TEMA3

1. Ecuaciones:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Es decir que una ecuación
es una frase que contiene una igualdad y que se hace verdadera parad
determinados valores de sus variables.
A continuación ampliamos el estudio de las ecuaciones iniciando con el concepto
que es fundamental para su estudio. Para su comprensión es importante que el
estudiante opere con facilidad los temas de operaciones algebraicas tratados en
los capítulos vistos.
Una ecuación con una variable puede ser verdadera o falsa, dependiendo del
valor de la variable.
Ejemplo:
Si x=3 y está definida en el conjunto de los números naturales la ecuación:
5x – 2 =13 es verdadera, porque sustituimos a x por 3, según el siguiente
procedimiento:
5x – 2 =13
5(3) – 2 =13
15 – 2 = 13
13 = 13
Como 3 hace verdadera la ecuación, decimos que 3 satisface la ecuación.
Podemos decir que la ecuación es falsa para el resto de números naturales. Por
ejemplo si x = 1, entonces:
5x – 2 =13
5(1) – 2 =13
5 – 2 = 13
3 ≠ 13
Al sustituir a x por 1, comprobamos que la ecuación realmente es falsa para
cualquier numero excepto a 3, ya que el uno no satisface la ecuación.

2. Raíces de la ecuación:
Al conjunto de números del dominio que satisface una ecuación, se le llama
conjunto de solución de la ecuación. Los elementos de ese conjunto solución se
llaman raíces de la ecuación:
A menos que se establezca lo contrario, las ecuaciones de este libro las
definiremos en el conjunto de números reales.
Ejemplo:
1. Probar que 5 es una raíz de la ecuación: 4x + 8 = 28.
2. Determinar si 7 es una raíz de la ecuación 2y + 5 =17
Solución:
1. Probar que 5 es una raíz de la ecuación: 4x + 8 = 28.
Sustituimos el valor de x = 5 en la ecuación:
4x + 8 =28
4(5) + 8 = 28 como x=5 sustituye en la ecuación 4*5= 20
20+ 8 = 28
28 = 28
Como x = 5, satisface la ecuación, entonces 5 es una raíz de la ecuación.
2. Determinar si 7 es una raíz de la ecuación 2y + 5 =17.
2y + 5 = 17
2(7) + 5 = 17
14 + 5 = 17
19 ≠ 17
Por lo tanto, 7 no es una raíz de la ecuación 2y + 5 =17.

3. Grado de una ecuación:
El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la variable.
1. La ecuación 3x – 2 = 3 – 2x, es de primer grado porque el mayor
exponente de la variable es 1.
2. La ecuación x2
– 5x + 4 = 0, es de segundo grado porque el mayor
exponente de la variable es 2.
3. La ecuación 3x3
– 2x2
+ x = 0, es una ecuación de tercer grado, pues el
mayor exponente de la variable es 3.
Una ecuación está formada por dos miembros. Llamamos primer miembro a la
expresión que queda al lado izquierdo de la igualdad y segundo miembro a la
expresión que queda al lado derecho de la igualdad.
Así en la ecuación 3x – 2 = 5 – 2x, el primer miembro es 3x – 2 y el
segundo miembro es 5 – 2x.
Es importante no confundir “términos” de la ecuación con “miembros” de la
ecuación.
En la ecuación:
x – 5 = 3x – 25
Primer miembro. Segundo miembro.
Los términos: x, – 5, 3x, – 25.
Mientras que los miembros son:
Primer miembro: x – 5
Segundo miembro: 3x – 25

4. Propiedades fundamentales de las ecuaciones:
Propiedad número uno de las ecuaciones:
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma
cantidad positiva o negativa, se obtiene una ecuación equivalente a la original, es
decir, la igualdad sigue existiendo.
Por ejemplo:
Dada la ecuación 5 + x = 8
Solución:
Es lógico que x = 3, por lo tanto podemos escribir 5 + 3 = 8
Si a ambos miembros sumamos por ejemplo 7, quedaría:
5 + x = 8
5 + 3 + 7 = 8 + 7
15 = 15
Sigue existiendo la igualdad.
Si a ambos miembros les restamos por ejemplo 4.
5 + x = 8
5 + 3 - 4 = 8 - 4
4 = 4
Sigue existiendo la igualdad.
Si a ambos términos le sumamos por ejemplo -2, tendremos:
5 + x = 8
5 + 3 + (- 2) = 8 + (-2)
6 = 6
Sigue existiendo la igualdad.

5. Propiedad número dos de las ecuaciones:
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por la misma
cantidad positiva o negativa diferente de cero, la igualdad subsiste.
Por ejemplo:
1. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación 5 + 3 = 8, por 6.
Solución:
6(5 + 3) = 6(8) 5 + 3 = 8
6(8) = 6(8) 6 * 8 = 48
48 = 48
La igualdad se cumple.
2. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por -4, tendríamos:
5 + 3 = 8
-4 -4
8 = 8
-4 -4
- 2 = - 2
La igualdad se cumple, dividiendo cada miembro de la ecuación, entre -2, pues la
igualdad sigue existiendo.

