Trabajo de Matemáticas I

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Fundación Misión Sucre
Aldea: "5 de julio de 1811"
Cumana Edo Sucre
Matemáticas: Polinomios
Tutor(a): Luis Villalba Triunfadores:
Iosu Landa Marcano
C.I: 12.665.194
Andrea Undreiner
C.I :20.799.372
Sección: 03
Mayo de 2017

2. Contenido
1. Definici´on de Polinomios 3
1.1. Clasificaci´on de la expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Reducci´on de t´erminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Polinomios de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Operaciones con Polinomios 7
2.1. Adici´on o suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Multiplicaci´on de dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Bibliograf´ıa 15
2

3. 1. Definici´on de Polinomios
Definici´on Algebraica
Los polinomios est´an constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o
desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritm´eticas de
suma, resta y multiplicaci´on, as´ı como tambi´en exponentes enteros positivos. Pueden ser
de una o de varias variables.
1.1. Clasificaci´on de la expresiones algebraicas
Monomio: Es una expresi´on algebraica que consta de un solo t´ermino como 3a, −5b,
x2
4a3
Polinomio: Es una expresi´on algebraica que consta de m´as de un t´ermino, como:
2x3
+ 3x + 2
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus t´erminos tiene denominador literal como
x2
+ 5x = 6
x2
2
−
x
3
+
1
5
.
Es fraccionario cuando alguno de sus t´erminos tiene letras en el denominador
a2
b
+
b
c
− 8.
Es racional cuando no contiene radicales como en los ejemplos anteriores.
,
Un polinomio es irracional cuando contienen radical como
√
a +
√
b +
√
abc.
Es homog´eneo cuando sus t´erminos son del mismo grado absoluto, como 4a3
+ 5a2
b +
6ab2
+b3
y heterog´eneos cuando sus t´erminos no son del mismo grado como x3
+x2
+x−6.
Polinomio completo con relaci´on a una letra es el que contiene todos los componente
sucesivos de dicha letra, desde el m´as alto al m´as bajo que tenga dicha letra en el poli-
nomio. As´ı el polinomio x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ 3x es completo respecto de la x, porque
contiene todos los elementos sucesivos de la x desde el m´as alto 5, hasta el m´as ba-
jo 1, osea, 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a4
−a2
b+a2
b2
−ab3
+b4
es completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes
de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentando o disminuyendo.
3

4. As´ı, el polinomio x4
−4x3
+2x2
−5x+8 est´a ordenado en orden descendente con relaci´on
a la letra ordenatriz x; el polinomio a5
− 2a4
b + 6a3
b2
− 5a2
b3
+ 3ab4
− b5
est´a ordenado
en orden descendente respecto a la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto a la
letra ordenatriz b.
1.2. Reducci´on de t´erminos semejantes
a) Reducci´on de dos o m´as t´erminos semejantes del mismo signo.
b) Reducci´on de dos t´erminos semejantes de distinto signo.
c) Reducci´on de m´as de dos t´erminos semejantes de signos distintos.
a) Reducci´on de dos o m´as t´erminos semejantes del mismo signo
Regla
Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen
todos y a continuaci´on se escribe la parte literal.
Ejemplo:
P = x + 2x
El signo com´un a todos los t´erminos es el +. Los coeficientes de los t´erminos son 1 y 2.
La parte literal igual en todos los t´erminos es x
Por lo tanto: 1 + 2 = 3; −→ x + 2x = 3x
b) Reducci´on de dos t´erminos semejantes de distinto signo
Regla
Se restan lo coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a
continuaci´on se escribe la parte literal.
Nota: dos t´erminos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Ejemplo 1:
4

