Explica las operacion es de conjuntos y los números reales

1. JENNIELYS TORREALBA
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CONTADURÍA

2. ÍNDICE
Pag
 I. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS ------------------------ 3
 II. OPERACIONES CON CONJUNTOS. ------------------------ 3-11
 II,I Unión De Conjuntos ------------------------ 3-4
 II,II Intersección De Conjuntos ------------------------ 4-6
 II,III Diferencia De Conjuntos ------------------------ 6-7
 II,IV Complemento De Un Conjunto ------------------------ 7-9
 II,V Propiedades De Las Operaciones Booleanas ------------------------ 9-10
 II,VI Problemas Con Operaciones Con Conjuntos ------------------------ 10-11
 III NÚMEROS REALES. ------------------------ 11-15
 III,I Dominio De Los Números Reales ------------------------ 11
 III,II Números Reales En La Recta Real ------------------------ 12
 III,III Los Números Reales Y La Matrioshka ------------------------ 12
 III,IV Esquema De Los Números Reales ------------------------ 12
 III,V Clasificación De Los Números Reales ------------------------ 12-
• III,V,I Números naturales ------------------------ 13
• III,V,II Números enteros ------------------------ 13-14
• III,V,III Números racionales ------------------------ 14
• III,V,IV Números irracionales ------------------------ 14-15
 IV DESIGUALDADES. ------------------------ 15-17
 IV,I Propiedades De La Desigualdad Matemática ------------------------ 16-17
 V DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO. ------------------------ 17
 VI DESIGUALDADES CON VALOR
ABSOLUTO.
------------------------ 18-
 VI,I Objetivos ------------------------ 18
 Introducción ------------------------ 18
 Método Para Resolver Inecuaciones Con Valor
Absoluto
------------------------ 18-19
 Ejemplos ------------------------ 19-21
 VII BIBLIOGRAFÍA ------------------------ 22

3. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS.
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en su defecto de elementos que
pertenecen y responden a la misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede agrupar en el
mismo conjunto. Esta relación de pertenencia que se establece entre los objetos o elementos es
absoluta y posiblemente discernible y observable por cualquier persona. Entre los objetos o elementos
susceptibles de integrar o conformar un conjunto se cuentan por supuesto cosas físicas, como pueden
ser las mesas, sillas y libros, pero también por entes abstractos como números o letras.
Los conjuntos son materia de estudio de las matemáticas y seguramente la mayoría de los que están
leyendo la reseña sobre el término han aprendido lo que saben de ellos en las horas de matemáticas en
la escuela.
Algunas consideraciones básicas a tener en cuenta cuando de conjuntos se trata es que los mismos se
pueden determinar de dos maneras: por extensión y comprensión. Por extensión cuando se describe
uno a uno los componentes de un conjunto A que contiene números naturales menores a 8, por
ejemplo: A = {1,2,3,4,5,6,7}. Y se dice que está determinado por comprensión cuando solo se enumera
una característica común que reúnen todos los elementos que lo componen. Por ejemplo: el conjunto
A está formado por colores primarios A = {rojo}. También puede darse que dos conjuntos sean iguales
entre sí porque comparten la totalidad de los elementos que los componen.
Tradicionalmente, para describir los elementos que integran un conjunto se abren unas llaves y en caso
de ser necesario, al tratarse de más de un elemento, se los separa a través de la utilización de comas.
A la hora de representar los conjuntos puede ser que nos encontremos con las siguientes situaciones:
unión, que es el conjunto de todos los elementos contenidos en al menos uno de ellos; la intersección
que implica reunión en un mismo conjunto de todos aquellos elementos que se repiten o comparten
un par de conjuntos. El primero se representa con los dos conjuntos unidos y pintados del mismo color,
marcando esa unión y en el segundo caso se pinta como común la unión del medio de estos dos
conjuntos, que es donde se congregan los mismos elementos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Unión De Conjuntos
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de
B, es decir:

4. Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
Intersección De Conjuntos
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son
elementos de A y de B, es decir:

5. En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
C = {a, t, u, v}.
Encuentre:
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se tiene
que:

6. Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior, se
denominan Conjuntos disjuntos.
Diferencia De Conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
A – B = {a} y B – A = {d, e}.
Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto

7. En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones menos
oscuras. (Lo que no tienen en común).
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
Entonces
Complemento De Un Conjunto
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por
todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.
Simbólicamente se expresa:

8. Ejemplos:
a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e }
Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
Determinado por extensión tenemos
U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
Su complemento es: A' = {r, t, m, c}

9. En forma gráfica:
Propiedades De Las Operaciones Booleanas
Las llamadas OPERACIONES BOOLEANAS (unión e intersección) verifican las siguientes
propiedades:
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una
estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

10. Problemas Con Operaciones Con Conjuntos
Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas operaciones
con conjuntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el campo de la lógica
formal.
Ejemplo:
A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no cantan ni
bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?
Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte importante de la
definición formal de la operación intersección. Por lo tanto, podemos representar el
problema de la siguiente manera:

11. NÚMEROS REALES.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y
podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los
números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los
extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Captura De Pantalla 2019 08 01 A Les 16.29.24Dominio de los números reales.

12. Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números
reales.
Captura De Pantalla 2019 08 01 A Les 16.34.29Línea real.
Los números reales y la Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjunto de
muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor.
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene la siguientes muñecas más
pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de la muñeca más grande se llama Matrioshka.
Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
Esquema Martioshka
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también desde arriba o abajo
(figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos ver claramente la jerarquía de dimensiones
que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también podemos organizar los
números reales siguiendo el mismo método.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego
de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
Captura De Pantalla 2019 08 01 A Les 16.38.30
Clasificación de los números reales

13. Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
 Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto
no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Letra N Números Naturales
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos
“naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los
números naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
EJEMPLO.
1,2,3,4…
 Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números
negativos.
Expresión:
Letra Z Números Enteros
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…

14. Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que
usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los
racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.
 Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y
naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Letra Q Números Racionales
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de
números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o
semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
cualquier fracción de números enteros.
 Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de
manera periódica.
Expresión:
Letra I Números Irracionales
Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que
no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.

15. Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
DESIGUALDADES.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones
algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual
que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para
denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
mayor que >
Menor que <
Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
Menor que <
Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:

16. Menor o igual que ≤
Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la
izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de
igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una
inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin
embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo

17. 3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no
tiene incógnitas.
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO.
EJEMPLOS
El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica . Por
ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4).
Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número, y el valor absoluto
de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de 0 es 0.
Fácil!
El valor absoluto de x se escribe como | x |. Así,
|4| = 4
|–4| = 4
|54221.997| = 54221.997
|(–1/4)| = 1/4

18. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO.
Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
 Resolver inecuaciones que contienen expresiones con valor absoluto.
 Expresar la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto en la forma de intervalo o
como conjunto.
 Trazar en la recta real la solución de inecuaciones que contienen valor absoluto.
Introducción
En el tutorial de Inecuaciones Lineales vimos que ax + b = 0 es la frontera entre ax + b < 0 y ax + b > 0 En
esta sección vamos a ver que la solución de la ecuación ∣ x ∣ = a determina la frontera entre ∣ x ∣ < a y ∣ x
∣ > a Donde x es una variable o una expresión algebráica y a un número real positivo.
El mismo concepto se aplica si se tiene ≤ en lugar del signo < y ≥ en lugar del signo >.
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ =
a , entonces x = a o x = - a .
Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los siguientes pasos:
 Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
 Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el
signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los
límites de los intervalos en la recta numérica.
 Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
 La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La
solución se puede expresar de distintas formas:
o Como intervalo

19. o Como conjunto
o Gráficamente
Ejemplos
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el
signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de
los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.

20. Intervalo
Punto de Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 14 )
x = 0 ∣ 0 - 20 ∣ = 20
( 14 , 26 )
x = 15 ∣ 15 - 20 ∣ = 5
( 26 , ∞ )
x = 27 ∣ 27 - 20 ∣ = 7
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los
intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de
la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que
el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .
La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto:
x 14 ≤ x ≤ 26
Expresando la solución como intervalo

21. [ 14 , 26 ]
Gráficamente

22. BIBLIOGRAFÍA
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math%2Fhotmath_help%2Fspanish%2Ftopics%2Fabsolute-
value&usg=AOvVaw2rgKHU2oRuf3ufujgbvRVm
