Este material contiene ejercicios como: operaciones con números naturales, fracciones, proporcionalidad y geometría.

1. Programa Escuelas de Calidad
Programa para la Mejora del Logro Educativo
Programa de Razonamiento Lógico Matemático
y Aplicación de la Ciencia a la Vida Cotidiana
Lee,
piensa,
decide y
aprende
Segunda fase

2. Lee,
piensa,
decide y
aprende
Segunda fase

3. Secretaría de Educación Pública
Alonso Lujambio Irazábal
Subsecretaría de Educación Básica
José Fernando González Sánchez
Dirección General de Desarrollo
de la Gestión e Innovación Educativa
Juan Martín Martínez Becerra
Dirección General de Formación
Continua de Maestros en Servicio
Leticia Gutiérrez Corona
Dirección General de Educación Indígena
Rosalinda Morales Garza
Dirección General de Materiales Educativos
María Edith Bernáldez Reyes
Dirección General de Desarrollo Curricular
Leopoldo Felipe Rodríguez Gutiérrez
Coordinación Nacional para
el Fortalecimiento del Logro Educativo
L. Dalila López Salmorán
Lee, piensa, decide y aprende. Segunda fase es una obra del
Programa Escuelas de Calidad en coordinación con el Programa
para la Mejora del Logro Educativo, ambos de la Dirección General
de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa (DGDGIE), de
la Subsecretaría de Educación Básica.
Coordinación General
Lilia Dalila López Salmorán
Daniel Hernández Ruiz
Coordinación Académica
Araceli Castillo Macias
Autores
Manuel Aguilar Soto
Héctor Manuel Monges Morán
José Arturo Rodríguez Guerrero
Revisión Técnico-Pedagógica
Equipo Técnico del Programa para
la Mejora del Logro Educativo
Diseño
Sociedad para el Desarrollo Educativo Prospectiva SA de CV
Jorge Isaac Guerrero Reyes
Ilustraciones
Rocío Padilla Medina
Coordinación y cuidado editorial
Esteban Manteca Aguirre
Tonatiuh Arroyo Cerezo
“Este programa está financiado con recursos públicos aprobados
por la Cámara de Diputados del H. Congreso de la Unión y queda
prohibido su uso para fines partidistas, electorales o de promoción
personal de los funcionarios”: Ley Federal de Transparencia y
Acceso a la Información Pública Gubernamental.
Primera edición: 2011
ISBN: 978-607-8017-41-6
DR © Secretaría de Educación Pública, 2011
Argentina 28, Colonia Centro Histórico,
CP 06020; México, DF
Impreso en México
Distribución gratuita – Prohibida su venta

4. Contenido
Introducción
Sesión 1. Operaciones con
números naturales
Sesión 2. Fracciones
Sesión 3. Proporcionalidad
Sesión 4. Geometría
4
6
14
22
32

5. Introducción
La entrada a la escuela secundaria genera en ti una mezcla de emociones y
sensaciones. El entusiasmo, la alegría y la expectación se combinan con la
angustia, la preocupación e incluso el miedo. Algunos de los temores más fre-
cuentes se relacionan con la inseguridad en el manejo de ciertos temas vistos
en la primaria; en particular, los temas de matemáticas han sido de los que
resultan más complicados para los estudiantes en las escuelas de educación
básica en el país.
Por lo anterior, hemos elaborado este material con la intención de fortale-
cer tu seguridad al momento de emprender nuevas aventuras y enfrentar los
retos que se te presentan. Te contaremos, como si fuera una historia, la expe-
riencia de un grupo de amigos, en edad de ingresar a la escuela secundaria,
que se enfrentan a diversas situaciones en su vida cotidiana. Lo relevante de
esta historia es que los cuatro amigos transforman dichas situaciones en retos
matemáticos, en los cuales ponen en práctica algunos de los aprendizajes que
adquirieron en la primaria: operaciones básicas, fracciones, proporcionalidad
y geometría.
La historia se conforma por cuatro sesiones que inician con una situación
problemática: un reto matemático que te invitará a repasar temas que te se-
rán de utilidad en tu trayecto por la secundaria; en seguida se recuperan los
aprendizajes con que ya cuentas para resolver el problema y se formulan pre-
guntas que generan distintas formas para llegar a un resultado correcto, al
tiempo que tú mismo vas proponiendo soluciones. Esta manera de indagar
y construir juntos las respuestas contribuirá a consolidar tu aprendizaje autó-
nomo, y te servirá cuando consultes distintas fuentes de información que te
ayudarán a superar algunas de las dificultades que se te presenten a lo largo
de las actividades.
44

