IO lineal problemas resueltos

Autor:
Valencia Nuñez Edison Roberto
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
PROGRAMACIÓN LINEAL,
PROBLEMAS RESUELTOS CON
SOLUCIONES DETALLADAS.

Dr. Galo Naranjo López
RECTOR
Dra. Adriana Reinoso Núñez
VICERRECTORA ACADÉMICA
Ing. Jorge León Mantilla
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO
TÍTULO DE OBRA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal, problemas
ISBN: 978-9978-978-38-2
Autor:
Valencia Roberto
Diseño y diagramación:
MEGAGRAF
Coautor:
Hidalgo Claudio
Impresión:
MEGAGRAF-Ambato
Primera Edición, 2018
Tiraje de 500 ejemplares
CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO
Adriana Reinoso Núñez
PRESIDENTA
Av. Colombia 02-11 y Chile (Cdla. Ingahurco)
Teléfono: 593 (03) 2521-081 / 2822-960
Fax: 593 (03) 2521-084
www.uta.edu.ec
Información editorial: editorial@uta.edu.ec
La edición de este libro se da de conformidad a los literales c) y e) del Art. 6.- Atribuciones, DEL REGLAMENTO
PARA LA ELABORACIÓN Y PUBLICACIÓN DE OBRAS O DOCUMENTOS ACADÉMICOS Y/O CIENTÍFICOS; Y,
PARA EL FUNCIONAMIENTO DEL CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE
AMBATO. Y en aplicación al numeral 1, del literal a) del Art. 71.- De las obras publicadas, DEL REGLAMENTO
CARRERA Y ESCALAFÓN DEL PROFESOR E INVESTIGADOR DEL SISTEMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
resueltos con soluciones detalladas.

INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
Programación lineal, problemas
resueltos con soluciones detalladas.

Docente de la Universidad Técnica de Ambato a nivel de grado
y posgrado a tiempo completo, en la Facultad de Ingeniería en
Sistemas Electrónica e Industrial, Facultad de Contabilidad y
Auditoría y Facultad de Administración, desde marzo del 2010.
PhD(c). En Estadística, Universidad del Rosario – Argentina.
Máster Universitario en Estadística Aplicada, Universidad de
Granada – España. Magister en Matemáticas, Instituto Politécni-
co Nacional – México. Magister en Tecnología de la Información
y Multimedia Educativa, Universidad Técnica de Ambato -
Ecuador. 20 artículos publicados en bases de datos de alto
impacto, varias ponencias nacionales e internacionales, 5 libros
publicados, con revisores de pares externos y con registro
ISBN, todo esto relacionados con el campo amplio y especifico
del área de Matemáticas y Estadística.
Profesor de maestrías a nivel nacional, en módulos de Estadísti-
ca, Matemáticas, Producción Científica Investigación, Diseño
Experimental, y Tecnologías de la información. Módulos
impartidos a nivel de grado: Estadística Descriptiva, Estadística
Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Investigación
Operativa, Algebra Lineal, Programación Lineal, Empleo de
Ntics I (Ofimática), Empleo de Ntics II (web 2.0), Comercio
Electrónico, Circuitos Eléctricos, Metrología.
Instructor de cursos nacionales dirigidos a docentes universitarios
y del magisterio de Educación. Instructor de cursos virtuales
internacionales. Docente - investigador en proyectos de investi-
gación, desempeñando como: Coordinador e investigador en
varias áreas multidisciplinarias, investigación especifica: Proce-
samiento y análisis de datos, Minería de datos, Big Data y
Machine Learning todo esto con software, R-Studio, Stata,
Minitab, Sas y Spss. También ha desarrollado proyectos de
vinculación con la colectividad.
Docente Coordinador, guía, tutor y calificador de proyectos de
investigación a nivel de posgrado. Ha participado en la
dirección y codirección de tesis de posgrado y grado.
Coordinador de la Comisión de Seguimiento a Graduados y
Bolsa de Empleo en la Facultad de Contabilidad y Auditoría de
la Universidad Técnica de Ambato desde marzo del 2012 con
resolución FCAUD-CD-549-2012, hasta agosto del 2018.
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN: ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE Y
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA.
EDISON ROBERTO
VALENCIA NUÑEZ
email:
edisonrvalencia@uta.edu.ec
cristalizacionrobert@gmail.com
profemaestriarv@gmail.com
Contacto: 0998266715
AMBATO - ECUADOR
Agosto del 2018

CARÁTULA Presentación
I.O.
Roberto Valencia Página 7
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
2. PROGRAMACIÓN LINEAL
3. MODELOS DE TRANSPORTE
4. MODELOS DE REDES
5. SOFTWARE DE APLICACIÓN
ROBERTO VALENCIA NUÑEZ
CLAUDIO HIDALGO
AMBATO - ECUADOR

