Se presenta cómo calcular las medidas numéricas más importantes, media y desviación estándar, para un conjunto de datos agrupados.

1. Medidas numericas de datos agrupados.
Roco Meza Moreno
Universidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa
Roco Meza Moreno Datos agrupados

2. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Media de datos agrupados
En ocasiones debemos trabajar con datos que estan
resumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detalle
de cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.
Roco Meza Moreno Datos agrupados

3. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Media de datos agrupados
En ocasiones debemos trabajar con datos que estan
resumidos en una distribucion de frecuencias, sin tener el detalle
de cuantos y cuales valores caen dentro de cada clase.
Por ejemplo, considere la distribucion de frecuencias que
resume los datos obtenidos al medir la estatura de 1000 mujeres
seleccionadas al azar.
Estatura (cm) Frecuencia
[142,147] 10
(147,152] 64
(152,157] 178
(157,162] 324
(162,167] 251
(167,172] 135
(172,177] 32
(177,182] 6
Roco Meza Moreno Datos agrupados

4. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Podemos aproximar la media muestral para datos aprupados
de la siguiente manera:
1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, se
calcula el punto medio (llamado marca de clase).
Denotemos por mi la marca de la clase i.
Roco Meza Moreno Datos agrupados

5. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Podemos aproximar la media muestral para datos aprupados
de la siguiente manera:
1 Para cada clase, digamos que el numero de clases es m, se
calcula el punto medio (llamado marca de clase).
Denotemos por mi la marca de la clase i.
2 Se calcula la suma de las frecuencias de todas las clases
para obtener el total de datos, n, es decir,
n =
Xm
i=1
fi;
donde fi es la frecuencia de la clase i.
Roco Meza Moreno Datos agrupados

6. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
3 Se obtiene una aproximacion para la media suponiendo que
cada valor en una clase es igual a su marca de clase, es
decir,
x
Xm
i=1
fimi
n
Roco Meza Moreno Datos agrupados

7. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Roco Meza Moreno Datos agrupados

8. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8
clases:
Frecuencia Marca de
Estatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10
(147,152] 64
(152,157] 178
(157,162] 324
(162,167] 251
(167,172] 135
(172,177] 32
(177,182] 6
Roco Meza Moreno Datos agrupados

9. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8
clases:
Frecuencia Marca de
Estatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5
(147,152] 64
(152,157] 178
(157,162] 324
(162,167] 251
(167,172] 135
(172,177] 32
(177,182] 6
Roco Meza Moreno Datos agrupados

10. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8
clases:
Frecuencia Marca de
Estatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5
(147,152] 64 149.5
(152,157] 178 154.5
(157,162] 324 159.5
(162,167] 251 164.5
(167,172] 135 169.5
(172,177] 32 174.5
(177,182] 6 179.5
Roco Meza Moreno Datos agrupados

11. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ilustramos el procedimiento con los datos de la tabla anterior.
Primero debemos obtener la marca de cada clase para las m = 8
clases:
Frecuencia Marca de
Estatura (cm) fi clase mi
[142,147] 10 144.5
(147,152] 64 149.5
(152,157] 178 154.5
(157,162] 324 159.5
(162,167] 251 164.5
(167,172] 135 169.5
(172,177] 32 174.5
(177,182] 6 179.5
Total 1000
Roco Meza Moreno Datos agrupados

12. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
Roco Meza Moreno Datos agrupados

13. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi =
Roco Meza Moreno Datos agrupados

14. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi = 10 + 64 + + 6 = 1000
Roco Meza Moreno Datos agrupados

15. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi = 10 + 64 + + 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clase
fueran iguales a su marca de clase, esto es,
Roco Meza Moreno Datos agrupados

16. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi = 10 + 64 + + 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clase
fueran iguales a su marca de clase, esto es,
x
(10)(144:5) + (64)(149:5) + (178)(154:5) + (6)(179:5)
1000
Roco Meza Moreno Datos agrupados

17. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi = 10 + 64 + + 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clase
fueran iguales a su marca de clase, esto es,
x
(10)(144:5) + (64)(149:5) + (178)(154:5) + (6)(179:5)
1000
=
161; 025
1000
Roco Meza Moreno Datos agrupados

18. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
A continuacion calculamos la suma de las frecuencias:
n =
X8
i=1
fi = 10 + 64 + + 6 = 1000
y calculamos la media como si todos los valores de una clase
fueran iguales a su marca de clase, esto es,
x
(10)(144:5) + (64)(149:5) + (178)(154:5) + (6)(179:5)
1000
=
161; 025
1000
= 161:03
Roco Meza Moreno Datos agrupados

19. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Cuando se calcula la media de datos agrupados en una
distribucion de frecuencias con el procedimiento descrito, por
que decimos que el valor obtenido es una aproximacion a la
media?
Roco Meza Moreno Datos agrupados

20. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia
mnima diaria (F) fi
(35; 39] 1
(39; 45] 3
(45; 49] 5
(49; 55] 11
(55; 59] 7
(59; 65] 7
(65; 69] 1
Roco Meza Moreno Datos agrupados

21. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1
(39; 45] 3
(45; 49] 5
(49; 55] 11
(55; 59] 7
(59; 65] 7
(65; 69] 1
Roco Meza Moreno Datos agrupados

22. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37
(39; 45] 3
(45; 49] 5
(49; 55] 11
(55; 59] 7
(59; 65] 7
(65; 69] 1
Roco Meza Moreno Datos agrupados

23. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37
(39; 45] 3 42
(45; 49] 5 47
(49; 55] 11 52
(55; 59] 7 57
(59; 65] 7 62
(65; 69] 1 67
Roco Meza Moreno Datos agrupados

24. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37 37
(39; 45] 3 42
(45; 49] 5 47
(49; 55] 11 52
(55; 59] 7 57
(59; 65] 7 62
(65; 69] 1 67
Roco Meza Moreno Datos agrupados

25. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37 37
(39; 45] 3 42 126
(45; 49] 5 47
(49; 55] 11 52
(55; 59] 7 57
(59; 65] 7 62
(65; 69] 1 67
Roco Meza Moreno Datos agrupados

26. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37 37
(39; 45] 3 42 126
(45; 49] 5 47 235
(49; 55] 11 52 572
(55; 59] 7 57 399
(59; 65] 7 62 434
(65; 69] 1 67 67
Roco Meza Moreno Datos agrupados

27. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejemplo. Considere la distribucion de frecuencias siguiente:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi
(35; 39] 1 37 37
(39; 45] 3 42 126
(45; 49] 5 47 235
(49; 55] 11 52 572
(55; 59] 7 57 399
(59; 65] 7 62 434
(65; 69] 1 67 67
Total 35 1870
Roco Meza Moreno Datos agrupados

28. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
La aproximacion a la media es entonces
x
X7
i=1
fimi
n
=
1870
35
= 53:4
Roco Meza Moreno Datos agrupados

29. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
La aproximacion a la media es entonces
x
X7
i=1
fimi
n
=
1870
35
= 53:4
La media muestral real que se obtuvo al utilizar la lista
original de datos es 53.8F, que puede concluir?
Roco Meza Moreno Datos agrupados

30. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para calcular una aproximacion a la desviacion estandar de
datos agrupados usamos la formula
s
vuuuut
n
Xm
i=1
fim2i
Xm
i=1
fimi
!2
n(n 1)
donde, nuevamente m es el numero de clases, mi y fi son la
marca y la frecuencia de la clase i, respectivamente, y n es la
suma de las frecuencias (es decir, el numero total de datos).
Roco Meza Moreno Datos agrupados

31. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi fim2i
(35; 39] 1 37 37
(39; 45] 3 42 126
(45; 49] 5 47 235
(49; 55] 11 52 572
(55; 59] 7 57 399
(59; 65] 7 62 434
(65; 69] 1 67 67
Total 35 1870
Roco Meza Moreno Datos agrupados

32. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi fim2i
(35; 39] 1 37 37 1369
(39; 45] 3 42 126
(45; 49] 5 47 235
(49; 55] 11 52 572
(55; 59] 7 57 399
(59; 65] 7 62 434
(65; 69] 1 67 67
Total 35 1870
Roco Meza Moreno Datos agrupados

33. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi fim2i
(35; 39] 1 37 37 1369
(39; 45] 3 42 126 5292
(45; 49] 5 47 235 11045
(49; 55] 11 52 572 29744
(55; 59] 7 57 399 22743
(59; 65] 7 62 434 26908
(65; 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870
Roco Meza Moreno Datos agrupados

34. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi fim2i
(35; 39] 1 37 37 1369
(39; 45] 3 42 126 5292
(45; 49] 5 47 235 11045
(49; 55] 11 52 572 29744
(55; 59] 7 57 399 22743
(59; 65] 7 62 434 26908
(65; 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870 101590
Roco Meza Moreno Datos agrupados

35. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Para los datos anteriores:
Temperatura Frecuencia Marca de clase
mnima diaria (F) fi mi fimi fim2i
(35; 39] 1 37 37 1369
(39; 45] 3 42 126 5292
(45; 49] 5 47 235 11045
(49; 55] 11 52 572 29744
(55; 59] 7 57 399 22743
(59; 65] 7 62 434 26908
(65; 69] 1 67 67 4489
Total 35 1870 101590
La desviacion estandar aproximada es
s
s
35(101590) (1870)2
35(35 1)
Roco Meza Moreno Datos agrupados

36. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
s
s
35(101590) (1870)2
35(35 1)
=
r
58750
1156
Roco Meza Moreno Datos agrupados

37. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
s
s
35(101590) (1870)2
35(35 1)
=
r
58750
1156
=
p
49:3697479
Roco Meza Moreno Datos agrupados

38. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
s
s
35(101590) (1870)2
35(35 1)
=
r
58750
1156
=
p
49:3697479
= 7:0
Roco Meza Moreno Datos agrupados

39. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
s
s
35(101590) (1870)2
35(35 1)
=
r
58750
1156
=
p
49:3697479
= 7:0
La desviacion estandar real que se obtuvo al utilizar la lista
original de datos es 6.9F, que se puede concluir?
Roco Meza Moreno Datos agrupados

40. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Ejercicio.
Para los siguientes dados agrupados calcule la media y la
desviacion estandar.
Velocidad
(mi/h) Frecuencia
42-45 25
46-49 14
50-53 7
54-57 3
58-61 1
Roco Meza Moreno Datos agrupados

41. Media de datos agrupados
Desviacion estandar de datos agrupados
Referencias
[1] Anderson, D., Sweeney D. y Thomas W., Estadstica para
administracion y economa, Thompson Editores, Mexico,
2008.
[2] Lind, D., Marchal, W. y Wathen, S., Estadstica aplicada a
los negocios y la economa, McGraw-Hill interamericana,
Mexico, 2012.
[3] Triola, M., Estadstica, Pearson Educacion, Mexico, 2009,
pp. 75-86.
Roco Meza Moreno Datos agrupados