Analisis matematico feiber

1. Notas de Algebra Abstracta Lucio Elias Flores Bustinza 25 de junio de 2011

2. PRESENTACION Estas notas se originan por las practicas pre-profesionales realizada del 20 de Marzo del 2008, terminando el 17 de Julio del 2008 en la asignatura de ALGEBRA ABS-TRACTA en la Escuela Profesional de Ciencias Fsico Matematicas de la Universidad Nacional del Altiplano- Puno. En el primera parte contiene todos los datos personales, del lugar donde se realizo las practicas pre-profesionales y los datos de la asignatura. En la segunda parte justi

3. - ca la realizacion de las practicas pre-profesionales. Y en la tercera parte menciona los objetivos de la practica pre-profesional. En la cuarta parte se presenta el contenido del curso, presentandose este contenido en dos captulos, siendo el primer capitulo de El Conjunto de Numeros Reales, en el que se presenta todas las propiedades y operaciones fundamentales en las cuales es cerrado este conjunto para

4. nalmente poder de

5. nir el campo y anillo de los numero reales. En el Segundo Captulo de Grupos, se presenta los conceptos fundamentales e importantes de la teora de grupos, tales como subgrupos, grupos cclicos, para

6. nalmente poder de

7. nir el isomor

8. smo y homomor

9. smo de estos. En el presente informe se presenta algunos aspectos de la teora del Algebra, no se busca la originalidad, de hecho todos los resultados presentados aqu pueden ser hallados en la bibliografa. Espero que este informe sirva como referencia para futuras practicas pre-profesionales que se realicen referentes a la Asignatura. . LUCIO ELIAS FLORES BUSTINZA

10. Indice general Presentacion 1 1. Conjunto de Numeros Reales 3 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Axiomas para el Sistema de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Consecuencias de los Axiomas Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Consecuencias de los Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. El Axioma de Completes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7. Una Aplicacion del Axioma de Completes . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8. El Conjunto de los Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.9. Division de Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.10. El Principio de Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.11. El Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.12. Los Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.13. Campos y Anillos de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Grupos 44 2.1. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1. Operaciones Binarias con Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.2. Criterios para De

11. nir una Operacion Binaria. . . . . . . . . . . 46 2.2. Propiedades de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3. Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Propiedades Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.2. Clasi

12. cacion de Grupos Cclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5. Isomor

13. smo de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . . . . . . . . 54 2.5.1. Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos . . . . . . . . . 55 2.5.2. Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos . . . . . . . 57 2.6. Productos Directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.1. Productos Directos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.2. Productos Directos Internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7. Homomor

14. smos de Grupos y Propiedades Fundamentales . . . . . . . . 63 2.8. El Teorema Fundamental del Homomor

15. smo . . . . . . . . . . . . . . . 65 VII. BIBLIOGRAFIA 68 2

16. Captulo 1 Conjunto de Numeros Reales 1.1. Conjuntos Si una propiedad especi

17. ca es considerada y si ademas, es posible una prueba indi-vidual de cada objeto para esta propiedad, entonces la totalidad de objetos que tienen esta propiedad es llamado conjunto. Para tal efecto la propiedad es llamada propiedad de de

18. nicion de el conjunto. Un conjunto usualmente es representado por una letra mayuscula y los elementos del conjunto por letras minusculas, por ejemplo si decimos que x es un elemento de el conjunto S, se escribe: x ∈ S En lo posterior, para ciertos casos se asumira que si S es el conjunto de todos los objetos que tienen la propiedad P, entonces las sentencias x tiene la propiedad Py x es un elemento de S son sinonimos. Un conjunto puede ser representado por comprension y por extension, por ejemplo el conjunto A con elemento 0 y 1 puede ser presentado por: A = {0, 1}, por extension A = {x ∈ R : x2 = x}, por compresion Si S es un conjunto y se pudiera decir que P es una propiedad de los elementos de S, se podra pensar que la sentencia x tiene la propiedad P es cierta o falsa, y se pueda determinar que x es un elemento de S. Entonces el conjunto A = {x ∈ S : x tiene la propiedad P} contiene exactamente estos elementos x de S para la cual la sentencia x tiene la propiedad P es cierta o verdadera. Por esta razon, el conjunto A es llamando conjunto verdad de la propiedad P. De

19. nicion 1 Si P es una propiedad de los elementos del conjunto S y A es un con-junto verdad de la propiedad P, entonces A es llamado un subconjunto de S. 3

20. De

21. nicion 2 Si A1 y A2 son subconjuntos del conjunto universal S y si cada elemento de A1 es un elemento de A2, se dice que A1 esta contenido en A2 o que A1 es un subconjunto de A2. Esta relacion es expresada simbolicamente por x ∈ A1 ⇒ x ∈ A2 (1.1) o A1 ⊂ A2 (1.2) La ecuacion (1.1) se lee x es un elemento de A1 implica que x es un elemento de A2, donde el smbolo ⇒ es llamado signo de implicacion. La ecuacion (1.2) se lee El conjunto A1 es contenido en el conjunto A2. Se pondra atencion en las siguientes relaciones, donde A1, A2 y A3 son subconjuntos arbitrarios de S. A1 ⊂ A2 y A2 ⊂ A2 ⇒ A1 ⊂ A2 (1.3) A1 ⊂ A2 y A2 ⊂ A1 ⇒ A1 = A2 (1.4) A1 ⊂ A1 (1.5) De

22. nicion 3 Si P1 y P2 son propiedades de elementos de le conjunto universal S, el smbolo P1 ∧ P2 es usado para indicar la propiedad que tienen ambos P1 y P2 En otras palabras, un elemento x de S tiene P1 ∧P2 si y solo si x tiene la propiedad P1 y P2. De

23. nicion 4 Si A1 y A2 son los conjuntos verdad de propiedades P1 y P2 entonces el conjunto verdad de P1 ∧ P2 esta indicado por el smbolo A1 ∩ A2 que se lee A1 interseccion A2 En otras palabras, el conjunto A1 ∩ A2 es de

24. nido por la totalidad de elementos comunes de A1 y A2. Tambien se pondra atencion a las siguientes relaciones, donde A1 y A2 son subcon-juntos arbitrarios de S. A1 ∩ A2 = A2 ∩ A1 (1.6) A1 ∩ A2 ⊂ A1, A1 ∩ A2 ∩ A2 (1.7) A1 ∩ A1 = A1 (1.8) De

25. nicion 5 Si P1 y P2 son propiedades de elementos del conjunto universal S, el smbolo P1 ∨ P2 que se lee P1 o P2 es usado para indicar la propiedad que tiene al menos una de las propiedades P1 o P2. 4

26. En otras palabras, un elemento x de S tiene la propiedad P1 ∨ P2 si y solo si x tiene la propiedad P1 o x tiene la propiedad P2. Si x tiene ambas propiedades P y P2, entonces x tiene P1 ∨ P2 as como P1 ∧ P2. De

27. nicion 6 Si A1 y A2 son conjuntos verdad de propiedades P1 y P2, entonces el conjunto verdad de P1 ∨ P2 es indicado por el smbolo A1 ∪ A2 que se lee A1 union A2 En otras palabras, el conjunto A1 ∪A2 esta de

28. nido para la totalidad de elementos pertenecientes a cualquiera de los conjuntos A1 o A2 (o ambos). Se pondra atencion a las siguiente relaciones, donde A1 y A2 son subconjuntos arbitrarios de S. A1 ∪ A1 = A2 ∪ A1 (1.9) A1 ⊂ A1 ∪ A2, A2 ⊂ A1 ∪ A2 (1.10) A1 ∪ A1 = A1 (1.11) Puede ocurrir que P1 y P2 son propiedades de elementos de S y no existan elementos de S que tengan esa propiedad P1∧P2, en este caso, el conjunto verdad de la propiedad P1 ∧ P2 que no contiene elementos es llamado conjunto nulo o vaco que se indica por el smbolo ∅. Este conjunto es el subconjunto mas peque~no del conjunto universal S y esta conte-nido en todos los subconjuntos de S. Finalmente se ve que el subconjunto mas grande de S es el mismo conjunto, por lo cual se dice que el conjunto nullo y el conjunto S son subconjuntos impropios de S. 1.2. Operaciones Las operaciones de

29. nidas en la aritmetica del sistema de numeros reales son las cuatro operaciones fundamentales: adicion, sustraccion, multiplicacion y division. Es-tas son operaciones binarias de

30. nidas en el conjunto IR de numeros reales. La palabra binaria es usado para indicar que cada operacion es un metodo para combinar dos elementos (no necesariamente diferentes) para producir un solo y unico elemento de IR. El smbolo para representar una operacion no especi

31. cada sera ◦ De

32. nicion 7 (Cerradura o Clausura) Dada una operacion binaria ◦ en un con-junto S, se dice que S es cerrada bajo ◦ si para cada x y y elementos de S, entonces x ◦ y es un unico elemento de S. Tambien se dice que ◦ es una operacion binaria de

33. nida en S. y pude ser escrita de la siguiente manera: x ∈ A y y ∈ A ⇒ x ◦ y ∈ A 5

34. Vale la pena aclarar que en el sistema de los numeros reales la division por cero es imposible, en este caso, cuando se diga que el conjunto A de los numeros reales es cerrado bajo la division, signi

35. cara que: x ∈ A y y ∈ A con y̸= 0 ⇒ x y ∈ A Ejercicios 1 1. Sean A1, A2, A3 y A4 conjuntos de numeros reales dados por: A1 = {1, 2, 3, 4} A2 = {2, 3, 4, 5} A3 = {2, 3} A4 = {1, 2, 3, 5} Describir cada uno de los siguientes conjuntos, listando sus elementos a) A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5} b) A1 ∪ A3 = {1, 2, 3, 4} c) (A1 ∩ A2) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, } ∩ {2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3} = {2, 3, 4} ∩ {2, 3} = {2, 3} d) A4 ∩ A2 = {2, 3, 5} e) A1 ∩ A2 = {2, 3, 4} f ) A1 ∩ A3 = {2, 3} g) (A1 ∪ A2) ∩ A3 = ({1, 2, 3, 4, 5}) ∩ {2, 3} = {2, 3} 2. Cuales de las relaciones son verdaderas? (los conjuntos A1, A2, A3 y A4 son los del ejercicio 1) a) A1 ⊂ A2 es FALSA Solucion: 1 ∈ A1 pero 1̸∈ A2 que no satisface la de

36. nicion 2 b) A3 ⊂ A1 es VERDADERA Solucion: 2 ∈ A3 y 2 ∈ A1 3 ∈ A3 y 3 ∈ A1 } ⇒ A3 ⊂ A1 6

37. c) A1 ⊂ (A1 ∪ A2) es VERDADERA Solucion: Como A1 ∪ A2 = {1, 2, 3, 4, 5} se cumple que {1, 2, 3, 4} ⊂ (A1 ∪ A2) A1 ⊂ (A1 ∪ A2) Por (1.10) d) A4 ∩ (A1 ∪ A2) = (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) es VERDADERA Solucion: Sean A4 ∩ (A1 ∪ A2) = {1, 2, 3, 5} ∩ ({1, 2, 3, 4} ∪ {2, 3, 4, 5}) = {1, 2, 3, 5} (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) = ({1, 2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 4}) ∪ ({1, 2, 3, 5} ∩ {2, 3, 4, 5}) = {1, 2, 3, 5} De (1.4) A4 ∩ (A1 ∪ A2) ⊂ (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) ⊂ A4 ∩ (A1 ∪ A2) ) A4 ∩ (A1 ∪ A2) = (A4 ∩ A1) ∪ (A4 ∩ A2) e) A2 ⊂ A1 es FALSA Solucion: Por que 5 ∈ a2 pero 5̸∈ A1 y no cumple la de

38. nicion (2) f ) A3 ⊂ (A1 ∪ A2) es VERDADERA Solucion: Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A3 ⇒ 2 ∈ (A∩A2) 3 ∈ A3 ⇒ 3 ∈ (A∩A2) } implica que A3 ⊂ (A∩A2) g) (A1 ∩ A2) ⊂ A2 es VERDADERA Solucion: Como A1 ∩ A2 = {2, 3, 4} entonces 2 ∈ (A1 ∩ A2) ⇒ 2 ∈ A2 3 ∈ (A1 ∩ A2) ⇒ 3 ∈ A2 4 ∈ (A1 ∩ A2) → 4 ∈ A2   ⇒ (A1 ∩ A2) ⊂ A2 3. En el siguiente problema, el conjunto universal es el conjunto de todos los cua-dril ateros en el plano, entonces se de

39. ne los conjuntos: A1 = {x ∈ S : xes un paralelogramo} ( ) A2 = {x ∈ S : xes un rectangulo} (@A) 7

40. A3 = {x ∈ S : xes un cuadrado} () A4 = {x ∈ S : xes un rombo} (3) Cual de los siguientes conjuntos es verdadero? Solucion: Asumiendo que a la hora de comparar los elementos de los conjuntos son de dimensiones casi homogeneas se tiene: a) A1 ⊂ A2 es FALSO b) A2 ∩ A1 es FALSO c) (A1 ∩ A4) = A2 es FALSO, por que ∩ 3̸=@A d) (A1 ∩ A4) = A3 es FALSO, por que ∩ 3̸= e) (A1 ∩ A4) = A4 es FALSO, por que ∩ 3̸= 3 f ) A3 ⊂ (A1 ∩ A4) es FALSO, por que ̸⊂ ( ∩ 3) g) A3 = (A1 ∩ A4) es FALSO, por que ̸= ( ∩ 3) h) A3 ⊂ (A2 ∩ A4) es VERDADERO, por que ⊂ (@A ∩) i ) A3 = (A2 ∩ A4) es VERDADERO, por que = (@A ∩) 4. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos A = {x ∈ IR : x2 + x = 0} Solucion: Resolviendo la ecuacion de segundo grado se tiene: x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 ⇒ { x = 0 x = −1 de donde A = {0,−1} 5. Bajo cual de las cuatro operaciones fundamentales, el conjunto A del ejercicio anterior es cerrado? Solucion: Como el conjunto esta de