5. P = 8a − 6a
La parte literal igual en todos los t´erminos es a
Los coeficientes de los terminos son 8 y 6
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +
8 − 6 = 2
Por lo tanto: 8a − 6a = 2a
Ejemplo 2:
P = 2a − 2a
2a − 2a = 0
dos t´erminos semejantes con igual coeficiente y signo distinto se anulan
c) Reducci´on de m´as de dos t´erminos semejantes de signos distintos
Regla
Se reducen a un s´olo t´ermino todos los positivos, se reducen a un solo termino todos los
negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.
P = 9a − 3 + 5a
9a + 5a = 14a reducci´on de los t´erminos positivos.
−3a: t´ermino negativo.
La parte literal igual en los dos t´erminos es a.
Los coeficientes de los t´erminos son 14 y 3.
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +.
14 − 3 = 11
14a − 3a = 11a −→ 9a − 3a + 5a = 11a
5

6. 1.3. Polinomios de una variable
Para a0, · · · , an constantes en alg´un anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo,
como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio ser´an n´umeros) con an distinto
de cero y n ∈ N, entonces un polinomio P de grado n en la variable x es un objeto de la
forma:
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x1
+ a0x0
Un polinomio P(x) ∈ K[x] no es m´as que una sucesi´on matem´atica finita {an}n tal que
an ∈ K
Presentado como:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ... + anxn
El polinomio se puede escribir m´as concisamente usando sumatoria como:
P(x) =
n
i=0
aixi
.
Las constantes a0, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el
coeficiente constante (o t´ermino independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando
el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama m´onico o normalizado.
Ejemplo:
P(x) = 2x5
+ 3x + 1
1.4. Grado de un polinomio
Definici´on
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un
polinomio es el del monomio de mayor grado.
6

7. Ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del t´ermino independien-
te).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x2
+ 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3
+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4
+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5
+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como −∞.
En particular los n´umeros son polinomios de grado cero.
2. Operaciones con Polinomios
Dados los polinomios P(x), Q(x), R(x) de la forma general:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ · · · + anxn
O mediante la sumatoria de los t´erminos:
P(x) =
n
i=0
aixi
Definici´on
Podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritm´eticas o al-
gebraicas, que partiendo de uno o m´as de esos polinomios nos da unos valores u otro
polinomio, seg´un la operaci´on de que se trate.
2.1. Adici´on o suma de polinomios
La suma de polinomios es una operaci´on en la que partiendo de dos polinomios P(x) y
Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por
coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x)
7

8. y Q(x) del mismo grado.
Dados los dos polinomios P(x)yQ(x):
P(x) =
n
i=0
aixi
El polinomio suma R(x), ser´a:
R(x) = P(x) + Q(x)
Que es lo mismo que:
R(x) =
n
i=0
aixi
+
n
i=0
bixi
Sacando factor com´un a las potencias de x en cada monomio:
R(x) =
n
i=0
(ai + bi)xi
Ejemplo:
3x6
−2x5
+8x4
+8x3
−3x2
+7x +1
+ +4x5
+x4
+9x3
−12x2
+6x −5
3x6
+2x5
+9x4
+17x3
−15x2
+13x −4
2.2. Resta de polinomios
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los
t´erminos del sustraendo, as´ı que a continuaci´on del minuendo escribiremos el sustraendo
cambi´andole el signo a todos sus t´erminos.
Tomemos el siguiente ejemplo:
P(x) − Q(x) = (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x)
Seg´un lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del sustraendo para
realizar la operaci´on: 4x3
+ 2x − 5 − 3x3
+ 4x2
− 5x. Como se puede advertir, los signos
del minuendo no cambian (4x3
+ 2x − 5).
8

9. Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4x3
− 3x3
+ 4x2
+ 2x − 5x − 5
.
Finalmente completamos la operaci´on de acuerdo a los monomios que quedaron:
x3
+ 4x2
− 3x − 5.
El resultado de la resta de polinomios (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x) es, en definitiva,
x3
+ 4x2
− 3x − 5.
Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno debajo del
otro. As´ı, los monomios semejantes quedar´an encolumnados y podemos proceder a
sumarlos.
4x3
+0x2
+2x −5
− −3x3
+4x2
−5x
x3
+4x2
−3x −5
2.3. Multiplicaci´on de dos polinomios
Definici´on
La multiplicaci´on de polinomios es una operaci´on algebraica que tiene por objeto
hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo
y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el
multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos
polinomios P(x) ∗ Q(x) que ser´a un polinomio de grado n + m:
P(x) =
n
i=0
aixi
Q(x) =
m
j=0
bjxj
Entonces:
9

