conjuntos y clases de conjuntos

1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA INDOAMÉRICA
DOMINIO DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN EL SUBNIVEL DE
BÀSICA ELEMENTAL I PARALELO 03
TAREA No. 2
TEMA: Conjuntos y su Clasificación
Profesor: Lcdo. John Acosta, Msc.
Estudiante: Christian Conteron
Nivel: Quinto paralelo 3
Carrera: Educación Básica
Fecha entrega: domingo 22 de noviembre del 2020
AÑO 2020 -2021

2. INTRODUCCIÓN/ANTECEDENTE
La mente humana posee una inclinación natural a reunir o agrupar
Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas como
cinco elementos separados, las personas tendemos a verlas como un grupo de estrellas
Nuestra mente trata de encontrar orden y patrones
En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de
conjunto
DESARROLLO
1.- Los Conjuntos (Relación)
Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Objetos que pueden ser
cualquier cosa, a saber: números, personas, letras, animales, etc.
1.2.- ¿Qué es un conjunto?
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación de elementos con
características comunes
Estos objetos se llaman elementos o miembros de conjunto
1.3.- Los elementos son los objetos que conforman los conjuntos a estos los llamamos
elementos.
Si pensamos en el conjunto de los planetas del sistema solar, los elementos de este
conjunto serán precisamente Mercurio, Venus, La tierra, Marte, Júpiter, Saturno,
Urano y Neptuno.
Otros ejemplos de conjuntos

3. 2.- Representación gráfica de los conjuntos
La representación de los conjuntos no es más que una forma de mostrar cómo se
escriben o como se pueden dibujar.
Hay tres formas de representar los conjuntos , por medio de diagrama de Venn, por
extensión y por comprensión .Ver solo los nombres de la representación puede parecer
complejo, pero en realidad no lo es tanto :
Veamos:
Diagrama de Venn
El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es
decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una
superficie limitada por una línea:
Imagina que tienes una bolsa en la que hay diferentes frutas. Entonces al introducirlo
como un conjunto se veria la A como lo que representa todas frutas. El circulo seria
la bolsa y lo que se encuentra adentro, en este caso cada fruta( manzana , banano ,
naranja) serían los elementos que forman el conjunto de las frutas.
Ejemplo Nº 2
Por ejemplo, si el conjunto A está conformado por los elementos 1, 2, 3 y 4 se puede
representar como en la figura.

4. Ejemplo Nº 3
Si dos conjuntos, el conjunto A está conformado por las letras m, n, p y t, y que el
conjunto B está conformado por las letras n, p, q y s. Como puedes ver los conjuntos
A y B comparten los elementos n y p, y se representa:
Es equivalente
Q= {1, 3, p, z }
Ejemplo Nº 4
Usamos las llaves {} para representar y definir conjuntos. Dentro de las llaves se
ubican los diferentes elementos que conforman el conjunto separados por comas. Esta
representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn.
Ejemplo se quiere definir de forma matemática al conjunto Q como el conformado por
los elementos 1, p, z, y 3 se puede representar de las siguientes formas:
Descripción de conjuntos por extensión y descripción de conjuntos por comprensión
Conjuntos: 1) por enumeración (extensión).
2) por comprensión.
a.- Descripción de conjuntos por extensión
Es una representación escrita de los conjuntos y se utilizan las llaves para hacerlo.
Por ejemplo:

5. A = {manzana, mora, fresa, sandia, banano, naranja}
Básicamente, dice lo mismo que en el ejemplo que utilizamos en el Diagrama de Ven
, solo que esta de forma escrita; A es la representación de todas las frutas. Las llaves
cumplirían el papel bolsa donde están las frutas. Y la Manzana, Banano, Naranja serian
cada uno de los elementos que están conformando el conjunto.
Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a
uno, a esto se conoce como descripción por extensión. Definamos Q como el conjunto
conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto
Q por extensión así:
Q= {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo, violeta}
b.- Descripción de conjuntos por comprensión
En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la
descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los
conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los
conforman.
Por ejemplo, si C es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede
escribir:
C={x|x es un país}
En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior expresión se lee: “C es el
conjunto de los x, tales que x es un país”. En este caso el símbolo x es usado
simplemente para representar los elementos del conjunto C.

6. 3.- Clases de conjuntos
Existen varios tipos de conjuntos que se destacan por sus características
especiales. Conocerlos te ayudará a comprender mejor la estructura y el mundo de los
conjuntos.
a.- Conjunto Universal
Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos
especificar de dónde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa
que debe existir una base de la cual tomamos estos elementos, esta base sobre el cual
trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra U para
representar el conjunto universal.
Ejemplo
Por ejemplo, si quieres definir B como el conjunto conformado por las vocales a , e ,
i el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se
muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el
conjunto B y su conjunto universal U.
Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los
conjuntos que abarca o más.
b.- Conjunto vacío
Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado
conjunto vacío. Para representar dicho conjunto usamos el reconocido símbolo del
vacío, como se muestra en la imagen de abajo:
Ejemplo

7. También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto
vacío por medio de los corchetes . Como el conjunto vacío no tiene elementos, no
podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
c.- Conjuntos unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento. No importa qué tipo de
elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra o cualquier otra
cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.
Ejemplo
d.- Conjuntos finitos
Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee. Un
conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.
Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total
son 27
letras. En la imagen de la derecha se muestran otros conjuntos finitos. Te puedes dar
cuenta que los conjuntos unitarios también son finitos.
Ejemplos