41. nido como A = {x ∈ IR : x2 + x = 0} de donde sus elementos tiene que cumplir que x2 = x, entonces veamos para cual de las cuatro operaciones fundamentales es cerrado Para la Adicion Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0 + (−1) = −1 + 0 = −1 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la suma Para la Sustraccion Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0 − (−1) = 1̸∈ A, por lo tanto no es cerrado bajo la sustraccion 8

42. Para la Multiplicacion Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0(−1) = 1(0) = 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la multiplicacion Para la Division Si 0,−1 ∈ A ⇒ 0 −1 = 0 ∈ A, por lo tanto si es cerrado bajo la division 1.3. Axiomas para el Sistema de Numeros Reales De

43. nicion 8 El sistema de numeros reales consiste de un conjunto IR cerrado ba-jo dos operaciones, llamadas adicion y multiplicacion, cuyos elementos satisfacen los siguientes axiomas algebraicos: A1. a + (b + c) = (a + b) + c. (Ley asociativa para la adicion) A2. Existe un unico elemento 0 en IR tal que a+0 = 0+a = a, para algun a ∈ IR. A3. Para cada elemento a de IR, existe un unico elemento −a en IR tal que a+(−a) = (−a)+a = 0. El elemento −a es llamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a. A4. a + b = b + a. (Ley conmutativa para la adicion) A5. a · (b · c) = (a · b) · c. (Ley asociativa para la multiplicacion) A6. Existe en IR un unico elemento 1 diferente de cero, tal que a · 1 = 1 · a = a, para algun a en IR A7. Para cada elemento a ∈ IR, con a̸= 0, existe un unico elemento a−1 en IR tal que a · (a−1) = 1. El elemento a−1 es llamado el recproco (o inverso multiplicativo) de a. A8. a · b = b · a. (Ley conmutativa para la multiplicacion) A9. (a + b) · c = a · c + b · c (Ley distributiva izquierda) Los Axiomas de Orden Existe un subconjunto P de IR (llamado el conjunto positivo de los numeros reales) que satisface lo siguiente: O1. El conjunto P es cerrado bajo la adicion. O2. El conjunto P es cerrado bajo la multiplicacion. O3. Para algun numero real a, exactamente una de las siguientes ocurre: a = 0 o a ∈ P o −a ∈ P. (Ley de la Tricotomia) 9

44. 1.4. Consecuencias de los Axiomas Algebraicos Teorema 1 [Ley distributiva derecha.] Si a, b, c ∈ IR, entonces a · (b + c) = a · b + a · c Teorema 2 [Ley de cancelacion para la adicion.] Sean a, b, c ∈ IR. Si a + b = a + c, entonces b = c. Teorema 3 El numero 0 tiene la propiedad que a · 0 = 0, para todo a ∈ IR. Teorema 4 [El principio de integridad.] Si a, b ∈ IR, tales que ab = 0, entonces ocurre que a = 0 o b = 0. Teorema 5 (Ley de cancelacion para la multiplicacion.) Si a, b, c ∈ IR tales que ac = bc y c̸= 0, entonces a = b. Teorema 6 Para algun numero real a, es cierto que −(−a) = a Teorema 7 (−a)(−b) = ab Los axiomas del sistema de numeros reales no hace mencion a las operaciones de sustraccion y division, esto se debe a que estas operaciones pueden ser expresadas en terminos de la adicion y multiplicacion, tal como lo dice la siguiente de

45. nicion. De

46. nicion 9 Si a y b son numeros reales, entonces a − b es de

47. nido por el numero a + (−b). Si b̸= 0, entonces a b (o a/b) es de

48. nido por el numero a(b−1). Las operaciones asignadas al par de numeros a,b como a − b y a/b son llamadas sustraccion y division. Ejercicios 2 Pruebe que las siguientes reglas son ciertas en el sistema de numeros reales. 1. (−a) = (−1)a Demostracion: a + (−1)a = 1(a) + (−1)a Por A6 = (1 + (−1))a Por A9 = (1 − 1)a Por de

49. nicion 9 = (0)a Por A3 = 0 Por teorema 3 Como a + (−1)a = 0 signi

50. ca que (−1)a es el inverso aditivo de a. Por lo tanto −a = (−1)a A 10

51. 2. (−a)b = a(−b) = −(ab) Demostracion: Se hara la prueba en tres partes: a) (−a)b = a(−b) (−a)b = [(−1)(a)]b Por Prob. 1 = [(a)(−1)]b Por A8 = a[(−1)(b)] Por A5 = a(−b) Por Prob. 1 b) a(−b) = −(ab) a(−b) = a[(−1)(b)] Por Prob. 1 = [(a)(−1)]b Por A5 = [(−1)(a)]b Por A8 = (−1)[ab] Por A5 = −(ab) Por Prob 1 c) (−a)b = −(ab) (−a)b = [(−1)(a)]b Por Prob. 1 = (−1)[(a)(b)] Por A5 = −(ab) Por Prob. 1 Por lo tanto de a), b) y c) se cumple que (−a)b = a(−b) = −(ab) A 3. a(b − c) = ab − ac Demostracion: a(b − c) = (b − c)a Por A8 = [b + (−c)]a Por Def. 9 = ba + (−c)a Por A9 = ab + a(−c) Por A8 = ab + [−(ac)] Por Prob. 2 = ab − ac Por Def. 9 A 4. −(a + b) = (−a) + (−b) Demostracion: −(a + b) = (−1)(a + b) Por Prob. 1 = (a + b)(−1) Por A8 = a(−1) + b(−1) Por A9 = (−1)a + (−1)b Por A8 = (−a) + (−b) Por Prob. 1 A 11

52. 5. (a − b) + (b − c) = a − c Demostracion: (a − b) + (b − c) = (a + (−b)) + (b + (−c)) Por Def. 9 = a + {(−b) + [b + (−c)]} Por A1 = a + {[(−b) + b] + c(−c)} Por A1 = a + [0 + (−c)] Por A3 = a + (−c) Por A2 = a − c Por Def. 9 A 6. (a b ) + (−a b ) = 0 Demostracion: (a b ) + (−a b ) = (a · b−1) + ((−a) · b−1) Por Def. 9 = ab−1 + [−(ab−1)] Por Prob. 2 = ab−1 − ab−1 Por Def. 9 = 0 Por A3 A 7. (a b ) (c d ) = ac bd Demostracion: Para probar esta propiedad, tenemos que hacer uso del si-guiente teorema Teorema 8 ∀a, b ∈ IR con n ∈ Z se cumple que (ab)n = anbn Probaremos este teorema por induccion Para n = 0 se cumple puesto que: a0b0 = 1 · 1 = 1 = (ab)0 Para n = h se cumple por de

53. nicion de induccion Para n = h + 1 con h ∈ Z (ab)h+1 = (ab)h(ab)1 = (ahbh)(ab) = ah[bh(ab)] = ah(abhb) = (aha)(bhb) = ah+1bh+1 12

54. Ahora haremos la demostracion del ejercicio. En efecto (a b ) (c d ) = (ab−1)(cd−1) Por Def. 9 = a[b−1(cd−1)] Por A5 = a[b−1(d−1)] Por A8 = a[(b−1d−1)c] Por A5 = a[c(b−1d1)] Por A8 = (ac)(b−1d−1) Por A5 = (ac)(bd)−1 Por Teo. 8 = ac bd A 8. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Demostracion: (a + b)(c + d) = [a(c + d)] + [b(c + d)] Por A9 = [(c + d)a] + [(c + d)b] Por A8 = ca + da + cb + db Por A9 = ac + ad + bc + bd Por A8 A 9. Probar al detalle los siguientes teoremas Teorema 4 (Principio de integridad) Si a y b son numeros reales tales que ab = 0, se cumple que: a = 0 o b = 0 Demostracion: a) Sea ab = 0, para a̸= 0 se cumple que b = 0. En efecto ab = 0 , a̸= 0 (ab)a−1 = 0 · a−1 Por Def. 7 a(b−1) = 0 Por Teo. 3, A5 a(a−1b) = 0 Por A8 (aa−1)b = 0 Por A5 1 · b = 0 Por A7 b = 0 Por A6 b) Si ab = 0, para b̸= 0, se cumple que a = 0. En efecto ab = 0 , b̸= 0 (ab)b−1 = 0 · b−1 Por Def. 7 a(bb−1) = 0 Por Teo. 3, A5 a · 1 = 0 Por A7 a = 0 Por A6 13

55. De a) y b), el teorema queda probado. A Teorema 5 (Ley de la cancelacion para la multiplicacion) Si a, b, c son numeros reales tales que ac = bc y c̸= 0, entonces a = b. Demostracion: ac = bc (ac)c−1 = (bc)c−1 Por Def. 7, A7 a(cc−1) = b(cc−1) Por A5 a(1) = b(1) Por A7 a = b A 1.5. Consecuencias de los Axiomas de Orden Los axiomas de orden tienen que ver con cierto subconjunto P (conjunto de numeros reales positivos), entonces se de

56. nira el conjunto N de numeros negativos por N = {a ∈ IR : −a ∈ P} Si ahora representamos el conjunto de numeros reales conteniendo al numero 0 solo por el smbolo {0}, se obtendra la ley de la tricotomia IR = N ∪ {0} ∪ P los tres conjuntos N, {0} y P juntos contienen a todos los numeros reales, ademas la interseccion de alguno de estos conjuntos es siempre el conjunto nulo. Este ultimo hecho dice que los conjuntos N, {0} y P son particiones disjuntas. Muchas de las consecuencias de los axiomas de orden dependen de la relacion mayor que de

57. nida a continuacion. De

58. nicion 10 Si a y b son numeros reales, entonces a b (se lee a es mayor que b) es de

59. nido como el numero a−b es un elemento de P. El smbolo a ≥ b (se lee a es mayor o igual que b). El smbolo a b (se lee a es menor que b) pensando que b es mayor que a. Finalmente a ≤ b como a es menor o igual que b. El siguiente teorema da cuatro propiedades basicas de la relacion mayor que. La propiedad a) es una re exion de el hecho que la relacion es de

60. nida en terminos de la adicion (sustraccion), mientras que las propiedades b), c) y d) son los axiomas O1, O2, O3 respectivamente. Teorema 9 La relacion mayor que es una relacion que tiene las siguientes propie-dades (donde x.y.z son numeros reales): a) x y ⇒ x + z y + z 14

61. b) x y ∧ y z ⇒ x z c) x y ∧ z ∈ P ⇒ xz yz d) Si a y b son algun par de numeros reales, entonces exactamente una de los si-guientes es cierta: i) a = b o ii) a b o iii) a b Teorema 10 Si a es algun numero real diferente de cero, entonces a2 0 Teorema 11 1 ∈ P Teorema 12 Si a 0 y b 0, entonces ab 0 Teorema 13 a 0 ⇒ a−1 0 Ejercicios 3 1. Pruebe que si a es algun numero real, entonces a + 1 a Demostracion: Sea 1 0 entonces por el teorema 9 parte a), se puede sumar cualquier numero real a en ambos lados de la inecuacion, entonces se tiene: 1 0 a + 1 a + 0 a + 1 a A 2. Pruebe que: a 1 ⇒ a−1 1 Demostracion: a 1 Por Hip. Como a 1 implica que a ∈ P es decir que a 0, por el teorema 13 se sabe que si a 0 ⇒ a−1 0, lo que implica que a−1 ∈ P., entonces a · a−1 1 · a−1 Por Teo. 9 - c) 1 a−1 Por A6 A 3. Probar que si a b 0 ⇐⇒ ab 0 Probaremos el ejercicio en dos partes 15

62. a) Si a b 0 ⇒ ab 0 Demostracion: Sabemos que a b 0 ⇒ ab−1 0 como ab−1 0 esto se cumple cuando { a 0 ∧ b−1 0 a 0 ∧ b−1 0 i) Si a 0 ∧ b−1 0 Primero probemos el recproco del teorema 13 en el siguiente corolario Corolario 1 Si b−1 0 entonces b 0 Demostracion: Haremos la demostracion por el absurdo. Diremos en-tonces que si b−1 0 asumiremos que b 0, entonces la multiplicacion de ambos resultara: b−1 · b 0 1 0 (→←) lo que es una contradiccion. Por lo tanto, si b−1 0 ⇒ b 0 Para nuestro caso entonces: a b 0 ab−1 0 Por Def. 9 (ab−1)b 0 · b Por Cor. 1, Teo. 9-c) a(bb−1) 0 Por A5, Teo3 a(1) 0 Por A7 a 0 Por A6 a · b 0 · b Por Teo. 9-c) ab 0 Por Teo3 ii) Si a 0 ∧ b 0 Primero demostraremos el siguiente teorema: Teorema 14 Para a, b, c numeros reales, se cumple que si a b y c 0 entonces ac bc Demostracion: como c 0 entonces −c 0, es decir −c ∈ P, luego a b ⇒ a(−c) b(−c) ⇒ −(ac) −(bc) ⇒ −(ac) − (−(bc)) 0 ⇒ −(ac) + (bc) 0 ⇒ bc − ac 0 ⇒ bc ac ⇒ ac bc A 16

