2. PROPORCIONALIDAD
1.- Proporcionalidad directa
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
Naranjas (kg) 2 3 4 5
Precio (€) 4 6 8 10
====
5
10
4
8
3
6
2
4 2 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes
es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalida directa y para
completar tablas incompletas
A 2 3 4 5
B 12 18 24 30
Es una tabla de proporcionalidad directa
(los cocientes son iguales)
A 4 5
B 20 10 50
A 4 2 5 10
B 20 10 25 50
3. PROPORCIONALIDAD
2.- Proporcionalidad inversa
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
Operarios 2 3 4 8
Tiempo (h) 12 8 6 3
24 (es lo que corresponde a 1)
En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores
correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de
proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas.
A 2 3 4 10
B 12 8 6 2,4
Es una tabla de proporcionalidad inversa
(los productos son iguales)
A 4 6
B 9 12 18
2 .12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 8 . 3 =
A 4 3 6 2
B 9 12 6 18
4. PROPORCIONALIDAD
3.- Fracciones equivalentes en las tablas de proporcionalidad
8
4
6
3
12
8
3
2
=
=
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
2 4
3 6
4 8
5 10
Propocionalidad directa
En las tablas de proporcionalidad directa,
la fracción formada con un par de valores
de la primera magnitud es equivalente a la
fracción formada con los valores
correspondientes en la otra magnitud.
Operarios Tiempo
(h)
2 12
3 8
4 6
6 4
Propocionalidad inversa
En las tablas de proporcionalidad inversa,
la fracción formada con un par de valores
de la primera magnitud es equivalente a la
inversa de la fracción formada con los valores
correspondientes en la otra magnitud.
10
6
5
3
6
4
3
2
=
=
5. En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Máquinas 8 25
Pieza 120 ? x
120
25
8
=120 : 8 = 15
Solución:
375 piezas
D
D
8
120.25
x =
Solución:
375 piezas
PROPORCIONALIDAD
4.- Problemas de proporcionalidad directa
Máquinas Piezas
8 -------- 120
25 -------- x
POR REGLA DE TRES
= 375
25 . 15 = 375
6. Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ?
¿ Y 3 operarios ?
POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Oper 12 8 3
Días 6 ? ? 6
x
8
12
=12 . 6 = 72
Solución:
9 días
24 días
I I
Solución:
9 días
24 días
PROPORCIONALIDAD
5.- Problemas de proporcionalidad inversa
Operarios Días
12 -------- 6
8 -------- x
3 -------- y
POR REGLA DE TRES
9
8
6.12
x ==
6
y
3
12
= 24
3
6.12
y ==
72 : 8 = 9
72 : 3 = 24
7. PROPORCIONALIDAD
6.-¿Cómo resolver problemas por regla de tres?
Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:
1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa
2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de
cada magnitud en la misma unidad.
3º.- Escribir la pareja de fracciones equivalentes.
4º.- Hallar x
Fíjate en los siguientes ejemplos.
Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8
horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16
obreros?
(Es inversa porque a doble de obreros mitad de
tiempo)
Nº obreros Tiempo (h)
10 --------- 8
16 --------- x
I
Solución
5 horas
8
x
16
10
=
5
16
8.10
x ==
Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré
por 57 de esas camisetas?
( Es directa porque a doble de camisetas doble
dinero)
Camisetas Dinero(€)
12 ------- 96
57 -------- x
D
x
96
57
12
=
456
12
96.57
x ==
Solución
456 €
8. PORCENTAJES
7.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar
del 40% es hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos
dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos
por el tanto por ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 : 100 = 4,2
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular
mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final
de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar
dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos
las cantidades resultantes:
4% de 600 = 4 . 6 = 24
20% de 60 =
(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y
del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200
8% de 2000 = 4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)
4,2 . 35 = 147
9. PORCENTAJES
8.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción
Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100
también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,
40% =
100
40
Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la práctica
procederemos así: 100
40
35 % de 60 = 21=
100
60.35
A esta forma de calcular porcentajes la llamaremos porcentaje como fracción o
también “con lápiz y papel”
28% de 420 = =
100
420.28
117,6 150% de 36 = =
100
36.150
54
10. PORCENTAJES
9.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad
directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total Parte
100 ------ 40
650 ------ x x
40
650
100
= 260
100
40.650
x ==
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos
problemas.