I.O.
La Investigación de Operaciones (IO) o Investigación
Operativa es una rama de las matemáticas que usa modelos
matemáticos y algoritmos como apoyo para mejorar la
toma de decisiones y determinar la solución óptima. Se
busca que las soluciones obtenidas sean más eficientes (en
tiempo, recursos, beneficios, costos; entre otros) en
comparación a aquellas decisiones adoptadas en forma
intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de
decisiones.
Los modelos de Investigación de Operaciones son
frecuentemente usados para abordar una gran variedad de
problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias
sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones
importantes beneficios y ahorros asociados a su
utilización.
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN

I.O.
El propósito de aporte es ayudar al estudiante a
comprender los problemas de programación lineal
(optimización: maximizar ganancias y minimizar costos),
modelos de transporte, y modelos de redes, utilizando
problemas prácticos desarrollados paso a paso de una
manera didáctica, para la compresión del lector, se ha
dividido en cuatro partes; primera: una introducción a la
investigación operativa, en donde se ve específicamente la
manera práctica de la IO y los pasos que se siguen para la
toma de decisiones.
Segunda: programación lineal en donde se detalla de
manera amplia todos los tipos de soluciones por el método
gráfico y método simplex, lo que es maximizar ganancias
y minimizar costos y además problemas de complemento
utilizando el método dual.
Tercera: modelos de transporte en donde se presentan
problemas prácticos detallados con todos los tipos de
soluciones, cuando la oferta es mayor que la demanda o
viceversa y, además se aplica el método de los
multiplicadores para llegar al costo óptimo.
Cuarta: Modelo de redes en donde se hacen problemas
prácticos; se numeran todas las actividades con sus
respectivos tiempos, se realiza la red del proyecto y se
calcula el tiempo más corto por medio de la ruta crítica.
PREFACIO

CAPÍTULO I Investigación Operativa
Indice
.................................................................................................................................15
CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA .......................................................................................16
1.1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................16
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA..........................................................17
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.....................................20
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS.........................................................................................23
................................................................................................................................24
CAPÍTULO II
2. PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................25
2.1. INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................25
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL............................25
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL..................26
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES........................................................................26
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES..................................................29
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES.......................................31
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ...........................................33
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ................35
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN..................................................................................38
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.....................39
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN)...........41
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN) ...........47
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO..........................................50
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO.....................................................51
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA.................................................................52
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA...........................................................63
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA...........................................................65
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA.....................................................68
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN..........................................................................................70
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX...........................................74
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “).76
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “).87
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) .....93
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX.................................................................96

Indice
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN
EL MÉTODO SIMPLEX................................................................................................106
2.9.1. DEGENERACIÓN................................................................................................107
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS ............................................................................110
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES ..................................................................111
2.10. DUALIDAD.................................................................................................................115
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD........................................................................................127
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS........................................................................................132
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO ..............................................................132
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN)..................................140
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN)...................................144
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN....................................147
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD...............................................................................149
.............................................................................................................................153
CAPÍTULO III
3. MODELOS DE TRANSPORTE ......................................................................................154
3.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................154
3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ...............................................155
3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL .........................................................157
3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE...............................................................157
3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO .........................................................................161
3.3.3. MÉTODO DE VOGEL..........................................................................................163
3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO .....................................................167
3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA............................................................167
3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA..........................................................170
3.5. COSTO ÓPTIMO.........................................................................................................172
3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO................................................................................172
3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ...............................................................173
3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO 174
3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS....................................................192
3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN.......................................................................................209
3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN.................................................210
3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN.................................................217
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ............................................................223
3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS.............................................................................223
3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS.......................................................................231

Indice
3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN..........................................................................236
.............................................................................................................................241
CAPÍTULO IV
4. MODELOS DE REDES .................................................................................................242
4.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................242
4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES ........................................................................................243
4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE
EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS)..............................................................245
4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT ..............................................245
4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT .........................................................248
4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS ........................................................................252
4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA)............254
4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM .....................................................256
4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM.........................................................257
4.8. PERT – COSTOS .........................................................................................................268
4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM ......................................................................271
.................................................................................................................................282
APÉNDICE
5. APÉNDICE A...............................................................................................................283
5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS......................................................................283
5.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ...............................288
5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE ...............................................292
5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM.........................................295
6. APÉNDICE B...............................................................................................................300
6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB...............................................................300
7. APÉNDICE C...............................................................................................................305
7.1. PROGRAMA GEOGEBRA ...................................................................................305
...........................................................................................................................315
BIBLIOGRAFÍA

Conceptualización
.................................................................................................................................15
CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ...................................................................................... 16
1.1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................... 16
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA......................................................... 17
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.................................... 20
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS........................................................................................ 23

