Teoría de conjuntos y funciones

Teor´ıa de Conjuntos
Funciones
Objetivos 01-06
IOSU LANDA M.
LATEX

Índice
Teor´ıa de conjuntos 4
Definición de conjunto 4
Tipos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Conjunto finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Conjunto infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Conjunto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Conjunto vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto disyuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto no congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto no homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conjunto no heterogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Definición de Función 6
Imagen de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Dominio y Rango de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ejercicios 8
Función inyectiva 12
Funcion sobreyectiva 13
Funcion Biyectiva 14
Números Racionales 14
Operaciones con Números Racionales 14
Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Rectas 15
Función afin 19

Definición de Polinomios 21
Clasificación de la expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Reducción de términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Polinomios de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Operaciones con Polinomios 25
Adición o suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Multiplicación de dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Matemáticas Página 4 de 32
Teor´ıa de conjuntos
Es una rama de la matemáticas que estudia la propiedades y relaciones de
los conjuntos; colecciones abstractas de objetos consideradas como objetos en
s´ı mismo. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramien-
ta básica en la formulación de cualquier teor´ıa matemática.
La palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre s´ı que
guardan alguna caracter´ıstica en com ún ya sean n úmeros, personas, figuras,
ideas y conceptos.
La importancia de la teor´ıa de conjuntos radica en que a partir de ella se pue-
de reconstruir toda la matemática por ejemplo: La teor´ıa de conjuntos se puede
definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades, par ordena-
do, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, el conjunto de
los n úmeros naturales N, los n úmeros racionales Q, los n úmeros reales R, los
n úmeros enteros Z, los n úmeros complejos C.
Definición de conjunto
Una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una mis-
ma categor´ıa o grupo. Haciendo un análisis de los miembros que lo conforman,
pueden existir los siguientes tipos:
Tipos de conjuntos
Seg ún los miembros que los conforman, pueden existir los siguientes tipos:
Conjunto finito
En este conjunto los elementos o miembros que lo conforman pueden ser enume-
rados o contados. Por ejemplo: El agrupamiento de todas las letras del abecedario
conformar´ıa un conjunto de esta clase.
Conjunto infinito
En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados
ni contados, un ejemplo de conjunto infinito, ser´ıa todos los granos de arena del
planeta.
Conjunto unitario
Estos conjuntos están conformados por un sólo miembro o elemento. Ejemplo la
Letra A.
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX

Conjunto vac´ıo
Estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo:
Un unicornio, en caso de elementos inexistente.
Conjunto referencial
A este conjunto se le conoce también, como Conjunto Universal y se caracteriza,
por estar conformado por los miembros de todos los elementos que forman parte
de la caracterización.
Conjunto disyuntivo
Estos conjuntos no poseen ning ún elemento que coincida. Esto también se pue-
de expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el
Conjunto vac´ıo
Conjunto equivalentes
Son aquellos conjuntos que poseen el mismo n úmero cardinal, lo que signi-
fica que contienen la misma cantidad de elementos.Por ejemplo el conjunto
A = {1, 2, 3, 4, } y B = {a, b, c, d} por tanto A y B son equivalentes.
Conjunto iguales
Esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, } y B = {8, 6, 4, 2} ambos conjuntos son iguales porque poseen los
mismos elementos, sin importar su orden.
Conjunto congruentes
Aqu´ı pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se
corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por
ejemplo: el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} mientras que B = {7, 9, 11, 13, 15} de esta
manera 10 y 15, 8 y 13 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre s´ı una distancias de 5.
Conjunto no congruentes
Estos conjuntos, en cambio no se establece correspondencia alguna entre sus
miembros, por lo que, la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejem-
plo el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} mientras que B = {4, 5, 6, 7, 8}
Conjunto no homogéneos
En estos conjuntos los elementos o miembros que lo componen responden al
mismo genero o tipo. Por ejemplo: el conjunto A = {1, 5, 3, 7, 6, 8} aqu´ı todos los
sus elementos son n úmeros por lo tanto conforma un conjunto no homogéneo.

