→ℜn
f :
,
ix
f
∂
∂
n1,...,i =
0
)()()()(
lim =
−
−∇−−
→
xy
xyxfxfyf T
xy
T
nx
xf
x
xf
xf 





∂
∂
∂
∂
=∇
)(
,...,
)(
)(
1

 Definición 4 (Diferenciabilidad continua)
Una función f se dice continuamente diferenciable en si todas las derivadas
parciales son continuas en . En este caso, también es diferenciable.
Se considera el siguiente PPNL:
Minimizar
(1)
sujeto a
(2)
donde con y
son funciones continuamente diferenciables en la región factible
x
x
)(xfZ =
0)(
0)(
≤
=
xg
xh
lnn
:h,:g,: ℜ→ℜℜ→ℜℜ→ℜ mn
f ( )T
m xgxgxg )(),...,()( 1= ( )T
l xhxhxh )(),...,()( 1=
{ }0g(x),0)( ≤== xhxS

Condiciones de Karush-Kuhn-
Tucker (CKKT)
Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker constituyen el resultado más
importante de programación no lineal. Deben ser satisfechas por cualquier óptimo
restringido, sea éste local o global, y para cualquier función objetivo, ya sea lineal
o no lineal. Además, los criterios de parada de los métodos iterativos se basan en
estas condiciones. Mientras que en los problemas diferenciables sin restricciones el
gradiente se anula en los mínimos locales, esto no ocurre para problemas con
restricciones, tal como ilustra la figura 11 en el punto . Esto se debe a las
restricciones del problema. Las condiciones de Karush-Khun-Tucker generalizan
las condiciones necesarias de óptimo para los problemas con restricciones.
Figura 13. En problemas restringidos diferenciables el gradiente no es necesariamente cero en la
solución óptima
ax =

 Definición 5 (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker):
El vector satisface las condiciones de Karush-Khun-Tucker para el PPNL
(1)-(2) si existe un par de vectores y tales que
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Los vectores µ y ¸ son los multiplicadores de Khun-Tucker. La condición (6) es la
condición complementaria de holgura. La (7) son las condiciones duales de
factibilidad y requieren la no-negatividad de los multiplicadores de las
restricciones de desigualdad. Las condiciones (4)-(5) se llaman condiciones
primales de factibilidad.
Con el Lagrangiano las condiciones KKT se
escriben como
n
x ℜ∈
m
ℜ∈µ l
ℜ∈λ
m1,...,j,0
m1,...,j,0)(
l1,...,k,0)(
m1,...,j,0)(
0)()()(
11
=≥
==
==
=≤
=∇+∇+∇ ∑∑
==
j
jj
k
j
m
j
jj
l
k
kk
xg
xh
xg
xgxhxf
µ
µ
µλ
λ
)()()(),,( xgxhxfxL TT
µλλµ ++=
0),,(
0),,(
0),,(
≤∇
=∇
=∇
λµ
λµ
λµ
µ
λ
xL
xL
xLx
0
0),,(
≥
=∇
µ
λµµ µ xLT

Figura 14. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de una restricción de
igualdad y dos variables.
Figura 15. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de dos restricciones de
desigualdad y dos variables.

Casos Especiales
Si falta una restricción en un PPNL, el multiplicador asociado a la restricción
“ausente" es nulo, y la restricción se elimina de la formulación de las condiciones
de KKT. En estos casos resulta:
1.(Problemas sin restricciones) En este caso solo se tiene la condición:
2.(Problemas con restricciones de igualdad solamente) Las condiciones
de KKT son una extensión del principio clásico del método de los multiplicadores
de Lagrange. Este método sólo surge con problemas que únicamente tienen
restricciones de igualdad:
0)( =∇ Xf
lkXh
XhXf
k
k
l
k
k
,...,1,0)(
0)()(
1
==
=∇+∇ ∑
=
λ

