formulas de matematica

1. ARITMÉTICA
DAVID HUARAC

2. Es un procedimiento que consiste en dividir una determinada cantidad en
cien partes iguales y en tomar una cierta cantidad de ellas.
Gráficamente
En el gráfico se observa que cada parte representa 1/10 del total, a la cual
llamaremos uno por ciento y se denotará 1 %.
En general:
REGLA DEL TANTO POR CIENTO
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100


2
2 partes iguales
100

partes iguales
100
a
a 
100 partes iguales
 
El por ciento de N N % N
100
a
a a
    

3. Nota:
I. Una herramienta que facilita el cálculo del tanto por ciento en muchos casos es expresar al
tanto por ciento como una fracción, a continuación se presenta algunas equivalencias
importantes.
II. Toda cantidad es el 100 % de sí misma es decir:
III. El porcentaje es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determina cantidad. Ejemplo:
El 40 % deI. 320 se calcula
1
10 %
10


1
25 %
4


2
40 %
5


1
20 %
5


1
50 %
2


3
75 %
4


4
80 %
5


3
60 %
5


100 % 1


2
66,6 %
3


1
12,5 %
8


1
33,3 %
3


N= 100 %N
tanto cantidad porcentaje
porciento
40 % 320 128
 

4. OPERACIONESCONELTANTOPOR CIENTO
1.
Ejemplos
* 30%(200)+25%(200)=55%(200)=110
* 26 %A+15 %A=41%A
* 45 %B+B=145 %B
2.
Ejemplos
* 40%(500)–18%(500)=22%(500)=110
* 68 %A – 37 %A = 31 %A
* B – 45 % B = 55 % B
3.
Ejemplo * El 20% del 30 % del 25 % de 600
→ 20 %×30 %×25 %×600
 
%N %N %N
a b a b
  
 
%N %N %N
a b a b
  
El % del % del % de N es igual a %× N
a b c a
1 3 1
600 9
5 10 4
    
Recuerda
 Las palabras de, del y de los nos
indican en forma práctica una
multiplicación.
 Las palabras es, son y será nos
indicarán en forma práctica la
igualdad.
 El m por n de A equivale a
decir
𝑚
𝑛
.A.

5. VARIACIÓNPORCENTUAL(D%)
Nos indica en qué tanto por ciento aumenta o disminuye una cantidad con respecto a su
valor inicial.Se calcula de la siguientemanera:
Cantidad
inicial
Cantidad
final
variación de la
cantidad
variación de la cantidad
% 100 %
cantidad inicial
D  

6. 1. Si el 40 % de a equivale al 50 % de B. ¿Qué tanto por ciento de 2B
es 2B − A ?
Resolución:
Del enunciado se tiene que:
40 % A = 50 % B
40 A = 50 B
4A = 5B
A
B
=
5𝑘
4𝑘
PROBLEMAS PROPUESTOS
Nos piden:
→ A = 5𝑘
𝑥 % 2B = 2B − A
𝑥 % 8𝑘 = 8𝑘 − 5k
𝑥 % 8𝑘 = 3𝑘
𝑥
100
. 8 = 3
→ B = 8𝑘 𝑥 =
300
8
𝑥 = 37,5
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟑𝟕, 𝟓

7. 2. Una persona luego de una dieta, bajo su peso en un 22 %. Si
actualmente pesa 81,9 kilos. ¿Cuál es su peso antes de la dieta?
Resolución:
Sea P el peso antes de la dieta:
P − 22 % P = 81,9
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟏𝟎𝟓 𝐤𝐢𝐥𝐨𝐬
peso
inicial
−
n° de kilos
perdidos
porladieta
=
peso
final
100 % P − 22 % P = 81,9
78 % P = 81,9
78
100
P = 81,9
78P = 8190 → P = 105

8. 3. ¿en que tanto por ciento varia el área de un rectángulo si su base
aumenta en 20 % y su altura disminuye en 10 %?
Resolución:
Para conocer la variación necesitamos el área inicial y el área final:
120 % 𝑏
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐚𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚 𝐞𝐧 𝟖 %
𝑏
90 % 𝑎
𝑎
Disminuye 10 %
Aumenta 20 %
A□ = 𝑎𝑏
A□ = 100%𝑎𝑏
A□ = 90%𝑎. 120%𝑏
A□ = 108%𝑎𝑏
𝐀𝐮𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚 𝐞𝐧 𝟖 %

