Fisica 2

ROJANO J. OFIMATICA lll . FISICA ll

• En el caso de que la fuerza sea constante

(T) es el producto escalar de la fuerza (F)

por el vector desplazamiento (r).
• Es por tanto un escalar (un número).
   
W = F · r =|F|·|r| · cos 
• siendo “” el ángulo que forman ambos vectores.
•  
Si F y r tienen la misma dirección y sentido,
entonces T = F ·r

• En el caso de que la fuerza se aplique en la
dirección y sentido del desplazamiento, cos  = 1
•  
De donde W = |F| ·|r|
•  
En cambio, si F y r son perpendiculares
cos  = 0 y el trabajo es nulo.
• La unidad de trabajo en el Sistema Internacional
es:
• Julio (J) = N · m = kg · m2/s2

RESOLUCION:
T = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J
TR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980
J
TP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0
TN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0
Total T = 2165 J – 980 J = 1185 J

• Si representamos “F” en
ordenadas y “x” en
abscisas, podemos
comprobar que “W” es el
área del paralelogramo cuya
base es “x” y cuya altura
es la “F” constante.
F (N)
x (m)
x0 x
WF
x

• Se llama potencia al cociente entre la energía
transferida y el tiempo empleado en el proceso.
• Si toda la energía transferida se transforma en
trabajo:
 
W |F| ·| r|·cos   
P = — = ———————— = |F|·|v|·cos 
t t
•  
P = F · v
• La unidad de potencia es el W (watio)= J/s

• Normalmente, la potencia que tiene que desarrollar una
máquina (o nosotros mismos) es mayor que el trabajo
útil realizado, ya que parte de la misma se emplea en
realizar trabajo de rozamiento.
• Se llama rendimiento () a:
• FORMULA
• Wútil W Wútil
= —— · 100  P = — = ——— · 100
W t  · t

• Si llamamos potencia efectiva a:
• Wútil
Pefectiva = ——
t
• Wútil Pefectiva
P = ——— · 100  P = ——— · 100
t ·  

RESOLUCION:
m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg
Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m =
= 5,88 ·106 J
Wútil 5,88 ·106 J
Pef = —— = ———————— = 326,7 W
t 5 h · 3600 s/h
Pef 326,7 W
P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W
 80

CONCEPTOS DE
ENERGIA CINETICA Y
POTENCIAL:

«LA ENERGIA NO SE
CREA NI SE
CONSTRUYE, SOLO SE
TRANSFORMA»

ENERGIA POTENCIAL
• Es la capacidad que tiene un cuerpo para
efectuar trabajo por la posición (altura) en la que
se encuentre y a su masa.
• Energía potencial
gravitacional

FORMULA :
Ep = m g h
• Donde:
Ep= energía potencial gravitacional del
cuerpo
m= masa del cuerpo
g= aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2
h= altura

• Si tenemos un cuerpo cuya masa es
de 2 kg y está a 2 m de altura, su
energía potencial será de:
• masa = 2 kg
• g = 10 m/s2
• altura = 2 m
• m·g·h = 2 · 10 · 2 = 40 joule
• Ep = 40 J
EJEMPLO:
2 m

ENERGIA CINETICA
• Es la capacidad que tiene un cuerpo de efectuar
trabajo debido a su movimiento.
• Depende de su masa y su velocidad. A mayor
masa o velocidad, mayor energía cinética.

• La energía cinética es la energía que posee
un cuerpo en virtud de su velocidad o
movimiento.

FORMULA:
Ec = mv2/2
• Donde:
Ec = Energía cinética del cuerpo
m= masa del cuerpo
v2 = velocidad del mismo elevada al
cuadrado

• Calcula la energía cinética de un cuerpo que
se mueve con una velocidad de 1 m/s y tiene
una masa de 700 g.
• Primero que nada, pasamos los 700 g a kilos.
• 700 g equivale a 0,7 Kg.
• Entonces:
• m = 0,7 Kg
• v = 1 m/s
• Aplicando la ecuación: ½ · m · v2
• ½ · 0,7 · 1 = 0,35 joule
• Ec = 0,35 J
EJEMPLO:

CONVERCION DE
LA ENERGIA
MECANICA

• Como vimos anteriormente, “la energía no se
crea ni se destruye, sólo se transforma”.
• En ese contexto, la Energía Mecánica Total
(ET) es la resultante entre la suma de la
Energía Potencial (EP) y la Energía Cinética
(EC).
ET = EP + EC
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

• Para que quede más claro, lo mostraremos
con un ejemplo.
• Determina la velocidad final de un cuerpo que
cae de una altura de 7 metros y cuya masa es
de 250 gramos.
• Asumiremos que la aceleración de gravedad
es de 10 m/s2.
• El roce producido por el aire lo despreciamos.