3. (Problemas con restricciones de desigualdad solamente) Las
condiciones de KKTC son:
m1,...,j,0
m1,...,j,0)(
m1,...,j,0)(
0)()(
1
=≥
==
=≤
=∇+∇ ∑
=
j
jj
j
m
j
jj
Xg
Xg
XgXf
µ
µ
µ

 Ejemplo
Minimizar
sujeto a
Sean los multiplicadores asociados a la igualdad y las desigualdades,
respectivamente. Las condiciones de KKT son:
1. La condición de estacionariedad del Lagrangiano es:
(8)
2. Las condiciones primales de factibilidad:
(9)
21 xxZ +−=
0
0
04
0
2
1
2
2
2
2
2
1
1
≤−
≤−
≤−+
=+−
x
x
xx
xx
321 y,, µµµλ






=




−
+





−
+




−
+





+




−
0
0
1
2
1
0
0
1
2
2
1
1 1
32
2
1
1
x
x
x
λµµµ
0
0
04
0
2
1
2
2
2
2
2
1
1
≤−
≤−
≤−+
=+−
x
x
xx
xx

3. Las condiciones complementarias de holgura son:
(10)
(11)
(12)
3. Las condiciones duales de factibilidad son:
(13)
Caso I: . Si entonces usando (11), x1 = 0, y (8) implica que
Puesto que y no se cumple la condición (13), entonces los puntos KKT
deben satisfacer .
Caso II: , y . Si entonces usando (12), x2 = 0, y la relación
de (9) se obtiene x1 = 0, y con (8) resulta
por lo que todo punto KKT debe satisfacer .
0)(
0)(
0)4(
23
12
2
2
2
11
=−
=−
=−+
x
x
xx
µ
µ
µ
0,, 321 ≥µµµ
02 ≠µ 02 ≠µ
021
01
312
2
=+−+
=−−
λµµ
µ
x
12 −=µ
02 =µ
03 ≠µ 02 =µ 03 ≠µ
02
2
1 =+− xx
01=−
03 =µ

Caso III: , y . Si entonces usando (10)
resulta , y con la condición de factibilidad, resulta el sistema de
ecuaciones:
La única condición que satisface el sistema (9) es , donde y,
con (8) resulta:
cuya solución es:
que es un punto KKT
Caso IV: .Usando (8), resulta el sistema de ecuaciones
y se obtiene la solución y . De (9), se obtiene , y puesto
que se trata de un punto factible, es también un punto KKT.
01 ≠µ 032 == µµ 01 ≠µ 0422
1 2
=−+ xx
0
04
2
2
1
22
1 2
=+−
=−+
xx
xx
( )δδ ,=x
2
171+−
=δ
021
0221
1
1
=++
=−+−
λδµ
λδµδ
)21(2
2
2
1
0
)21(2
2
1
δδ
δδ
δ
λ
δδ
δδ
µ
+
−
+
−
=
>
+
−
=
0321 === µµµ
01
021 1
=+
=−−
λ
λx
1−=λ 2/11 =x 4/12
12 == xx

 Definición 6 (Restricción Activa)
Sea , y . La restricción de desigualdad se dice que es una
restricción activa en el punto si ; por otro lado, se dice inactiva si
El conjunto de los índices de las restricciones activas se denota por , es decir
 Lema 1: Las CKKT son necesarias para un óptimo local de “la mayoría” de
PPNL.
n
x ℜ∈ { }mj ,...,1∈
x 0)( =xg j
0)( ≤xg j
.0)( <xg j
)(xI
{ }0)()( == xgjxI j

Condiciones Suficientes
 Definición 7 (Función Convexa)
Sea , donde S es un conjunto convexo no vacío de . La función f se dice
que es convexa en S si para cada par de puntos x1
y x2
y cualquier escalar t tal que
0≤t≤1, se tiene
Si se cumple la desigualdad estricta anterior, f se dice que es estrictamente
convexa. Similarmente, una función f es cóncava si la desigualdad se cumple
con la desigualdad se cumple al revés, es decir, si (-f) es convexa.
 Teorema 2 ( Óptimo global y local)
Considérese la función convexa , donde S es un conjunto convexo no
vacío de . Todo mínimo local de f en S es también un mínimo global de f en S.
Además, si f es estrictamente convexa hay a lo sumo un único mínimo global.
ℜ→Sf : n
ℜ
)()1()())1(( 2121
XftXtfXttXf −+≤−+
ℜ→Sf :
n
ℜ

