1) Las curvas con transiciones espirales simétricas y asimétricas se usan comúnmente en caminos y carreteras montañosas para permitir radios más pequeños que las curvas circulares. 2) Las espirales de entrada y salida realizan la transición del peralte de la curva. 3) El documento explica los elementos geométricos y ecuaciones para calcular las coordenadas de puntos en las espirales de entrada y salida, tanto para curvas simétricas como asimétricas.

1. U.A.G.R.M-FAC. POLITECNICA-CARRERA DE INGENIERIA EN AGRIMENSURA
MATERIA: CIT-222 VIAS DE COMUNICACIÓN I CAT. : Ing. Juan Carlos López A.
CURVAS CON TRANSICIONES ESPIRALES SIMETRICAS Y ASIMETRICAS
Este tipo de curvas se presentan en caminos y carreteras especialmente de zona
montañosas en gargantas o gradientes montañosas estrechas ya que permiten
manejar para el diseño geométrico radios Rc más chicos que los de una curva circular
con peralte.
La inclusión de las ramas de enlaces de entrada con la espiral Le y de salida con la
espiral Ls se debe en gran parte a que en ellas se realiza la transición del peralte desde
el bombeo b% hasta el peralte e% calculado para la curva, la parte central circular
mantiene constante el peralte e% en todo su recorrido.
Obligatoriamente estas curvas llevan peralte: e%<=emax% tanto en Caminos como en
Carreteras ya que por lo general siempre su º>6º.
1.-Condiciones de Radios y Peraltes para Curvas con transición espiral según la
ABC:
En Carreteras:
250<=Rc<=700 >>>>>>> e=8%
700<Rc<3000 m. >>>>>> e=8%-7,3*(1-700/Rc)1,3
En Caminos:
25<=Rc<=350 m. >>>>>> e=7%
350<Rc<1500 m. >>>>>> e=7%-6,08*(1-350/Rc)1,3
2.-Elementos Geométricos-Coordenadas Notables (Xc,Yc), (k,p) Curva
con enlaces simétricos Le=Ls.
Donde:
Lemin<=Le<=1.5*Lemin y Lemin<=Ls<=1.5*Lemin
Lemin (Valor mayor de los tres criterios del Método Abreviado)
: 2.1.- Puntos Notables
TE=Punto Tangente Espira (Donde comienza la curva con la parte espiral Le)
EC=Punto Espira Círculo (Donde termina la espira de entrada Le y comienza Lc circular)
CC =Centro de la curva (solo en el caso simetrico cuando Le=Ls)
CE= Punto Círculo Espira(Donde termina la parte circular Lc y comienza la Ls o espiral de salida )
ET= Punto Espira Tangente (Donde termina la curva con la parte espiral Ls)
2.2.-Elementos geométricos:
Al ser simétricas las clotoides o espirales de enlace Le=Ls , entonces hay simetría
también en los elementos geometricos y coordenadas notables en las ramas de
entrada y salida.
e = Le/(2*Rc ) ;(rad) Angulo lateral de entrada y salida
Xc = Le*(1-e2
/10) Abcisa cartesiana de los puntos EC y CE
Yc= Le*(e/3-e3
/42) Ordenada cartesiana de los puntos EC y CE
k = Xc-Rc*seno(e) Abcisa cartesiana de los puntos PC y FC
p = Yc-Rc*(1-coseno(e)) Ordenada cartesiana de los puntos PC y FC

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Te = Ts=(Rc+p)*tang(/2)+k Tangente de entrada (TE-PI) y de salida (ET-PI)
TL = Xc-Yc/tang(e) Tangente larga a la entrada y a la salida
TC = Yc/seno(e) Tangente corta a la entrada y a la salida
CL = (Xc2
+Yc2
)1/2
Cuerda Larga a la entrada y a la salida
E = (Rc+p)*(Sec(/2)-1)+p Externa de la Curva del CC al PI
3.- El Sector circular central mantiene sus elementos geometricos con Rc y c:
T = Rc*tang ) Tangente (m)
D = Desarrollo o longitud de curva (m)
C = 2*Rc * seno ) Cuerda o Cuerda Larga (m)
F=M= f = Rc [1–Cos )] Flecha u Ordenada Media (m)
E = Rc (Sec.( ) - 1)) Externa de la curva (m)
Edemas:
c= -e-s =-2*e Ángulo deflector central de la curva central circ.
Lc=D= PI*Rc*c/180 Longitud o Desarrollo de la Curva Circular Central
LT= Le+ Lc+ Ls=Lc+2*Le Longitud Total de la Curva.
4.-Elementos Geométricos-Coordenadas Notables (Xc,Yc), (k,p) Curva
con enlaces asimétricos Le>Ls o Le<Ls.
Donde:
Lemin<=Le<=1.5*Lemin y Lemin<=Ls<=1.5*Lemin
Lemin (Valor mayor de los tres criterios del Método Abreviado)
Elementos geométricos:
Al ser asimétricas las clotoides o espirales de enlace Le y Ls , entonces no hay
simetría en los elementos geometricos y coordenadas notables en las ramas de
entrada y salida.
Rama de entrada con Le:
e = Le/2*Rc (rad) Angulo lateral de entrada y salida
Coordenadas notables
Xe =
Le*(1-e2
/10) Abcisa cartesiana del punto EC
Ye= Le*(e/3-e3
/42) Ordenada cartesiana del punto EC
ke = Xe-Rc*seno(e) Abcisa cartesiana del punto PC
pe = Ye-Rc*(1-coseno(e)) Ordenada cartesiana del punto PC
Te = Ts=(Rc+p)*tang(/2)+k Tangente de entrada (TE-PI)
TLe = Xe-Ye/tang(e) Tangente larga a la entrada
TCe = Ye/seno(e) Tangente corta a la entrada
CLe = (Xe2
+Ye2
)1/2
Cuerda Larga a la entrada