6. Cada sesión se estructura con cuatro momentos, que podrás identificar por
medio de los siguientes iconos:
Resuelve
Acepta
el reto
Analiza
lo aprendido
Desarrolla
y comprueba
± Acepta el reto indica que es muy importante tu compromiso para
trabajar la sesión y aprovechar todo lo que ofrece. Es necesario que leas
con cuidado el problema e identifiques qué información te proporciona y
qué es lo que te pide. Te recomendamos que investigues en tus libros de
primaria, en la biblioteca o en internet los conceptos que no recuerdes
muy bien.
± Resuelve ofrece un espacio para que, antes de continuar leyendo el
material, busques alguna manera de resolver el problema; considera que
ésta es una tarea que requiere concentración, imaginación y análisis, por
lo que debes dedicarle tiempo.
± Desarrolla y comprueba consiste en que, después de resolver o in-
tentar resolver el problema, continúes leyendo el material, pues en este
momento te presentamos algunas ideas que te ayudarán a resolverlo o
a conocer otras formas de hacerlo. Es importante que analices cada una
de las ideas y que a partir de tu análisis completes los distintos procesos
de solución del problema.
± Analiza lo aprendido presenta el aspecto principal que engloba el
trabajo con cada ejercicio. Te invitamos a que, antes de leer este momen-
to, escribas en tu cuaderno qué aprendiste al trabajar la sesión para que
compares tu escrito con la síntesis que te presentamos.
Estamos convencidos de que con tu interés y compromiso harás del trabajo con
este material una aventura. Te invitamos a acompañar las interrogantes, los procesos
y los resultados de Lucas, Daniela, Octavio y Pamela en la resolución de los proble-
mas que se les presentan y a que les encuentres solución ejercitando tus propios
aprendizajes.
55

7. Sesión 1
Operaciones con
números naturales
Aprendizajes
esperados
Utiliza distintos métodos
para abordar problemas
que involucran opera-
ciones con números
naturales.

8. Acepta
el reto
Lucas, Daniela, Octavio y Pamela viven en una comunidad del municipio de San
Juan, un lugar rodeado de montañas y frondosos árboles. Las calles principales están
pavimentadas y cuentan con servicios básicos, así como con extensas áreas de espar-
cimiento, canchas deportivas y espacios para jugar.
Es un lunes de verano y los cuatro amigos están de vacaciones, por lo que decidie-
ron dar un paseo en “La pista”, un circuito para bicicletas que mide 4000 m de largo.
Al llegar, Daniela y Octavio aceptan competir para ver quién llega primero a la meta.
Desde la línea de salida, Lucas y Pamela estaban observando la carrera cuando se les
ocurrió plantear el siguiente problema:
Si Daniela avanza 500 metros en un minuto y Octavio 400 metros en un minuto y,
además, Daniela decide darle a Octavio una ventaja de 300 metros, ¿quién de los dos
llegará primero a la meta y por cuántos metros le ganará a su contrincante?
Resuelve
7

9. Desarrolla
y comprueba
Lucas y Pamela decidieron calcular el tiempo que tarda cada uno de sus amigos en
recorrer el circuito. Para calcular cuánto tiempo tarda Daniela realizaron una de las
siguientes operaciones:
a) b) c) d)
500
+400
4000
−500 500 4000
4000
× 500
¿Cuál de las operaciones anteriores utilizarías para calcular el tiempo que tarda
Daniela en recorrer los 4000 m?
¿Cuántos metros avanza Daniela por cada minuto?
¿Cuántos minutos tarda Daniela en recorrer los 4000 m?
Completa la tabla de avance de Daniela.
Tabla de avance de Daniela
Metros Minutos
500 1
1000
1500
Verifica si el resultado de la operación
que elegiste coincide con el resultado
que obtuviste en la tabla. Si no coincide,
resuelve las demás operaciones y explica
cuál sirve para resolver el problema.
8

10. ¿Qué operación realizarías para calcular el tiempo que tarda Octavio en llegar a la
meta, sin tomar en cuenta la ventaja?, realízala.
Completa la tabla de avance de Octavio y compara el resultado al que llegues con
el resultado de la operación que hiciste en la pregunta anterior.
Tabla de avance de Octavio
Metros Minutos
400 1
800
1200
Sin tomar en cuenta la ventaja, ¿quién gana la carrera y a qué distancia queda de
su contrincante al cruzar la meta?
9