63. Como a 0 ∧ b 0 entonces por el teorema 12 tenemos −a 0 ∧ −b 0 ⇒ −b−1 0(por Teo. 13). En efecto −a −b 0 Por Hip. (−a)(−b−1) 0 Por Def. 9 ab−1 0 Por Teo. 7 a[(b−1)(b)] 0(b) Por Teo.14 a(1) 0 Por A7 a 0 Por A6 a · b 0 · b Por Teo.14 ab 0 Por Teo3 Finalmente de i) y ii), a b 0 ⇒ ab 0 queda probado. A b) Si ab 0 ⇒ a b 0 de donde esto se cumple cuando { a 0 ∧ b 0 a 0 ∧ b 0 Demostracion: i) para a 0 y b 0 se cumple que si ab 0 ⇒ a b 0 por el teorema 13 se sabe que b 0 ⇒ b−1 0 ab 0 ⇒ ab−1 0 Por Def. 9 ⇒ (ab)b−1 0 · b−1 Por Teo.9-c) ⇒ a(bb−1) 0 Por A5, Teo.3 ⇒ a · 1 0 Por A7 ⇒ a 0 Por A6 ⇒ a · b−1 0 · b−1 Por Teo.9-c) ⇒ a b 0 Por Def.9, Teo.3 ii) Para a 0 y b 0 se cumple que si ab 0 ⇒ a b 0 la hipotesis implica que −a 0 y −b 0 y por el teorema 13 se sabe 17

64. que si −b 0 ⇒ −b−1 0, luego (−a)(−b) 0 ⇒ ab 0 Por Teo.7 ⇒ (ab)(−b−1) 0(−b−1) Por Teo.9-c) ⇒ a(−bb−1) 0 Por A5, Teo.3 ⇒ a(−1) 0 Por A7 ⇒ a 0 Por Teo.14 ⇒ a(−b−1) 0 · (−b−1) Por Teo.13 ⇒ −(ab−1) 0 Por Prob.2-2, Teo.3 ⇒ ab−1 0 Por Teo.14 ⇒ a b 0 Por Def.9 Finalmente de i) y ii), ab 0 ⇒ a b 0 queda probado. A 4. Probar los teoremas 11 y 13 Teorema 11. 1 ∈ P. Demostracion: Como P es el conjunto de todos los numeros reales positivos, es decir P = {x ∈ IR : x 0} como 1 0 entonces 1 ∈ P. A Teorema 13. Si a 0 ⇒ a−1 0. Demostracion: Como 1 ∈ P entonces 1 0 a · a−1 0 Por A7 de donde la ultima desigualdad se cumple cuando { a 0 ∧ a−1 0 a 0 ∧ a−1 0 a) Si a 0 ⇒ a−1 0 Haremos la prueba por el absurdo, supongamos que a−1 0, entonces se tiene a 0 ⇒ a(a−1) 0 Por Teo.14 ⇒ 1 0 (→←) Por A7 el ultimo resultado es una contradiccion, por lo que a−1 0 b) Si a 0 ⇒ a−1 0 Como a 0 ∧ a−1 0 entonces −a 0 ∧ −a−1 0 a 0 ⇒ (−a) 0 ⇒ (−a)(−a−1) 0(a−1) Por Teo.9-c) ⇒ aa−1 0 Por Teo.7, Teo.3 ⇒ 1 0 Por A7 ⇒ a−1 0(a−1) Por Teo.14 ⇒ a−1 0 Por Teo.3 18

65. Por lo tanto, de a) y b) A 5. Pruebe que, si a ∈ P ∧ b a ⇒ b ∈ P Demostracion: Como a ∈ P, entonces a 0, ademas tenemos que b a, de donde se cumple que b a 0 Por lo tanto b 0, es decir b ∈ P. A 6. Pruebe que, si a ∈ IR y x y ⇒ a − y a − x Demostracion: x y ⇒ x − y 0 Por Def.10 ⇒ x − y + 0 0 + 0 Por A2 ⇒ (x − y) + (a − a) 0 Por A3 ⇒ x + (−y + a) − a 0 Por A1 ⇒ (−y + a) + (x − a) 0 Por A4 ⇒ (a − y) + (x − a) 0 Por A4 ⇒ (a − y) + [−(−x) − a] 0 Por Teo.7 ⇒ (a − y) + [(−1)(−x) + (−1)(a)] 0 Por Prob. 1-2 ⇒ (a − y) + [(−x) + a](−1) 0 Por A8, A9 ⇒ (a − y) + (−1)(a − x) 0 Por A8, A4 ⇒ (a − y) − (a − x) 0 Por Def.9 ⇒ a − y a − x Por Def.10 A 7. Mostrar que si a, b, c son positivos, entonces a b c d ⇐⇒ ad bc Demostracion: Como a, b, c, d ∈ P entonces a 0, b 0, c 0, d 0 a b c d ⇒ ab−1 cd−1 Por Def.9 ⇒ (ab−1)b (cd−1)d Por Teo.9-c) ⇒ a(b−1b) c(d−1b) Por A5 ⇒ a(1) c(d−1b) Por A7 ⇒ a c(bd−1) Por A6, A8 ⇒ a (cb)d−1 Por A5 ⇒ ad [(cb)d−1]d Por Teo.9-c ⇒ ad (cb)(d−1d) Por A5 ⇒ ad cb(1) Por A7 ⇒ ad cb Por A6 A 19

66. 8. Sean a y b numeros positivos. Pruebe que: a) a b ⇒ a2 b2 b) a2 b2 ⇒ a b Demostracion: a) Sean a b ⇒ a2 b2, con a, b ∈ P a b ⇒ a · a b · a Por Teo.9-c ⇒ a2 ab (1.12) Por otro lado tenemos a b ⇒ a · b b · b Por Teo.9-c ⇒ ab b2 (1.13) luego de (1.12) y (1.13) y por el teorema 9-b) tenemos a2 b2 Por lo tanto, si a b ⇒ a2 b2 b) Sean a2 b2 ⇒ a b, con a, b ∈ P Haremos la prueba por contradiccion, es decir asumiremos que a̸ b, es decir que a b a b ⇒ a · a b · a Por Teo.9-c ⇒ a2 ba (1.14) por otro lado a b ⇒ a · b b · b Por Teo.9-c ⇒ ab b2 (1.15) de (1.14) y (1.15) y el teorema 9-b) tenemos que a2 b2, y esto contradice a la hipotesis inicial que es a2 b2. Por lo tanto, es probado que si a2 b2 ⇒ a b A 9. Use el principio de integridad para mostrar que {x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : x − a = 0} ∪ {x ∈ IR : x − b = 0} Demostracion: Como IR es cerrado bajo +′′ y ·′′ entonces x−a, x−b ∈ IR, para x, a, b ∈ IR {x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : (x − a) = 0 ∨ (x − b) = 0} Por Teo.4 20

67. sea P1 la propiedad x − a = 0 del conjunto verdad A1 = {x ∈ IR : x − a = 0} e igualmente, sea P2 la propiedad x − b = 0 del conjunto verdad A2 = {x ∈ IR : x − b = 0} entonces por la de

68. nicion 6 {x ∈ IR : (x − a)(x − b) = 0} = {x ∈ IR : (x − a) = 0 ∨ (x − b) = 0} = {x ∈ IR : P1 ∨ P2} = {x ∈ IR : x − a = 0} ∪ {x ∈ IR : x − b = 0} A 10. Si x, a, b son numeros reales, pruebe que (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab Demostracion: (x − a)(x − b) = x(x − b) + (−a)(x − b) Por A8, Def.9 = x(x) + x(−b) + (−a)(x) + (−a)(−b) Por Teo.1 = x2 − bx − ax + ab Por Def.9 = x2 − (bx + ax) + ab Por Prob. 1-2, Teo.1 = x2 − (b + a)x + ab Por A9 A 11. Describe el siguiente conjunto listando sus elementos {x ∈ IR : x2 + x − 12 = 0} Solucion: En efecto, factorizando el polinomio de segundo grado se tiene x2 + x − 12 = 0 (x − 3)(x + 4) = 0 de donde por el principio de integridad se tiene que x − 3 = 0 ∨ x + 4 = 0 x = 3 x = −4 Entonces el conjunto sera: {3,−4} 12. Muestre que {x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = ∅ 21

69. Demostracion: Sea el conjunto {x ∈ IR : x2 + 1 = 0}, que es el conjunto formado por todos los numeros reales que satisfagan la propiedad x2 + 1 = 0, entonces veamos el conjunto listando todos sus elementos, para ello resolvamos dicho polinomio cuadratico x2 + 1 = 0 x2 = −1 x = ± √ −1 como la operacion ± √ −1 no esta de

70. nida bajo IR entonces, nuestro conjunto no tiene elementos, es decir {x ∈ IR : x2 + 1 = 0} = {∅} A 1.6. El Axioma de Completes Muchas de las propiedades del sistema de numeros reales dependen de el axioma de completes que se da en esta seccion. Antes de de

71. nir el axioma, se dara algunas de

72. niciones preliminares. De

73. nicion 11 Si A es un conjunto de numeros reales y x es el numero mayor o igual que todos los elementos de A, entonces x es llamado una cota superior de el conjunto A. Es decir que cada elemento de A es menor o igual que x, (∃x, ∀a ∈ A se cumple que a ≤ x). Hay que aclarar de que si x es una cota superior de A, quiere decir que x puede como no estar en el conjunto A De

74. nicion 12 El numero x es llamado la menor cota superior o supremo del conjunto A siempre que: 1. x es una cota superior de A. 2. Si y es una cota superior de A, entonces x ≤ y De ahora en adelante, se usara el smbolo A′ para representar al conjunto de todas las cotas superiores del conjunto A. A′ = {x ∈ IR : x es una cota superior de A} De

75. nicion 13 El numero x es supremo o la menor cota superior del conjunto A si: 1. x ∈ A′ 2. y ∈ A′ ⇒ x ≤ y Axioma de Completes. Todo conjunto no nulo de numeros reales que tiene cota superior tiene un supremo. 22

76. 1.7. Una Aplicacion del Axioma de Completes Mostraremos que existe un numero positivo a tal que a2 = 2. El numero a podra ser representado por √ 2. Primeramente se mostrara la existencia de √ 2, esto resulta de que (− √ 2)2 = 2, y por una aplicacion del principio de integridad se muestra que el conjunto {x ∈ IR : x2 = 2} contiene exactamente los elementos √ 2 y − √ 2. La prueba de la existencia de √ 2 podra depender de dos resultados preliminares que ahora se citan Lema 1 Si x es un numero real tal que x2 2, entonces existe un numero real y tal que y x y y2 2. Demostracion: como x es un numero real tal que x2 2, se debe construir un numero y que satisfaga las condiciones del lema: x y ∧ y2 2. Para esto se considerara dos casos Caso I. (x 1): En este caso, sea y = 1 y con esto las dos condiciones del lema se cumplen 1 x ∧ 12 2 Caso II. (x ≥ 1): Para probar este caso, se tratara de encontrar un numero positivo δ tal que (x + δ)2 2 con δ ∈ ⟨0, 1⟩. Entonces y = x + δ debera satisfacer las dos condiciones de lema. Se debera ahora mostrar dos cosas: primero que δ es positivo y segundo que (x + δ)2 2. Para este proposito (x + δ)2 = x2 + 2xδ + δ2 = x2 + (2x + δ)δ ≤ x2 + (2x + 1)δ consideremos δ = 2 − x2 2x + 1 Primeramente se probara que δ es positivo, para tal caso, se ve que tanto el nume-rador como el denominador de la fraccion de δ son positivos debido a que x ≥ 1. Probaremos ahora que (x + δ)2 2, para esto vemos que 2 − x2 es menor o igual que 1, por que x ≥ 1 y 2x + 1 es mayor que 1, por la misma razon, lo que implica que δ 1. Luego podemos escribir que 2 − x2 2x + 1 2 − x2 2x + δ (1.16) ya que el denominador de la primera fraccion es mayor que de la segunda fraccion, entonces δ 2 − x2 2x + δ (1.17) 23

78. nalmente desarrollando la ultima desigualdad se tiene 2xδ + δ2 2 − x2 (1.18) x2 + 2xδ + δ2 2 (1.19) (x + δ)2 2 (1.20) Por lo tanto, el numero y = (x + δ) x y que y2 2, con lo que se prueba el lema. A Lema 2 Si x es un numero real tal que x2 2, entonces existe un numero real y tal que y x y y2 2. Teorema 15 Existe un numero positivo a tal que a2 = 2 Ejercicios 4 1. Pruebe que si a, b, c ∈ P con b c, entonces a/b a/c. Mostrar donde fue usada esta propiedad en la prueba del lema 1. Demostracion: b c ⇒ bb−1 cb−1 Por Teo.13, Teo.9-c) ⇒ 1 cb−1 Por A7 ⇒ c−1 c−1(cb−1) Por Teo.13, Teo.9-c) ⇒ c−11 · b−1 Por A5, A8, A7 ⇒ ac−1 ab−1 Por Teo.13 ⇒ a c a b Por Def.9 ⇒ a b a c Esta propiedad se uso en la prueba del lema 1, cuando se probo que (x+δ)2 2, puesto que δ estaba de