• Antes de caer el cuerpo, o sea, mientras se
encuentra en esa posición y detenido, tiene
solamente energía potencial.
• La energía potencial es m·g·h entonces:
• Ep = 0,25 · 10 · 7 = 17,5 J
• Como la energía se mantiene constante, esta
energía mecánica total corresponde en su
totalidad a energía potencial.

GRAFICAMENTE:
7 m
Mientras está en
esta posición y sin
movimiento, toda
su energía es
potencial.
Ep = 17, 5 J
Una vez que
comienza a caer,
su energía
potencial se va
convirtiendo en
energía cinética,
hasta que al
llegar al suelo
posee solo
energía cinética,
ya que el sistema
es conservativo.ROJANO J. OFIMATICA lll . FISICA ll

• Entonces la energía cinética del cuerpo al
llegar al suelo es: 17,5 J
• Como sabemos, la energía cinética
corresponde a:
• Ep = ½ · m · v2
• Entonces: 17,5 = ½ · m · v2
• Conocemos la masa: 0,25 kg
• Entonces tenemos que:
• 17,5 = ½ · 0,25 · v2
• Despejando tenemos que:
• 17,5 / 0,125 = v2
• 140 = v2
• Calculando la raíz tenemos que la velocidad
final es: v = 11,832 m/s
EJERCICIO RESUELTO EN SU
TOTALIDAD:
7 m
Velocidad = 11, 832 m/s

CANTIDAD DE
MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento (p) se define
Como el producto de masa y velocidad, mv.
Unidades: kg m/s
p = mv
Cantidad de
movimiento
m = 1000 kg
v = 16 m/s
p = (1000 kg)(16 m/s)
p = 16,000 kg m/s

Impulso = Cambio en la cantidad de
movimiento
F t = mvf - mvo
t
F mv
Una fuerza F actúa en una
pelota en un tiempo t
aumentando la cantidad de
movimiento mv.

Considere el cambio en la cantidad de
movimiento de una pelota que pega en una
superficie rígida:
EJEMPLO:
vo
vf Una pelota de 2-kg pega en la superficie
con una velocidad de 20 m/s y rebota con
una velocidad de 15 m/s. ¿Cuál es el
cambio en la cantidad de movimiento?
+
p = mvf - mvo = (2 kg)(15 m/s) - (2 kg)(-20 m/s)
p = 30 kg m/s + 40 kg m/s p = 70 kg m/s

v

Hay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES
Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una
cantidad y su unidad correspondiente:
L (Longitud) = 12’35 m
m (Masa) = 5’678 kg
d (Densidad) = 3’4 g/cm3
Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características
más: velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan
mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados).
Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha
para indicar que se trata de una magnitud vectorial:
v

F
 a


Las características de un vector son cuatro:
 MÓDULO
 DIRECCIÓN
 SENTIDO
 PUNTO DE APLICACIÓN

El MÓDULO viene dado por la longitud de la
flecha. El módulo es proporcional a la intensidad
de la fuerza.
Al representar las fuerzas usaremos una escala
similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1
centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de
fuerza (1 cm:1 N).
3 cm
Escala Þ 1 cm : 2 N
3 cm . 2 N = 6 N
1 cm

La DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza.
Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la
horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º,
249º, etc.
45º
- 100º = 260º
120º
- 30º = 330º
!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:
2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

El SENTIDO indica hacia dónde se aplica la
fuerza. En una misma dirección existen dos
sentidos posibles.
45º
Sentido hacia
arriba, hacia la
derecha o
ascendente
Sentido hacia
abajo, hacia la
izquierda o
descendente

El PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que
se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos
que producen las fuerzas dependen en muchos casos del
punto de aplicación.
LunaTierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna
Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero
difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

A continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza resultante para el
caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas
aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE
FUERZAS.
Vamos a distinguir varias situaciones:
a) Misma dirección
a.1) Mismo sentido
a.2) Sentidos contrarios
b) Distinta dirección
b.1) Perpendiculares
b.2) No perpendiculares
c) Paralelas
c.1) Igual sentido
c.2) Sentidos contrarios

OPERACIONE
S CON
VECTORES

• Consiste en disponer gráficamente los dos
vectores de manera que los orígenes de ambos
coincidan, completando el resto del
paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver
gráfico a la derecha). El resultado de la suma se
obtiene partiendo del origen de ambos vectores.