11. Después de analizar el tiempo que tardaría cada uno en recorrer los 4000 m,
Pamela y Lucas decidieron construir una tabla que muestre el avance de Daniela y
Octavio pero tomando en cuenta la ventaja que se dio.
Minutos
Metros
Daniela Octavio
0
1
2
3
4
5
¿Quién ganó la carrera?, ¿por qué? Explica qué pasó
10

12. Cuando Daniela y Octavio completaron el circuito, quisieron participar en la reso-
lución del problema y propusieron otra forma de resolverlo: dibujaron un segmento
de recta y marcaron la ventaja que Daniela le dio a Octavio.
En el siguiente segmento de recta se indican las posiciones de Daniela y de Octavio al
empezar la carrera, tomando en cuenta la ventaja que Daniela da al inicio a Octavio.
SALIDA META
300m 1000m 2000m 3000m
¿Cómo utilizarías el segmento de recta anterior para resolver el problema?
¿Recuerdas cuántos metros avanza cada uno por minuto?
Daniela
Octavio
Daniela
Octavio
11

13. ¿Cuál de las siguientes operaciones utilizas para calcular los metros que avanza
Daniela en 3 minutos?
a) b) c)
500 4000
500
× 3 3 4000
¿Por qué?
¿Qué operación haces para saber cuántos metros avanza Octavio en 3 minutos?
¿De qué manera puedes saber cómo va la carrera a los 3 minutos, tomando en
cuenta la ventaja?
¿Cómo puedes saber quién va ganando en el sexto minuto, tomando en cuenta
la ventaja?
¿Qué haces para saber quién llega primero a la meta, tomando en cuenta
la ventaja?
12

14. ¿Qué operación haces para saber cuántos metros de distancia había entre los dos
competidores cuando el primero cruzó la meta?
Analiza
lo aprendido
Las operaciones –como la suma, la resta, la multiplicación y la división– nos ayudan
a realizar cálculos de manera más rápida. Es importante identificar qué se quiere
calcular y decidir cuál de las operaciones nos dará esa información.
13

15. Sesión 2
Fracciones
Aprendizajes
esperados
Resuelve problemas
que implican identificar
a las fracciones como
números que se repre-
sentan y se ubican en la
recta; asimismo, que con
ellos se pueden realizar
operaciones.

16. Acepta
el reto
Es sábado al medio día, los cuatro amigos se encuentran en el parque para celebrar el
cumpleaños de Lucas. Entre otros regalos, Lucas recibe de parte de su abuelo cuatro
carritos de juguete que lo hacen brincar de contento porque le fascinan los autos.
Cuando les enseña a sus amigos su regalo, Octavio propone jugar carreras.
Para hacer más interesante el juego, Daniela dibuja una pista de tres metros y entre
todos deciden las reglas del juego:
± Cada quien impulsará su carrito dos veces: la primera, desde la marca de salida
y la segunda será a partir de la posición a la que llegó con el primer impulso.
± El carrito que salga de la pista o se volteé, se elimina.
En el primer impulso, el carrito de Daniela recorrió 4
10 de la pista, el de Pamela 3
6
de la pista, el de Lucas 3
8 de la pista y el de Octavio quedó a 2
5 de la meta. Desde
la posición en que quedaron, les dieron el segundo impulso y cada carrito avanzó
un poco más: el carrito de Daniela, 1
2 del total de la pista; el de Pamela, 2
5 del total
de la pista; el de Lucas quedó a 1
12 de la meta y el de Octavio avanzó 1
3 del total de la
pista. ¿En qué lugar quedó cada carrito después del segundo impulso?
Resuelve
15

17. Desarrolla
y comprueba
Los cuatro amigos proponen estrategias para resolver el problema.
Octavio dibuja una recta y ubica en ella la posición en que queda cada uno de los
carritos después del primer impulso.
Describe qué tienes que hacer para ubicar la fracción 2
5 en un segmento de recta.
Utiliza el siguiente segmento de recta para ubicar en qué lugar queda cada carrito
después del primer impulso.
SALIDA META
¿Cuál carrito llegó más lejos?
¿Cuál carrito avanzó menos?
¿Cuántos metros avanzó el carrito de Lucas?
¿Cuántos metros avanzó el carrito de Octavio?
Recuerda que las
fracciones son núme-
ros que se expresan
como cocientes. Puedes
revisar la lección 2,
“Obtengamos el co-
ciente”, de tu libro de
sexto de primaria: pp
12-14.
Recuerda que para
dividir un segmento de
recta en partes iguales
puedes auxiliarte de
una hoja rayada. Si lo
consideras necesario,
revisa la lección 6,
“En partes iguales sin
doblar”, de tu libro de
cuarto de primaria: pp
18 y 19. También en-
cuentras esta estrategia
en la ficha de 5º grado
“Con una hoja rayada”.
Recuerda que una
fracción o número
fraccionario se pue-
de ubicar en la recta
tomando en cuenta
la información que
proporcionan tanto el
numerador como el
denominador. Puedes
revisar la lección 13,
“Graduados especia-
les”, de tu libro de
quinto de primaria: pp.
45-47; y la lección 13,
“¿Dónde queda?”, de
tu libro de sexto de
primaria: pp. 47 y 48.
16