Las figuras 16, 17 y 18 muestran ejemplos de funciones convexa, cóncava y otra
no convexa no cóncava.
Figura 16. Ejemplo Función Convexa. Figura 17. Ejemplo Función Cóncava.
Figura 18. Ejemplo Función No Convexa, No Cóncava.

 Teorema 3 (Convexidad y diferenciabilidad)
Sea un conjunto convexo y diferenciable en S. Entonces f es
convexa en S si:
Además, f es estrictamente convexa en S si:
 Definición 8 (Función dos veces diferenciable)
Se dice que es dos veces diferenciable en el punto X si existe un vector
columna , y una matriz n x n , tal que
La matriz se llama la matriz Hesiana de f en el punto X. El elemento ij de
es la segunda derivada parcial . Por otra parte, si las
derivadas parciales son continuas, entonces f se dice dos veces continuamente
diferenciable y, entonces es una matriz simétrica.
n
S ℜ⊂ ℜ→ℜn
f :
SXXXXXfXfXf T
∈∀−∇≥− 2112121
,);()()()(
21
2112121
con,);()()()( XXSXXXXXfXfXf T
≠∈∀−∇>−
ℜ→ℜn
f :
)(Xf∇ )(2
Xf∇
0
))(()(
2
1
)()()()(
lim 2
2
=
−
−∇−−−∇−−
→ XY
XYXfXYXYXfXfYf TT
xy
)(2
Xf∇
)(2
Xf∇ ji XXXf ∂∂∂ /)(2
)(2
Xf∇

 Definición 9 (Matriz semidefinida positiva)
Una matriz simétrica A es semidefinida positiva si para cualquier vector
X. Además, si la igualdad se cumple sólo cuando x = 0, entonces A se
llama definida positiva.
 Teorema 4 (Funciones convexas)
Sea un conjunto abierto y convexo y sea dos veces
diferenciable en S. Entonces, se cumple:
1. f es una función convexa en S si es una matriz semidefinida positiva para
todo , es decir
2. f es una función estrictamente convexa en S si es una matriz definida
positiva para todo , es decir
0≥AXX T
0=AXX T
n
S ℜ⊂ ℜ→ℜn
f :
)
~
(2
Xf∇
SX ∈
~
n2
Y;0)
~
( ℜ∈∀≥∇ YXfYT
)
~
(2
Xf∇
SX ∈
~
n2
Y;0)
~
( ℜ∈∀>∇ YXfYT

Algunas funciones convexas importantes son:
1. Funciones Afines:
Sea , donde , , es una función afín. Entonces, la matriz
Hesiana es para todo . Puesto que esta función satisface el
Teorema 4, es una función convexa. Nótese que f es también cóncava puesto
que
es igual a cero.
2. Formas cuadráticas:
Sea una forma cuadrática. Si la matriz C es semidefinida
positiva, entonces f es una función convexa, ya que la matriz Hesiana de f
es
para todo X.
aXbXf T
+=)( ba yℜ∈ n
X ℜ∈
0)
~
(2
=∇ XF
n
X ℜ∈∀
~
)
~
)((2
Xf−∇
aXbCXXXf TT
++=
2
1
)(
CXf =∇ )(2

Las operaciones que conservan la convexidad son:
1. Combinaciones lineales no negativas de funciones convexas.
Sean fi(X), i = 1,…, k funciones convexas, y sean , i = 1,…, k escalares
positivos. Considérese la función . Puesto que la suma de
matrices semidefinidas positivas es también semidefinida positiva, entonces h es
una función convexa.
2. Composición primera.
Si h es convexa y T es una transformación lineal (o afín), la composición g = h(T)
también es convexa.
3. Composición segunda
Si g es convexa, y h es una función convexa no decreciente de una variable, la
composición f = h(g) también es convexa.
4. Supremo
El supremo de una familia de funciones convexas es también una función convexa.
iλ
∑
=
=
k
i
ii XfXh
1
)()( λ