Conceptualización
CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA
1.1. INTRODUCCIÓN
1
Cuando una persona se enfrenta por vez primera con el término Investigación de Operaciones,
no suele ser conocedora de las características específicas de esta ciencia ni de su objeto de
estudio. Además, la Investigación Operativa puede tener componentes muy diversos
dependiendo de su área de aplicación concreta: Administración de Empresas, Ingeniería u otras.
El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma científica de decisiones mediante
el empleo de técnicas cuantitativas. Es importante tener esta definición clara y, de esta forma,
nos daremos cuenta de la amplitud de campo de la Investigación Operativa (IO).
Con frecuencia se ha hecho demasiado hincapié en los modelos de Programación Lineal dentro
de la Investigación Operativa, lo cual ha dificultado la distinción entre ambos términos. Lo
cierto es que la Programación Lineal es sólo una parte de la Investigación Operativa aunque, sin
duda, una de las más importantes.
La Investigación Operativa es una ciencia multidisciplinaria que aparece en muchos campos del
ámbito industrial, empresarial y de la administración pública. De hecho, con la aparición de la
Programación Lineal en los años 1940, aparece el sentimiento de dar una cohesión o visión de
conjunto a todas las técnicas anteriormente enunciadas. Esa visión cohesionada, junto con el
concepto de sistema, permite la aparición de la Investigación de Operaciones como ciencia.
Las subdivisiones en las que se establece la IO tienen los siguientes elementos en común:
 Son necesarios amplios conocimientos de matemáticas, es decir, del manejo de muchas
técnicas matemáticas, aunque con inmediata aplicación a la realidad.
 Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decisión que tomar.
 Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma de decisiones.
En el estudio de la Investigación Operativa se puede hacer más énfasis en los aspectos teóricos
de los modelos matemáticos o bien en los aspectos prácticos. Estudiar de forma exclusiva
modelos matemáticos, aun siendo importante para la IO, no constituye el principal ejercicio de
la misma, es necesario verificar la aplicabilidad de los resultados que se deriven de los modelos
matemáticos.
Por ello, en muchos casos, se hace énfasis en los aspectos prácticos de la IO estableciendo
puentes con los diversos ámbitos de la gestión empresarial. En este sentido, y con objeto de
tener una visión precisa para una introducción de las técnicas operativas, se recomienda la
consulta de los capítulos introductorios de alguno de los manuales cuyos autores son:
1
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf

Conceptualización
 Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001) (Capítulos 1 y 7) referentes a
la programación lineal.
 Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001) (Capítulos 1,2 y 3)
 Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000) (Capítulos 1 y 2) referentes a la
programación lineal.
También a nivel introductorio se pueden visitar algunas de las siguientes páginas web:
 http://www.informs.org/ Sociedad Americana de Investigación Operativa.
 http://www.orie.cornell.edu/ Departamento de Investigación Operativa de la
Universidad de Cornell en Nueva York.
 http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ Información genérica de la Investigación
Operativa.
En este sentido, hay que destacar que las técnicas de Investigación Operativa tienen un auge
inusitado en los Estados Unidos. Algunos de los motivos de este incremento son:
a) razones históricas.
b) la cultura empresarial americana.
c) la dimensión del mercado americano.
En Europa, cada vez se aplican más estas técnicas pero, con frecuencia, con un acento mucho
más teórico. Entre los países europeos que más aplican las técnicas de la IO se pueden destacar
los siguientes: Gran Bretaña, Holanda, Francia y Alemania. Con el fenómeno de la
globalización económica, cada vez son más las empresas multinacionales que emplean técnicas
de Investigación Operativa para la toma científica de decisiones.
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
La Investigación Operativa es una disciplina moderna que utiliza modelos matemáticos,
estadísticos y algoritmos para modelar y resolver problemas complejos, determina la solución
óptima y mejora la toma de decisiones. Esta materia también recibe el nombre de
Investigación de Operaciones, Investigación Operacional o Ciencias de la Administración.
(Hillier & Lieberman, 2010).
Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación
Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas,
Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc.
2
Aunque su nacimiento como ciencia se establece durante la Segunda Guerra Mundial y debe
su nombre a las operaciones militares, los verdaderos orígenes de la Investigación
Operativa se remontan mucho más atrás en el tiempo, hasta el siglo XVII (desde el punto de
vista matemático). Incluso se puede considerar que el problema de hacer un uso óptimo de los
recursos disponibles ha existido siempre y con el que la humanidad ha ido tratando a lo largo
de su historia. Sin embargo el crecimiento de esta ciencia se debe, en su mayor parte, al rápido
desarrollo de la informática, que ha posibilitado la resolución de problemas en la práctica y la
2
http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm

Conceptualización
obtención de soluciones que de otra forma conllevarían un enorme tiempo de cálculo
haciéndolos inviables.
Debido al gran éxito obtenido por la Investigación Operativa, según Taha (2011) en el campo
militar, ésta se extendió a otros campos tales como la industria, física, administración,
informática, ingeniería, economía, estadística y probabilidad, ecología, educación, servicio
social (p. 850), siendo hoy en día utilizada prácticamente en todas las áreas imaginables donde
se pretenda mejorar la eficiencia.
3
En la siguiente tabla se pueden observar algunos ejemplos de casos reales de uso de la
Investigación Operativa por parte de diferentes organizaciones y las ganancias y/o ahorros
conseguidos a raíz de ello.
CASOS REALES DE USO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Organización Aplicación Año Ahorros anuales
Ministerio
holandés de
Infraestructura y
Medio Ambiente
(The Netherlands )
Desarrollo de la política
nacional de administración
del agua, incluyendo mezcla
de nuevas instalaciones,
procedimientos de
operaciones y costes
1985 $15 millones
Electrobras/CEPA
L Brasil
Asignación óptima de
recursos hidráulicos y
térmicos en el sistema
nacional de generación de
energía
1986 $43 millones
United Airlines
Programación de turnos de
trabajo en oficinas de reservas
y aeropuertos para cumplir
con las necesidades del
cliente a un costo mínimo
1986 $6 millones
CITGO Petroleum
Corp.
Optimización de las
operaciones de refinación y
de la oferta, distribución y
comercialización de
productos
1987 $70 millones
Texaco, Inc.
Optimización de la mezcla de
ingredientes disponibles para
que los combustibles
obtenidos cumplieran con los
requerimientos de ventas y
calidad
1989 $30 millones
IBM Integración de una red 1990 $20 millones +
3
http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm

Conceptualización
Organización Aplicación Año Ahorros anuales
nacional de inventario de
recambios para mejorar el
apoyo al servicio
$250 millones en
menor inventario
American Airlines
Diseño de un sistema de
estructura de precios,
sobreventas (exceso de
reservas) y coordinación de
vuelos para mejorar los
beneficios
1992
$500 millones más
de ingresos
AT&T
Desarrollo de un sistema
informático en el diseño del
centro de llamadas para guiar
a los clientes del negocio
1993 $750 millones
Delta Airlines
Maximización de ganancias a
partir de la asignación de los
tipos de aviones en 2.500
vuelos nacionales en Estados
Unidos
1994 $100 millones
Procter & Gamble
Rediseño del sistema de
producción y distribución
norteamericano para reducir
costos y mejorar la rapidez de
llegada al mercado
1997 $200 millones
Hewlett-Packard
Rediseño de tamaño y
localización de inventarios de
seguridad en la línea de
producción de impresoras
1998
$280 millones de
ingreso adicional
Coca-Cola
Enterprises (CCE)
La implementación de un
modelo de optimización de
enrutamiento de vehículos
2005
El impacto incluye
un ahorro anual de
$45 millones.
Canadian Pacific
Railway
Por medio de un modelo
matemático que permitió
manejar los horario de
acuerdo con las necesidades
del servicio de entrega de
carga
2007 Reducir sus costos
en $285 millones.
FUENTE: http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm

Conceptualización
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Definición del problema.- Descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se
desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no;
determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las
alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución
adecuada.
2. Construcción del modelo.- El investigador de operaciones debe decidir el
modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que
relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del
sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a
partir de datos pasados, o ser estimados por medio de algún método estadístico.
Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El
modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la
complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran.
La construcción del modelo matemático de manera general se puede resumir en cuatro
pasos:
2.1. Identificar las variables de decisión
Un paso crucial en la construcción de un modelo matemático es determinar aquellos factores
sobre los que el decidor tiene control, que normalmente se llaman variables de decisión del
problema. Hay que distinguir entre lo que está a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la
cantidad de artículos a producir de cada producto o el material a utilizar) de aquello que no
podemos modificar (como el número de horas de trabajo disponibles o fechas límite a cumplir),
que normalmente denominaremos parámetros. Según el tipo de problema, lo que a veces es una
variable de decisión en otros casos puede ser un parámetro o viceversa.
Para identificar las variables de decisión, puede ser útil hacerse las siguientes preguntas: ¿qué es
lo que hay que decidir? o ¿sobre qué elementos tenemos control? o ¿cuál sería una respuesta
válida para este caso?
Definición del
problema
Construcción del
modelo
Solución del
modelo
Validación del
modelo
Implantación de
la solución

