Este documento introduce los polinomios de Taylor y las series de Taylor como formas de aproximar otras funciones. Explica que los polinomios de Taylor se construyen de modo que coincidan con los valores y derivadas de la función en un punto, lo que proporciona una aproximación local precisa. Luego, las series de Taylor representan funciones diferenciables infinitamente como una suma infinita de términos de potencias, convergiendo a la función en un intervalo. El teorema de Taylor relaciona la aproximación polinómica con el error asociado.
3. Introducción
Utilizaremos las funciones polinómicas como
aproximación de otras funciones elementales.
Para hallar una función polinómica 𝑃 que aproxime a
otra función 𝑓, empezamos eligiendo un numero 𝑐 en el
dominio de 𝑓en el que 𝑃 tomara el mismo valor, es
decir 𝑃 𝑐 = 𝑓(𝑐).
4. Observaciones
• Las gráficas de 𝑓 y 𝑃 pasan por 𝑐, 𝑓(𝑐)
• Se dirá que la aproximación polinómica esta centrada
en 𝑐.
• Exigir 𝑃 𝑐 = 𝑓(𝑐) significa obligar a la grafica de 𝑃 a
que pase por 𝑐, 𝑓(𝑐) .
5. Observaciones
• Hay muchos polinomios que satisfacen esa condición.
• Nuestro objetivo es encontrar uno cuya gráfica sea
parecida a la de 𝑓 en las proximidades de ese punto.
• Una forma de lograrlo consiste en imponer la
condición adicional de que la pendiente de la función
polinómica sea la misma que la de 𝑓 en el punto
𝑐, 𝑓(𝑐) .
6. Observaciones
• Esto significa que 𝑃′
(𝑐) = 𝑓′
(𝑐).
• Luego ambas graficas tienen la misma pendiente en
𝑐, 𝑓(𝑐) .
• Con esos dos requisitos obtenemos una aproximación
lineal simple de 𝑓.
7. Polinomio de Taylor
Cuando deseamos construir aproximaciones centradas
en algún otro valor de 𝑐, conviene escribir los
polinomios de esta forma:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑐 + 𝑎2 𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐 𝑛
Así las sucesivas derivadas dan como resultado:
𝑃𝑛
′
𝑥 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 − 𝑐 + 3𝑎3 𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐 𝑛
9. Polinomio de Taylor
Como los valores de 𝑓 y de sus 𝑛 primeras derivadas
coinciden con los de 𝑃𝑛 y sus derivadas en 𝑥 = 𝑐, se sigue
que:
𝑓 𝑐 = 𝑎0, 𝑓′
𝑐 = 𝑎1,
𝑓′′
(𝑐)
2!
= 𝑎2, ⋯ ,
𝑓 𝑛
(𝑐)
𝑛!
= 𝑎𝑛
Con estos coeficientes llegamos a la definición de los
polinomios de Taylor.
10. Definición.
Si 𝑓 tiene 𝑛 derivadas en 𝑐, el polinomio
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 + 𝑓′
𝑐 𝑥 − 𝑐 +
𝑓′′(𝑐)
2!
𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛
se llama polinomio de Taylor de grado 𝑛 de 𝑓 en 𝑐.
Si 𝑐 = 0, entonces 𝑃𝑛 𝑥 se llamará polinomio de Maclaurin de
grado 𝑛 de 𝑓.
12. Introducción
Supongamos que 𝑎𝑘 𝑥 − 𝑐 𝑘
𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 c y que tiene un
intervalo de convergencia con un radio de convergencia 𝑅
distinto de cero.
Como se estudió en Sucesiones y serie, dentro del
intervalo de convergencia una serie de potencias es una
función continua que posee derivadas de todos los
ordenes.
13. Introducción
También se trabajó la idea de utilizar una serie de potencias para
representar una función determinada sobre un intervalo.
Ahora entenderemos de manera adicional la noción de representar
una función mediante una serie de potencias.