79. nida como 2 − x2 2x + 1 y al compararla con la fraccion 2 − x2 2x + δ se ve que los denominadores tenan la siguiente relacion 2x + 1 2x + δ lo que implico que 2 − x2 2x + 1 2 − x2 2x + δ que es lo que dice la propiedad probada en este ejercicio. A 2. pruebe que la palabra unico en A3 es redundante. 24

80. Demostracion: El axioma A3 dice: Para cada elemento a de IR, existe un unico elemento −a en IR tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. El elemento −a es llamado el negativo (o el opuesto aditivo) de a Para probar que, la palabra unico es redundante en este axioma, se asumira que existen b1 y b2 tales que cumplen b1 + a = a + b1 = 0 b2 + a = a + b2 = 0 donde se debera probar que b1 y b2 son iguales (b1 = b2) b1 = b1 + 0 Por A2 = b1 + (a + b2) Por Hip. = (b1 + a) + b2 Por A1 = 0 + b2 Por A2 b1 = b2 Por lo tanto, la palabra unico es redundante debido a que siempre que se asuma que existe otro elemento inverso aditivo, este siempre va ha resultar el mismo numero pero con signo opuesto. A 3. En la prueba del lema 1, justi

81. que los pasos que van de las desigualdades (1.17) a (1.18) y de (1.18) a (1.19). Formule y pruebe una proposicion justi

82. cando el paso de (1.19) a (1.20) Demostracion: a) De (1.17) a (1.18) De la desigualdad (1.17) tenemos que δ 2 − x2 2x + δ δ (2 − x2)(2x + δ)−1 Por Def.9 Como x ≥ 1 y en la fraccion 2 − x2 2x + δ el denominador es siempre positivo debido a que δ = y − x con y x, entonces δ(2x + δ) [ (2 − x2)(2x + δ)−1] (2x + δ) Por Teo.9-c) 2δx + δ2 (2 − x2) [ (2x + δ)−1(2x + δ) ] Por Teo.1, A5 2δx + δ2 (2 − x2)(1) Por A7 2δx + δ2 2 − x2 b) De (1.18) a (1.19) 25

83. De la desigualada (1.19) se tiene: 2δx + δ2 2 − x2 (2δx + δ2) + x2 − 22 [ (2 x) + ] xPor Teo.9-A) (2δx + δ2) + x2 2 + (−x2) + x2 Por Def.9 x2 + 2δx + δ2 2 + (−x2 + x2) Por A4, A1 x2 + 2δx + δ2 2 + 0 Por A3 x2 + 2δx + δ2 2 Por A2 c) De (1.19) a (1.20) Propocion 1 Sean a, b ∈ IR se cumple que a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Antes de probar esta propiedad, debemos probar dos propiedades importan-tes dentro del algebra en los numeros reales. Propiedad 1 Para todo a ∈ IR y n,m ∈ Z se cumple que an · am = an+m Demostracion: Por de

84. nicion de potencia de un numero sabemos que an = |a.a.a.a{.z...a.a.a} n factores en nuestro caso an · am = (|a · a · {..z. · a · a} n factores )(|a · a · {..z. · a · a} m factores ) Def. de Potencia = |a · a · {..z. · a · a} n factores · |a · a · {..z. · a · a} Asoc. Extendida = |a · a · {..z. · a · a} m+n factores Union de conjuntos disjuntos an · am = am+n Propiedad 2 Para todo a ∈ IR, se cumple que a + a = 2a Demostracion: a + a = 1 · a + 1 · a = (1 + 1)a = 2a Finalmente demostraremos la proposicion 1 a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 Propiedad 2 = a(a + b) + b(a + b) Teo.1 = (a + b)(a + b) A9 = (a + b)2 Propiedad 1 Para nuestro caso de la desigualdad (1.18) x2 + 2δx + δ2 2 (x + δ)2 2 Por Proposicion 1 26

85. A 4. De una prueba detallada de que el numero 2 es una cota superior de el conjunto {x ∈ IR : x2 2} Demostracion: Una forma de demostrar que un numero real c es una cota superior de A es probar que ningun numero real x c pertenece a A. Veamos si c = 3 2 es una cota superior de A. En efecto si x c se tiene: x c ⇒ x2 c2 ⇒ x2 ( 3 2 )2 ⇒ x2 9 4 2 ⇒ x2 c2 2 Por lo tanto x̸∈ A. Esto quiere decir que no existe ningun numero real x c que pertenezca a A. Siguiendo el mismo concepto de la demostracion anterior probemos ahora que 2 es una cota superior de A, para ello c = 2 x c ⇒ x2 c2 ⇒ x2 4 2 Por lo tanto x̸∈ A, lo que implica que 2 es una cota superior de A. Ahora veamos otro modo de probar que 2 es una cota superior de A, para esto deberemos probar que ∀x ∈ A con x2 2, se debe cumplir que x 2. En efecto, sea x2 2 y ademas se ve que 2 22, luego por el Teorema9-b) se tiene que x2 2 Pero por el problema 8-3 parte b) (a2 b2 ⇒ a b) se tiene x2 22 ⇒ x 2 que era lo que queramos probar, por lo tanto 2 es una cota superior de A. A 5. Pruebe que si A tiene un supremo, entonces este supremo es unico. Demostracion: Sabemos por el teorema 15 que existe un numero positivo tal que x2 = 2 de donde podemos concluir que x2 = 2 ⇒ √ x2 = √ 2 Def. Radical ⇒ |x| = √ 2 ⇒ { x = √ 2 −x = √ 2 Def. Valor Absoluto ⇒ x = ± √ 2 27

86. Tomaremos el + √ 2 debido a que estamos buscando el supremo del conjunto A. Entonces sea c = √ 2, veamos si c es el supremo de A, por la de

87. nicion de supremo (De

88. nicion 15) debera cumplir que c es una cota superior de A y que si es una cota superior entonces ∀x ∈ A, se cumplira que x ≤ c a) Probaremos que c es una cota superior de A Para esto bastara probar que ningun x c pertenece a el conjunto A x c ⇒ x2 c2 Prob. 8-3 ⇒ x2 ( √ 2)2 Hip. ⇒ x2 2 Por lo tanto x̸∈ A, lo que quiere decir que c es una cota superior de A b) Probaremos que ∀x ∈ ⇒ x ≤ c En efecto x ∈ A ⇒ x2 2 ⇒ √ t √ 2 ⇒ x c Por lo tanto c = √ 2 es el supremo del conjunto A Veamos ahora que c es unico, para ello asumiremos que existen c1 y c2 supremos de A esto quiere decir que ∀x ∈ A, { c1 = √ 2 x ≤ c1 y { c2 = √ 2 x ≤ c2 bastara probar que c1 = c2, en efecto c1 ≥ x ⇒ c21 ≥ x2 Prob. 8-3 22 ⇒ 2 ≥ x2 Hip. ⇒ c≥ x2Hip. ⇒ c2 ≥ x Prob. 8-3 Por lo tanto c1 = c2 A 6. Dar una de

89. nicion de cota inferior y la mayor de las cotas inferiores (In

90. mo) de un conjunto de numeros reales. Solucion: Analogo a la de

91. nicion 11 diremos que: De

92. nicion 14 Si A es un conjunto de numeros reales e y es el numero menor o igual que todos los elementos de A, entonces y es llamado una cota inferior de el conjunto A. De

93. nicion 15 El numero y es llamado la mayor cota inferior o In

94. mo del con-junto A siempre que: 28

95. a) y sea una cota inferior de A. b) Si x es una cota inferior de A, entonces y ≥ x 7. Use el axioma de completes para probar lo siguiente: todo conjunto no nulo de numeros reales que tiene una cota inferior, tiene una mayor cota inferior(n

96. mo). Sugerencia: Sea A′ que representa al conjunto de las cotas inferiores de A. Aplique el axioma de completes a el conjunto A′ Demostracion: Sea A un conjunto de numeros reales no nulo que posee una cota inferior c tal que ∀x ∈ A se cumple que c ≤ x, de

97. niremos ahora el conjunto A′ = {c ∈ IR : c es una cota inferior de A} como el conjunto de todas las cotas inferiores del conjunto A. Como A′ es no nulo por que al menos existe c (por hipotesis del problema), ademas c ≤ x, esto quiere decir que A′ esta acotado superiormente por cualquier elemento de A y por el axioma de completes el conjunto A′ tiene un supremo C tal que ∀c ∈ A′ se cumple que c ≤ C, luego C ∈ A′ , es decir que C es a mayor de las cotas inferiores, es decir es el n

98. mo. A Observacion: Del resultado anterior se puede concluir que si nf(A) = C en-tonces se cumple la siguiente nf(A) = −sup(A) 8. Muestre que para algun conjunto A de numeros reales se cumple que A ⊂ (A′)′ Demostracion: Como A es un conjunto de numeros reales, entonces podemos de

99. nir los siguientes conjuntos A′ = {s ∈ IR : s ≥ x} A′ = {c ∈ IR : c ≤ x} luego el conjunto (A′)′ es el conjunto de todas las cotas inferiores del conjunto de las cotas superiores, es decir (A′)′ = {c ∈ IR : c ≤ s} pero por el teorema 9-b) sabemos que c ≤ x ∧ x ≤ s ⇒ c ≤ s entonces (A′)′ = {c, x ∈ IR : c ≤ x ∧ x ≤ s} A como x ≤ s entonces los elementos del conjunto A tambien son cotas inferiores de A′, de donde se concluye que A ⊂ (A′)′ 29

100. 1.8. El Conjunto de los Enteros Primeramente vamos a llamar al conjunto J = {1, 2, 3, . . .} como el conjunto de los enteros positivos. Ahora vamos a asumir que J es un subconjunto del sistema de numeros reales y en consecuencia el conjunto J hereda algunos axiomas del sistema de numeros reales. Veamos ahora ciertos axiomas del mismo conjunto J. Axiomas para los Enteros Positivos J1. 1 ∈ J J2. J ⊂ P J3. El conjunto J es cerrado bajo la adicion y la multiplicacion. J4. Si p y q son elementos de J tal que p q, entonces p − q es un elementos de J. J5. Todo subconjunto no nulo de J contiene por lo menos un elemento. Como una primera consecuencia de estos axiomas, se~nalaremos que un numero no negativo es un entero positivo y que el numero 0 es no es un entero positivo. Vamos ahora a de

101. nir el conjunto K por: K = {x ∈ IR : −x ∈ J} donde los elementos de K son llamados enteros negativos. Observese que K ∩ J = ∅. Finalmente vamos a de

102. nir el conjunto de los numeros enteros por Z = K ∪ {∅} ∪ J Teorema 16 El conjunto Z de enteros es cerrado bajo la adicion, sustraccion y mul-tiplicaci on. 1.9. Division de Enteros Si a, b y x son enteros tales que a = bx y b̸= 0, entonces x es llamado el cociente producido cuando a es dividido por b. Ya que los enteros no son cerrados bajo la divi-si on, no es necesario que exista un x para los enteros a y b, de

103. niremos entonces a b como un divisor de a si existe un x tal que a = bx. y n Si m son enteros y si un entero b es divisor de ambos, entonces b es llamado Comun Divisor de m y n. La notacion b|a (se lee b divide a a) es usado para indicar que b es un divisor de a. De

104. nicion 16 Un entero b es un Maximo Comun Divisor de los enteros m y n si las siguientes dos condiciones sean ciertas: b|m ∧ b|n (1.21) y y|m ∧ y|n ⇒ y|b (1.22) 30

105. El smbolo (m, n) sera usado para indicar el maximo comun divisorde m y n. Un numero entero primo es un entero que no tiene divisor positivo mas que el mismo y el 1. Si m y n son entero cuyo maximo comun divisor es 1, entonces m y n son llamados primos relativos. Teorema 17 Si a y b son enteros positivos y si b divide a a, entonces b = (b, a). Demostracion: Bastara con veri

106. car las condiciones (1.21) y (1.22), es decir b|b ∧ b|a y y|b ∧ y|a ⇒ y|b de la primera condicion se ve que b divide a b puesto que existe un numero 1 tal que b = 1 · b, y b divide a a por hipotesis. La segunda condicion es claro ya que si y divide a b y y divide a a, entonces ciertamente y divide a b. A 1.10. El Principio de Buen Orden De

107. nicion 17 Un conjunto de numeros reales es bien ordenado con tal de que cada subconjunto no vaco contiene un mnimo elemento. El axioma J5 es llamado el el principio de buena ordenacion del los enteros positivos. Una ilustracion del uso del axioma se ve en el siguiente teorema. Teorema 18 Si a y b son enteros positivos tal que ab = 1, entonces a = 1 y b = 1. Teorema 19 El numero 1 es el mnimo entero positivo Teorema 20 Si a y b son enteros positivos tales que a|b y b|a , entonces a = b. Teorema 21 Si d1 y d2 son los maximos comunes divisores de m y n, entonces d1 = d2. Teorema 22 (La propiedad arquimediana de los numeros reales.) Para algu-nos numeros reales a y b con a̸= 0, entonces existe un entero n tal que an b Demostracion: Vamos a considerar el caso donde a y b son ambos positivos. Sea el conjunto S = {x ∈ IR : x = an para algun n ∈ J} sea b es una cota superior de S de modo que S tenga un supremo d. Entonces d−a no es una cota superior de S. Esto implica que existe un y ∈ S tal que y d − a Como y ∈ S entonces y = an para algun n ∈ J, entonces se tiene an d − a de donde se concluye que a(n + 1) d, que es una contradiccion ya que se dijo que d era el supremo de S. entonces se concluye que d no es una cota superior de S. lo que prueba que b no es una cota superior de S ya an b con n ∈ J. A 31

