2. SLIDESMANIA.COM
Medidas de forma: Medidas de asimetría;
coeficiente de asimetría de Fisher. Medidas de
curtosis o apuntamiento.
Objetive:
Objetive Next class
Ejemplos
Mediana
Moda
Media Ejercicio 1
4. SLIDESMANIA.COM
Asimetría
Asimetría Next class
Ejemplos
Asimetría: esta medida nos da una noción sobre la uniformidad de la distribución de los datos alrededor
del punto central (media aritmética).
Mediana Ejercicio 1
Normal Asimetría positiva Asimetría negativa
X No son resultados positivos o negativos X
Indica la distribución de los datos
La mayoría de
datos están al
inicio
La mayoría de
datos están al
final
5. SLIDESMANIA.COM
Asimetría
Asimetría Next class
Ejemplos
Asimetría: esta medida nos da una noción sobre la uniformidad de la distribución de los datos alrededor
del punto central (media aritmética).
Mediana Ejercicio 1
Normal
𝑀𝑜 = 𝑀𝑒 = 𝑥
Asimetría positiva Asimetría negativa
Ejemplo asimetría positiva:
Salario vs Población
𝑀𝑜 < 𝑀𝑒 < 𝑥
𝑥 < 𝑀𝑒< 𝑀𝑜
La moda siempre estará en el punto que corresponde a la frecuencia más alta.
La mediana siempre estará en el medio de las dos medidas de tendencia central.
Ejemplo asimetría negativa:
Cantidad de habitantes (Europa) vs
número de años
Coeficiente de Asimetría de Fisher
𝑆𝐾 =
∙ 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛𝑆3
6. SLIDESMANIA.COM
Asimetría
Asimetría Next class
Ejemplos
Asimetría: esta medida nos da una noción sobre la uniformidad de la distribución de los datos alrededor
del punto central (media aritmética).
Mediana Ejercicio 1
Normal
𝑆𝑘 = 0
Asimetría positiva
Asimetría negativa
𝑆𝑘 > 0 𝑆𝑘 < 0
Coeficiente de Asimetría de Fisher 𝑆𝐾 =
∙ 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
𝑆𝐾 =
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
Frecuencia absoluta
Marca de clase
Media
Desviación estándar
Número de datos
𝑆𝐾 =
𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
Datos no agrupados
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Asimetría
Asimetría Next class
Ejemplos
Mediana Ejercicio 1
Datos agrupados
Datos no agrupados
Media Media
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖
𝑛
Desviación estándar Desviación estándar
𝑆 =
𝑥 − 𝑥 2
𝑛 𝑆 =
𝑓 ∙ 𝑥 − 𝑥 2
𝑛
𝑥 =
𝑥 =
Para detectar el tipo de asimetría
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados)
2. Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
3. Determinar el coeficiente de Fisher
4. Comparar el valor del coeficiente según su signo.
𝑆𝐾 =
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
𝑆𝐾 =
𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
Asimetría de Fisher Asimetría de Fisher
8. SLIDESMANIA.COM
Curtosis
Next class
Percentiles Ejemplos
Curtosis: esta medida nos da una noción sobre el grado de apuntamiento de la curva de
datos, es decir, la concentración de los datos en la región central de la distribución de los
datos.
Ejercicio 1
Alto grado de
concentración de
los datos en la
región central
Distribución
uniforme de los
datos en todo el
recorrido de la
variable
Baja
concentración de
los datos en la
región central
Coeficiente de curtosis:
𝐶𝑘
𝑥𝑖 − 𝑥 4
𝑛𝑆4
− 3
9. SLIDESMANIA.COM
Curtosis
Next class
Percentiles Ejemplos
Curtosis: esta medida nos da una noción sobre el grado de apuntamiento de la curva de
datos, es decir, la concentración de los datos en la región central de la distribución de los
datos.