Problema clave:
Supóngase que contamos con una función 𝑓 con derivadas de todos
los ordenes en un intervalo abierto 𝐼. Sera posible encontrar una
serie de potencias que representa a 𝑓 sobre 𝐼?
14. Introducción
Traduciendo esto:
Podemos expandir una función diferenciable infinitamente en
una serie de potencias 𝑎𝑘 𝑥 − 𝑐 𝑘
que converge al valor
correcto de la función 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 en algún intervalo
abierto 𝑐 − 𝑅, 𝑐 + 𝑅 donde 𝑅 > 0 𝑜 𝑅 = ∞ ?.
15. Serie de Taylor para una función 𝑓
Recordando que una función 𝑓 que es infinitamente
diferenciable sobre 𝑐 − 𝑅, 𝑐 + 𝑅 puede representarse
mediante una serie de potencias sobre ese intervalo.
La diferenciación repetida de 𝑓
𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑐 + 𝑎2 𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 − 𝑐 𝑛
+ ⋯
produce: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 + 𝑓′
𝑐 𝑥 − 𝑐 +
𝑓′′(𝑐)
2!
𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛
+
⋯
16. Serie de Taylor para una función 𝑓
Esto a su vez se escribirá como.
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 + 𝑓′
𝑐 𝑥 − 𝑐 +
𝑓′′(𝑐)
2!
𝑥 − 𝑐 2
+ ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑐)
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛
+ ⋯
𝑓 𝑥 = 𝑛=0
∞ 𝑓𝑛(𝑐)
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛 llamada serie de Taylor centrada en 𝑐.
La serie de Taylor centrada en 𝑐 = 0 recibe el nombre de
serie de Maclaurin.
17. Observación.
Será posible expandir una función 𝑓 infinitamente diferenciable
en una serie de Taylor?
Respuesta: No es tan simple expandir una función con estas
condiciones en una serie de Taylor.
Se hace necesario que los coeficientes y la serie en si se
obtuvieron bajo la suposición de que 𝑓 era representada por una
serie de potencias centrada en 𝑐.
18. Observación.
Si no conocemos a priori que esa función infinitamente
diferenciable tiene una representación en serie de potencias,
entonces debemos considerar la serie de potencias de Taylor o de
Maclaurin como un resultado formal, en otras palabras, la serie de
potencias es simplemente generada por la función 𝑓.
No sabemos si la serie generada de esta manera converge o, incluso si
lo hace a 𝑓 𝑥 .
20. Teorema
Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 𝑛+1
(𝑥) existe para toda 𝑥 en el
intervalo que contiene el número 𝑐. Entonces para todo 𝑥
en el intervalo 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥)
Valor
exacto
Valor
aproximado
Resto
Pol.
centrado
en c
Forma
de
Lagrange
21. Teorema
Donde 𝑅𝑛 𝑥 =
𝑓 𝑛+1 (𝑎)
𝑛+1 !
𝑥 − 𝑐 𝑛+1
El número 𝑎 yace entre 𝑐 y 𝑥.
22. Convergencia
Suponga que 𝑓 es una función que posee derivadas de todos
los ordenes sobre un intervalo 𝐼 centrado en el numero 𝑐.
Si lim
𝑛→∞
𝑅𝑛 𝑥 = 0 para toda 𝑥 en 𝐼, entonces la serie de Taylor
generada por 𝑓 converge a 𝑓 𝑥 ,
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑓𝑛
(𝑐)
𝑛!
𝑥 − 𝑐 𝑛
23. Convergencia
Suponga que 𝑓 es una función que posee derivadas de
todos los ordenes sobre un intervalo 𝐼 centrado en el
numero 𝑐.
En la practica, la prueba de que lim
𝑛→∞
𝑅𝑛 𝑥 = 0 depende
muchas veces del hecho de que lim
𝑛→∞
𝑥 𝑛
𝑛!
= 0 porque se
sabe que esta serie es absolutamente convergente en ℝ.