10. P(x) · Q(x) =
n
i=0
aixi
·
m
j=0
bjxj
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaci´on:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
(aixi
) · (bjxj
)
Agrupando t´erminos:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
aibjxi
xj
La doble sumatoria anterior puede reordenarse en la siguiente forma:
P(x) · Q(x) =
m+n
k=0


k
p=0
apbk−p

 xk
Ejemplo:
P(x) = −2 x3
+ 5 x2
+ 6 x − 3
Q(x) = 3 x2
+ x − 4
El producto de los polinomios P(x) ∗ Q(x):
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
Multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), sumando despu´es el resulta-
do:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
Luego:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):
10

11. −2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
Y finalmente hacemos la suma de los productos parciales, seg´un las distintas potencias
de x, con lo que obtenemos el resultado:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
−6x5
+13x4
+31x3
−23x2
−27x +12
El resultado es un polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
Resolvemos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
Luego:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
Sumamos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
4x5
−6x4
+2x3
+9x2
+12x
11

12. Resultado un Polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)
Q(x) = (5x–3)
3x2
–4x +6
× 5x −3
−9x2
+12x −18
15x3
−20x2
+30x
15x3
−29x2
+42x −18
Ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)
Q(x) = (5x)
3x2
–4x +6
× 5x
15x3
−20x2
+30x
2.4. Divisi´on de polinomios
Definici´on
La divisi´on algebraica es la operaci´on que consiste en hallar uno de los factores de un
producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el
producto de ambos factores llamado dividendo.
La divisi´on de polinomios tiene las mismas partes que la divisi´on aritm´etica, as´ı hay dos
polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor
que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos
dos polinomios C(x) (cociente) y R(x)(resto).
Ejemplo:
12

13. P(x) = 3 x4
− 2 x3
+ 4 x2
+ 2 x − 3
Q(x) = x2
− 2 x − 1
3x4
−2x3
+4x2
+2x −3 x2
−2x −1
Resultado:
3x4
−2x3
+4x2
+2x −3
−3x4
+6x3
+3x2
0 4x3
+7x2
+2x −3
−4x3
+8x2
+4x
0 15x2
+6x −3
−15x2
+30x +15
+36x +12
x2
−2x −1
3x2
+4x +15
Otro ejemplo:
P(x) = 4x8
− 10x6
− 5x4
Q(x) = 2x3
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3
=
4x8
2x3
−
10x6
2x3
−
5x4
2x3
= 2x8−3
− 5x6−3
−
5
2
x4−3
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x1
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x
Y por lo tanto:
4x8
− 10x6
− 5x4
2x3
= 2x5
− 5x3
−
5
2
x
Siguente ejemplo:
13

14. P(x) = x3
+ x2
− 1
Q(x) = x − 1
x3
+ x2
− 1 ÷ x − 1 = x2
+ 2x + 2 +
1
x − 1
− x3
+ x2
2x2
− 2x2
+ 2x
2x − 1
− 2x + 2
1
Otro ejemplo:
−
6x3
− 2x2
+ x + 3 x2
− x + 1
6x3
− 6x2
+ 6x 6x + 4
−
4x2
− 5x + 3 4x2
− 4x + 4
−x − 1
Ejemplo:
x2
+ 5x + 10
x − 2 x3
+ 3x2
+ 4
− x3
+ 2x2
5x2
− 5x2
+ 10x
10x + 4
− 10x + 20
24
14

15. Bibliograf´ıa
[1] A Conceptos. A. conceptos. 2011.
[2] Alfonse Gobran, Alberto Rosas P´erez, and Eduardo Ojeda Pe˜na. ´Algebra elemental.
Grupo Editorial Iberoam´erica, 1990.
[3] Aurelio Baldor. ´Algebra elemental. Editorial Mediterr´aneo, 1972.
[4] A Baldor. ´Algebra. segunda edici´on, ed. Grupo editorial patria, 2007.
15