Conjunto no heterogéneo
Estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos
tipos, géneros o clases, por ejemplo: A = {1, 5,perro,azul}
Definición de Función
Una función es una relación que cumple con los siguientes las siguientes condi-
ciones:
Todos los elementos del conjunto de partida tienen imágenes en el conjunto
de llegada.
Cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen en el conjunto de
llegada.
§
Las Funciones se denotan con letras min úsculas f, g, h o letras may úsculas; F,
G, H
Ejemplo:
F : A −→ B F : A en B
F : G −→ H F : G en H
Imagen de una Función
Si X es un elemento de un conjunto A y el está relacionado a través de F con un
elemento de B se dice que Y es la imagen de de X a través de la función F.
Dado el conjunto A = {a, b, c} y el conjunto B = {1, 2, 3} en el diagrama sagital
hallar la imagen
Ejemplo
a
b
c
A
1
2
3
B

Imágenes:
a −→ 1
b −→ 2
c −→ 3
Pares:
{(a,1) (b,2) (c,3)}
Dominio y Rango de una Función
En una función f : a −→ b es necesario hacer una distinción entre el conjunto A
llamado conjunto “conjunto de partida”y el conjunto B llamado conjunto “con-
junto de llegada”.
Dados Al conjunto de partida A se le llama Dominio de una función.
Ejemplo: A = {a, b, c} y al conjunto de los elementos del conjunto de llegada B que
son las imágenes de alg ún elemento del dominio de la función se le denomina
rango de una función.
Dados los conjuntos A y B A = {a, b, c, d} y el conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}. Se define
una relación F : A −→ B dada por el siguiente diagrama. Hallar DomF; RangF,
imagenes y pares.
Ejemplo
a
b
c
d
A
5
1
2
3
4
B a.- DomF : {a, b, c, d}
b.- RangF : {1, 2, 3, 4}
Imágenes:
a −→ 1
b −→ 2
c −→ 3
d −→ 4
Pares:
{(a, 1)(b, 2)(c, 3)(d, 4)}

Ejercicios
Dados los siguientes diagramas sagitales deﬁnir si son funciones o no
1
2
3
A
1
2
4
9
B
a
b
c
A
1
2
4
B
a
b
c
A
1
2
3
4
B

Solución:
1
2
3
A
1
2
4
9
B
S´ı porque todos lo elementos del conjunto A están relacionados con un elemento
del conjunto B.
a
b
c
A
1
2
4
B
S´ı porque todos lo elementos del conjunto A están relacionados con un elemento
del conjunto B.
a
b
c
A
1
2
3
4
B
No porque el elemento a está relacionado con dos elementos del conjunto B.
Dado el conjunto P = {2, −2, 3, −3} y el conjunto T = {3, 8} y la función estableci-
da F : A −→ T, definida F(a) = a2
− 1,

Hallar:
a) F(−2); F(2); F(3); F(−3)
b) Hallar Domf y Rang
c) Representar la función mediante pares.
d) Representar la función en forma sagital.
Respuesta:
a)
F(a) = a2
− 1
F(2) = 22
− 1 = 4 − 1 = 3
F(2) = −22
− 1 = 4 − 1 = 3
F(3) = 32
− 1 = 9 − 1 = 8
F(2) = −32
− 1 = 9 − 1 = 8
b) DomF y RangF
DomF{2, −2, 3, −3}
RangF{3, 8}
c) Representación por pares
{(2, 3); (−2, 3); (3, 8); (−3, 8)}
d) Representación Diagrama Sagital
2
−2
3
−3
A
3
8
B

Justifique su respuesta:
Si F(x) = x2
+ 2x, entonces la diferencia F(−2) − F(3) es igual a:
a) 0
b) 3
c) −3
d) N.A
F(−2) = 22
+ 2(−2) = 0
F(−3) = −32
+ 2(−3) = 3
Si g(x) =
1 − x
1 + x
y entonces g(−2) es:
a) −
1
3
b) −3
c) 2
d) N.A
g(−2) =
1 − (−2)
1 + (−2)
=
1 + 2
1 − 2
=
3
−1
= −3
Dado el conjunto A = {1, −1, 2, 3} y la función F(x) = x2
− 2x el conjunto de
imágenes de F es:
a) {−1, 3, 0, 8}
b) {−1, −3, 0, 8}
c) {1, −3, 0, 8}
d) {−1, −3, 3, 8}

Función inyectiva
Una función es inyectiva si al seleccionar dos elementos cualesquiera del domi-
nio, notamos que sus imágenes son diferentes.
1
2
3
4
A
a
b
c
d
e
B