Conceptualización
2.2. Identificar la función objetivo
El objetivo de la mayoría de los estudios de IO, y el de todos los modelos de optimización, es
encontrar el modo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque
una compañía quizás esté satisfecha con una mejora sustancial de la situación actual,
normalmente el objetivo es buscar el valor óptimo para cierta función.
A la hora de encontrar la función objetivo, la pregunta que podemos hacemos es ¿qué es lo que
queremos conseguir? o si yo fuera el jefe de esta empresa, ¿qué me interesaría más?
2.3. Identificar las restricciones
En la búsqueda de la solución óptima, normalmente existen ciertas restricciones (prohibiciones,
requisitos) que acorta nuestra decisión. Ejemplos de estas condiciones frecuentes son: los
recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material, etc.) son limitados; fechas límite
impuestas por los contratos; obstáculos impuestos por la naturaleza del problema (por ejemplo:
el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida).
2.4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemático
Una vez identificados los elementos básicos hay que expresarlos matemáticamente. Siguiendo el
orden de pensamiento de los autores Hiller & Liberman (2010) que explica que, se lo hará
dependiendo de la naturaleza de las funciones matemáticas, el modelo será de un tipo u otro; por
ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema será de Programación Lineal; si existe más de
una función objetivo, será de programación multicriterio.
3. Solución del modelo.- Una vez que se tiene el modelo, se procede a resolver el
problema aplicando las técnicas matemáticas del método gráfico o simplex, de esta
manera llegamos a la solución óptima del problema. Debemos tener en cuenta que las
soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticos y debemos
interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar
análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las
especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no
necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.
4. La validación del modelo.- La validación de un modelo requiere que se determine si
dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método
común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del
sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como
no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el
comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles
del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.
5. La Implantación De La Solución.- Consiste en traducir los resultados del modelo
validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán los que
tomen las decisiones.4
4
http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/

Conceptualización
La comunicación efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el éxito del mismo. La
utilidad del análisis será nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su
valor. Los decisores deben comprender completamente el enfoque del analista, las hipótesis y
simplificaciones que se han hecho, y la lógica en la recomendación. Las presentaciones orales
(utilizando transparencias, videos o software especializado) y los informes son formas
tradicionales para la comunicación.
APLICACIÓN
Interpretar la solución. Aplicar la solución.
SOLUCIÓN
Resolver el problema matemático
FORMULACIÓN
Formular el problema real
Supuestos y variables del
problema
Formular el modelo
matematico

Problemas Propuestos
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS
a) Defina ¿qué es la Investigación Operativa?
b) ¿Cuáles son los elementos en común de la Investigación Operativa?
c) ¿Cuáles son los motivos del auge de la Investigación Operativa?
d) ¿En qué circunstancia y país nace la Investigación Operativa?
e) ¿Qué ramas incluye la Investigación Operativa?
f) Citar siete ejemplos de casos reales de la Investigación Operativa.
g) ¿Cuáles son las fases de estudio de la Investigación Operativa?
h) Describa la solución del modelo.
i) Realizar un resumen del Capitulo1 en SmartArt.
j) Realizar una presentación con ideas primarias, secundarias, terciarias en la herramienta
de drive – presentaciones de Google

CAPÍTULO II……….............................................................................................................................................................................. Ϯϰ
2. PROGRAMACIÓN LINEAL................................................................................................................................................................... Ϯϱ
2.1. INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................................................... Ϯϱ
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................................................................... Ϯϱ
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL..............................................................................2ϲ
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ...............................................................................................................................................2ϲ
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES .........................................................................................................................2ϵ
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES............................................................................................................... ϯϭ
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES................................................................................................................... ϯϯ
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ........................................................................................ ϯϱ
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.............................................................................................................................................................. 3ϴ
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................ 3ϵ
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN)...................................................................................ϰϭ
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN)....................................................................................4ϳ
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO.......................................................................................................... ϱϬ
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................ ϱϭ
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ........................................................................................................................................ϱϮ
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA................................................................................................................................... ϲϯ
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA .................................................................................................................................. ϲϱ
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA............................................................................................................................. 6ϴ
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .................................................................................................................................................................ϳϬ
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX .......................................................................................................... ϳϰ
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) ................................................. 7ϲ
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) ................................................. 8ϳ
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “).............................................................. ϵϯ
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX....................................................................................................................................9ϲ
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX.....................................10ϲ
2.9.1. DEGENERACIÓN.......................................................................................................................................................................10ϳ
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS.................................................................................................................................................... 1ϭϬ
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES..........................................................................................................................................1ϭϭ
2.10. DUALIDAD............................................................................................................................................................................................. 1ϭϱ
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD....................................................................................................................................................................12ϳ
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS....................................................................................................................................................................1ϯϮ
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................................................................................................1ϯϮ
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .............................................................................................. ϭϰϬ
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ...............................................................................................1ϰϰ
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN ................................................................................................14ϳ
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD......................................................................................................................................14ϵ