Ejercicio 1
Coeficiente de curtosis:
𝐶𝑘
𝑥𝑖 − 𝑥 4
𝑛𝑆4
− 3
𝐶𝑘 > 0 𝐶𝑘 = 0 𝐶𝑘 < 0
Para detectar el tipo de curtosis
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados)
2. Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
3. Determinar el coeficiente de curtosis
4. Comparar el valor del coeficiente según su signo.
𝐶𝑘
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 4
𝑛𝑆4
− 3
Datos agrupados
10. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
0,1
0,4
1,6
1,8
2,2
2,4
2,5
2,6
2,8
3,2
3,4
3,6
3,8
3,9
4,2
4,9
5,5
6,4
7,9
9,9
𝑅 = 𝑅𝑚𝑎𝑥 − 𝑅𝑚𝑖𝑛
𝐾 =
𝐴 =
𝑅
𝑘
Rango
Número de intervalos
Amplitud
Tamaño del intervalo
= 9,9 − 0,1 = 9,8
1 + 3,322 𝑙𝑜𝑔 20
=
9,8
5
= 1,96 ≅ 2
Regla de Sturges
𝐾 = 1 + 3,322 log 𝑛
= 5,32
≅ 5
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a absoluta
[0,2) 1 4
[2,4) 3 10
[4,6) 5 3
[6.8) 7 2
[8,10] 9 1
Total 20
Para detectar el tipo de asimetría
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados)
2. Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
3. Determinar el coeficiente de Fisher
4. Comparar el valor del coeficiente según su signo.
11. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
0,1
0,4
1,6
2,6
3,3
3,4
3,9
4,5
4,8
4,8
5,1
5,3
5,5
5,6
5,9
7,2
8,1
9,4
9,9
9,9
𝑅 = 𝑅𝑚𝑎𝑥 − 𝑅𝑚𝑖𝑛
𝐾 =
𝐴 =
𝑅
𝑘
Rango
Número de intervalos
Amplitud
Tamaño del intervalo
= 9,9 − 0,1 = 9,8
1 + 3,322 𝑙𝑜𝑔 20
=
9,8
5
= 1,96 ≅ 2
Regla de Sturges
𝐾 = 1 + 3,322 log 𝑛
= 5,32
≅ 5
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a absoluta
𝒙
[0,2) 1 4 4
[2,4) 3 10 30
[4,6) 5 3 15
[6.8) 7 2 14
[8,10] 9 1 9
Total 20 3,6
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖
𝑛
𝑥 =
Marca de clase
Frecuencia
Absoluta
𝑥 =
72
20
12. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙
[0,2) 1 4 4 -2,6
[2,4) 3 10 30 -0,6
[4,6) 5 3 15 1,4
[6.8) 7 2 14 3,4
[8,10] 9 1 9 5,4
Total 20 3,6
Para detectar el tipo de asimetría
Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
𝑆 =
𝑓 ∙ 𝑥 − 𝑥 2
𝑛
13. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟐
[0,2) 1 4 4 -2,6 6,76
[2,4) 3 10 30 -0,6 0,36
[4,6) 5 3 15 1,4 1,96
[6.8) 7 2 14 3,4 11,56
[8,10] 9 1 9 5,4 29,16
Total 20 3,6
Para detectar el tipo de asimetría
Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
𝑆 =
𝑓 ∙ 𝑥 − 𝑥 2
𝑛
14. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟐
𝒇 ∙ 𝒙 − 𝒙 𝟐
[0,2) 1 4 4 -2,6 6,76 27,04
[2,4) 3 10 30 -0,6 0,36 3,6
[4,6) 5 3 15 1,4 1,96 5,88
[6.8) 7 2 14 3,4 11,56 23,12
[8,10] 9 1 9 5,4 29,16 29,16
Total 20 3,6 88,8
Para detectar el tipo de asimetría
Calcular la desviación estándar (agrupados-no agrupados)
𝑆 =
𝑓 ∙ 𝑥 − 𝑥 2
𝑛
𝑆 =
88,8
20
𝑆 = 4,44
𝑆 = 2,1
15. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙
[0,2) 1 4 4 -2,6
[2,4) 3 10 30 -0,6
[4,6) 5 3 15 1,4
[6.8) 7 2 14 3,4
[8,10] 9 1 9 5,4
Total 20 3,6
Para detectar el tipo de asimetría
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados) 3,6