Funcion sobreyectiva
Una funci´on es sobreyectiva si el conjunto de llegada coincide con el rango.
Ejemplo:
1
2
3
4
5
A
a
e
i
o
B
1
2
3
C
a
D

Funcion Biyectiva
Una función es es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.
m
n
s
A
1
2
3
B
Números Racionales
N úmero racional es todo n úmero que puede representarse como el cociente de
dos n úmeros enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es
decir, una fracción com ún a/b con numerador a y denominador b distinto de ce-
ro. El término “racional” alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de
los n úmeros racionales se denota por Q, “cociente” (Quotient en varios idiomas
europeos).
Este conjunto de n úmeros incluye a los n úmeros enteros (Z), y es un subcon-
junto de los n úmeros reales (R).
Operaciones con Números Racionales
Suma
Se define la suma o adición de dos n úmeros racionales a la operación que a todo
par de n úmeros racionales le hace corresponder su suma.
a
b
+ c
d
= ad
bd
+ bc
bd
= ad+bc
bd
Resta
La operación que a todo par de n úmeros racionales le hace corresponder su dife-
rencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.
c
d
− a
b
= c
d
+ (−a
b
)

Multiplicación
La multiplicación o producto de dos n úmeros racionales:
a
b
×
c
d
=
a × c
b × d
.
División
Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al pro-
ducto r × s−1
.En otra notación.
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
.
Rectas
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman entre s´ı un ángulo de
90◦
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
90º 90º
90º 90º
Sistemas de coordenada rectangulares o cartesianas:
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano)
son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios eucl´ıdeos, para la
representación gráfica de una relación matemática (funciones matemáticas y
ecuaciones de geometr´ıa anal´ıtica), o del movimiento o posición en f´ısica, ca-
racterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre s´ı que concurren

en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coorde-
nadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales
de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de “cartesiano”
se introdujo en honor de René Descartes, quien las utilizó por primera vez de
manera formal.
El sistema en s´ı es un sistema bidimensional, que se denomina plano carte-
siano. El punto de intersección de las rectas, por definición, considera como el
punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje hori-
zontal o de las abscisas se le asigna los n úmeros reales de las equis (“x”); y al
eje vertical o de las ordenadas se le asignan los n úmeros reales de las yes (“y”).
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se
conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante “I”: Región superior derecha
Segundo cuadrante “II”: Región superior izquierda
Tercer cuadrante “III”: Región inferior izquierda
Cuarto cuadrante “IV”: Región inferior derecha
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
II Cuadrante I Cuadrante
IV CuadranteIII Cuadrante
(-x,y) (x,y)
(-x,-y) (x,-y)
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en
el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordena-
das. El conjunto (2 , 3) se denomina “par ordenado” y del mismo modo se pueden

ubicar otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema carte-
siano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (l´ınea recta), respecto
a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre
s´ı (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La
abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x,
mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
1. Graficar los siguientes puntos en un sistema de ejes de coordenadas rectan-
gulares.
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
−12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
0
A
B
C
D
EF
G
H
2. Dibujar un Triángulo cuyos vértices cuyos vertices están constituidos por los
puntos:

a) (−3, −2)
b) (1, 4)
c) (−5, 0)
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12
−4
−2
2
4
6
8
10
0
a
b
c
3. Dibujar un cuadrilatero cuyos v´ertices son los puntos P(1, 3); Q(−1, 2); R(0, 5);
S(1, 3)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
0
P
Q
R
S
B
Función afin
Una función af´ın es una función de variable real definida por: y = f(x) = mx + b
Donde m y b son n úmeros reales. La representación de una función af´ın es una
l´ınea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, b). Si m > 0, la función es
creciente; si m < 0, la función es decreciente.
Definición
1. Graficar la función F(x) = y = 3x2
Para X = −1; X = 0; X = 1; X = 2

−6 −4 −2 2 4 6
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
0
Puntos: (−1, −5), (0, −2), (1, 1), (2, 4)
2. Graﬁcar la funci´on F(x) = y = −x + 2
Para X = −1; X = −2; X = 0; X = 1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
Definición de Polinomios
Definición Algebraica
Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no deter-
minadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operacio-
nes aritméticas de suma, resta y multiplicación, as´ı como también exponentes
enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.
Clasificación de la expresiones algebraicas
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término como
3a, −5b,
x2
4a3
Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término,
como: 2x3
+ 3x + 2
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador li-
teral como x2
+ 5x = 6
x2
2
−
x
3
+
1
5
.