CAPÍTULO II Programación Lineal
Conocimientos previos
CAPÍTULO II
2. PROGRAMACIÓN LINEAL
2.1. INTRODUCCIÓN
5
En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor
uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la
maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias
primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos
(electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de
marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una
técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de
decisiones referentes a la asignación de los recursos.
Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos citar
según Dorfman, Samuelson, & Solow (1962) que:
1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de
forma que se maximice el beneficio de la empresa.
2. Elegir materias primas en procesos de alimentación, para obtener mezclas con unas
determinadas propiedades al mínimo coste.
3. Determinar el sistema de distribución que minimice el coste total de transporte, desde
diversos almacenes a varios puntos de distribución.
Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de
una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de producción e inventario.
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para (Elvis, 2008) las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes
como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante de tal
diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:
1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así,
por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras
que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de
los envíos.
5
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf

2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el que es posible
modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir
cuántas unidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las
limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos.
3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce
cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de
recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una
asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien
abandonando la producción del resto, etc.).
4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las restricciones deben ser
expresables como ecuaciones o inecuaciones lineales.
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN
LINEAL.
Antes de entrar al estudio de la PL, vamos a revisar las ecuaciones lineales, inecuaciones
lineales con dos variables, y sistemas de inecuaciones con dos variables.
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
Según (Murrias, 2002). La ecuación general de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, en donde vamos
analizar específicamente la pendiente o inclinación de la recta (m), ya que en base a esto
graficaremos las inecuaciones lineales con dos variables. Vamos, a analizar los cuatro casos de
la inclinación de la recta que son:
Caso 1.- La pendiente es positiva, y forma un ángulo agudo menor a 900
desde el origen con el
eje positivo de la x.
Ecuación general: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Dónde:
y= Variable Dependiente
x= Variable Independiente
m= Es la pendiente de la recta
ECUACIÓN DE LA
RECTA
Caso1:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Caso 2:
𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃
Caso 3:
𝒚 = ±𝒃
Caso 4:
𝒙 = ±𝒂

b= Es el punto que corta a la recta en el eje y
Ejemplos, graficar las siguientes ecuaciones:
1. 𝑦 = 𝑥 + 2
x y
0
1
2
3
2. 𝒚 = 𝒙
Caso 2.- La pendiente es negativa, y forma un ángulo agudo obtuso mayor a 900
desde el
origen con el eje negativo de la x.
Ecuación: 𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃
3. 𝒚 = −𝒙 + 𝟒
X Y
0
1
4
3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Recta que pasa por el origen:
Pasa cortando por el origen en el
punto (0,0)
La pendiente es 1, el ángulo es
450
, b=0
El ángulo de la pendiente positiva
está en el intervalo de: 𝟎𝐨
; 𝟗𝟎𝟎

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
4. 𝒚 = −𝒙
Caso 3.- La pendiente es cero, y forma un ángulo de cero grados, la recta es paralela al eje x.
Ecuación: 𝒚 = 𝒃
5. 𝒚 = 𝟑
6. 𝒚 = −𝟐
Caso 4.- La pendiente es infinita, porque el momento de calcular la pendiente con la fórmula
de dos puntos: 𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
tenemos una división para cero, eso dentro de límites es infinito (∞)
y forma un ángulo de noventa grados con respecto al eje x, la recta es paralela al eje y.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Recta que pasa por el
origen:
Pasa cortando por el
origen en el punto (0,0)
La pendiente es -1, el
ángulo es 1350
, b=0
El ángulo de la pendiente
negativa está en el
intervalo de: 𝟗𝟎𝐨
; 𝟏𝟖𝟎𝟎
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y
Nota:
La pendiente es
cero, y también el
ángulo de
inclinación es cero,
por lo que la recta
es paralela al eje x.

Ecuación: 𝒙 = 𝒂
7. 𝒙 = 𝟒
8. 𝒙 = −𝟏
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Según (Grossman S., 2008). Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad
que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de las
formas siguientes:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0
En donde: a, b, c, pertenecen a los reales. La solución general está formada por el conjunto de
todos los pares (𝑥1, 𝑦1) que verifican la inecuación.
Como estudiamos en el tema anterior, la ecuación de la recta, cuando intercambiamos el signo
de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la
solución de la desigualdad.
Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por
la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al
plano.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
𝒎 = ∞
á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟗𝟎𝒐
Recuerda:
La pendiente es infinita, y el ángulo
de inclinación es 90o
, por lo que la
recta es paralela al eje y.