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Rama de salida con Ls:
s = Ls/2*Rc (rad) Angulo lateral de salida
Coord. Notables.
Xs = Ls*(1-s2
/10) Abcisa cartesiana del punto CE
Ys= Ls*(s/3-s3
/42) Ordenada cartesiana del punto CE
ks = Xs-Rc*seno(s) Abcisa cartesiana del punto FC
ps = Ys-Rc*(1-coseno(s)) Ordenada cartesiana del punto FC
Ts = (Rc+Ps)*tang(/2)+Ks Tangente de salida (ET-PI)
TLs = Xs-Ys/tang(s) Tangente larga a la salida
TCs = Ys/seno(s) Tangente corta a la salida
CLs = (Xs2
+Ys2
)1/2
Cuerda Larga a salida
En el sector circular se repiten las mismas formulas:
=e+c+s Ángulo deflector central total en el PI de la curva .
c= -e-s =-2*e Ángulo deflector central de la curva central circ.
Lc=D= PI*Rc*c/180 Longitud o Desarrollo de la Curva Circular Central
Lt=Le+Lc+Ls Longitud total de la curva
Ademas: T,C,E,f,D elementos geométricos de la curva circular central con c y
Rc.
Estos elementos geometricos en ambos casos se los puede apreciar en las dos
siguientes figuras:
CURVA CIRCULAR CON ENLACES ESPIRALES O CLOTOIDES SIMETRICAS
(Le=Ls)

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CURVA CIRCULAR CON ENLACES ESPIRALES O CLOTOIDES ASIMETRICAS
Le>Ls o Le<Ls:
PUNTOS O ESTACAS Ei EN LAS RAMAS DE ENTRADA CON Le y DE SALIDA
CON Ls:
Cada Estaca o punto genérico Ei se replantea y se coloca separados de 10 en 10
metros para facilitar el trabajo de campo y evitar errores.
La curva espiral Le o Ls acorde a su ecuación esta conformada por Puntos cuya
ubicación respecto al eje ortogonal X-Y en TE (para Le) y en ET(para Ls) se da por sus
respectivos ángulos laterales (Ei) y sus abcisas, ordenadas X(Ei),Y(Ei):
Para cada punto con estaca Ei en la rama de entrada con Le (con eje X-Y en TE):
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Le*Rc) , (Radianes)
X(Ei)=L(Ei)*(1-Ei2
/10) ,(m)
Y(Ei)= L(Ei)*Ei)/3-Ei3
/42) ,(m)
Para cada punto con estaca Ei en la rama de salida con Ls (con eje X-Y en TE):
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Ls*Rc) , (Radianes)
X(Ei)=L(Ei)*(1-Ei2
/10) ,(m)
Y(Ei)= L(Ei)*(Ei/3-Ei3
/42) ,(m)