Es fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador
a2
b
+
b
c
− 8.
Es racional cuando no contiene radicales como en los ejemplos anteriores.
,
Un polinomio es irracional cuando contienen radical como
√
a +
√
b +
√
abc.
Es homogéneo cuando sus términos son del mismo grado absoluto, como 4a3
+
5a2
b+6ab2
+b3
y heterogéneos cuando sus términos no son del mismo grado como
x3
+ x2
+ x − 6.
Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos los compo-
nente sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha
letra en el polinomio. As´ı el polinomio x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ 3x es completo respecto
de la x, porque contiene todos los elementos sucesivos de la x desde el más alto
5, hasta el más bajo 1, osea, 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a4
− a2
b + a2
b2
− ab3
+ b4
es
completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los
exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentando o
disminuyendo.
As´ı, el polinomio x4
− 4x3
+ 2x2
− 5x + 8 está ordenado en orden descendente con
relación a la letra ordenatriz x; el polinomio a5
− 2a4
b + 6a3
b2
− 5a2
b3
+ 3ab4
− b5
está ordenado en orden descendente respecto a la letra ordenatriz a y en orden
ascendente respecto a la letra ordenatriz b.
Reducción de términos semejantes
a) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
c) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos.
a) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Regla
Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que
tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo:

P = x + 2x
El signo com ún a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son
1 y 2.
La parte literal igual en todos los términos es x
Por lo tanto: 1 + 2 = 3; −→ x + 2x = 3x
b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
Regla
Se restan lo coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor
y a continuación se escribe la parte literal.
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Ejemplo 1:
P = 8a − 6a
La parte literal igual en todos los términos es a
Los coeficientes de los terminos son 8 y 6
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +
8 − 6 = 2
Por lo tanto: 8a − 6a = 2a
Ejemplo 2:
P = 2a − 2a
2a − 2a = 0
dos términos semejantes con igual coeficiente y signo distinto se anulan
c) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Regla
Se reducen a un sólo término todos los positivos, se reducen a un solo termino
todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso
anterior.

P = 9a − 3 + 5a
9a + 5a = 14a reducción de los términos positivos.
−3a: término negativo.
La parte literal igual en los dos términos es a.
Los coeficientes de los términos son 14 y 3.
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +.
14 − 3 = 11
14a − 3a = 11a −→ 9a − 3a + 5a = 11a
Polinomios de una variable
Para a0, · · · , an constantes en alg ún anillo A (en particular podemos tomar un
cuerpo, como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán n úmeros)
con an distinto de cero y n ∈ N, entonces un polinomio P de grado n en la variable
x es un objeto de la forma:
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x1
+ a0x0
Un polinomio P(x) ∈ K[x] no es más que una sucesión matemática finita {an}n
tal que an ∈ K
Presentado como:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ... + anxn
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatoria como:
P(x) =
n
i=0
aixi
.
Las constantes a0, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama
el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente prin-
cipal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o
normalizado.
Ejemplo:
P(x) = 2x5
+ 3x + 1

Grado de un polinomio
Definición
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de
un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término inde-
pendiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x2
+ 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3
+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4
+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5
+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como −∞.
En particular los n úmeros son polinomios de grado cero.
Operaciones con Polinomios
Dados los polinomios P(x), Q(x), R(x) de la forma general:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ · · · + anxn
O mediante la sumatoria de los términos:
P(x) =
n
i=0
aixi

Definición
Podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o
algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores
u otro polinomio, seg ún la operación de que se trate.
Adición o suma de polinomios
La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios
P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores,
R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de
los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.
Dados los dos polinomios P(x)yQ(x):
P(x) =
n
i=0
aixi
El polinomio suma R(x), será:
R(x) = P(x) + Q(x)
Que es lo mismo que:
R(x) =
n
i=0
aixi
+
n
i=0
bixi
Sacando factor com ún a las potencias de x en cada monomio:
R(x) =
n
i=0
(ai + bi)xi
Ejemplo:
3x6
−2x5
+8x4
+8x3
−3x2
+7x +1
+ +4x5
+x4
+9x3
−12x2
+6x −5
3x6
+2x5
+9x4
+17x3
−15x2
+13x −4
Resta de polinomios
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno
de los términos del sustraendo, as´ı que a continuación del minuendo escribire-
mos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

