Derivación e Integración de la variable compleja

1. Universidad Politécnica Salesiana. Guamán, Pulla, Quizhpi, San Martin. Función Compleja.
Matemáticas Avanzadas.
1
FUNCIÓN COMPLEJA.
Luis Pulla Sánchez, Flavio Quizhpi Cuesta, Christian San Martín Feijóo, Telmo Guamán Espinoza.
lpullas@est.ups.edu.ec, fquizhpic@est.ups.edu.ec, csanm@est.ups.edu.ec, tguamane@est.ups.edu.ec,
Universidad Politécnica Salesiana
I. RESUMEN.
En cursos de álgebra elemental, además de aprender que existen
números complejos, se estudian algunas de sus propiedades. No
obstante, en cursos de cálculo es probable que no se utilicen números
complejos. En cursos avanzados se pueden utilizar ocasionalmente
números complejos. Sin embargo, en esta presentación se introducen
los conceptos de análisis complejo, es decir el estudio de funciones
de variable compleja. Aunque existen muchas semejanzas entre este
análisis y el real, también existen muchas diferencias interesantes y
algunas sorpresas.
ABSTRACT. In elementary algebra courses, and learn that
there are complex numbers, we study some of its properties.
However, in calculus courses is unlikely to use complex numbers.
In advanced courses may occasionally use complex numbers.
However, in this presentation complex analysis concepts are
introduced, namely the study of complex functions. Although
there are many similarities between this analysis and real, there
are many interesting differences and some surprises.
Palabras Clave: Función compleja, variable, derivada, analítica.
II. INTRODUCCIÓN.
Indudablemente, en matemáticas aparecen números complejos. Al
aprender a resolver la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 por
medio de la formula cuadrática, se observa que las raíces de la
ecuación no son reales, sino complejas, cuando el discriminante
𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo.
Hace 200 años, más o menos el tiempo que tomo a los números
complejos ganar cierta respetabilidad en la comunidad matemática,
el símbolo (i) que se utilizaba originalmente como un disfraz para
el engorroso símbolo √−1. Ahora simplemente se dice que i es la
unidad imaginaria y se define por medio de la propiedad 𝑖2
= −1.
Utilizando la unidad imaginaria se construye el número complejo de
dos números reales.
III. MARCO TEORICO.
A. NUMERO COMPLEJO.
Un número complejo es cualquier número de la forma:
𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
Donde 𝑎 𝑦 𝑏, son números reales e 𝑖 es la unidad imaginaria.
B. FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.
Cuando tenemos un dominio A que es un conjunto de números 𝑧, se
dice que 𝑓 es una función de variable compleja 𝒛 o simplemente una
función compleja.
La imagen de 𝒘, de un número complejo 𝑧 de algún número
complejo 𝑢 + 𝑖𝑣, esto es:
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)
Donde 𝑢 y 𝑣 son las partes real e imaginaria de 𝑤, y son funciones
de valores reales. Además 𝑧 varía en un conjunto de números
complejos S y se le da el nombre de variable compleja.
El conjunto S es el dominio de definición de 𝑓(𝑧) y el conjunto de
números complejos que 𝑤 = 𝑓(𝑧) toma, a medida que 𝑧 varie sobre
S, se llama rango de valores de la función 𝑤 = 𝑓(𝑧).
Pero nos encontramos ante el hecho de que no se puede graficar una
función compleja 𝑤 = 𝑓(𝑧), puesto que se necesitaría 4 dimensiones
para hacerlo.
Algunos ejemplos de funciones de una variable compleja son.
 𝑓(𝑧) = 𝑧2
− 4𝑧, donde z es cualquier número complejo.
 𝑓(𝑧) =
𝑧
𝑧2+1
, donde 𝑧 ≠ 𝑖 y 𝑧 ≠ −𝑖
Cada una de estas expresiones puede expresarse así:
𝑓(𝑧) = 𝑧3
− 4𝑧
𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑖𝑦)2
𝑓(𝑧) = (𝑥2
− 𝑦2
− 4𝑥) + 𝑖(2𝑥𝑦 − 4𝑦)
Entonces:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
− 𝑦2
− 4𝑥
𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 4𝑦
Aun no es posible dibujar una gráfica, una función compleja 𝑤 =
𝑓(𝑧) puede interpretarse como un mapeo o transformación del
plano z, como se aprecia en la figura 1.
Figura 1. Transformación del plano z al plano w.
C. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Supóngase que una función está definida en una vecindad de
𝑧 𝑜excepto posiblemente en el mismo 𝑧 𝑜. Entonces se dice que 𝑓
posee un límite en 𝑧 𝑜, escrito como:
lim
𝑧→𝑧 𝑜
𝑓(𝑧) = 𝐿
Que quiere decir que los puntos 𝑓(𝑧) se pueden acercar
arbitrariamente al punto L si se elige el punto z suficientemente
cercano, aunque no igual, al punto 𝑧 𝑜.