• Consiste en disponer gráficamente un vector a
continuación de otro, es decir, el extremo inicial
del vector "b" coincide con el extremo final del
vector "a". Luego se traza una diagonal que une
el inicio del vector "a" con el resto de los
extremos

• Producto por un escalar
• Partiendo de la representación gráfica del vector,
sobre la misma línea de su dirección tomamos
tantas veces el módulo de vector como marque
el escalar, que de ser negativo cambia el sentido
(ver gráfico).
• Partiendo de un escalar y de un vector , el
producto de por es , es el producto de cada una
de las coordenadas del vector por el escalar,
representando el vector por sus coordenadas:

• PARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE DOS
VECTORES SE USA LA SIGUIENTE FÓRMULA:

Hay que tener en cuenta que el ángulo que devuelve
esta formula está comprendido entre 0º y 180º, no
devuelve el signo del ángulo.

EQUILIBRIO DE
UN CUERPO
RIGIDO.

PRIMERA LEY DE NEWTON:
“Si la fuerza neta actuando sobre un cuerpo es cero, su
movimiento no cambia: Si el cuerpo se encuentra
originalmente en reposo permanecerá en reposo o si se
encuentra en movimiento con velocidad constante
continuará así.”
(fuerza neta
sobre un cuerpo)

EJEMPLOS DE FUERZAS EN
EQUILIBRIO

• Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio estático es
necesario que las fuerzas y momentos externos se
encuentren balanceados de tal manera que no puedan
impartir traslación ni rotación.
• La condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio estático es que la resultante de
FUERZAS y MOMENTOS de todas las fuerzas externas
formen un sistema equivalente a cero
• Descomponiendo cada una de las fuerzas y momentos se
obtiene seis ecuaciones escalares .
     00 FrMF O





000
000
zyx
zyx
MMM
FFF

• Para todas las fuerzas y momentos
actuando sobre una estructura
bidimensional.
Ozyxz MMMMF  00

• Trace el DCL de la palanca

• En MECANICA NEWMUTANIA , se denomina momento de
una fuerza (respecto a un punto dado) a una MAGNITUD
VECTORIAL, obtenida como producto vectorial del vector de
posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al
punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden.
También se le denomina momento dinámico o sencillamente
momento.

• El momento de una fuerza aplicada en un punto P con
respecto de un punto O viene dado por el PRODUCTO
VECTORIAL del vector de posición OP por el vector FUERZA
F; esto es
• El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.
• La magnitud del momento esta dado por
• El sentido del momento se determina mediante la regla de la
mano derecha.
• Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes ,
el momento de una fuerza es independiente de su punto de
aplicación sobre su recta de acción o directriz.

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer
en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de
fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje
que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el
cual se aplica y es una magnitud característica en elementos
que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de
maquinaria) o a flexión (como las vigas. )

• La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y
por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es
200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la
fuerza ejercida por el alambre en C.
El momento MA de la
fuerza F ejercida por el
alambre es obtenido
evaluando el producto
vectorial
SOLUCIÓN

FrM ACA


   jirrr ACAC

m08.0m3.0 
 
       
     kji
kji
r
r
FF
DC
DC




N128N69N120
m5.0
m32.0m0.24m3.0
N200
N200



 
12896120
08.003.0


kji
M A



• Rectilíneo trayectoria en línea recta.
• Curvilíneo trayectoria NO es una recta.
• Movimiento circular: su trayectoria es una
circunferencia
• Con velocidad constante movimientos
uniformes
• Con velocidad variable movimientos variados

• Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y
no depende del tiempo (no cambia ni el módulo
ni la dirección), ya que sólo la derivada de una
constante da 0.
• dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k
• Ejemplo: Sea v = 3 i m/s  a = 0
• Para obtener la posición se vuelve a integrar:
r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0 Ecuación
(r0 = constante) vectorial
• Ejemplo: Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt =
= (3 t + k) · i m

• r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 =
= [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m
r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m
• r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m
= (8 i + 8 j– 11 k) m
r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

MOMENTO DE
INERCIA

En detalle:
El momento de inercia será la
suma individual de cada una de las
masas 𝒎𝒊 que componen un cuerpo
multiplicado por la distancia al
cuadrado 𝒓𝒊
𝟐
hacia el eje de rotación:
𝐼 = 𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝟐

Calcule el momento de inercia para la siguiente
configuración de masas si:
• Rotan alrededor del eje x
• Rotan alrededor del eje y
Si 𝑀 = 3 𝑚 y 𝑎 = 𝑏/2:
• ¿En torno a cuál eje
es más fácil rotar el
cuerpo?

GRACIAS

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