18. Lucas, al ver el dibujo de Octavio, comenta que se confunde con tantas divisiones
en un solo segmento de recta, y decide trazar 4 segmentos para ubicar de nuevo la
posición en que quedó cada uno de los carritos después del primer impulso.
Observa los dos conjuntos de segmentos de recta identificados con los incisos a)
y b). Marca en los dos grupos la posición en la que quedan los carritos después del
primer impulso.
a)
b)
Daniela
META
Pamela
META
Lucas
META
Octavio
META
¿En cuál de los dos conjuntos puedes identificar cuál carrito avanzó más?
¿Por qué?
Daniela
META
Recuerda que para
poder comparar frac-
ciones a partir de su
representación es nece-
sario que las fracciones
estén ubicadas en el
mismo entero o en
enteros iguales. Puedes
revisar la lección 8, “Las
trenzas de Mónica”, de
tu libro de tercero de
primaria: pp. 22 y 23.
Pamela
META
Lucas
META
Octavio
META
17

19. Marca, en el conjunto de segmentos de recta del inciso b), la posición en que
quedan los carritos después del segundo impulso.
Daniela META
Pamela META
Lucas META
Octavio META
¿Cuál de los carritos quedó más cerca de la meta?
¿En qué lugar quedó el carrito de Pamela?
¿Qué fracción del recorrido avanzó el carrito de Lucas?
Recuerda que para
ubicar en el mismo
segmento de recta dos
fracciones con distinto
denominador conviene
dividir el segmento en
un número de par-
tes que sea múltiplo
común de los dos de-
nominadores. Puedes
revisar la lección 15,
“La paloma de la paz”,
de tu libro de cuarto
de primaria: pp. 118
y 119; y la lección 26,
“La fiesta sorpresa”, de
tu libro de quinto de
primaria: pp. 85-88.
Daniela comenta que mientras estaban
ubicando las fracciones se le ocurrió cal-
cular los metros que corresponden a cada
fracción y construyó una tabla para anotar
la equivalencia en metros del avance de
los carritos.
18

20. Completa la tabla que propuso Daniela.
Carrito de
Recorrido en metros
Total de metros
Primer impulso Segundo impulso
Daniela 1.2 1.5 2.7
Pamela 1.5
Lucas
Octavio
¿Qué operación hizo Daniela para calcular la cantidad de metros recorridos por su
carrito con el primer impulso?
¿Cómo calculas cuántos metros avanzó el carrito de Pamela en el primer impulso?
¿Cómo calculas cuántos metros avanzó el carrito de Pamela en el segundo impulso?
¿Cómo calculas el total de metros que recorrió el carrito de Pamela?
Recuerda que es lo mis-
mo trabajar con metros
que con múltiplos o
submúltiplos del metro;
por ejemplo, con centí-
metros. Puedes revisar
la lección 10 “Cuerdas
resistentes”, de tu libro
de cuarto de primaria:
pp 26 y 27.
Recuerda que otra
forma de comparar
números fraccionarios
es comparando su equi-
valente en decimales.
Puedes revisar la lección
32, “Los números en
fracciones”, de tu libro
de sexto de la primaria:
pp 116-118.
19