Tomemos el siguiente ejemplo:
P(x) − Q(x) = (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x)
Seg ún lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del sus-
traendo para realizar la operación: 4x3
+ 2x − 5 − 3x3
+ 4x2
− 5x. Como se puede
advertir, los signos del minuendo no cambian (4x3
+ 2x − 5).
Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4x3
−3x3
+4x2
+2x−5x−5
.
Finalmente completamos la operación de acuerdo a los monomios que quedaron:
x3
+ 4x2
− 3x − 5.
El resultado de la resta de polinomios (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x) es, en defi-
nitiva, x3
+ 4x2
− 3x − 5.
Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno de-
bajo del otro. As´ı, los monomios semejantes quedarán encolumnados y podemos
proceder a sumarlos.
4x3
+0x2
+2x −5
− −3x3
+4x2
−5x
x3
+4x2
−3x −5
Multiplicación de dos polinomios
Definición
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto
hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multipli-
cando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multipli-
cando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad
positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de fac-
tores del producto.
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos
dos polinomios P(x) ∗ Q(x) que será un polinomio de grado n + m:
P(x) =
n
i=0
aixi

Q(x) =
m
j=0
bjxj
Entonces:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
aixi
·
m
j=0
bjxj
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
(aixi
) · (bjxj
)
Agrupando términos:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
aibjxi
xj
La doble sumatoria anterior puede reordenarse en la siguiente forma:
P(x) · Q(x) =
m+n
k=0
k
p=0
apbk−p xk
Ejemplo:
P(x) = −2 x3
+ 5 x2
+ 6 x − 3
Q(x) = 3 x2
+ x − 4
El producto de los polinomios P(x) ∗ Q(x):
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
Multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), sumando después el
resultado:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
Luego:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
Y ﬁnalmente hacemos la suma de los productos parciales, seg ´un las distintas
potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
−6x5
+13x4
+31x3
−23x2
−27x +12
El resultado es un polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
Resolvemos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
Luego:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
Sumamos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
4x5
−6x4
+2x3
+9x2
+12x
Resultado un Polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)

Q(x) = (5x–3)
3x2
–4x +6
× 5x −3
−9x2
+12x −18
15x3
−20x2
+30x
15x3
−29x2
+42x −18
Ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)
Q(x) = (5x)
3x2
–4x +6
× 5x
15x3
−20x2
+30x
División de polinomios
Definición
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores
de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado
divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética,
as´ı hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de
P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero,
siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x)(resto).
Ejemplo:
P(x) = 3 x4
− 2 x3
+ 4 x2
+ 2 x − 3
Q(x) = x2
− 2 x − 1
3x4
−2x3
+4x2
+2x −3 x2
−2x −1

Resultado:
3x4
−2x3
+4x2
+2x −3
−3x4
+6x3
+3x2
0 4x3
+7x2
+2x −3
−4x3
+8x2
+4x
0 15x2
+6x −3
−15x2
+30x +15
+36x +12
x2
−2x −1
3x2
+4x +15
Otro ejemplo:
P(x) = 4x8
− 10x6
− 5x4
Q(x) = 2x3
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3
=
4x8
2x3
−
10x6
2x3
−
5x4
2x3
= 2x8−3
− 5x6−3
−
5
2
x4−3
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x1
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3 = 2x5
− 5x3
−
5
2
x
Y por lo tanto:
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3 = 2x5
− 5x3
−
5
2
x

Siguiente ejemplo:
P(x) = x3
+ x2
− 1
Q(x) = x − 1
x3
+ x2
− 1 ÷ x − 1 = x2
+ 2x + 2 +
1
x − 1
− x3
+ x2
2x2
− 2x2
+ 2x
2x − 1
− 2x + 2
1
Ejemplo:
x2
+ 5x + 10
x − 2 x3
+ 3x2
+ 4
− x3
+ 2x2
5x2
− 5x2
+ 10x
10x + 4
− 10x + 20
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