Ejemplo: (Vera, 2005).Si queremos resolver la inecuación: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, representamos
en primer lugar la recta: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, en la que intercambiamos el signo de desigualdad
por el signo igual. Para ello despejamos la variable y, y damos dos puntos que corten a los ejes
x, y como se observa en la tabla siguiente:
𝟒𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎, a toda la ecuación divido para (2)
2𝑦 − 𝑥 − 4 = 0
𝑦 =
−𝑥−4
2
X Y
0 -2
-4 0
La recta divide al plano en dos partes, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para
saber que parte es la solución hay dos procedimientos:
Método # 1.- Se despeja la variable (y), de la inecuación, teniendo cuidado de que si en una
inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
En este caso tenemos que:
𝑦 ≤
−𝑥 − 4
2
Observando la gráfica vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La
solución de la inecuación será aquella parte que está por debajo de la recta en el eje (y), es
decir, la parte inferior, por lo que al despejar la ordenada, tenemos el sentido de desigualdad
(≤), quiere decir que se pinta la solución por debajo de la recta, cuando tengamos el sentido de
desigualdad (≥), la solución se pinta por encima de la recta con respecto del eje (y).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Recuerda:
Se pinta el semiplano
inferior, desde la recta que
corta con el eje y, por lo que
al despejar la inecuación el
sentido es: ≤

Método # 2.- Se toma un punto cualquiera el más fácil, que será siempre el punto (0,0) que no
pertenezca a la recta. Para que dicho punto sea solución, se tendrá que cumplir la desigualdad,
por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (0,0):
4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0  4(0) + 2(0) + 8 ≤ 0, es decir: 8 ≤ 0
Como esta última desigualdad es evidentemente falsa, concluimos que el semiplano que
contiene al (0,0) No es la solución, por lo que se pinta el semiplano inferior, como habíamos
obtenido antes.
Si al graficar otra inecuación por este segundo método, al reemplazar en la inecuación inicial el
punto (0,0), la desigualdad es verdadera, se pinta el semiplano que contiene dicho punto, y esa
es la solución.
Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza correctamente.
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES
Para graficar una inecuación lineal seguiremos los pasos expuestos por el autor Barsov (1972)
que sugiere:
1. Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual y dividir el plano cartesiano
tomando como frontera la recta que representa la ecuación obtenida.
2. Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad, por
cualquiera de los dos métodos.
3. Graficar la solución, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está
incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida, y se grafica con
líneas entrecortadas.
9. Ejemplos: graficar la inecuación: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟓 ≤ 𝟎
2𝑥 − 3𝑦 + 5 ≤ 0
−3𝑦 ≤ −2𝑥 − 5, a esta inecuación multiplicamos por (-1)
3𝑦 ≥ 2𝑥 + 5
𝑦 ≥
2𝑥 + 5
3
x y
0 5/3
-5/2 0

10. Graficar: 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 ≥ 𝟎
𝑦 ≥
−5𝑥
4
x y
0 0
4 -5
11. Graficar la inecuación: 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 < 𝟎
𝑥 + 𝑦 + 5 < 0
𝑦 < −𝑥 − 5
x y
0 -5
-5 0
Recuerda:
La frontera de la
desigualdad pasa
por el origen, el
primer punto es
(0,0), el otro se
escoge cualquiera
de preferencia
entero.
Recuerda:
Se pinta el semiplano superior, desde la recta que corta con el eje
y, por lo que al despejar la inecuación el sentido es: ≥
Nota:
No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y al multiplicar por
(-1), cambia el sentido de desigualdad.
Recuerda:
La inecuación no tiene igual, en
consecuencia, la recta que es la
frontera no es solución, y la
línea va entrecortada.

Recuerda:
Los valores en x mayores que
dos, y menores o iguales que
cuatro son: 2.1, 3,4
Intervalo: (2; 4
12. Graficar: 𝒚 ≥ 𝟐
13. Graficar: 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES
Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de
estas inecuaciones, es decir:
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 < 0
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 ≥ 0
… … . .
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 + 𝑐𝑛 ≤ 0
Los signos de desigualdad, pueden ser: ≤; ≥; >; <
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada
una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos.
Recuerda:
Los valores en (y) mayores
o iguales que dos son:
2,3,4,5,…
Intervalo: 2; ∞)