Si para todo número real positivo ∈> 0, existe un número real
positivo 𝛿 > 0 tal que:
|𝑓(𝑧) − 𝐿| <∈
Como se puede apreciar en la figura 2, para cada ∈ −𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 de
L, existe una 𝛿 − 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 de 𝑧 𝑜definida por:
0 < |𝑧 − 𝑧 𝑜| < 𝛿
Tal que las imágenes de todos los puntos 𝑧 ≠ 𝑧 𝑜 en esta vecindad se
encuentran en la ∈ −𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 de L.

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Figura 1. Significado trigonométrico de un límite complejo.
Pero como 𝑧 y 𝑧 𝑜son puntos en el plano complejo, cuando se dice
que existe:
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧 𝑜
𝑓(𝑧)
Se entiende que 𝑓(𝑧) se acerca a L cuando el punto 𝑧 se acerca a 𝑧 𝑜
desde cualquier dirección.
 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
 Límite de la suma.
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧 𝑜
[𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)] = 𝐿1 + 𝐿2
 Límite del producto.
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧 𝑜
𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧) = 𝐿1 𝐿2
 Límite del cociente.
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧 𝑜
𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
=
𝐿1
𝐿2
𝐿2 ≠ 0
D. CONTINUIDAD EN UN PUNTO.
Una función 𝑓 es continua en un punto 𝑧 𝑜 si:
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧 𝑜
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0)
Si tenemos que si dos funciones 𝑓 y 𝑔 son continuas en un punto 𝑧 𝑜,
entonces su suma y su producto son continuos en 𝑧 𝑜. El cociente de
las dos funciones es continuo en 𝑧 𝑜 siempre y cuando 𝑔(𝑧 𝑜) ≠ 0.
Una función definida por:
𝑓(𝑧) = 𝑎 𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑧 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎2 𝑧2
+ 𝑎1 𝑧 + 𝑎0
𝑎 𝑛 ≠ 0
Donde 𝑛 es un entero no negativo y los coeficientes 𝑎𝑖, 𝑖 =
0,1, … , 𝑛, son constantes complejas, se denomina polinomio de
grado 𝑛, de modo que la función polinómica simple 𝑓(𝑧) = 𝑧 es
continua en todos los puntos, esto es, en todo el plano 𝑧 y por tanto
en cualquier punto.
Una función racional:
𝑓(𝑧) =
𝑔(𝑧)
ℎ(𝑧)
Donde 𝑔 y ℎ son funciones polinomicas, es continua excepto en
aquellos puntos para los cuales ℎ(𝑧) = 0
E. DERIVADA.
La derivada de una función compleja se define en términos de un
límite. El símbolo utilizado ∆𝑧 es el número complejo ∆𝑥 + 𝑖∆𝑦.
Se dice que una función 𝑓(𝑧) es diferenciable e un punto 𝑧 𝑜 si el
siguiente límite existe:
𝑓′(𝑧0) = lim
𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧0 − ∆𝑧) − 𝑓(𝑧0)
∆𝑧
Esta expresión indica la derivada de 𝑓 en 𝑧0.
Si se hace 𝑧0 + ∆𝑧 = 𝑧, se tiene ∆𝑧 = 𝑧 − 𝑧0, entonces la derivada
de 𝑓 puede escribirse como:
𝑓′(𝑧0) = lim
𝑧→𝑧0
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
Para esta formula existe un numero complejo 𝑓′(𝑧0) para el que,
dado un ∈> 0, puede hallarse un 𝛿 > 0 tal que.
|
𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
− 𝑓′(𝑧0)| <∈
Cuando
|𝑧 − 𝑧0| < 𝛿
 REGLAS DE DERIVACIÓN.
Si 𝑓 y 𝑔 son derivables en un punto 𝑧, y 𝑐 es una contante compleja,
entonces:
 Regla de la constante
𝑑
𝑑𝑧
𝑐 = 0
𝑑
𝑑𝑧
𝑐𝑓(𝑧) = 𝑐𝑓′(𝑧)
 Regla de la suma
𝑑
𝑑𝑧
[𝑓(𝑧) + 𝑔(𝑧)] = 𝑓′(𝑧) + 𝑔′(𝑧)
 Regla del producto
𝑑
𝑑𝑧
[𝑓(𝑧)𝑔(𝑧)] = 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧) + 𝑔(𝑧)𝑓′(𝑧)
 Regla del cociente
𝑑
𝑑𝑧
[
𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
] =
𝑔(𝑧)𝑓′(𝑧) − 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)
[𝑔(𝑧)]2
 Regla de la cadena
𝑑
𝑑𝑧
𝑓(𝑔(𝑧)) = 𝑓′
(𝑔(𝑧))𝑔′(𝑧)
 Regla de potencias de z.