8. e.- Conjuntos infinitos
Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad
de elementos que los componen. El método más fácil para representar este tipo de
conjuntos es por comprensión. Basta con mencionar las características que tienen
en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a
todos. Considera el conjunto de los números que terminan en tres, podríamos
definirlo así: Sea
Ejemplos
Sea T={x|x es número y termina en tres}.
También existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por
extensión. Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos
suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto T
,definido en el párrafo anterior y conformado por los números que terminan en tres,
se tiene .
T= {3,13,23,33,43, 53,}.
Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en
los números. ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos múltiplos tiene el tres? Estos
conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la
cantidad de elementos que tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un
número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.
Ejemplo
No debes confundir los conjuntos infinitos con conjuntos finitos que tienen una gran
cantidad de elementos. Por ejemplo, ¿consideras el conjunto de todos los granos
de arena en el planeta Tierra, un conjunto infinito? En este caso, aunque el conjunto
tenga una gran cantidad de elementos debe existir un número que la represente, así
sea muy grande

9. 4.- Relación de pertenencia
Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a pertenece al
conjunto A se escribe a ∈ A. Si el elemento p no pertenece al conjunto A se escribe
p ∉ A. Ejemplos: a) El conjunto de los resultados que se obtienen al tirar un dado
con las caras numeradas del 1 al 6 es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El elemento 7∉ E. b) El
conjunto de los números naturales es N = {1, 2, 3, …}. El número 10 ∈ N, pero 3,2
∉ N. c) De manera inconcreta nos podemos referir al “conjunto de objetos que una
persona lleva en una bolsa”; al “conjunto de personas que trabajan en un edificio”.
d) Con las letras Z, Q y R se designan los conjuntos de los números enteros,
racionales y reales, respectivamente. e) La expresión R − {−2, 3} indica el conjunto
de todos los números reales menos los números −2 y 3.
5.- Relación de Pertenencia y No Pertenencia
Para comenzar, debes comprender la relación entre los conjuntos y los elementos
que lo conforman. Cuando un objeto es uno de los elementos de un conjunto
decimos que pertenece al conjunto
Como has visto, es posible representar gráficamente la relación de pertenencia por
medio de diagrama de Ven dibujando el elemento dentro de un circulo que
representa el conjunto. Ahora aprenderás a representar esta relación por medios de
símbolos matemáticos.
Se usa el símbolo que se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura, como
el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece
a determinado conjunto, usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea,
como se muestra en la figura de abajo a la derecha
5.- Símbolos para su representación.
Subconjuntos Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier
número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto ∅
y el mismo A. Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y
también se lee “B está contenido en A”. Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A. El
símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A ⊃ B. (La
parte abierta señala al conjunto mayor.) No debe escribirse B ∈ A para indicar la
relación B ⊂ A. En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento

10. a entre llaves se considera el conjunto unitario {a}. Si un conjunto C no es
subconjunto de A se escribe C ⊄ A.
Un conjunto tiene muchos subconjuntos. Hay subconjuntos con un solo elemento,
que podrían llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos con dos elementos;
etc. (Puede demostrase que si un conjunto A tiene n elementos, el número de
subconjuntos de A es 2n , incluyendo el vacío y el mismo A.) La relación de
contenido cumple las propiedades siguientes. 1. Si C ⊂ B y B ⊂ A ⇒ C ⊂ A. 2. Si
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B. 3. Para todo conjunto A, ∅ ⊂ A.
Definamos los conjuntos H={a,c,e}, I={a,e} y J={c,e,h}. ¿Crees que existe alguna
relación de contenencia entre estos conjuntos?
Fíjate bien, recuerda que un conjunto está contenido en otro si cada uno de sus
elementos pertenece también al otro conjunto. En este caso cada elemento del
conjunto I pertenece también al conjunto H, decimos entonces que I está contenido
en H, o que I es subconjunto de H.
Para representar estas relaciones a través del símbolo de contenencia se escribe de
la manera que puedes ver en la figura de la derecha. Estas expresiones se leen así:
“I está contenido en H”, o “I es subconjunto de H”, y “J no está contenido en H”, o
“J no es subconjunto de H”.

11. Es importante aprender a representar gráficamente la relación de contenencia entre
conjuntos. Para el caso de nuestros conjuntos I, J y H, se pueden representar de la
siguiente manera:
6.- Relación de igualdad
Decimos que dos o más conjuntos son iguales si dichos conjuntos tienen los mismos
elementos. Recuerda que para determinar la igualdad de conjuntos no importa el
orden de sus elementos. Tampoco importa si los elementos están repetidos.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo
Observa los conjuntos K y L definidos así: K={p,q,r,q,s,r,p} y L={s,r,p,q}
¿Consideras que los conjuntos K y L son iguales? Antes de contestar esta pregunta
necesitas tener criterios para poder responder adecuadamente.
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se
contienen el uno al otro.
BIBLIOGRAFIA

12. Fuente Bibliográfica
1.-Fuente:https://www.matematicas10.net/2018/03/ejemplos-de-relaciones-de-
pertenencia.html
2.-https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/relacion-de-igualdad/1/
3.-https://edu.gcfglobal.org/es/temas-basicos/la-representacion-de-los-conjuntos/