1. Bloque 4
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elipse con centro en el origen
Elementos de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y
PF'.
Distancia focal

2. Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia
focal.
Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los semiejes
Ecuaciones de la Elipse:
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las
coordenadas de los focos son:

3. F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor
Semidistancia focal
Semieje menor
Ecuación reducida

4. Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la
excentricidad.

5. Activdad 1
D e te r m in a l as coor den adas de l os focos, de l os vér tices y l a
e xce n tr icidad de l as sig uien tes el ips es.
a)
b)
D e te r m in e l a ecuación de l a el ipse con ocien do:
a)
b)
D e te r m in a l as coor den adas de l os focos, de l os vér tices y l a
e xce n tr icidad de l as sig uien tes el ips es.
a)
b)

6. Elipse con centro fuera del origen
ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN
Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.
La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:
Se observa que:
x = x' + h
x' = x - h
y = y' + k
y' = y - k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y
su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).

7. Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con
centro C(h , k), es:
La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje
mayor.
El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:
Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b
2 2
1. Dada la ecuación de la elipse 9(x - 4) + 16(y - 3) = 144, hallar las coordenadas de los vértices, las
coordenadas de los focos y el ancho focal.
SOLUCIÓN
2 2
a) La ecuación 9(x - 4) + 16(y - 3) = 144 es de la forma
Dividiendo entre 144, tenemos:
De la ecuación anterior, tenemos:
C(4 , 3)
2
a = 16
por lo tanto
a=4
2
b =9
por lo tanto
b=3
c=
c=
c=
c = 2.6

8. Ancho Focal o Lado Recto
LR =
LR =
LR = 4.5
Para visualizar las coordenadas de los vértices y focos trazamos la gráfica.
2. Dada la ecuación de la elipse Hallar las coordenadas del centro, vértice y
focos.
SOLUCIÓN
De la ecuación anterior se obtiene:
C(7, - 5)
2
a = 100
por lo tanto
a = 10

9. 2
b = 64
por lo tanto
b=8
c=
c=
c=
c=6
Ancho Focal o Lado Recto
LR =
LR = 12.8
Las coordenadas de los vértices y focos deben ser referidas al sistema original de las coordenadas.
Por lo tanto
V1 (-3 , -5)
V2 (17 , -5)
V3 (7 , 3)
V4 (7 , -13)
F(-13 , -5)
F'(13 , -5)
Para visualizar las coordenadas de los vértices y focos trazamos la gráfica respectiva.

10. Actividad 2
1. Dadas las ecuaciones de la elipse 16(y + 3)2 + 36(x - 6)2 = 576. Determinar las
coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos, ancho focal.
2. Dada la ecuación Hallar las coordenadas del centro
(h , k), de los focos y el ancho focal.