Condiciones Suficientes de
Karush-Kuhn-Tucker
 Lema 2 (Problema de programación convexa)
Considérese el problema de programación convexa (PPC):
Minimizar
sujeto a
donde f es convexa y diferenciable y S es un conjunto convexo. Entonces
es un óptimo global si
 Teorema 5 (Suficiencia de las condiciones de Karush-Khun-Tucker)
Considérese el PPNL
Minimizar
sujeto a
)(XfZ =
SX ∈
SX ∈*
SXXXXf T
∈∀≥−∇ ,0*)(*)(
)(XfZ =
0)(
0)(
≤
=
Xg
Xh

Supóngase que existe una tripleta que satisface las CKKT.
Sea
. Supóngase que f(X), gi(X) para todo y
hk(X) para todo son funciones convexas en , y que hk(X) para todo
son funciones cóncavas en . Entonces es una solución global del PPNL.
Ejemplo 1– Caso Especial sin Restricciones:
Sea convexa en y diferenciable en x*
. Entonces x*
es una solución
global óptima del problema
Minimizar
si
La clase más importante de PPNL para los que las CKKT son siempre necesarias y
suficientes es la de los llamados programas convexos (PC), que consisten en
minimizar una función objetivo convexa con un conjunto de restricciones tales que
),,( λµX
{ } { }0y0 <=>= −+
kk kKkK λλ )(XIi∈
+
∈ Kk n
ℜ −
∈ Kk
n
ℜ X
ℜ→ℜn
f :
n
ℜ
n
xxfZ ℜ∈= ),(
0)( *
=∇ xf

Minimizar
Sujeto a
donde f y g son funciones convexas y continuamente diferenciables, y h es una
función afín. Un caso particular importante es el problema de programación lineal,
por lo que los resultados anteriores son totalmente aplicables a este problema.
En muchos casos tenemos el problema
Minimizar
donde r(x) y s(y) son funciones de dos variables x e y, respectivamente. Puesto que
α y no están restringidos, se trata de un problema sin restricciones, y las CKKT
son:
)(xfZ =
0)(
0)(
≤
=
xg
xh
2
))()((),( ∑ −+=
i
ii ysxrf βαβα
β
∑
∑
=−+=
∂
∂
=−+=
∂
∂
i
ii
i
iii
ysxr
f
xrysxr
f
0))()((
),(
0)())()((
),(
βα
α
βα
βα
α
βα

Mediante un reordenamiento de las anteriores Ecuaciones podemos obtener:
La solución del sistema es:
Teniendo en cuenta que maximizar una función es lo mismo que minimizar la
misma función cambiada de signo, el problema consiste en
Minimizar
sujeto a
( )
( )∑∑
∑∑∑
=+
=+
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ysnxr
ysxrxrxr
βα
βα
)(
)()()( 2
)))(()((
)()()()()(
)))(()((
)()()()(
22
2
22
∑ ∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
−
−
=
−
−
=
i i
ii
i i
iii
i i
ii
i i
ii
i i
ii
i
ii
xrxrn
ysxrxrysxr
xrxrn
ysxrysxrn
β
α
βα
21 xxZ −=
0
0
2
1
21
≤−
≤−
=+
x
x
Caxx

donde son constantes, tales que , x1 y x2 son los niveles de
inversión y de trabajo, respectivamente, y es la función de Cobb
Douglas, que da el nivel de producción como función de ambas variables, y a es el
coste por unidad de trabajo. Además hay una restricción de dinero disponible C.
Este es un PPC, pues las restricciones son lineales y la función objetivo es convexa.
0,0 >> βα 1≤+ βα
βα
21)2,1( xxxxf =

Bibliografía
 “Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y
Ciencia”, Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo García, Natalia
Alguacil, 2002.

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