diseño experimental

1. Optimización de Procesos usando
Diseños
Experimentales
M.E. Javier Francisco
Valle Mora Lunes 07 de agosto de 2023

2. •

3. Fases del Proceso de Optimización
•

4. •

5. •

6. •

8. Ejemplo.- Un ingeniero mecánico está estudiando la
rugosidad superficial de una pieza producida en una
operación de corte metálico. Son de interés tres
factores: la tasa de alimentación (A), la profundidad
de corte (B) y el ángulo de filo (C). A cada factor se
le han asignado dos niveles, y se están ejecutando
dos réplicas del diseño factorial.
(JMP: Custom Design)

9. 14
15
13
12
16
12
10
10
30 plg./min.
8
11
10
7
10
9
11
9
20 plg./min.
25O
15O
25O
15O
(A)
ngulo de corte©
ngulo de corte©
Tasa de Alimentaci
0.040 plgs.
0.025 plgs.
Profundidad de Corte (B)
14
15
13
12
16
12
10
10
30 plg./min.
8
11
10
7
10
9
11
9
20 plg./min.
25O
15O
25O
15O
(A)
Angulo de corte
©
Angulo de corte
©
Tasa de Alimentación
0.040 plgs.
0.025 plgs.
Profundidad de Corte (B)

10. Ejemplo.- Se llevó a cabo un experimento de Plackett-
Burman, para estudiar un nuevo antibiótico. En el
estudio se consideraron 7 factores, los cuales se
especifican en la siguiente tabla
(JMP: Screening design)

11. Factores con Niveles
Codificados
Beet
Cottonse
ed
Corn
steep Casein
Soybe
an
Cottonse
ed
Ensayo
Molass
es oil liquor
hydrolys
ate meal flour MgSO4
Titer(g/lit
er)
1 5 20 5 20 10 10 24 1.21
2 5 20 40 5 10 50 6 2.95
3 5 20 40 5 50 50 24 2.89
4 5 100 5 5 50 10 24 5.10
5 5 100 5 20 50 50 6 6.46
6 5 100 40 20 10 10 6 5.61
7 40 20 5 5 50 10 6 2.92
8 40 20 5 20 10 50 24 0.69
9 40 20 40 20 50 10 6 2.92
10 40 100 5 5 10 50 6 5.20
11 40 100 40 5 10 10 24 3.35
12 40 100 40 20 50 50 24 6.55

12. Ejemplo.- Se llevó un experimento para mejorar el cultivo de
semillas que se desarrollan en frascos. El cultivo de semillas
sirve como inoculo para biorreactores en la producción de un
nuevo metabolito. En el estudio del cultivo de semillas, el
desarrollo es determinado por centrifugación de todo el caldo
después de 48 horas de incubación con agitación. La respuesta
medida es la cantidad de sólidos por celda (Volumen en
porcentaje) que fue realizado mediante un tubo de
centrifugación con graduación. Se evaluaron 6 factores con dos
niveles cada uno, en el cual se requeriría 2⁶=64 corridas para
una replicación completa del diseño. El experimento fué
realizado con la mitad de observaciones del diseño completo,
lo cual significa que realizamos un experimento factorial
fraccionado 2⁶⁻¹, en donde suponemos que las interacciones
de ordenes grandes son pequeñas y despreciables. La tabla
1.19 nos muestra los factores que son evaluados, así como
sus niveles y la respuesta obtenida.
(JMP: Screening Design)

13. Metodología de Superficie de Respuesta
Definición: Conjunto de técnicas estadísticas y
matemáticas, para modelar y analizar una respuesta
de interés, la cual es influida por un conjunto de
variables controlables.
Objetivo: Determinar las condiciones de operación
óptimas para un sistema.
Proceso de Aplicación Secuencia.

14. Proceso Secuencia de la MSR
1. Utilizar un diseño experimental óptimo.
2. Ajustar un polinomio lineal a los datos arrojados por el
diseño experimental.
3. Verificar la adecuación del modelo lineal. Si el ajuste es
bueno, obtenemos la región del óptimo y pasamos al
punto 1 y 2 (el diseño se realiza en la región obtenida). Si
el ajuste es malo pasamos al punto 4.
4. Cuando el ajuste es malo, significa que posiblemente
tenga que utilizarse un polinomio de segundo orden,
porque ya estamos en la región del óptimo:
y =K0 +
K1x1 +
K2x2 +
...+
Kkxk +
P
y = K0 +
>
i=
1
k
Kix i +
>
i=
1
k
Kii x i
2
+
i<
j
>
i
>
j
Kij x ix j +
P

15. 5. Para ajustar el polinomio de segundo orden, se utiliza un
diseño óptimo, utilizándose las observaciones del diseño
experimental utilizado para ajustar el polinomio de primer
orden.
6. Teniéndose el ajuste del polinomio, se estima los puntos
del óptimo mediante técnicas de cálculo diferencial.

