El documento presenta una introducción a los conjuntos y operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Luego explica brevemente los números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Finalmente incluye un ejercicio de desigualdades con valor absoluto para resolver y graficar, junto con una breve bibliografía de dos libros sobre álgebra elemental y teoría de conjuntos.
1. Presentación
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
Guillermo Castillo
30.615.831
PNF DEPORTES
2. Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un
objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores,
letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido
como incluido de algún modo dentro de él. Un conjunto es una colección bien definida de
objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras,
otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
3. Operaciones con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento.
Ejemplo .
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
4. ‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la
operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B.
Ejemplo.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
5. ‒ Diferencia de simétrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es
el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos
A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B.
Ejemplo.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto
de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que
esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el
conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los
elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un
conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en
donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A'
estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
6. Números Reales
El conjunto de los números reales (denotado por R) incluye tanto los números racionales
(positivos, negativos y el cero) como los números irracionales; y en otro enfoque, a los
trascendentes y a los algebraicos.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples,
aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de las matemáticas, y otras
más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
7. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor
que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de
valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
Mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
8. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que
le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo
correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse,
donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x:
|x|=x si x≥ 0
9. Desigualdades con Valor
Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre y 0 es menor que 4
Así, y El conjunto solución es
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b si entonces y
11. Bibliografía
1. Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva
York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al
español por César E. Silva.
2. Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía
editorial Continental S.A. México 22, D.F. primera edición en
español.