108. Ejercicios 5 1. Liste todos los enteros primos menores que 100 Solucion: Los numeros enteros primos menores que 100 son: 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, 59,61,67,71,73,79,83,89,97 2. Liste todos los enteros positivos menores que 40 los cuales son primos relativos a 20. Solucion: Dos numeros enteros a y b se llaman primos relativos si el maximo comun divisor de estos es 1, es decir (a, b) = 1. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, entonces los primos relativos menores que 40 de 20 son: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39 3. Lista todos los divisores de 40. Solucion: El divisor de un numero es aquel numero que esta contenido en el primero un numero exacto de veces. Entonces los divisores de 40 son: 2, 4, 5, 8, 10, 20 4. Lista todos los divisores comunes de 40 y 50. Solucion: Son los siguientes 2, 5, 10, donde de 5. Lista todos los divisores comunes de 0 y 12 Solucion: Como todos los numeros son divisores del cero entonces los divisores comunes del 0 y del 12 van ha ser los divisores del 12, los cuales son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 6. Cuales de los siguientes conjuntos tiene un mnimo elemento? a) El conjunto de los enteros positivos El conjunto J de los enteros positivos si tiene un mnimo elemento que es el 1, ya que ningun elemento de J es mayor que 1 b) El conjunto de los numeros enteros negativos El conjunto K de los enteros negativos no tiene un mnimo elemento puesto que cualquier elemento de K es menor que 0, es decir que mientras mas grande sea el numero negativo, este sera mucho menor de el que lo antecede. c) El conjunto de los enteros El conjunto de los numeros enteros no tiene un elemento mnimo debido a que ∀x ∈ Z siempre existe un numero −y tal que −y x, esto debido a que el conjunto de los Z no es acotado inferiormente. 32

109. d) El conjunto de los enteros primos Sea el conjunto de los enteros primos denotado de la siguiente manera Pr = {1, 2, 3, 5, 7, 11, .., } donde cada uno de sus elementos solo tiene 2 divisores que son la unidad y el mismo numero. El conjunto Pr tiene un mnimo elemento que es el 1, puesto que ningun otro elemento de Pr es menor que 1. e) El conjunto nulo Como este conjunto no posee elementos, es imposible que tenga un mnimo elemento. f ) El conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000 Denotemos por S al conjunto de los enteros primos mayores que 1 000 000, donde su primer elemento va ha ser el 1 000 001, y ademas este es su mnimo elemento. 7. Mostrar que 4, 8 y 12 son elementos del conjunto A = {x ∈ J : x = 8m + 12n para cualquier m, n ∈ Z} La notacion aqu indica que x es un elemento de A si y solo si existen enteros m y n tales que x = 8m + 12n. Solucion: Para mostrar que 4, 8 y 12 son elementos de A bastara con encontrar enteros m y n, tales que cumplan que x = 8m + 12n, sean entonces 4 = 8(1) + 12(−1), donde m = 1, n = −1 8 = 8(1) + 12(0), donde m = 1, n = 0 12 = 8(0) + 12(1), donde m = 0, n = 1 8. Liste los cinco enteros mnimos del conjunto {x ∈ J : 4m + 6n para algunos m, n ∈ Z} Solucion: Sabemos si d es el maximo comun divisor de a y b entonces d es el menor entero (no nulo) que puede ser expresado por la forma d = ax + by donde x, y ∈ Z. En virtud de lo anterior dicho hallemos el mcd de 4 y 6, que es 2, es decir mcd(6, 4) = 2 2 = 4(−1) + 6(1) en donde, para nuestro caso m = −1 y n = 1, y este es el menor entero del conjunto, luego los siguientes cuatro elementos que les sigue en orden son: 4 = 4(1) + 6(0), donde m = 1, n = 0 6 = 4(0) + 6(1), donde m = 0, n = 1 33

110. 10 = 4(1) + 6(1), donde m = 1, n = 1 14 = 4(2) + 6(1), donde m = 2, n = 1 no se considera el elemento 0 puesto x ∈ J (enteros positivos) 9. Liste los cinco menores enteros del conjunto {x ∈ J : x = 12m + 5n para algunos m, n ∈ Z} Solucion: Analogo al ejercicio anterior, el mcd(12, 5) = 1 que es el menor entero del con-junto, puesto que 12 y 5 son primos entre si, entonces los cinco menores enteros de este conjunto son: 1 = 12(−2) + 5(5) con m = −2 y n = 5 2 = 12(1) + 5(−2) con m = 1 y n = −2 3 = 12(−1) + 5(3) con m = −1 y n = 3 4 = 12(2) + 5(−4) con m = 2 y n = −4 5 = 12(0) + 5(1) con m = 0 y n = 1 10. Sea a y b enteros positivos

111. jos y sea d el menor entero del conjunto {x ∈ J : x = am + bm para algun m, n ∈ Z} Haga una suposicion de la relacion entre los enteros d y el par a, b. Encuentra algunos ejemplos que proporcionen evidencia para corroborar su suposicion. Solucion: Como d es el menor entero del conjunto dado, y como a y b son enteros

112. jos, quiere decir que la combinacion d = am + bn es la mnima combinacion lineal que se puede hacer para todo m, n ∈ Z. Supon-dremos entonces que si d puede expresarse como la mnima combinacion lineal, entonces d es el maximo comun divisor de a y b. Para probar dicha suposicion, primero tendremos que probar que d|(am + bn), en efecto a) Si d es divisor de a y b entonces d|(a + b) Como d|a y d|b, entonces por de

113. nicion de division existiran q1 y q2 no nulos tal que a = q1d ∧ b = q2d Sumando a y b se tiene a + b = q1d + q2d = (q1 + q2)d a + b = q′d 34

114. donde q1 + q2 = q′ (por cerradura en los Z), y por de

116. nicion de division en Z existiran q1 y q2 no nulos, tales que a = q1d ∧ b = q2d multiplicando a y b se tiene ab = (q1d)(q2d) ab = d[q1(q2d)] ab = dq′′ donde q′′ = q1(q2d), y por de

117. nicion de division en Z d|ab c) Dados dos enteros

119. nicion de maximo comun divisor y por lo anterior dicho se concluye que d = mcd(a, b), veamos algunos ejemplos a) Dado el conjunto S = {x ∈ J : x = 520m + 144n, para algunos m, n ∈ Z} donde su menor entero va ha ser, segun nuestra ultima a

120. rmacion el maximo comun divisor de 520 y 144, y este es 3 1 1 1 1 3 520 144 88 56 32 24 8 88 56 32 24 8 0 de donde el menor entero es 8 = mcd(520, 144) = 520m + 144n 35

121. 11. Use el teorema 19 para completar la prueba del teorema 18 Demostracion: La prueba consista en que se tena que excluirse las posibi-lidades de que a 1 y a 1 y por la ley de la tricotoma se poda concluir de que a = 1, asumiendo por hipotesis de que b = 1, lo que faltaba probar era que a no puede ser menor que 1 como ab = 1 entonces b = a−1, pero si a 1 entonces ocurre que a 1 ⇒ a(a−1) 1(a−1) Teo 9-c) ⇒ 1 a−1 A6 Es decir que b 1, pero por hipotesis b = 1, y por el teorema 19 b es el menor entero. Por lo tanto a no puede ser menor que 1 A 1.11. El Algoritmo de la Division La siguiente aplicacion del principio de buena ordenacion, involucra la idea de valor absoluto de numeros reales. De

122. nicion 18 Para todo numero real x, el numero |x| (llamado el valor absoluto de x) esta dado por i) |x| = x si x es positivo ii) |x| = 0 si x = 0 iii) |x| = −x si x es negativo Teorema 23 (El Algoritmo de la Division para Enteros.) Si m y n son enteros con n̸= 0, entonces existen enteros q y r tales que m = nq + r y 0 ≤ r |n| Teorema 24 Si a y b son enteros ambos no ceros, entonces el conjunto S = {x ∈ J : x = am + bn para cualquier m, n ∈ Z} contiene al menor entero d. Este entero es el maximo comun divisor positivo de a y b. Teorema 25 Si a y b son enteros no ambos nulos, entonces el conjunto S = {x ∈ J/ x = am + bn para algunos m, n ∈ Z} contiene un menor entero d. Este entero positivo es el maximo comun divisor de a y b Teorema 26 Si d = (a, b) entonces existen enteros m y n tales que d = am + bn Teorema 27 Si m, n, q y r son enteros tales que m = nq + r y n̸= 0, entonces (m, n) = (n, r) Teorema 28 si a, b y c son enteros tales que a y b son primos relativos y a es un divisor de bc, entonces a es un divisor de c. 36

123. Ejercicios 6 1. Lista todos los maximos comunes divisores de los siguientes pares de enteros. a) 10 y 12 1 5 12 10 2 2 0 ) mcd(12, 10) = 2 b) 20 y 25 1 4 25 20 5 5 0 ) mcd(25, 20) = 5 c) 16 y 20 1 4 20 16 4 1 4 ) mcd(20, 16) = 4 d) 0 y -3 Como el 0 y -3 son primos relativos, entonces el mcd(0,−3) = 1 e) 18 y 20 1 9 20 18 2 2 0 ) mcd(20, 18) = 2 f ) 11 y -19 Estos dos numeros son primos entre si por lo que su mcd(−19, 11) = −1 2. Encuentre el maximo comun divisor de los enteros m y n del teorema 26 para cada par de enteros del problema anterior. Solucion: a) Como el mcd(12, 10) = 2, entonces: 2 = 12 − (1)10 2 = (1)12 + (−1)10 ) m = 1, n = −1 b) Como el mcd(25, 20) = 5, entonces: 5 = 25 − 20 5 = 25(1) + 20(−1) ) m = 1, n = −1 37

124. c) Como el mcd(20, 16) = 4, entonces: 4 = 20 − 16(1) 4 = 20(1) + 16(−1) ) m = 1, n = −1 d) Como el mcd(20, 18) = 2, entonces 2 = 20 − 18 = 20(1) + 18(−1) ) m = 1, n = −1 e) Como el mcd(11,−19) = −1, entonces −1 = −3 − (−2)(1) = −3 − (−8 − (−3)(2)) = −3(3) − (−8) = 3(−19 − 2(−8)) − (−8) = 3(−19) + (−7)(−8) = 3(−19) + (−7)(11 − (−19)(−1)) = (−7)11 + (−4)(−19) ) m = −7, n = −4 3. Encuentre los enteros m y n tales que 11m + 19n = 1 Solucion: Por el algoritmo de Euclides sabemos que el mcd(19, 11) = 1 1 1 2 2 1 19 11 8 3 2 1 8 3 2 1 0 1 = 3 − 2(1) = 3 − (8 − 3(2)) = 3(3) − 8 = 3(11 − 8) − 8 = 3(11) − 4(8) = 3(11) − 4(19 − 11) = 7(11) + (−4)19 ) m = 7, n = −4 4. Si usted tiene un equilibrio ordinario de recipientes y un suministro grande de once pesos de grano y diecinueve pesos de grano, cuantos peso de cada tipo que debe ponerse en las dos recipientes para que la diferencia fuera un grano? Solucion: 38

125. Como se tiene dos tipos de pesos de grano (uno de once y otro de diecinueve) y segun la hipotesis del problema se tiene un equilibrio ordinario, es decir se tiene una relacion de igualdad entre estos dos tipos de pesos de grano. Se tiene dos recipientes A y B para cada tipo de peso de grano, en la cual se debe poner cierta cantidad de tipo de grano para que la diferencia entre estos dos recipientes sea uno, es decir 11A − 19B = 1 lo que nos pide hallar son los valores de A y B, y que por el ejercicio anterior sabemos que A = 7 y B = 4 5. Lista todos los

126. ntegers primos menores que 5. Solucion: Sabemos que los

127. ntegers son los elementos del conjunto F = {a, n ∈ J; n + a 2n , con a 2n} de donde los elementos de este conjunto son F = {1, 3 2 , 2, 9 4 , 10 4 , 11 4 , 3, 25 8 , 26 8 , 27 8 , 28 8 , 29 8 , 30 8 , 31 8 , 4, 65 16 , 66 16 , 67 16 , 68 16 , 69 16 , 70 16 , 71 16 , 72 16 , 73 16 , 74 16 , 75 16 , 76 16 , 77 16 , 78 16 , 79 16 } de donde los

128. ntegers primos menores que 5 son {1, 3 2 , 2, 9 4 , 10 4 , 11 4 , 3, 25 8 , 26 8 , 27 8 , 28 8 , 29 8 , 30 8 , 31 8 , , 65 16 , 66 16 , 67 16 , 68 16 , 69 16 , 70 16 , 71 16 , 72 16 , 73 16 , 74 16 , 75 16 , 76 16 , 77 16 , 78 16 , 79 16 } 6. Pruebe que no hay enteros entre n y n + 1 Demostracion: Haremos esta prueba por el absurdo, para esto, sabemos que para cualquier n, n + 1 ∈ Z donde n n + 1, ahora supongamos que existe un numero a ∈ Z tal que n+a = n+1 y esta entre n y n+1, es decir que se cumple ademas que n + 1 a n de donde n + 1 − a 0 (1.23) a − n 0 (1.24) tenemos que n + a = n + 1 Por Teo.2 a = 1 39