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Donde:
Ei = Punto replanteado por una Estaca ya sea en la Rama de Le o de Ls según el
caso.
L(Ei) = Arco acumulado (m) ya sea desde el TE o el ET según cada caso.
(Ei) = Ángulo lateral entre secantes para cada Tang. de un punto Ei en Le o Ls
(Radian)
X(Ei),Y(Ei)=Coordenadas cartesianas u ortogonales desde el eje en TE para puntos en
Le y desde el ET para puntos en Ls (m).
Para dibujar correctamente la Le y la Ls en ambas ramas de la curva, se precisan
calcular las X,Y de por lo menos tres puntos en cada una , previamente que Le y Ls
deben cumplir las condiciones del Lemin (Método abreviado).
A continuación detallamos en dos ejemplos lo señalado tanto en curva circular con
enlaces simétricos como con enlaces asimétricos.
Ejemplo : Se debe dibujar y replantear posteriormente en el terreno ,puntos internos cada 10 metros en la rama de entrada (Le)
y de salida (Ls), para lo caul es preciso hallar las abcisas,ordendas (X,Y) par cada punto con eje cartesiano en el TE
y en el ET respectivamente. Con los siguientes valores calculados para una curva con enlaces espirales simetricos.
Le= 60 m.
Ls= 60 m.
e= 0.0750 rad.
s= 0.0750 rad.
Rc= 400.00 m.
Las Estacas Eq,Ed son particulares y obedecen a la existencia de riacuelos en el eje.
Se debe calcular por lo menos las (X,Y) para tres puntos en Le y otros tantos en Ls.
Ecuaciones: Rama de Entrada con Le.(Medidas desde el TE)
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Le*Rc) , (Radianes) e= Le/2Rc= 0.075 28.65
X(Ei)=L(Ei)*(1-2
/10) ,(m) 0.075 Rad grados
Y(Ei)= L(Ei)*(/3-3
/42) ,(m)
Xe= 59.97 m.
Ye= 1.50 m.
Estacas L(Ei) (Ei) rad. X(m) Y(m) Obs.
EO=TE 0 0.000 0 0 Desde TE (eje X,Y)
E1 10 0.002 10.00 0.01
E2 20 0.008 20.00 0.06 *
Eq 23.5 0.012 23.50 0.09
E3 30 0.019 30.00 0.19
E4 40 0.033 40.00 0.44 *
E5 50 0.052 49.99 0.87
EC=E7 60 0.075 59.97 1.50 EC
Ecuaciones: Rama de Salida con Ls. (Medidas desde el ET)
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Ls*Rc) , (Radianes) s= Ls/2Rc= 0.075 28.65
X(Ei)=L(Ei)*(1-2
/10) ,(m) Rad Grados
Y(Ei)= L(Ei)*(/3-3
/42) ,(m)
Xs= 59.97 m.
Ys= 1.50 m.
Estacas L(Ei) (Ei) rad. X(m) Y(m) Obs.
CE=E22 60 0.075 59.97 1.50 CE
E23 50 0.052 49.99 0.87 *
Ed 43.5 0.039 43.49 0.57
E24 40 0.033 40.00 0.44
E25 30 0.019 30.00 0.19 *
E26 20 0.008 20.00 0.06
E27 10 0.002 10.00 0.01 *
ET=E28 0 0.000 0.00 0.00 Desde ET (eje X,y)
Como se puede apreciar hay simetria en ambas ramas Le y ls.
Le

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MATERIA: CIT-222 VIAS DE COMUNICACIÓN I CAT. : Ing. Juan Carlos López A.
Teniendo los valores X,Y para cada punto se los puede dibujar y ubicar a escala en
gabinete la curva con sus puntos en Le y en Ls.
Atte.
Ing. Juan Carlos López Aparicio
Cat. CIT-222
Ejemplo : Se debe dibujar y replantear posteriormente en el terreno ,puntos internos cada 10 metros en la rama de entrada (Le)
y de salida (Ls), para lo caul es preciso hallar las abcisas,ordendas (X,Y) par cada punto con eje cartesiano en el TE
y en el ET respectivamente. Con los siguientes valores calculados para una curva copn enlaces espirales asimetricos.
Le= 60 m.
Ls= 80 m.
e= 0.0750 rad.
s= 0.1000 rad.
Rc= 400.00 m.
Se debe calcular por lo menos las (X,Y) para tres puntos en Le y otros tantos en Ls.
Ecuaciones: Rama de Entrada con Le.(Medidas desde el TE)
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Le*Rc) , (Radianes) e= Le/2Rc= 0.075 28.6478228
X(Ei)=L(Ei)*(1-2
/10) ,(m) 0.075 Rad grados
Y(Ei)= L(Ei)*(/3-3
/42) ,(m)
Xe= 59.97 m.
Ye= 1.50 m.
Estacas L(Ei) (Ei) rad. X(m) Y(m) Obs.
EO=TE 0 0 0 0 Desde TE (eje X,Y)
E1 10 0.00 10.00 0.01
E2 20 0.01 20.00 0.06 *
Eq 23.5 0.01 23.50 0.09
E3 30 0.02 30.00 0.19
E4 40 0.03 40.00 0.44 *
E5 50 0.05 49.99 0.87
EC=E7 60 0.08 59.97 1.50 EC
Ecuaciones: Rama de Salida con Ls. (Medidas desde el ET)
(Ei) =L2
(Ei)/(2*Ls*Rc) , (Radianes) s= Ls/2Rc= 0.100 28.6478228
X(Ei)=L(Ei)*(1-2
/10) ,(m) Rad Grados
Y(Ei)= L(Ei)*(/3-3
/42) ,(m)
Xs= 79.92 m.
Ys= 2.66 m.
Estacas L(Ei) (Ei) rad. X(m) Y(m) Obs.
CE=20 80 0.10 79.92 2.66 CE
E21 70 0.08 69.96 1.79
E22 60 0.06 59.98 1.12
E23 50 0.04 49.99 0.65 *
Ed 43.5 0.03 43.50 0.43
E24 40 0.03 40.00 0.33
E25 30 0.01 30.00 0.14 *
E26 20 0.01 20.00 0.04
E27 10 0.00 10.00 0.01 *
ET=E28 0 0.00 0.00 0.00 Desde ET (eje X,y)
Le
Ls