21. Cuando los niños completaron la tabla de Daniela, comentaron en qué lugar que-
daba cada carrito. Pamela propuso una manera más de abordar el problema: hacer
operaciones con las fracciones.
Subraya la suma que da como resultado la fracción del recorrido donde queda el
carrito de Octavio después del segundo impulso.
a) 3
5 + 1
3 = 4
8 b) 3
5 + 1
3 = 3
15 c) 3
5 + 1
3 = 14
15
Calcula a qué fracción del recorrido llega cada carrito, utiliza la propuesta de Pamela.
El carrito de Daniela recorre 4
10 de la pista en el primer impulso y 1
2 en el segundo
impulso, ¿cuánto de la pista recorre en total?
El carrito de Lucas está en 3
8 de la pista después del primer impulso y con el se-
gundo impulso llega a 1
12 de la meta, ¿qué operación haces para saber la fracción de
la pista que avanzó el carrito de Lucas con el segundo impulso?
Recuerda que para
sumar fracciones con
diferente denominador
puedes sumar fraccio-
nes equivalentes a las
que necesitas, pero
que tengan el mismo
denominador. Puedes
revisar la lección 28
“Fracciones de la hoja”
de tu libro de quinto de
primaria, pp. 92 y 93]
20

22. ¿Cuánto recorre en total el carrito de Pamela?
Para verificar tu respuesta, compara tus resultados con los que obtuviste en las dos
propuestas anteriores.
Analiza
lo aprendido
Las fracciones son números que se representan como cocientes. Al igual que los nú-
meros naturales, a las fracciones las puedes ubicar en la recta, compararlas entre sí,
realizar operaciones con ellas, así como, determinar su equivalencia en decimales.
21

23. Sesión 3
Proporcionalidad
Aprendizajes
esperados
Resuelve problemas
que implican identi-
ficar la relación que
existe entre cantidades
proporcionales.

24. Acepta
el reto
Es miércoles y Octavio espera impaciente la llegada de sus tres amigos. Su mamá va a
hornear galletas y quiere que le ayuden. Ninguno de los cuatro muchachos sabe cómo
se preparan ni qué ingredientes necesitan, pero les entusiasma la idea de aprender
cosas nuevas… Además de que les gustan mucho las galletas que prepara la mamá
de Octavio.
Cuando llegan, van directamente a la cocina, donde la mamá de Octavio les in-
dica que la primera actividad es leer la receta con atención para saber cuáles son los
ingredientes y la cantidad indicada para cocinar las galletas.
Galletas de nuez con chocolate
Ingredientes para preparar 80 galletas:
• 4 yemas de huevo
• Una lata de leche condensada
• 200 g de nuez picada finamente
• Una cucharada de vainilla
• 400 g de mantequilla
• 3 1
2 tazas de harina cernida
• 1
2 taza de azúcar glass
• 1
4 de taza de chocolate para repostería
Modo de preparación:
1. Bata la mantequilla hasta que acreme.
2. Añada la leche, la nuez, la vainilla, las yemas y la harina.
3. Extienda la pasta hasta que quede de 1
2 cm de grosor y corte las
galletas a su gusto.
4. Colóquelas en una charola y hornee a 200° durante 20 minutos.
5. Deje enfriar y decórelas con azúcar glass y chocolate derretido.
23

25. Cuando terminan de leer, inmediatamente quieren empezar a preparar las galletas,
pero les gustaría hornear 20 para cada uno, y 20 para la mamá de Octavio. Sin embar-
go, las cantidades que aparecen en la receta son para 80 galletas y de acuerdo con sus
cálculos ellos tendrían que hacer más de 80. ¿Cuántas galletas tendrían que hacer?
Los cuatro amigos comentan divertidos que pueden seguir la receta para 80 ga-
lletas y hacer galletas más pequeñas para completar las 20 galletas para cada uno de
los cinco participantes. Los cuatro ríen pues les gustan mucho las galletas y prefieren
preparar la pasta necesaria para las 100 galletas. Así que deciden aumentar la canti-
dad de cada uno de los ingredientes de la receta.
¿Qué harías para calcular las cantidades necesarias de cada ingrediente para pre-
parar 100 galletas?
Resuelve
24