129. que reemplazando este ultimo resultado en (1.23) y (1.24) se tiene: n + 1 a a n n + 1 − a 0 1 n n + 1 − 1 0 n 1 n 0 que claramente es una contradiccion puesto que n y n + 1 son numeros enteros. Por lo tanto no existe un entero entre n y n + 1. A 7. Pruebe que el conjunto J es solo un subconjunto de IR satisfaciendo los axiomas J1 hasta J5. Sugerencia: Sea L un conjunto satisfaciendo estos axiomas. Considerar el con-junto {x ∈ J : x̸∈ L}. Pruebe que L = J. Esto signi

130. ca que ciertos axiomas o parte de estos axiomas en estos conjuntos son redundantes y no son necesarios para describir completamente al conjunto J 1.12. Los Numeros Racionales El conjunto de numeros racionales forman un conjunto importante que es cerrado bajo las cuatro operaciones fundamentales. De

131. nicion 19 Un numero racional es un numero real que es el cociente de dos enteros. si un numero real dado que x esta bajo la consideracion, que pueden o no existir dos enteros p y q tales que x = p q . Si tales enteros existen entonces por de

132. nicion x es un numero racional, pero si no existen, el numero x es un numero irracional. Ahora se puede clasi

133. car a los numeros reales dentro de una de las dos categoras, pero no se puede decir que es trivial determinar a que clase pertenece. Teorema 29 Si a y b son numeros reales con a b, entonces existe un numero racio-nal r tal que a r b Teorema 30 El numero real √ 2 es irracional. Demostracion: Para probar que √ √ 2 es un numero irracional √ debemos probar que 2 no puede ser escrito como un racional, es decir, que 2 no puede ser escrito de la forma √ 2 = a b . Haremos esta demostracion por el absurdo, asumiendo que √ 2 = a b , donde a y b son enteros tales que 1 = (a, b). Entonces se ve que 2b2 = a2, que indica que 2 puede ser un divisor de a2, lo que implica que 2 puede er un divisor de a, en otra palabras a = 2c, para algun entero c. De donde se tiene que 2b2 = 4c2 y de aqu b2 = 2c2 de donde se concluye que 2 es divisor de b (→←). Esto ultimo es una contradiccion de la suposicion de que el mcd(a, b) = 1, por lo tanto √ 2 es un numero irracional. A El smbolo Q sera reservado para representar el conjunto de numeros racionales. Teorema 31 El conjunto Q de numeros racionales es cerrado bajo la adicion, sustrac-ci on, multiplicacion y division. 40

134. 1.13. Campos y Anillos de Numeros Reales Vamos a de

135. nir un sistema de numeros como un subconjunto no nulo S del conjunto de numeros reales cerrado bajo la adicion y multiplicacion. El conjunto S es llamado el conjunto fundamental del sistema de numeros De

136. nicion 20 Si un sistema de numeros satisface los axiomas algebraicos (Axiomas A1 hasta A9) entonces el sistema de numeros es llamado el campo de numeros reales. Teorema 32 Un sistema de numeros S es un campo de numeros reales si y solo si este es un conjunto fundamental cerrado bajo la adicion, sustraccion, multiplicacion y division. De

137. nicion 21 Un sistema de numeros es llamado un anillo de numeros reales con tal que este conjunto fundamental este cerrado bajo la adicion, sustraccion y multiplicacion. Consideremos al conjunto de todos los numeros reales de la forma a + b √ 2, donde √ 2) a, b ∈ Z, Este conjunto puede ser simbolizado por Z( √ 2) es un anillo de numeros reales. Teorema 33 El conjunto Z( En forma analoga con la de

138. nicion del conjunto Z( √ 2) podemos de

139. nir el conjunto Q( √ 2) como el conjunto de todos los numeros reales de la forma z+b √ 2 donde a, b ∈ Q. √ 2) es un campo de numeros reales. Teorema 34 El conjunto Q( Demostracion: Se probara solo una parte, que es que Q( √ 2) es cerrado bajo la √ 2) con y̸= 0, entones x = a + b division. Sean x, y ∈ Q( √ 2 e y = c + d √ 2, donde a, b, c, d ∈ Q ademas con c, d̸= 0. Entonces x y = a + b √ 2 √ 2 c + d = (a + b √ 2)(c − d √ 2) √ 2)(c − d (c + d √ 2) = (ac − 2bd) c2 − 2d2 + √ 2 (bc − ac) c2 − 2d2 Como el numero c2−2d2 no puede ser cero, entonces los numeros ac−2bd c2−2d2 y bd−ad c2−2d2 ambos y es un elemento de Q( son numeros racionales. Por lo tanto x √ 2). A √ 2) ⊂ Q( Tambien es claro que Z( √ 2) Teorema 35 El numero real √ 3 no esta en el campo Q( √ 2) 41

140. Ejercicios 7 1. Para cualquier decimal repetido tal como y = 1,24121212 . . . es un numero racio-nal. El dispositivo siguiente puede ser usados en la expresion y como el cociente de dos enteros: 100y = 134,121212 y = 1,341212 99y = 132,78 y = 13278 9900 = 2213 1650 Exprese cada uno de los siguientes numeros es cocientes de enteros. a) 3.1416 b) .101010 c) 1.232323 d) 1.234234234 Solucion: a) y = 3,1416, entonces 10000y = 11416 y = 31416 10000 y = 3927 1250 b) y = 0,101010 . . ., entonces 99y = 9,999 y = 9999 99000 y = 1111 11000 c) 1,232323 . . ., entonces 99y = 121,9977 y = 1219977 990000 y = 12323 10000 d) y = 234234234 . . ., entonces 999y = 1232,766 y = 1232766 999000 y = 22829 18500 42

141. 2. Completar la prueba del teorema 33 √ 2) es cerrado bajo la adicion y Demostracion: Queda por demostrar que Z( √ 2), sustraccion. Para ambos casos se tomaran los siguientes elementos x, y ∈ Z( donde √ 2 x = a + b √ 2 y = c + d con a, b, c, d ∈ Z Bajo la Adicion √ 2 + c + d x + y = a + b √ 2 = a + c + b √ 2 + d √ 2 √ 2 = (a + c) + (b + d) como a, b, c, d ∈ Z y los numeros enteros es cerrado √ bajo la adicion, entonces (a + c), (b + d) ∈ Z. Por lo tanto x + y ∈ Z( 2) Bajo la Sustraccion x − y = a + b √ 2 − (c + d √ 2) = a + b √ 2 + (−1)(c + d √ 2) Por Prob1-2 = a + b √ 2 + (−1)c + (−1)d √ 2 Por Teo. 1 = a + b √ 2 − c − d √ 2 Por Prob1-2 = a − c + b √ 2 − d √ 2 = (a − c) + (b − d) √ 2 por A9 como a, b, c, d ∈ Z y los numeros enteros es cerrado √ bajo la sustraccion, entonces (a + c), (b − d) ∈ Z. Por lo tanto x − y ∈ Z( 2) √ 2) es un anillo de numeros reales. A Con lo que se concluye que Z( 3. En la demostracion del teorema 34 se dijo que c2 − 2d2 no era cero. pruebe por que. Demostracion: Probaremos esto por el absurdo, para esto supondremos que c2 − 2d2 es igual a cero, entonces c2 − 2d2 = 0 c2 = 2d2 c2 d2 = 2 √ c d = 2 c d = √ 2 Pero eso es contradictorio puesto que por el teorema 30 sabemos que √ 2 es un numero irracional, es decir que no se puede escribir como el cociente de dos numeros. Por lo tanto c2 − 2d2 no es cero. A 43

142. Captulo 2 Grupos 2.1. Operaciones Binarias De

143. nicion 22 Una operacion binaria ∗ en un conjunto S, es una regla que asocia a cada par ordenado de elementos de S, algun elemento de S. Comentarios: i) Si ∗ : S×S → S es una operacion binaria en S, denotaremos por a∗b al elemento asociado al par (a, b) por ∗. ii) La palabra par ordenado es muy importante en la de

144. nicion anterior pues es posible que a ∗ b̸= b ∗ a Ejemplo 1 Si S = Z+ y a ∗ b = { min{a, b} Si a̸= b a Si a = b , entonces ∗ es una opera-ci on binaria en S, debido a que a ∗ b ∈ S para todo (a, b) ∈ S × S, siendo a ∗ b = a Si a b a ∗ b = b Si a b a ∗ b = a Si a = b En particular, 2 ∗ 11 = 2; 15 ∗ 10 = 10; 2 ∗ 2 = 2 Ejemplo 2 Si S = Z+ y a∗′ b = a, entonces ∗′ es una operacion binaria en S porque a ∗′ b ∈ S para todo a, b ∈ S. En particular, tenemos 2 ∗′ 3 = 2 y 3 ∗′ 2 = 3. Esto signi

145. ca que la operacion binaria ∗′ en Z+ depende del orden del par (a, b) dado. Mientras que la operacion binaria ∗ en Z+dado en el ejemplo 1.2.1 no depende del orden del par dado, pues a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ Z+. Ejemplo 3 Sean S = Z+ y a ∗ b = a − b . . . . . . (1), entonces determinar si ∗ es una operacion binaria en S. Solucion: Para concluir que ∗ de

146. nido en (1) no es una operacion binaria en S tenemos que exhibir algun (a, b) ∈ S × S tal que a ∗ b /∈ S Claramente existe (1, 2) ∈ S × S tal que 1 ∗ 2 = 1 − 2 = −1 /∈ S. Por lo tanto, la operacion ∗ del ejemplo 1.2.3 no es una operacion binaria en S. 44

147. Ejemplo 4 Si S = Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} y a ∗ b = a − b para todo a, b ∈ S, entonces consideremos el problema de calcular a ∗ b ∗ c. Sabemos que una operacion binaria ∗ permite combinar solo dos elementos y aqui hay tres. As las distintas maneras de combinar tres elementos a, b, c ∈ S son (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c). Con ∗ de

148. nida en el ejemplo 1.2.1: (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ 9 = 2; 2 ∗ (5 ∗ 9) = 2 ∗ 5 = 2, luego 2 ∗ 5 ∗ 9 = (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ (5 ∗ 9). Por consiguiente, en el ejemplo 1 esta de

149. nido a ∗ b ∗ c. Ejemplo 5 Si S = Z+ y a∗′′ b = a∗b+2, donde ∗ es la operacion binaria del ejemplo 1, entonces a ∗′′ b ∗′′ c no esta de

150. nida. En otras palabras a ∗′′ b ∗′′ c es ambigua. En efecto: para a = 2, b = 5, c = 9 tenemos (2 ∗′′ 5) ∗′′ 9 = (2 ∗ 5 + 2) ∗′′ 9 = (2 + 2) ∗′′ 9 = 4 ∗′′ 9 = 4 ∗ 9 + 2 = 4 + 2 = 6 2 ∗′′ (5 ∗′′ 9) = 2 ∗′′ (5 ∗ 9 + 2) = 2 ∗′′ (5 + 2) = 2 ∗′′ 7 = 2 ∗ 7 + 2 = 2 + 2 = 4 Por consiguiente, siendo 6̸= 4 la expresion a ∗′′ b ∗′′ c no esta de

151. nida. 2.1.1. Operaciones Binarias con Tablas Mediante una tabla para un conjunto

152. nito se puede de

153. nir una operacion binaria Ejemplo 6 La siguiente tabla de

154. ne la operacion binaria ∗ en S = {a, b, c} median-te la regla (i-esimo lugar en la izquierda)∗(j-esimo lugar arriba)=lugar en el i-esimo renglon y j-esima columna del cuerpo de la tabla. ∗ a b c a b c b b a c b c c b a Se observa que: i) a ∗ b = c y b ∗ a = a. Por consiguiente ∗ no es conmutativa. ii) c ∗ (a ∗ b) = c ∗ c = a y (c ∗ a) ∗ b = c ∗ b = b. Por consiguiente ∗ no es asociativa. En este caso el conjunto S na esta formado por numeros, entonces es comprensible que las operaciones binarias pueden de

155. nirse en cualquier conjunto. 45

156. 2.1.2. Criterios para De

157. nir una Operacion Binaria. Se observa que al de

158. nir una operacion binaria ∗ en un conjunto S debemos estar seguros de que: 1. Se asigne exactamente un elemento a cada par posible de elementos de S. 2. Para cada par ordenado de elementos de S, el elemento asignado este en S. Si se infringe la condicion 2, entonces se dice que S no es cerrado bajo ∗. Caso contrario se dice que S es cerrado bajo ∗. Ejemplo 7 Si se de

159. ne ∗ : Q × Q → Q por a ∗ b = a/b Observamos que existe (2, 0) ∈ Q×Q tal que 2∗0 = 2/0 no esta de

160. nido. Esto signi

161. ca que falla la condicion (1) para ∗,por lo tanto ∗ no es una operacion binaria en Q. Ejemplo 8 Si se de

162. ne ∗ : Z+ × Z+ → Z+ por a ∗ b = a/b Observamos que existe 1 ∗ 3 = 1/3 /∈ Z+. Aqui falla la condicion (2) para ∗, por lo tanto ∗ no es una operacion binaria en Z+. Ejemplo 9 Si se de

163. ne ∗ : Q+ × Q+ → Q+ por a ∗ b = a/b Entonces las condicines (1) y (2) para ∗ se cumplen, por lo tanto ∗ es una operacion binaria . 2.2. Propiedades de Grupos De