16. Condiciones Iniciales de Estudio

17. Método de Máxima Pendiente en Ascenso
Este método nos permite localizar la dirección en la que se
encuentra la región del óptimo. Por lo general, la
investigación inicia en una región muy amplia, puesto que se
desconoce el comportamiento de la función de respuesta.
Aquí cobran gran importancia los diseños 2k o diseños
fraccionados, que son los que se utilizan.
Este método recorre secuencialmente a lo largo de la
trayectoria de la máxima pendiente, o sea, en la dirección de
máximo crecimiento de la respuesta. El modelo ajustado es
un polinomio de primer grado y se analiza las gráficas de
contorno. La trayectoria de máxima pendiente es ortogonal
a las curvas de nivel del polinomio, como se ilustra en la
siguiente gráfica:

18. x1
x2

y =
10 
y =
20

y =
30

y =
40

y =
50

y =
60

y =
70
x1
x2
Región de la superficie de
respuesta de primer orden
ajustada

y =
10 
y =
20

y =
30

y =
40

y =
50

y =
60

y =
70
Trayectoria de Máxima
pendiente en ascenso

19. • Los incrementos en la dirección de máximo crecimiento
son proporcionales a los parámetros estimados del
modelo
• El investigador elegirá el tamaño del incremento en
base a su experiencia. La experimentación debe
realizarse hasta que se alcance el punto de no
crecimiento de la respuesta. Muy posiblemente en esa
región se localice el punto óptimo. En este punto, el
modelo a ajustar es del tipo lineal.

Ki

20. Ejemplo.- Una ingeniera química está interesada en
determinar las condiciones de operación que
maximiza el rendimiento de una reacción. Dos
variables controlables influyen en este rendimiento:
el tiempo y la temperatura de reacción. Actualmente
ella opera sobre el proceso con un tiempo de
reacción de 35 minutos y a una temperatura de
155⁰F. Esto produce un rendimiento de cerca el
40%. Ya que es poco probable que esta región
contenga al óptimo, se ajustará un modelo de
primer orden y se aplicará el método de ascenso
máximo.
La ingeniera decide que la región de exploración
para ajustar el modelo de primer orden debe ser
(30,40) minutos de reacción y (150,160) ⁰F de
temperatura.

21. Variables Naturales Variables Codificadas
x1 x2 x1 x2 Respuesta: Y
30 150 -1 -1 39.3
30 160 -1 1 40.0
40 150 1 -1 40.9
40 160 1 1 41.5
35 155 0 0 40.3
35 155 0 0 40.5
35 155 0 0 40.7
35 155 0 0 40.2
35 155 0 0 40.6

22. Análisis de varianza para el modelo de
primero orden
Fuente de Variación S.C. g.l. C.M. Fc Prob.
Modelo (b1,b2): 2.8250 2 1.4125 47.8213 0.000205696 s.
Error 0.1772 6 0.0295
Interacción 0.0025 1 0.0025 0.0581 0.821316445 n.s.
Cuadrático Puro 0.0027 1 0.0027 0.0633 0.813741589 n.s.
Error Puro 0.1720 4 0.0430
Error Total 0.1747 5 0.0349
C. Total 3.0022 8 0.3753

23. Resultados:
• El modelo Lineal se ajusta adecuadamente.
• Hay que desplazarse 0.775 unidades en la dirección de x1, y 0.325 en la
dirección x2.
• La trayectoria de máximo ascenso tiene una pendiente de
• Se elige un incremento de 5 minutos. Que son equivalentes en
la variable codificada a
• Se evalúa a la respuesta en esa trayectoria y se determina el
rendimiento, obteniéndose los siguientes resultados:
•
0. 325
0. 7775 =0. 42
A x 1 = 1 y A x 2 =
0. 325
0. 7775 A x 1 = 0. 42

24. Variables Codificadas Variables Naturales Respuesta
Incrementos x1 x2 x1 x2 y
Origen 0 0.00 35 155
D 1 0.42 5 2
Origen + D 1 0.42 40 157 41.0
Origen + 2D 2 0.84 45 159 42.9
Origen + 3D 3 1.26 50 161 47.1
Origen + 4D 4 1.68 55 163 49.7
Origen + 5D 5 2.10 60 165 53.8
Origen + 6D 6 2.52 65 167 59.9
Origen + 7D 7 2.94 70 169 65.0
Origen + 8D 8 3.36 75 171 70.4
Origen + 9D 9 3.78 80 173 77.6
Origen + 10D 10 4.20 85 175 80.3
Origen + 11D 11 4.62 90 179 76.2
Origen + 12D 12 5.04 95 181 75.1

25. 30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
0 2 4 6 8 10 12 14

26. Conclusiones:
• Hay que explorar en la región: x1 dentro del
intervalo: [80,90] y x2 en el intervalo: [170,180].
• Hay que utilizar otro diseño experimental dentro
de esta región para monitorear la respuesta.
• Se ajusta un nuevo diseño experimental 22. Los
resultados se muestran en la siguiente tabla, así
como también el ajuste del polinomio lineal.

27. Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta
x1 x2 x1 x2 y
80 170 -1 -1 76.5
80 180 -1 1 77.0
90 170 1 -1 78.0
90 180 1 1 79.5
85 175 0 0 79.9
85 175 0 0 80.3
85 175 0 0 80.0
85 175 0 0 79.7
85 175 0 0 79.8

28. Análisis de varianza para el modelo de primer orden
Fuente de
Variación S.C. g.l. C.M. Fc Prob.
Model (b1,b2): 5.0000 2 2.5000 1.3489 0.32826097 n.s.
Error 11.1200 6 1.8533
Interacción 0.2500 1 0.2500 4.7170 0.09561078 n.s.
Cuadrático Puro 10.6580 1 10.6580 201.0943 0.00014358 s.
Error Puro 0.2120 4 0.0530
Error_Total 10.8700 5 2.1740
C. Total 16.1200 8

29. Conclusiones
1. El modelo lineal no se ajusta adecuadamente.
Posiblemente haya curvatura en la respuesta.
2. Es necesario ajustar un polinomio cuadrático.
Este modelo demanda mas puntos, puesto que
incluye mas parámetros.

30. Algoritmo para determinar un punto en la
trayectoria de máximo ascenso
1. Se elige un tamaño de incremento en una de las
variables del proceso. Generalmente se toma aquella
con mayor valor de b en el modelo ajustado.
2. El tamaño de incremento en las otras variables es:
3. Se conviertes las en los valores de las variables
naturales:
A x i =

Ki

Kj
A x j
=

Ki A x j

Kj
i = 1 , 2 , . . . , k ; i  j
Axi
A x 1 =
A Y1
5
y A x 2 =
A Y2
5

31. Análisis de los modelos Cuadráticos
• Cuando el modelo lineal no ajusta adecuadamente,
hay que ajustar un modelo cuadrático a los datos.
Esto demandará mayor cantidad de datos.
• La región óptima que se encuentre en este paso,
debe de verificarse para ver si se trata de un
máximo, mínimo o punto de silla.

32. 80
70
60
40
50
60
55
50
40
60 650
70
55
50
45
60
65
70
(A) (B)
(C)
x2
x2
x2
x1 x1
x1

34. Diseños experimentales para ajustar
superficies de respuesta.
• Proporciona una distribución razonable de puntos de datos (y por
tanto: información) en toda la región de interés.
• Permite investigar la idoneidad del modelo, incluyendo la falta de
ajuste.
• Permite la realización de experimentos en bloques.
• Permite la construcción secuencial de diseños de orden superior.
• Proporciona una estimación de error interna.
• No requiere un número grande de corridas.
• No requiere demasiados niveles de las variables independientes.
• Asegura simplicidad de los cálculos de los parámetros del
modelo.

35. Modelos Lineales
• Diseños ortogonales:
– Diseños Factoriales 2k.
– Diseños Fraccionados. Los efectos principales no deben
de ser alias entre si.
– Deben agregarse puntos al centro (xi = 0, i = 1, 2, ….,
k.). Esto no afecta las estimaciones del modelo, excepto
para el intercepto.
– Diseño Simplex. Es una figura regular con k + 1 vértices
en k dimensiones. Para k = 2 es un triángulo equilátero.
Para k = 3, es un tetrahedro.

36. Modelo de Segundo Orden
• Diseño Rotable: Son diseño en los que la varianza
de la respuesta predicha en algún punto x, es
función únicamente de la distancia al punto desde
el centro del diseño y no es función de su dirección:
– Diseño Compuesto Central.
– Diseño de Box-Behnken.

37. Diseño Compuesto central
• Es un diseño factorial completo o fraccionado 2k. Tiene nf
puntos.
• Se aumenta 2k puntos axiales:
• Se aumenta nc puntos centrales: (0,0,0,…,0).
• Para que sea rotable es necesario:


J
,0,0,...,0
,
0,
J
,0,...,0
,
0,0,
J
,...,0
,...,
0,0,...,
J

J = 
nf 
1
4

38. (+1,+1)
(+1,-1)
(-1,-1)
(-1,+1)
(a,0)
(0,-a)
(0,a)
(-a,0)
x1
x2
x1
x3
x2
K = 3
K = 2

39. Diseño Compuesto Central en las Caras
• En este diseño a = 1
x3
x2
x1
K = 3

40. Diseño de Box - Behnken
• Se utilizan para diseños de tres niveles.
• Se forman mediante diseños 2k combinándolos con
bloques incompletos.
Bloques Tratamientos
1 2 3
1 x x
2 x x
3 x x

41. Representación Geométrica
-1
+1
-1 +1
-1
+1
x3
x1
x2

42. • Este diseño tiene 12 + nc corridas, donde nc
denota el número de corridas en el centro.