6. Propiedad número tres de las ecuaciones:
Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente o se les
extrae una misma raíz, la igualdad sigue existiendo.
Por ejemplo:
Elevando nuestra ecuación 5 + 3 = 8, al exponente 3.
Solución:
(5 + 3)3
= (8)3
notar que (5 + 3)3
= (8)3
(8)3
= (8)3
(8)3
= 8*8*8 = 512.
512 = 512 La igualdad se cumple.
Las propiedades anteriores permiten resolver ecuaciones como la siguiente:
Ejemplo:
Resolver la ecuación: 9x + 6 = 96
Solución:
Para resolver una ecuación hay que despejar la variable, es decir aislarla en el
primer miembro:
9x + 6 = 96
9x + 6 - 6 = 96 -6
9x = 90
9x = 90
9 9
x = 10
Para eliminar el 6 del primer miembro restamos 6 a ambos miembros, y tenemos
6 – 6 = 0 y 96 – 6 = 90. Para eliminar el 9 del primer miembro, se dividen ambos
miembros dentro de 9 y obtenemos como resultado: 9x ÷ 9 = x , y 90 ÷ 9 = 10.

7. Propiedad número cuatro de las ecuaciones:
La transposición de términos es una operación que tiene por objeto pasar los
términos de una ecuación de un miembro a otro.
Como en las ecuaciones lo que se pretende es aislar a la variable, restando y
dividiendo cantidades iguales a ambos miembros de la ecuación.se ha trasladado
cantidades de un miembro a otro aprovechando las propiedades de las
ecuaciones. Tomando en cuenta esas propiedades, se pueden establecer las
siguientes reglas prácticas para transponer términos en una ecuación de un
miembro a otro.
Para pasar un término de un miembro a otro de una ecuación, se le cambia de
operación:
a) Si está sumando (+) pasa al otro miembro restando(-)
b) Si está restando (-) pasa al otro miembro sumando(+)
c) Si está multiplicando (*) pasa al otro miembro dividiendo(÷)
d) Si está dividiendo (÷) pasa al otro miembro multiplicando(*)
Ejemplo:
a) Dada la ecuación, 2 + 2x = x + 5, pasar +2x al segundo miembro.
Como +2x está sumando (tiene el signo +) en el primer miembro, pasa al
segundo miembro como resta o restando (- 2x).
2 = x + 5 -2x
Equivale a restar 2x a cada miembro:
2 +2x -2x = x + 5 -2x
2 = x + 5 -2x
b) En la ecuación m – 5 = 3m – 25, pasar – 25 al primer miembro de la
ecuación.
Como – 25 está restando, pasa al primer miembro sumando:
m – 5 + 25 = 3m – 25 + 25
m – 5 + 25 = 3m
c) En la ecuación 11x +5x -1 = 65x -36 pasar +5x-1 al segundo miembro.
11x = 65x – 36 – 36 - 5x + 1

8. Resolución de ecuaciones de primer grado de una variable real:
Resolver una ecuación de primer grado con una variable es encontrar el valor de
la variable que hace verdadera la igualdad.
Para resolver una ecuación de este tipo se siguen los siguientes pasos:
1) Se realizan las operaciones indicadas, si existen (por ejemplo paréntesis,
llaves, corchetes, etc.)
2) Se reúnen en el primer miembro todos los termino que tengan a la variable,
y en el segundo miembro las constantes, aplicando lo tratado en la
transposición de términos.
3) Se reducen los términos semejantes en el primer mimbro y en el segundo
miembro, con lo que se logra tener un solo termino en el primer mimbro y
uno solo en el segundo miembro.
4) Después de reducidos los términos semejantes, se despeja la variable,
dividiendo ambos términos de la ecuación, por el coeficiente de la misma.
Ejemplo: resolver las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 4 = 2x + 5
5x-2x=5+4
3x=9
3x=9
3 3
x = 3
Reunimos todos los términos que tenga a la x, en el primer miembro y las
constantes (números sin la x), en el segundo miembro.
Hemos tenido que pasar 2x del segundo miembro al primero, este estaba
sumando (+2x), paso al segundo miembro restando (-2x). – 4(numero sin la x)
estaba restando, paso al segundo miembro sumando (+4).
Enseguida reducimos los términos semejantes en ambos miembros de la
ecuación, y por último, despejamos la variable dividiendo cada miembro de la
ecuación obtenida por el coeficiente de la x o variable, como se mostró en este
ejercicio, el coeficiente era 3, entonces ambos miembros se dividieron entre tres.
Para aprobar que el resultado es correcto realizamos la prueba, sustituyendo la
variable “x” por su valor “3” es decir, que escribimos el 3 en lugar de la x en la
ecuación original.
5x – 4 = 2x + 5 Como x = 3 escribimos.

9. 5(3)-4=2(3)+5 5*3=15 y 2*3=6
15 – 4 = 6 + 5 15-4=11 y 6+5=11
11 = 11
Como se hace verdadera la igualdad, quiere decir que el resultado es correcto.
b) 3y + 21= 5y + 1
3y – 5y = 1 – 21
-2y = - 20
-2y = - 20
- 2 - 2
y = 10
La prueba es sustituir la x por el 10 en la ecuación original:
3y + 21= 5y + 1
3(10) + 21 = 5(10) + 1
30 + 21 = 50 + 1
51 = 51.
Al sustituir la variable por el valor hallado, obtenemos una igualdad, lo que
comprueba que el valor obtenido de la ecuación es verdadero.
c) - 4 + 3x = 7x + x +14 – 8x
3x + 8x – 7x – x = 14 + 4
3x = 18
x = 18
3
x = 6
En esta ecuación se aplicó las reglas de la transposición de términos, y se obtiene
el valor o resultado que es de 6 lo cual al sustituir la variable por este valor
obtenemos que la ecuación es equivalente, por lo tanto verdadera.