164. nicion 23 Un grupo (G, ∗) es un conjunto G, junto con una operacion binaria ∗ en G, tal que se satisface los siguientes axiomas: G1. La operacion binaria ∗ es asociativa G2. Existe un elemento e ∈ G tal que e∗x = x∗e = x para todo x ∈ G (Este elemento e es un elemento identidad (o neutro )para ∗ en G). G3. Para cada a en G existe un elemento a′ en G tal que a′ ∗ a = a ∗ a′ = e (el elemento a′ es un inverso de arespecto a ∗). Teorema 36 Si G es un grupo con una operacion binaria ∗, entonces las leyes de cancelacion se cumplen en G. Es decir, a ∗ b = a ∗ c implica b = c y b ∗ a = c ∗ a implica b = c para todo a, b, c ∈ G. Demostracion: Supongamos que b ∗ a = c ∗ a . . . (1) Por G3 existe a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = e Multiplicando por la derecha por a′ a (1): (b ∗ a) ∗ a′ = (c ∗ a) ∗ a′ . . . (2) Aplicando ley asociativa en cada lado de (2) b ∗ (a ∗ a′) = c ∗ (a ∗ a′) . . . (3) Por la propiedad de a′ de (3): b ∗ e = c ∗ e . . . (4) De (4) por de

165. nicion de e en G2 obtenemos que b = c. Similarmente, de a ∗ b = a ∗ c se deduce b = c. A 46

166. Teorema 37 Si G es un grupo con operacion binaria ∗ y si a y b son elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a∗x = b y y∗a = b tienen soluciones unicas en G. Demostracion: Solo demostraremos que y ∗ a = b tiene unica solucion EXISTENCIA: Como G es un grupo y a ∈ G, entonces por G3 existe a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = e. Multiplicando por la derecha a la ecuacion por a′ obtenemos (y ∗ a) ∗ a′ = b ∗ a′ . . . (1) Pero (y ∗ a) ∗ a′ = y ∗ (a ∗ a′) Por G1 = y ∗ e Por G3 = y Por G2 Tomando extremos (y ∗ a) ∗ a′ = y . . . (2) De (2) en (1) se deduce y = b ∗ a′. Es claro que y ∈ G ya que ∗ es una operacion binaria en G. UNICIDAD: Para probar que y ∈ G es la unica solucion de y ∗ a = b, suponiendo que y1 ∈ G es solucion de y ∗ a = b debemos concluir que y1 = y. Como y, y1 son soluciones de la ecuacion, entonces satisfacen a la ecuacion, es decir y1 ∗a = b = y∗a, tomando extremos y1 ∗a = y∗a. De esto por el teorema 36 concluimos que y1 = y. De manera analoga, se demuestra que a ∗ x = b tiene unica solucion. A De

167. nicion 24 Un grupo (G, ∗) es abeliano si su operacion binaria ∗ es conmutativa. Ejemplo 10 El conjunto Z+ con la operacion binaria + no es un grupo, pues no existe un elemento identidad para + en Z+. Esto sigini

168. ca que no se cumple G2. Ejemplo 11 El conjunto S = Z+ ∪ {0} con la operacion binaria + todava no es un grupo. Existe elemento identidad 0, pero no hay inverso para 3 ∈ G. Esto sigini

169. ca que no se cumple G3. Ejemplo 12 El conjunto Zcon la operacion binaria + es un grupo porque se satis-facen todos los axiomas G1,G2 y G3 de grupo. Es mas que eso, (Z, +) es un grupo abeliano. Teorema 38 En un grupo G con operacion binaria ∗ hay una sola identidad e tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. De la misma manera, para cada a ∈ G existe un solo elemento a′ ∈ G tal que a′ ∗ a = a′ ∗ a = e Demostracion: 47

170. 1. UNICIDAD DE LA IDENTIDAD e Supongamos que e, e1 son identidades para ∗ en G, entonces debemos concluir que e1 = e. Si e es la identidad para ∗ en G, entonces e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. En particular para x = e1: e ∗ e1 = e1 ∗ e = e1 . . . (1) Si e1 es la identidad para ∗ en G, entonces e1 ∗ x = x ∗ e1 = x para todo x ∈ G. En particular para x = e: e1 ∗ e = e ∗ e1 = e . . . (2) De (1) y (2), deducimos que e1 = e. Por lo tanto, la identidad en un grupo es unica. 2. UNICIDAD DEL INVERSO DE CADA ELEMENTO Supongamos que a′, a′′ ∈ G son inversos de a respecto a ∗, entonces debemos debemos concluir que a′′ = a′. Si a′ es un inverso de a, entonces a′ ∗ a = a ∗ a′ = e . . . (1) Si a′′ es un inverso de a, entonces a′′ ∗ a = a ∗ a′′ = e . . . (2) de manera que a′′ = a′′ ∗ e Por G2 = a′′ ∗ (a ∗ a′) Por (1) = (a′′ ∗ a) ∗ a′ Por G1 = e ∗ a′ Por (2) = a′ Por G2 Tomando extremos concluimos que a′′ = a′. Por lo tanto, el inverso de a ∈ G en un grupo es unico. A 2.3. Grupos Cclicos 2.3.1. Propiedades Elementales Si G es un grupo y a ∈ G, entonces H = {an|n ∈ Z} 6 G. Este grupo es el subgrupo cclico de G generado por a. Ahora bien, si G = {an|n ∈ Z}, entonces a es un generador de G y el grupo G = ⟨a⟩ es cclico. Teorema 39 Todo grupo cclico es abeliano. Demostracion: (Para que un grupo G sea abeliano debemos demostrar que ∀g1, g2 ∈ G : g1g2 = g2g1). Sea G un grupo cclico y sea a un generador de G, entonces G = ⟨a⟩ = {an|n ∈ Z} Si g1 y g2 son elementos cualesquiera de G, entonces existen enteros r y s tales que 48

171. g1 = ar, g2 = as, de manera que g1g2 aras = ar+s = as+r = asar = g2g1 Por lo tanto, el grupo G es abeliano A Comentario: i) Seguiremos utilizando la notacion multiplicativa en nuestro trabajo acerca de grupos, a pesar de saber que son abelianos. Lema 25 (Algoritmo de division para Z) Si m es un entero positivo y n es cual-quier entero, entonces existen enteros unicos q y r tales que n = mq + r y 0 6 r m. Demostracion: Se da una explicacion con diagramas mediante la siguiente

172. gura −m 0 m 2m qm (q + 1)m | {z } n = qm + r z}r|{ n n 0, q 0 | | | | . . . | | | | {z } n 0, q 0 | | | . . . | | | | −m (q + 1)m −m 0 m 2m n = qm + r z}r|{ n Sobre el eje x real usado en geometra analitica, se han marcado los multiplos de m y se puede tomar r igual a cero, o n caera entre dos multiplos de m. Si este es el caso, sea qm el primer multiplo de m a la izquierda de n. Entonces r es como se muestra en la

173. gura 1.8.1 Se observa en dicha

174. gura que 0 6 r m. Despues de pensarlo u poco se ve que la unicidad de qy de r es clara a partir de los diagramas A Teorema 40 Un subgrupo de un grupo cclico es cclico. Demostracion: Sea G un grupo cclico y H 6 G, entonces G = ⟨a⟩. Ahora, tenemos que demostrar que H es cclico. Si H = {e}, entonces H = ⟨e⟩ es cclico Si H̸= {e}, entonces existe m = mn{n ∈ Z+|an ∈ H} de modo que am ∈ H A

175. rmamos que c = am genera H Es decir, H = ⟨am⟩ = ⟨c⟩ Debemos demostrar que todo elemento b de H es una potencia de c. Sea b ∈ H, como H 6 G, b = an para algun n ∈ Z. As para n y m enteros positivos, existen enteros q y r tales que n = mq + r para 0 6 r m mediante el lema 25. Entonces an = amq+r = (am)qar de donde ar = (am)−qan . . . (1) Ahora, como an ∈ H y am ∈ H y H es grupo, tanto (am)−1 = (am)q = (am)−q como an estan en H. As (am)−qan ∈ H 49

176. Es decir, ar ∈ H por (1). Debido a que m se ha elegido como el mnimo entero talque am ∈ H y 0 6 r m, debemos tener r = 0. Por lo tanto, n = mq y b = an = (an)q = cq, de modo que b es una potencia de c A Corolario 2 Los subgrupos de Z bajo la suma, son precisamente los los grupos nZ bajo la suma para n ∈ Z+. 2.3.2. Clasi

177. cacion de Grupos Cclicos Sea G un grupo cclico con generador a. Consideremos dos casos Caso I.- G tiene un numero in

178. nito de elementos En este caso a

179. rmamos que dos exponentes distintos h y k dan elementos distintos ah, ak de G. En efecto, supongamos que ah = ak con h k. Entonces aha−k = ah−k = e, la identidad y h − k 0. Sea m el menor entero positivo tal que am = e. A

180. rmamos que G tendra unicamente los distintos elementos e, a, a2, . . . , am−1. Sea an ∈ G, luego se encuentran q y r tales que n = mq+r para 0 6 r m por el lema 1.8.1, de ( manera ) que an = amq+r = (am)qar = ar para 0 6 r m. Esto signi

181. ca que G →← es

182. nito Hip. ; Hip. G tiene in

183. nitos elementos. Por lo tanto todas las potencias de a son distintas. Ahora bien, si G′ es otro grupo cclico in

184. nito con generador b. Es claro que si se cambian el nombre de bn por an, aparece que G′ es exactamente igual a G; es decir, los grupos G y G′ son isomorfos. As Z bajo la suma puede tomarse como prototipo de cualquier grupo cclico in

185. nito. Ejemplo 13 Se parece extra~no que los grupos Z y 3Z son estructuralmente identicos a pesar de que 3Z Z. Los nombres no importan, si el 1 lo nombramos 3, al 2 lo nombramos 6 y en general al n lo nombramos 3n, habremos convertido Z en 3Z como grupo aditivo. Caso II.- G tiene orden

186. nito. En este caso no todas las potencias de un generador a de G son distintas, as que para algunos h y k tenemos ah = ak. Siguiendo la argumentacion del CASO I, existe un entero m tal que am = e y ninguna potencia positiva menor de a es e. Entonces, el grupo G consta de los distintos elementos e, a, a2, . . . , am−1. Como se acostumbra usar n para el orden del grupo cclico en general, cambiaremos la notacion para lo siguiente, estableciendo m = n. Ejemplo 14 Es agradable imaginar los elementos e = a0, a1, a2, . . . , an−1 de un gru-po cclico de orden n, distribuidos equitativamente sobre una circunferencia. Como se ve en la

187. gura 1.8.2. El elemento e = a0 esta localizado en la parete inferior y el ah esta localizado a h de estas unidades iguales, medidas en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, desde e = a0. Para multiplicar ah y ak mediante este diagrama,se comienza desde ah y se avanza, en 50

188. el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, k unidades mas. Para ver en terminos aritmeticos donde termina, encuentre q y r tales que h + k = nq + r para 0 6 r n. El termino nq nos lleva q veces alrededor del crculo hasta llegar a ar. De

189. nicion 26 Sea n un entero positivo

190. jo y sean h y k enteros cualesquiera. El numero r tal que h + k = nq + r para 0 6 r n es la suma de h y k modulo n. 2.4. Subgrupos Notacion y Terminologa.- En resumen, posteriormente usaremos en un grupo (G, ∗) las siguientes notaciones: 1. ab = a ∗ b 2. e = e 3. En caso multiplicativo a−1 ∨ En caso aditivo −a   = a′ De

191. nicion 27 Si G es un grupo

192. nito, entonces el orden de G denotado por |G| se de

193. ne como el numero de elementos de G . En general, para cualquier conjunto

194. nito S, |S| es el numero de elementos de S. Por ejemplo, si S = {a, b, c}, entonces |S| = 3. De

195. nicion 28 Un conjunto B es un subconjunto de A denotado por B ⊆ A(o A ⊇ B) si cada elemento de B esta en A. Las notaciones B ⊂ A o A ⊃ B se usaran para B ⊆ A, pero A̸= B. Observacion.- Para cualquier conjunto A se tiene que ϕ ⊆ A y A ⊆ A. De

196. nicion 29 Si A es cualquier conjunto, entonces A es el subconjunto impropio de A. cualquier otro subconjunto de A es un subconjunto propia de A. De

197. nicion 30 Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Si para cada a, b ∈ S es cierto que el producto ab calculado en G tambien esta en S, entonces se dice que S es cerrado bajo la operacion de grupo de G. La operacion binaria en S, as de

198. nida, se llama operacion inducida en S desde G. Estamos en condiciones para precisar el concepto de grupo contenido en otro De

199. nicion 31 Si H es un subconjunto de un grupo G cerrado bajo la operacion de grupo de G y si H mismo es un grupo bajo esta operacion inducida, entonces H es un subgrupo de G . Denotaremos por H 6 G o G H el hecho de que H es un subgrupo de G. H G o G H signi

200. cara que H 6 G, pero H̸= G 51

201. Comentarios 1. (Z, +) (IR, +) 2. (Q+, ·)̸≤ (IR, +) aunque Q+ ⊆ IR 3. G ⊆ G y {e} ⊆ G, donde e es el elemento identidad de G 4. H̸≤ G esto signi