26. Desarrolla
y comprueba
Lucas comenta que si hay que hacer más galletas entonces lo que se necesita es
preparar más pasta y para eso basta con agregar un poco más de cada ingrediente.
¿Estás de acuerdo con Lucas?, ¿por qué?
Octavio está de acuerdo con Lucas pero considera que si sólo se aumenta la canti-
dad de cada ingrediente al tanteo entonces las galletas no tendrán el mismo sabor que
las de la receta que prepara su mamá. ¿Estás de acuerdo con Octavio?, ¿por qué?
Daniela recuerda que en la escuela trabajaron algo sobre cantidades proporciona-
les y todas tenían que aumentar de la misma manera, aunque no recuerda muy bien
qué quiere decir eso. Después comenta que quizá se refiere a aumentar lo mismo a
cada cantidad. Por ejemplo, debido a que se harán 20 galletas más, entonces hay que
aumentar 20 g de mantequilla, 20 ml de leche, 20 g de nuez,… etcétera.
Octavio escucha con atención a Daniela y les dice a sus amigos que cuando él pre-
para gelatina, si quiere hacer el doble de gelatina tiene que utilizar el doble de polvo,
el doble de agua caliente y el doble de agua fría. Así que –concluye– si quisieran hacer
160 galletas tendrían que utilizar el doble de yemas de huevo, o sea 8 yemas, y el
doble de leche, es decir, dos latas.
¿Con cuál de los dos estás de acuerdo?
¿Recuerdas cómo se comportan las cantidades proporcionales?
Para recordar cómo
se comportan las
cantidades proporcio-
nales, puedes revisar la
lección 51, “Aumenta
y disminuye con la
figura”, de tu libro de
quinto de primaria:
pp. 172 y 173.
25

27. Lucas propone que, para hacer los cálculos más rápido, cada uno calcule lo corres-
pondiente a dos ingredientes. Él escoge calcular las cantidades de los dos primeros,
Pamela elige los dos siguientes, Daniela dice que ella calculará la cantidad de huevo
y de harina, y Octavio acepta que le toca calcular las cantidades de los últimos dos
ingredientes.
Observa y analiza los procesos para calcular las cantidades de los ingredientes que
eligió cada uno y completa la información.
Lucas decide construir una tabla en la que retoma el comentario de Octavio:
Ingredientes
Número de galletas
80 160 240 320 400 100
Yemas de huevo 4 8 12
Lata de leche 1 2
¿Por qué Lucas va incrementando el número de galletas?, ¿qué busca?
¿Por qué Lucas esperó hasta llegar a 400 galletas para bajar a 100?
¿Qué operación utilizas para pasar de 400 a 100 galletas?
¿Puedes utilizar la misma operación que en la pregunta anterior para calcular la
cantidad de mantequilla para las 100 galletas? Explica por qué.
Para recordar el trabajo
con tablas de canti-
dades proporcionales
puedes revisar la lección
17, “Hacemos recetas”,
de tu libro de tercero
de primaria: pp. 122 y
123; o la lección 86, “El
museo”, de tu libro de
cuarto de primaria: pp.
194 y195.
26

28. Pamela propone lo siguiente:
Cantidad de nuez
80 galletas  200 g de nuez
40 galletas  100 g de nuez
20 galletas  __________
Cantidad de vainilla
80 galletas  Una cucharada
de vainilla
40 galletas  __________
__________  __________
¿Qué crees que está buscando Pamela en su proceso?
Si Pamela está disminuyendo el número de galletas, ¿cómo calculará las cantidades
necesarias de nuez y de vainilla para las 100 galletas?
¿Cuál es la cantidad de nuez que se necesita para elaborar 100 galletas?
¿Qué cantidad de vainilla se requiere para 100 galletas?
27

29. Daniela piensa que la relación que hay entre la cantidad de galletas y la cantidad
de cada ingrediente se debe conservar siempre igual para que las cantidades sean
proporcionales y decide encontrar la razón que hay entre la cantidad de mantequilla
y la cantidad de galletas. Daniela escribe la siguiente operación:
80 4
Realiza la operación y contesta.
¿Para qué hace esta operación Daniela?, ¿qué es lo que está buscando?
¿Cómo va a calcular Daniela la cantidad de mantequilla para las 100 galletas?
Daniela explica que hizo lo mismo para calcular la cantidad necesaria de harina
para las 100 galletas. Pero que antes tuvo que convertir la fracción 3 1
2 a decimales.
Convierte la fracción 3 1
2 a decimales.
Para repasar qué es la
constante de proporcio-
nalidad puedes revisar
la lección 22, “Relación
entre dos cantidades”,
y la lección 45, “Razo-
namiento de números”,
de tu libro de quinto de
primaria: pp. 69-73 y
155-157
Para recordar cómo
convertir una fracción
en su equivalente en
decimales puedes
revisar la lección 32,
“Los números en frac-
ciones”, de tu libro de
sexto de primaria: pp.
116-118.
28