11. PORCENTAJES
10.- Cálculo de porcentajes: con calculadora
Calcular 35% de 60
CALCULADORA NO CIENTÍFICA
Deberás teclear:
60 x 35 %
y aparecerá el resultado en
la pantalla
21
CALCULADORA CIENTÍFICA
La secuencia de teclas depende del modelo de
calculadora. Para la Casio es:
60 x 35 SHIFT =
SHIFT activa la segunda función de las teclas
Tecla = contiene % como segunda función
SHIFT
=
%
SHIFT + = %
12. PORCENTAJES
11.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:
10% = décima parte (: 10) 10% de 42 = 42 : 10 = 4,2
50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18
25% = la cuarta parte (:4)
20% = la quinta parte (:5)
75% = las tres cuartas partes
(:4) y (x3)
25% de 40 = 40 : 4 = 10
20% de 35 = 35 : 5 = 7
75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12
13. PORCENTAJES
12.- Cálculo de porcentajes: resumen
50 % de 300
a) Con lápiz y papel (porcentaje como fracción): 50% de 300 =
=
100
50.300
x
50
300
100
=
150
b) Como regla de tres: 50% de 300
Total Parte
100 ------ 50
300 ------ x
d) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150
x =
=
100
50.300
150
c) Con calculadora: 50% de 300 =>
e) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150
50 x 300 % = 150
14. PORCENTAJES
13.-Problemas de porcentajes 1
Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por
ciento:
30% de 40 = 12
porcentaje
total
parte
En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?
(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)
total : 30
chicas: 40%
40% de 30 = 12 Solución:
12 chicas
A- CÁLCULO DE LA PARTE
15. PORCENTAJES
14.- Problemas de porcentajes 2
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
30 --- 12
100 --- x
x
12
100
30
=
40
30
12.100
x ==
Solución:
40%
Otra forma de resolverlo
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- x
x
100
12
30
=
40
30
100.12
x ==
Solución:
40%
B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE
16. PORCENTAJES
15.- Problemas de porcentajes 3
En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
100 --- 40
x --- 12
12
40
x
100
=
30
40
12.100
x ==
Solución:
30 alumnos/as
Otra forma de resolverlo
% Alumnos/as
40 ---------- 12
100 --------- x
x
12
100
40
=
30
40
12.100
x ==
Solución:
30 alumnos/as
C- CÁLCULO DEL TOTAL
17. PORCENTAJES
16.- Problemas de porcentajes 4
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor
y llega a un valor final.
Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará
después de la subida?
1200 + 144 = 1344
Solución:
1344 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
1344 €
D- AUMENTO PORCENTUAL
(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convienten en 112)
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
12% de 1200 = 144
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
112% de 1200 = 1344
18. PORCENTAJES
17.- Problemas de porcentajes 5
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su
valor y llega a un valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%.
¿Cuánto me costará entonces?
30 – 7,5 = 22,5
Solución:
22,5 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
22,5 €
E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
Precio: 30€
Decuento: 25%
25% de 30 = 7,5
Precio: 30€
Decuento: 25%
75% de 30 = 22,5
19. PORCENTAJES
18.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual
Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto
ganaba antes?
Antes Después
100 --- 112
x --- 1344 1344
112
x
100
= ==
112
1344.100
x 1200
Solución:
1200 €
He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el
precio antes de la rebaja?
Antes Después
100 --- 75
x --- 22,50
22,50
75
x
100
= ==
75
22,50.100
x 30
Solución:
30 €
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final
y el porcentaje de aumento o disminución. Los resolveremos por regla de tres