𝑑
𝑑𝑧
𝑧 𝑛
= 𝑛𝑧 𝑛−1
Siendo 𝑛 un entero.
F. ANALTICIDAD EN UN PUNTO.
Se dice que una función compleja 𝑤 = 𝑓(𝑧) es analítica en un punto
𝑧0 si f es derivable en 𝑧0y en todo punto de alguna vecindad de 𝑧0.
Una función es analítica en un dominio D si es analítica en todos los
puntos D.
La Analticidad en un punto es una propiedad de vecindad, por tanto,
no es sinónimo de derivabilidad en un punto.
Una función que es analítica en cualquier punto 𝑧 es una función
entera. Los polinomios son derivables en todo punto 𝑧 y por esta
razón son funciones enteras.

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IV. DESARROLLO.
Programa. Gráficas de 𝒇(𝒛).
disp('****** Funcion Compleja ******');
disp('');
fz = input('Ingrese la funcion compleja f(z): ');
cplxroot(2);
z=cplxgrid(12);
cplxmap(z,fz);
xlabel('Parte Real Re(z)');
ylabel('Parte Imaginaria Im(z)');
zlabel('Parte real de la imagen de la funcion,
Re(f(z))');
Ejercicio 14. Derivar.
𝒇(𝒛) = (𝒛 𝟐
− 𝟒)(𝒛 𝟐
+ 𝟏)
Derivando
𝑓′(𝑧) = 2𝑧(𝑧2
+ 1) + 2𝑧(𝑧2
− 4)
𝑓′(𝑧) = 2𝑧(𝑧2 + 𝑧2 + 1 − 4)
𝒇′(𝒛) = 𝟐𝒛(𝟐𝒛 𝟐
− 𝟑)
Grafica de 𝑓(𝑧)
Ejercicio 18. Encontrar el valor de la derivada de:
𝒇(𝒛) =
𝒛 𝟐
(𝒛 + 𝒊) 𝟐
𝑓′(𝑧) =
2𝑧(𝑧 + 𝑖)2 − 2𝑧2(𝑧 + 𝑖)
(𝑧 + 𝑖)4
𝑓′(𝑧) =
(𝑧 + 𝑖)(2𝑧2
+ 2𝑧𝑖 − 2𝑧2
)
(𝑧 + 𝑖)4
𝒇′(𝒛) =
𝟐𝒛𝒊
(𝒛 + 𝒊) 𝟑
Grafica de 𝑓(𝑧)
Ejercicio 22. Encontrar el calor de la derivada de:
𝒇(𝒛) = 𝒛 𝟑
− 𝟐𝒛
𝑓′(𝑧) = 3𝑧2 − 2
Reemplazamos el valor de z=-i
𝑓′(𝑧) = 3𝑧2
− 2
𝑓′(−𝑖) = 3(−𝑖)2
− 2
𝑓′(−𝑖) = 3𝑖2
− 2
𝑓′(−𝑖) = 3(√−1)
2
− 2
𝒇′(−𝒊) = −𝟓
Grafica de 𝑓(𝑧)
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Parte Real Re(z)Parte Imaginaria Im(z)
Parterealdelaimagendelafuncion,Re(f(z))
-1
-0.5
0
0.5
1 -1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x 10
32
Parte Imaginaria Im(z)
Parte Real Re(z)
Parterealdelaimagendelafuncion,Re(f(z))
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
0
1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Parte Real Re(z)Parte Imaginaria Im(z)
Parterealdelaimagendelafuncion,Re(f(z))

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Matemáticas Avanzadas.
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V. CONCLUSIONES
Los números complejos se introducen en los cálculos matemáticos
para dar sentido a las raíces obtenidas de los números negativos, con
el fin de que todas las operaciones puedan ser resueltas matemática
y gráficamente.
Mediante los procesos vistos en esta presentación pudimos asemejar
los cálculos de derivación y límites de las variables reales a las
variables complejas. Además Matlab nos permitió representar los
resultados de dichos cálculos o en si las funciones, en gráficas que
ya nos fue fácil de interpretar analíticamente.
En si podemos decir que los números complejos con la base y la
estructura matemática más importante para el análisis y desarrollo
de nuevas propuestas tanto científicas como intelectuales de la
humanidad en el transcurso de los siguientes años.
VI. REFERENCIAS
[1]. Dennis G. Zill, Jacqueline M. Dewar, Michael Cullen. Calculo Vectorial,
Analisis de Fourier y Analisis Complejo. Tercera Edición. Capítulo 9:
Funciones de una variable compleja. Pág. 416.
[2]. Erwin Kreyszig, Matematices Avanzadas Para Ingeniería. Volumen II.
Capítulo 12: Números Complejos. Funciones Analíticas complejas. Pag. 129.
Autor:
Telmo Guaman
Luis Pulla
Mateo Quizhpi
Cristhian San Martín
Ingeniería Eléctrica.
Universidad Politécnica Salesiana
Enero 2014