30. Calcula la cantidad de harina necesaria para hornear 100 galletas utilizando el
proceso de Daniela.
Lucas comenta que se puede calcular la cantidad de harina necesaria para 100
galletas trabajando con la fracción 3 1
2 sin tener que convertirla a decimales.
Él comenta que tendrían que dividir 7
2 entre 80.
¿Por qué Lucas propone dividir 7
2 entre 80 y no 3 1
2 entre 80?
Realiza la operación que propone Lucas.
Compara tu resultado con el que encontraste al trabajar con decimales. ¿Obtuviste
el mismo resultado o resultados distintos?
Puedes encontrar
más problemas para
determinar el factor de
proporcionalidad en las
lecciones: 19, “¿Cuál
es la constante?”; 20,
“Tablas y factores de
proporcionalidad”, y
43, “Más proporcio-
nes”, de tu libro de
sexto de primaria.
Para recordar cómo
dividir una fracción
entre un número na-
tural, puedes revisar la
lección 34, “Para dividir
en partes”, de tu libro
de sexto de primaria:
pp. 124-127.
29

31. El rectángulo resaltado en la figura anterior, ¿qué fracción representa de la cantidad
de azúcar para 80 galletas?
El rectángulo resaltado, ¿qué fracción representa de toda la taza de azúcar?
De acuerdo con los dibujos de Octavio, ¿cuánta azúcar se necesita para las 100
galletas?
Octavio comenta que es posible representar gráfica-
mente las cantidades de ingredientes para 80 galletas y
determinar así las cantidades necesarias para 100 galletas.
Después, dibuja un rectángulo para representar la cantidad
de azúcar que se emplea en 80 galletas:
80 galletas
Taza de azúcar
Luego, considerando que 20 es la cuarta parte de 80, re-
saltó la cantidad correspondiente a 20 galletas como sigue:
30

32. Utiliza el procedimiento de Octavio para calcular la cantidad de chocolate que se
necesita para las 100 galletas.
Puedes suponer que el rectángulo siguiente representa la taza de chocolate y
representar la fracción que corresponde a la cantidad de chocolate para 80 galletas.
De acuerdo con lo que hiciste, ¿Cuánto chocolate se necesita para las 100 galletas?
Analiza
lo aprendido
Cuando tenemos dos o más cantidades que se relacionan proporcionalmente y una
de ella aumenta o disminuye por un factor, debemos tener cuidado de que las otras
cantidades también aumenten o disminuyan por el mismo factor, para que la relación
que hay entre ellas se conserve. La constante de proporcionalidad o factor de propor-
cionalidad permite conservar la relación entre dos cantidades.
31

33. Sesión 4
Geometría
Aprendizajes
esperados
Identifica estrategias
para resolver problemas
que implican calcular
superficies y longitudes
de figuras irregulares.