2. Calcular la desviación estándar 2,1
3. Determinar el coeficiente de Fisher
𝑆𝐾 =
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
16. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuenci
a
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟑
[0,2) 1 4 4 -2,6 -17,58
[2,4) 3 10 30 -0,6 -0,216
[4,6) 5 3 15 1,4 2,744
[6.8) 7 2 14 3,4 39,304
[8,10] 9 1 9 5,4 157,46
Total 20 3,6
𝑆𝐾 =
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
Para detectar el tipo de asimetría
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados) 3,6
2. Calcular la desviación estándar 2,1
3. Determinar el coeficiente de Fisher
17. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟑
𝒇 ∙ 𝒙 − 𝒙 𝟑
[0,2) 1 4 4 -3,9 -59,32 -70,3
[2,4) 3 10 30 -1,9 -6,86 -2,16
[4,6) 5 3 15 0,1 0,001 8,232
[6.8) 7 2 14 2,1 9,26 78,608
[8,10] 9 1 9 4.1 68,92 157,46
Total 20 3,6 171,84
𝑆𝐾 =
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 3
𝑛 𝑆3
𝑆𝐾 =
171,84
20 ∙ 2,1 3 𝑆𝐾 =
171,84
185.22
𝑆𝐾 = 0,92
Para detectar el tipo de asimetría
1. Calcular la media (agrupados-no agrupados) 3,6
2. Calcular la desviación estándar 2,1
3. Determinar el coeficiente de Fisher
𝑆𝑘 > 0
18. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas
recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias con los resultados,
luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟑
𝒇 ∙ 𝒙 − 𝒙 𝟑
[0,2) 1 4 4 -3,9 -59,32 -70,3
[2,4) 3 10 30 -1,9 -6,86 -2,16
[4,6) 5 3 15 0,1 0,001 8,232
[6.8) 7 2 14 2,1 9,26 78,608
[8,10] 9 1 9 4.1 68,92 157,46
Total 20 3,6 171,84
𝑆𝐾 = 0,92
𝑆𝑘 > 0
2 4 6 8
Frecuencia
absoluta
1
2
3
4
5
6
7
10
8
9
10
19. SLIDESMANIA.COM
Ejercicio 1
Ejercicio 1 Ejemplos Next class
Una compañía telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas recibidas en su call center. Elabore una tabla de frecuencias
con los resultados, luego determine el tipo de asimetría y curtosis.
Duración
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
𝒙 𝒙 − 𝒙 𝒙 − 𝒙 𝟒
𝒇 ∙ 𝒙 − 𝒙 𝟒
[0,2) 1 4 4 -3,9 45,698 182,79
[2,4) 3 10 30 -1,9 0,1296 1,296
[4,6) 5 3 15 0,1 3,8416 11,5248
[6.8) 7 2 14 2,1 133,63 267,267
[8,10] 9 1 9 4.1 850,31 850,306
Total 20 3,6 1313,18
𝐶𝐾 =
1313,18
20 ∙ 2,1 4
− 3 𝐶𝐾 =
1313,18
388.96
− 3
𝐶𝐾 = 0,38
𝐶𝑘 > 0
Para detectar el tipo de curtosis
1. Calcular la media 3,6
2. Calcular la desviación estándar 2,1
3. Determinar el coeficiente de curtosis
4. Comparar el valor del coeficiente según su signo.
𝐶𝑘
𝑓 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑥 4
𝑛𝑆4
− 3
𝐶𝐾 = 3,38 − 3
20. SLIDESMANIA.COM
Next class
Ejemplos
Ejemplos
Una tienda en línea registra el tiempo que tarda la empresa
de correos en hacer llegar su mercadería a los clientes. Los
tiempos en días registrados son los siguientes:
2 7 10 16 19
22 6 25 5 20
13 32 13 29 18
20 13 6 12 35
Elaborar una tabla de frecuencias con datos agrupados. Luego determine el tipo de asimetría y curtosis