202. cara que H no es un subgrupo de G. De

203. nicion 32 Si G es un grupo, entonces G se llama subgrupo impropio de G. Todos los otros subgrupos de G son subgrupos propios. Ademas {e} es el subgrupo trivial de G. Todos los otros subgrupos son no triviales. Ejemplo 15 Q+ bajo la multiplicacion es un subgrupo propio de IR+ bajo la multi-plicai on Ejemplo 16 Hay dos tipos de diferentes estructuras de grupo de orden 4. El grupo V es 4-grupo de Klein y el grupo Z4,como muestran las siguientes tablas: Z4 : + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 V : ⊕ e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Comentarios: i) El unico subgrupo no trivial de Z4 es {0, 2} ii) {0, 3}̸6 Z4, pues {0, 3} no es cerrado bajo la +, por ejemplo 3+3=2 y 2 /∈ {0, 3}. iii) El grupo V tiene tres subgrupos propios no triviales,{e, a},{e, b},{e, c} iv) {e, a, b}̸6 V , pues {e, a, b} no es cerrado bajo la operacion de V , por ejemplo ab = c y c /∈ {e, a, b} . v) Es conveniente hacer un diagrama reticular de los subgrupos de un grupo. en dicho diagrama una recta que baja de un grupo G a un grupo H signi

204. ca que H es un subgrupo de G. Por lo tanto el grupo mas grande esta arriba en el diagrama. La siguiente

205. gura contiene diagramas reticulares para los grupos Z4 y V del ejemplo anterior. Z4 {0, 2} {0} diagrama reticular para Z4 52

206. V ukkkkkkkkkkkkkkkkkkk SSSS)SSSS SSSS SSSS SSS {e, a} SSS)SSSS SSSS SSSS SSS {e, b} {e, c} ukkkkkkkkkkkkkkkkkk {e} diagrama reticular paraV Si H 6 G y a ∈ H entonces, por el teorema de unicidad de ecuaciones lineales, la ecuacion ax = a debe tener solucion unica en H, a saber, el elemento identidad de H. Pero esta ecuacion tambien puede verse como una ecuacion en G y vemos que esta solucion unica debe ser tambien la identidad de G. Un argumento analogo aplicado a la ecuacion ax = e considerada en H como en G, muestra que el inveso a−1 de a en G tambien es el inverso de a en el subgrupo H. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si un subconjunto de un grupo eds un subgrupo del grupo. Teorema 41 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y solo si: i) H es cerrado bajo la operacion binaria de G . ii) La identidad e de G esta en H. iii) Para todo a ∈ H se cumple que a−1 ∈ H. Demostracion: (⇒) Si H 6 G, entonces H es cerrado bajo la operacion binaria de G y se cumplen las condiciones ii) y iii) por lo visto arriba. (⇐) Por la condicion i) H tiene como operacion binaria la inducida de G. Para que H sea grupo debe satisfacer los tres axiomas de grupo. G1: La operacion binaria en G es asociativa, luego la inducidaes asosiativa en H En efecto a, b, c ∈ H, entonces (ab)c = a(bc) ya que a, b, c ∈ G. G2: Por la condicion ii) la identidad e ∈ H. Y cumple para e las propiedades ea = ae = a por i) para todo a ∈ H. G3: Por iii) para cada a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1a = aa−1 = e. Por lo tanto para todo a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1a = aa−1 = e A Teorema 42 Un subconjunto no vaco H de un grupo G es un subgrupo de G si y solo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H 53

207. Demostracion: (⇒) Si H 6 G, entonces por G3 para b ∈ H, existe b−1 ∈ H As para a ∈ H y b−1 ∈ H deducimos que ab−1 ∈ H ya que H es cerrado bajo la operacion binaria en G (⇐) Como H̸= ϕ, existe a ∈ H Por hipotesis para a = a, b = a : ab−1 = aa−1 = e ∈ H luego se cumple la condicion ii) del teorema anterior Para a = e, b = b por hipotesis tenemos que b−1 = eb−1 = ab−1 ∈ H, luego se cumple la condicion i) del teorema anterior. Por el teorema mencionado se concluye que H es un subgrupo de G A 2.5. Isomor

208. smo de Grupos y Propiedades Funda- mentales Nos ocuparemos ahora de precisar, la idea de que dos grupos G y G′ son isomorfos, si son identicos salvo el nombre de los elementos y las operaciones. De este modo, podemos obtener G′ a partir de G Cambiando el nombre de un elemento x ∈ G por el nombre de cierto elemento x′ ∈ G′. En realidad es una aplicacion ϕ con dominio G. Es claro que dos elementos diferentes x, y ∈ G deben tener contrapartes diferentes de x′ = xϕ, y′ = yϕ en G′. Ademas, cada elemento de G′ debe ser contraparte de algun elemento de G. Si los grupos son estructuralmente el mismo y si denotamos la operacion del grupo G por ∗ y la de G′ por ∗′, entonces la contraparte de x ∗ y debera ser x′ ∗′ y′, o (x ∗ y)ϕ debera ser (xϕ) ∗′ (yϕ). Comunmente se omiten las notaciones ∗ y ∗′ para las operaciones y se usa la notacion multiplicativa (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) . . . (1) Se nota que la multiplicacion xy en (1) es la multiplicacion en G; mientras que la multiplicacion (xϕ)(yϕ) en (1) es la multiplicacion en G′. De

209. nicion 33 Un isomor

210. smo entre un grupo G y un grupo G′ es una aplicacion ϕ : G → G ′ que es inyectiva y sobreyectiva en G′ tal que para todo x, y ∈ G : (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) En este caso G es isomorfo a G′, lo cual denotaremos por G ∼= G′. Teorema 43 Si ϕ : G → G ′ es un isomor

211. smo de G en G′ y e es la identidad de G, entonces eϕ es la identidad en G′. Ademas a−1ϕ = (aϕ)−1 para todo a ∈ G. Es decir, un isomor

212. smo lleva la identidad en la identidad y los inversos a los inversos. Demostracion: Sea x′ ∈ G′. Como ϕ es sobre, existe x ∈ G tal que xϕ = x′. Entonces 54

213. x′ = xϕ = (xe)ϕ = (xϕ)(eϕ) = x′(eϕ) Similarmente x′ = xϕ = (ex)ϕ = (eϕ)(xϕ) = (eϕ)x′ de modo que eϕ es la identidad en G′ Tomemos ademas para a ∈ G eϕ = (a−1a)ϕ = (a−1ϕ)(aϕ) De manera analoga eϕ = (aa−1)ϕ = (aϕ)(a−1ϕ) Por consiguiente e′ = eϕ, a−1ϕ = (aϕ)−1 A 2.5.1. Como Demostrar que dos Grupos son Isomorfos El procedimiento para demostrar que dos grupos, G y G′, son isomorfos, sigue los cuatro pasos siguientes: PASO 1. De

214. nir la aplicacion ϕ que da el isomor

215. smo de G en G′. Esto signi

216. ca describir, de alguna manera, cual sera xϕ en G′ para toda x ∈ G. PASO 2. Demostrar que ϕ es una aplicacion 1-1. PASO 3. Demostrar que ϕ es sobre G′. PASO 4. Demostrar que (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ) parar todo x, y ∈ G. Se calculan ambos lados de la ecuacion y se ve si son iguales. Ejemplo 17 Demostrar que el grupo IR bajo la suma es isomorfo al grupo IR+ bajo la multiplicacion Demostracion: PASO 1. Para x ∈ IR se de

217. ne xϕ = ex Esto nos da una aplicacion ϕ : IR → IR+. PASO 2. Sean x, y ∈ IR tales que xϕ = yϕ entonces x = y Como ex = ey, aplicando logaritmo natural se obtiene x = y. Por lo tanto ϕ es 1-1. PASO 3. Si r ∈ IR+, entonces existe ln r ∈ IR tal (ln r)ϕ = eln r = r. Por lo tanto ϕ es sobre IR+. PASO 4. Para x, y ∈ IR tenemos (x + y)ϕ = ex+y = exey = (xϕ)(yϕ) A Teorema 44 Cualquier grupo cclico in

218. nito G es isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la suma. 55

219. Demostracion: Supongamos que G es generado por a ∈ G y la operacion de G es multiplicativa, entonces G = ⟨a⟩ = {an|n ∈ Z}. Sea e la identidad de G, entonces a̸= e. Vamos a demostrar que G es isomorfo a Z con el procedimiento de los siguientes cuatro pasos: PASO 1. De

220. namos una aplicacion ϕ : G → Z por anϕ = n ∀an ∈ G. A

221. rmacion: Si an1 , an2 ∈ G son tales que an1 = an2 , entonces n1 = n2 Por RAA, supongamos que n̸= 1n2, luego n1 n2 o n2 n1. Si n n− 1 2, n2 n1 0. De an1 = an2 , deducimos que an−2n1 = e. De estas dos a

222. rmaciones vemos que existe n− n∈ 2 1 Z+ ( tal que an−2) n1 = e, lo cual nos

223. nito indica que G tiene a lo mas n− 2 nelementos G es→in←1 Si suponemos que n2 n1, tambien se llega a una contradiccion. Por RAA queda demostrada la a

224. rmacion. En consecuencia, ϕ esta bien de

225. nida como aplicacion. PASO 2. Sean an1 , an2 ∈ G tales que an1ϕ = an2ϕ, entonces an1 = an2 . Como an1ϕ = n1 = n2 = an2ϕ, inmediatamente se tiene an1 = an2 , as ϕ es 1-1. PASO 3. Por de

226. nicion de G, dado n ∈ Z, se tiene an ∈ G, de modo que anϕ = n, luego ϕ es sobre Z. PASO 4. Sean an1 , an2 ∈ G, entonces an1an2ϕ = an1ϕ + an2ϕ En efecto, (an1an2)ϕ = (an1+n2)ϕ = n1 + n2 = an1ϕ + an2ϕ De los pasos 1-4, se concluye que G ∼= Z A Comentarios: i) Si G es un grupo y i : G → G es la aplicacion identidad ( ig = g, ∀g ∈ G ), entonces G ∼= G ii) Si G es isomorfo a G′, entonces G′ es isomorfo a G Es decir, G ∼= G′ ⇒ G′ ∼= G iii) G ∼= G′ ∧ G′ ∼= G′′, entonces G ∼= G′′ iv) De i), ii) y iii) la propiedad de isomor

227. smoentre grupos es una relacion de equi-valencia en una coleccion de grupos. Es decir, dada una coleccion no vaca de grupos se puede partir la coleccion en celdas (clases de equivalencia) tales que cualesquiera dos grupos en la misma clase son isomorfos y no hay grupos en celdas distintas que sean isomorfos. v) Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorfos. Lo expresamos diciendoque solo hay un grupo de orden 3, salvo isomor

228. smo. Ejemplo 18 Hay un solo grupo de orden 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvo isomor

229. smo. Hemos visto que hay exactamente dos grupos diferentes de orden 4, salvo isomor

230. smo: el grupo Z4 y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferentes, salvo isomor

231. smos de orden 6: Z6 y S3. 56

232. ∼= 2.5.2. Como Demostrar que Dos Grupos no son Isomorfos Ejemplo 19 Z4 y S6 no son isomorfos, pues no existe una aplicacion 1-1 de Z4 sobre S6. En el caso in

233. nito, no siempre esta claro si existen o no aplicaciones y sobre. Ejemplo 20 Z bajo la suma no es isomorfo a IR bajo la suma, porque no existe una aplicacion 1-1 de Z sobre IR. OTRA FORMA DE JUSTIFICAR la a

234. rmacion del ejemplo consiste en: Supongamos que Z IR, luego el grupo IR bajo la suma es cclico, luego Q bajo la suma es un grupo cclico . . . (1) Por otro lado, sea r = m n ∈ Q(

235. jo) con mcd{m, n} = 1 Luego el subgrupo cclico de Q generado por r es ⟨m n ⟩ = { z (m n ) : z ∈ Z } Es claro que m n , 2m n ∈ ⟨m n ⟩ , de modo que existen m n , 2m n ∈ Q tales que s = m/n + 2m/n 2 = 3m 2n /∈ ⟨m n ⟩ y s ∈ Q Esto signi

236. ca que ⟨m n ⟩ es un subgrupo propio de Qcomo r = m n es arbitrario, ⟨r⟩ Q ∀r ∈ Q, por lo que Qcomo grupo bajo la suma no es cclico ( →(1←) ) ) Z IR Para mostrar que dos grupos no son isomorfos (si tal es el caso) se exhibe alguna propiedad estructural que un grupo posee y el otro no. Las propiedades estructurales de grupo son las que deben compartir grupos isomorfos Podemos citar algunas propiedades estructurales de grupo: i) El grupo es cclico. ii) El grupo es abeliano. iii) El grupo tiene orden 8. iv) El grupo es

237. nito. v) El grupo tiene exactamente dos elementos de orden 6. vi) La ecuacion x2 = a tiene una solucion para cada elemento a en el grupo. Ejemplo 21 Z y 3Z son isomorfos, porque existe un isomor

238. smo ϕ : Z → 3Z dado por nϕ = 3n. Ejemplo 22 Z y Q no son isomorfos como grupos bajo la suma, pues Z es cclico y Q no es cclico. Ejemplo 23 El grupo Q∗ = Q−{0} bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupo IR∗ = IR − {0} bajo la multiplicacion. Es claro que la ecuacion x3 = a, ∀a ∈ IR∗, tiene solucion en IR∗, mientras que existe una ecuacion x3 = 2, 2 ∈ Q∗, que no tiene solucion en Q∗, en consecuencia Q∗ IR∗. 57

239. Ejemplo 24 El grupo IR∗ = IR−{0} bajo la multiplicacion, no es isomorfo al grupo IC∗ = IC − {0} bajo la multiplicacion. Es claro que la ecuacion x2 = a tiene solucion en IC∗ para todo a ∈ IC∗, pero existe un a ecuacion x2 = −1 no tiene solucion en IR∗. Justi

240. cacion.- Supongamos que IC∗ ∼= IR∗, luego existe un isomor

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