34. Acepta
el reto
Es el viernes de la última semana de vacaciones de verano. Los muchachos miran las
figuras caprichosas que se forman en el piso con los mosaicos que lo recubren. Como
atraída por un imán, a Daniela le llama fuertemente la atención algo a lo que no con-
sigue encontrarle forma; observa muy atenta la figura en el piso hasta que adquiere
relieve en su mirada fija.
AB
C D E
F
Entonces, llama a sus amigos para decirles que le gustaría saber el perímetro y el
área de la figura que se forma con las líneas de dos mosaicos: un segmento de recta y
dos arcos. Todos ponen atención a la figura que Daniela señala y deciden apoyarla.
Cada uno de los mosaicos que están observando mide 20 cm de lado y tiene mar-
cado un arco. En el dibujo de arriba se muestra la figura que señala Daniela, los arcos
se trazan apoyándose en el vértice C y en el vértice A.
Después de analizar durante unos minutos el problema, Pamela comenta que no
conoce alguna fórmula para calcular el área o el perímetro de figuras como ésa,
pero que recordaba las fórmulas que aprendieron en la escuela para calcular áreas
y perímetros de cuadrados, triángulos, rectángulos y círculos. Lucas está de acuerdo
con Pamela y les dice que quizá podrían buscar otras maneras de calcular perímetros
y áreas.
¿Cómo calcularías el área y el perímetro de la figura sombreada?
Recuerda que el perí-
metro de una figura es
la medida de su contor-
no y que el área de una
figura es la medida de
la superficie encerrada
por el contorno de la
figura. Puedes revisar
las lecciones 16, “El
periódico mural”, y
54, “Con el centímetro
cuadrado”, de tu libro
de tercero de primaria:
pp. 38-39 y 122-123.
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35. Resuelve
Recuerda que es posi-
ble calcular el área de
una figura a partir de
calcular las áreas de las
figuras que la forman.
Puedes revisar la lección
32, “Triangula cuadri-
láteros”, de tu libro de
quinto de primaria: pp.
100-102.
Desarrolla
y comprueba
Los cuatro amigos deciden calcular primero
el área de la figura; después de pensar por
un momento, cada uno expresa lo que se le
ocurre para calcularla.
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36. Octavio les dice que recuerda haber obtenido en la escuela la medida de áreas
de figuras irregulares mediante el cálculo de áreas de figuras regulares. Nuevamente
observan la figura y dan algunas ideas:
¿Qué figura forman los dos mosaicos?
¿Cómo calculas el área de esa figura?
Daniela dice que podrían calcular el área que queda fuera de la figura sombreada.
AB
C D E
F
Pinta de azul la superficie de los mosaicos que queda fuera de la figura sombreada.
Recuerda que la circun-
ferencia es una línea
curva cerrada cuyos
puntos están todos a
la misma distancia de
un punto fijo llamado
centro.
Un círculo es una su-
perficie plana limitada
por una circunferencia.
Puedes revisar la lección
6, “Rayuela circular”,
de tu libro de sexto de
primaria: pp. 23-26.
Para recordar de dónde
se deduce la fórmula
para calcular áreas de
rectángulos puedes
revisar la lección 6,
“Medidas y superficies”,
de tu libro de cuarto de
primaria: pp. 100 y 101.
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37. Recuerda que el radio
de una circunferen-
cia es la distancia
que hay del centro a
cualquier punto de la
circunferencia.
Para recordar cómo
calcular el área de un
círculo y qué significa
π puedes consultar las
lecciones 35, “Polígo-
nos en el círculo” y 36,
“Obteniendo π”, de tu
libro de sexto de prima-
ria: pp. 128-130.
Para verificar que las
figuras de uno de los
adoquines son iguales
a las que se forman en
el otro, puedes dibujar
la figura en una hoja
de papel o cartulina,
recorta los pedazos y
confirma cuáles son
iguales
¿Cómo calcularías el área de la superficie que pintaste de azul?
¿Cuál es el área de la figura sombreada?
A Pamela se le ocurre otra forma de calcular el área de la figura sombreada: pro-
pone remarcar de rojo el lado por el que están unidos los mosaicos y, al hacerlo,
comenta que las dos figuras que se forman en el primer mosaico son iguales a las que
se forman en el segundo.
AB
C D E
F
¿Qué figuras forman la figura sombreada?
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38. Para recordar cómo
se deduce la fórmula
para calcular el área de
un triángulo, puedes
revisar la lección 14,
“La mitad de un rec-
tángulo”, de tu libro de
cuarto de primaria: pp.
154 y 155.
Describe cómo puedes calcular el área de la figura sombreada.
Octavio presenta una manera más de resolver el problema: traza dos diagonales, una
en cada uno de los mosaicos y observa que los gajos que se forman parecen iguales.
AB
C D E
F
¿Cómo puedes verificar si los gajos son iguales?
¿Qué figuras se forman en el rectángulo con las diagonales que trazó Octavio?
¿Cuál de las figuras que se forman tiene área igual a área de la figura sombreada?
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39. Los cuatro amigos están felices por todo lo que repasaron al calcular el área de la
figura sombreada. Ellos comentaron que, con todo lo que aprendieron en la primaria,
el cálculo del perímetro no les costaría mucho trabajo.
Tú, ¿qué dices?: ¿puedes calcular el perímetro de la figura sombreada y describir la
estrategia que utilices.
Analiza
lo aprendido
El área y el perímetro de una figura son medidas que se pueden calcular a través de
fórmulas convencionales o de estrategias de composición y descomposición de figuras.
En geometría es importante manipular las figuras, dibujarlas, colorearlas, recor-
tarlas, moverlas, etcétera, de manera que se logre ver más allá de lo que aparece
a simple vista.
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40. Los cuatro amigos están satisfechos porque lograron disfrutar de sus vacaciones, compar-
tiendo momentos especiales entre todos y preparándose para la nueva etapa académica que
les espera.
Estamos seguros de que tú, al igual que Lucas y sus amigos, repasaste varios temas que te
ayudarán en tus clases de matemáticas en la secundaria y que, además, ahora conoces otra
forma de aprender y hacer matemáticas.
Escribe qué aprendiste en tu trabajo con este material.
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41. Se imprimió por encargo de la Subsecretaría de Educación Básica,
en Impresora y Encuadernadora Progreso, S.A. de C.V.
San Lorenzo No. 244, colonia Paraje San Juan, CP 09830, México, D.F.
Tel. (55) 5970 2600 / http://www.iepsa.gob.mx
El tiraje fue de ejemplares.