Simplex investigación operativa

2. INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
UNIDAD 2: Programación
Lineal
Alfredo Fuentes Silva
alfredoleofuentes@gmail.com
alffuent@unap.cl

3. • Procedimiento para resolver programaciones lineales
• Desarrollada en 1947, se utiliza hasta el día de hoy para resolver
PL de alta complejidad (muchas variables) mediante software
especializado.
• Todos los software que resuelven PL lo hacen mediante este
método.
• Es un proceso algebraico con fundamentos geométricos.
Método Simplex

4. FUNDAMENTO GEOMÉTRICO
• Analiza las soluciones factibles correspondientes a
los vértices. Al hacer esto simplifica de sobremanera
el problema dado que de otra forma deberían
analizarse todos los puntos posibles dentro de la
región factible.
• Corresponde a un algoritmo iterativo que responde a
lo siguiente:
I. Inicio  Para comenzar a iterar es necesario contar con
una solución inicial.
II. Prueba optimalidad  Es esta solución óptima?
III. Respuesta  Sí, se termina … No, se devuelve a I.
Método Simplex

5. • Siempre que sea posible, elegir el origen como solución inicial
(0,0) ya que por lo general ese punto es parte de la región
factible.
• El movimiento desde una solución posible a otra es de manera
adyacente, es decir, la búsqueda por la solución óptima sigue
una trayectoria.
• El método, al encontrar una solución actual, sólo identifica la
tasa de mejoramiento de la solución adyacente, que en caso
que no sea favorable se desecha (no hay necesidad de probar si
es o no solución óptima)
• Este procedimiento se realizó de manera algebraica para poder
sistematizarlo y por último codificarlo de tal manera que pudiera
ser utilizado en computador
Método Simplex

6. Taha, 2009
Método Simplex

7. CÓMO SE APLICA
• Solución de sistemas de ecuaciones
I. Conversión de restricción funcionales de desigualdad en igualdades
equivalentes.
Esto se genera mediante la adición o sustracción de variables ficticias en
las restricciones.
II. Resolución mediante forma tabular (tableau), en la cual se registra sólo la
información esencial (coef. De variables, constantes, variables básicas).
Para ≤  Variable de Holgura (positiva y básica)
Para =  Variable artificial (positiva, debe adicionarse a la F.O)
Para ≥  Variable de Exceso (negativa y no básica) y variable artificial (positiva, debe
adicionarse a la F.O)
Método Simplex

8. RESOLVER LA PL
MEDIANTE SIMPLEX
I. Conversión a igualdades Normalización
F. Objetivo 𝑍 − 3𝑥1 − 5𝑥2 = 0
Restricciones 𝑥1 + 𝑆1 = 4
2𝑥2 + 𝑆2 = 12
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑆3 = 18
Variables Básicas : 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 Aquellas que se han adicionado
Variables No Básicas : 𝑥1, 𝑥2 Variables que existen.
El Objetivo es convertir las variables no básicas en básicas y así obtener
los valores correspondientes a cada una.
Método Simplex

9. II. Construcción de tabla Simplex
Se construye usando los coeficientes de las igualdades anteriormente desarrolladas
Iteración 0
Con esto se obtiene la tabla que corresponde al origen (en gráfico) con:
X1 = 0 X3 = 4 Z = 0 La columna de V. básicas junto con la Columna de Lado
X2 = 0 X4 = 12 Derecho nos indica los valores que toma cada una de las
X5 = 18 variables (si no están en la 1° columna entonces tienen
valor 0.
Se debe realizar iteraciones hasta que las variables no básicas estén en la columna básicas (siempre que
sea posible).
Var. Básicas Z X1 X2 S1 S2 S3 L. DERECHO
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
S1 0 1 0 1 0 0 4
S2 0 0 2 0 1 0 12
S3 0 3 2 0 0 1 18
Iteración 0
Método Simplex

10. II. Construcción de tabla Simplex
Se construye usando los coeficientes de las igualdades anteriormente desarrolladas
Iteración 1
a. Determinación de columna pivote  donde se encuentre el valor absoluto mayor. (en este
cas0 |-5| = 5, columna X2 VARIABLE ENTRANTE (a básicas)
b. Determinación de fila pivote  Se divide el lado derecho por la columna pivote, el cociente
menor corresponde a la fila pivote, Fila X4 (12/2 = 6 vs 18/2 = 9). S2 VARIABLE SALIENTE (deja
básicas)
c. La columna correspondiente a X2 debe tener la misma forma que las variables básicas (en
este caso 0,0,1,0) por lo que se debe primeramente dividir la fila pivote por el n° pivote ( en
este caso 2) y luego se debe realizar las operaciones algebraicas básicas para transformar el n°
pivote con tal que al ser sumado (o restado) haga 0 los otros valores de la columna (nota : La
operación algebraica y la suma (o resta) debe ser realizada en toda la fila pivote).
Var. Básicas Z X1 X2 S1 S2 S3 L. DERECHO
Z 1 -3 -5 0 0 0 0
S1 0 1 0 1 0 0 4
S2 0 0 2 0 1 0 12
S3 0 3 2 0 0 1 18
Iteración 0
Método Simplex

11. II. Construcción de tabla Simplex
Iteración 2
i. Dividir en 2 la columna pivote
ii. Multiplicar por 5/2 la columna pivote y sumarla a la fila Z.
iii. Fila S1 queda igual ( el valor que intersecta la columna es 0).
iv. Se multiplica por -1 y se suma a S3
Nota = SIEMPRE los valores de L.Derecho ≥ 0.
v. Resultados:
X1 = 0 S1 = 4 Z = 30
X2 = 6 S2 = 0
S3 = 6
Var. Básicas Z X1 X2 S1 S2 S3 L. DERECHO
Z 1 -3 0 0 5/2 0 30
S1 0 1 0 1 0 0 4
X2 0 0 1 0 1/2 0 6
S3 0 3 0 0 -1 0 6
Iteración 0
Iteración
1
Método Simplex

12. II. Construcción de tabla Simplex
Iteración 2
i. Se debe repetir lo realizado en iteración 1
X1 = 2 S1 = 10/3 Z = 36
X2 = 6 S2 = 0
S3 = 0
Var. Básicas Z X1 X2 S1 S2 S3 L. DERECHO
Z 1 -3 0 0 5/2 0 30
S1 0 1 0 1 0 0 4
X2 0 0 1 0 1/2 0 6
S3 0 3 0 0 -1 1 6
Iteración 0
Iteración
1
Var. Básicas Z X1 X2 S1 S2 S3 L. DERECHO
Z 1 0 0 0 3/2 1 36
S1 0 0 0 1 0 0 10/3
X2 0 0 1 0 1/2 0 6
X1 0 1 0 0 0 0 2
Iteración 2
RESULTADO
Método Simplex

13. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 400𝑥1 + 300𝑥2
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
3𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 120
6𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 180
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
Ejercicio en clases