9. 4. En un salón de recepción, el 65 %
de asistente son varones. Si se
retiran el 15% de las mujeres,
entonces quedaría 119 mujeres,
¿Cuál es el total de personas que
asistieron?
Resolución:
Sea N el total de personas
Por dato:
Los varones son 65 % → V = 65 % N
Entonces:
Las mujeres son 35 % N → M = 35 % N
Luego se retiran el 15 % de las mujeres
→ (100 – 15) % M = 85 % M
Dato del problema:
85
100
×
35
100
× N = 119
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟒𝟎𝟎 𝐩𝐞𝐫𝐬𝐨𝐧𝐚𝐬
85 % M = 119
85 % . 35 % N = 119
N = 400

10. 5. En una reunión, el 30 % de los
varones equivale al 40 % de las
mujeres. Si se retiran el 50 % de
los varones, ¿Qué tanto por ciento
de la cantidad de mujeres
representa la cantidad de
varones?
Resolución:
Al inicio tenemos:
V: n° de varones
M: n° de mujeres
30 % V = 40 % M
30 V = 40 M
3V = 4M
V
M
=
4
3
Luego, tendremos dos momentos:
Inicio Final
Varones 4k 2k
Mujeres 3k 3k
Se retiran
50 %(4k)
→ V = 4𝑘
→ M = 3𝑘
Lo que nos piden será:
𝑥 % 3𝑘 = 2𝑘
𝑥 % =
2
3
𝑥 % =
2
3
× 100%
𝑥 % = 66,
Ⴃ
6 %

11. 6. En una granja se observa que del total de animales el 30 % son
patos, el 40 % del resto son conejos y lo que quedan son 105
pavos. ¿Cuántos animales hay en la granja?
Resolución:
Sea N el total de animales que hay
en la granja.
Del dato:
Queda
Patos 30 % N → 70 % N = M
Conejos 40 % M → 60 % M
Pavos 105
Donde:
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝐇𝐚𝐲 𝟐𝟓𝟎 𝐚𝐧𝐢𝐦𝐚𝐥𝐞𝐬
60 % M = 105
60 % 70 % N = 105
3
5
×
7
100
× N = 105
21N
50
= 105
N = 250

12. 7. En un examen de recuperación, Vladimir sacó 18, por lo que su nota
aumento en un 50 % mientras que Mariano saco 12, por lo que su nota
disminuye en un 25 %. ¿Qué tanto por ciento fue la nota de Vladimir
respecto de la nota de Mariano, antes de la recuperación?
Resolución:
Ordenando los datos en una tabla:
𝑎 + 50 %. 𝑎 = 18
150 %. 𝑎 = 18
150
100
𝑎 = 18
𝑎 = 12
Nos piden:
Examen
Examen de
recuperación
Vladimir a 18
Mariano b 12
𝑏 – 25 %. 𝑎 = 12
75 %. 𝑏 = 12
75
100
𝑏 = 12
𝑏 = 16
𝑥 %. 16 = 12
𝑥 % =
12
16
.100%
𝑥 = 75 %
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟕𝟓 %

13. 8. Si el área de un cuadrado aumenta en un 125 %, ¿en que tanto por
ciento aumenta el perímetro del cuadrado?
Resolución:
Gráficamente tenemos:
Aumento
en un 125 %
A□ = 𝑘2
𝑘
𝑘
L
L
A□ = L2
L2
+ 125 %. L2
= 𝑘2
225 %. L2
= 𝑘2
225
100
. L2
= 𝑘2
15
10
L = K →
3
2
L = K
2P□ inicial = 4L
2P□ final = 4K
= 6L
Aumento 2L
Parte
Total
. 100%
2L
4L
100% = 50%

14. 9. En la academia se observa que de los alumnos del turno mañana el 40
% de los varones y el 20 % de las mujeres también asisten en el turno
tarde. Si el 20 % de los alumnos del turno mañana son mujeres. ¿Qué
tanto porciento de los alumnos del turno mañana asisten al turno
tarde?
Resolución:
Como en el problema se van a realizar calculo con tanto porciento, entonces
usualmente tomamos el número de alumnos del turno mañana como 100k.
=100k
Varones Mujeres
Asisten al
turno mañana
80k 20k
Asisten al
turno tarde
32k 4k
El 20% de
100k son
mujeres
El 20% de las
mujeres del
turno mañana
=36k
El 40% de los
varones del
turno mañana
Por lo tanto, asisten 36k
𝐑𝐩𝐭𝐚: 𝟑𝟔%

15. 10.En una reunión hay 500 personas, de las cuales el 60 % son
hombres. Si el 40 % de los hombres asistió con su esposa, el
porcentaje de las mujeres que asistieron solas.
Resolución: Son hombres:
60%(500) =300
Son mujeres:
500 – 300 = 200
40% de los hombres asistió con su esposa:
40 % (300) =120
→ 120 mujeres asistieron con sus esposos
→ asistieron solas:
200 – 120 = 80
Nos piden:
𝑥 % =
80
200
× 100 %
𝑥 % = 40 %