La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto
convexo.
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal; que para dos puntos cualesquiera de la
misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos
particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un
segmento, a un punto o al conjunto vacío.
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de
ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de
inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto
respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no
acotado, según su área sea o no finita.
14. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones:
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 (𝟏)
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 (𝟐)
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 (𝟑)
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
3𝑦 ≥ −3 − 2𝑥
𝑦 ≥ −
2𝑥
3
− 1
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
−𝑦 ≤ 9 − 2𝑥 ∗ (−1)
𝑦 ≥ 2𝑥 − 9
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
−5𝑦 ≥ 5 − 2𝑥 ∗ (−1)
5𝑦 ≤ 2𝑥 − 5
𝑦 ≤
2𝑥
5
− 1
Pasos para graficar el sistema de inecuaciones:
 Paso # 1.- Se numera las restricciones
 Paso # 2.- Se despeja la variable y de cada
inecuación.
 Paso # 3.- Se realiza la tabla de valores con dos
puntos, cuando x= 0; cuando y= 0; además cuando la
recta pasa por el origen se toma cualquier valor.
 Paso # 4.- Se grafica cada una de las inecuaciones
dependiendo del sentido de desigualdad (≤; ≥),
obtenida en el paso # 2.
 Paso # 5.- Se pinta la intersección de todas las
inecuaciones. Dicha región pintada es la solución del
sistema. De no intersecarse una de ellas entonces el
sistema no tiene solución.

Tabla de valores
x y
0 -1
-3/2 0
Tabla de valores
x y
0 -9
9/2 0
Tabla de valores
x Y
0 -1
5/2 0
/
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE
INECUACIONES
Para comprobar la zona sombreada o la intersección de todas las inecuaciones, escogemos un
punto cualquiera que esté dentro de la zona pintada, y remplazamos en cada una de las
inecuaciones, dicho punto debe satisfacer todas las inecuaciones. Ejemplo del ejercicio # 14.
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
Observamos la solución de la gráfica pintada y seleccionamos el P (2,-1).
Reemplazamos el punto P (2,-1) en el sistema de inecuaciones iniciales.

2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3
2(2) + 3(−1) ≥ −3
4 − 3 ≥ 0
1 ≥ −3
Verdadero
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0
2(2) − (−1) − 9 ≤ 0
4 + 1 − 9 ≤ 0
−4 ≤ 0
Verdadero
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0
2(2) − 5(−1) − 5 ≥ 0
4 + 5 − 5 ≥ 0
4 ≥ 0
Verdadero
{
𝑥 ≥ 0 (𝟏)
𝑦 ≥ 0 (𝟐)
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0 (𝟑)
𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0
𝑦 ≤ −𝑥 + 2
Interpretación de la recta
La recta es paralela al eje y
𝒙 = 𝟎
Solución: 𝟎; +∞)
Interpretación de la recta
La recta es paralela al eje x
𝒚 = 𝟎
Solución: 𝟎; +∞)
Tabla de valores
x y
0 2
2 0
Recuerda:
Las inecuaciones 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; quiere
decir que la solución es el primer cuadrante,
y todo dependerá de las otras inecuaciones.

{
𝑥 + 𝑦 > 1 (𝟏)
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦 (𝟐)
𝑦 < 2𝑥 (𝟑)
𝑥 + 𝑦 > 1
𝑦 > −𝑥 + 1
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦
𝑦 ≥ 3𝑥 − 5
𝑦 < 2𝑥
Recta que pasa por el origen
Tabla de valores
x y
0 1
1 0
Tabla de valores
x y
0 -5
5/3 0
Tabla de valores
x Y
0 0
1 2
{
1 ≤ 𝑦 ≤ 4 (𝟏)
2 ≤ 𝑥 ≤ 4 (𝟐)
𝑦 ≥ 𝑥 (𝟑)
Recuerda:
Las inecuaciones número
uno y tres, las rectas son
entrecortadas porque no
contiene el signo igual.

1 ≤ 𝑦 ≤ 4 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑦 ≥ 𝑥
origen
Interpretación de la
recta
La recta es paralela al
eje x
𝒚 = 𝟏 ; 𝒚 = 𝟒
Solución: 𝟏; 𝟒
recta
eje y
𝒙 = 𝟐; 𝒙 = 𝟒
Solución: 𝟐; 𝟒
Tabla de valores
x Y
0 0
2 2
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Optimización.- Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que
contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula,
en términos generales, es ¿qué valores deberían tener estas variables para que la expresión
matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor valor numérico
posible (minimización)?. A este proceso general de maximización o minimización se lo
denomina optimización.
La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la
respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor
producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia,
estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero,
tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc.

Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las
relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes
de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, QM for windows o
WinQSB, resuelven modelos de programas lineales6
.
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1. Definición de variables: Como primer paso para modelar ordenadamente un problema
de optimización, debemos distinguir qué variables son aquellas sobre las que vamos a
tomar decisiones en el problema, siendo cuidadosos y definidas en forma concreta.
Estas variables por lo general las podemos identificar en la pregunta del problema y
generalmente se designan con letras sub-indizadas. Cada variable debe presentar una
cantidad que corresponda a una misma unidad de medida (utilidad, horas, artículos,
precios, entre otros).
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛= Variables del problema.
2. Determinación de la función objetiva: Es la ecuación matemática que representa el
objeto planteado, la misma que se expresa mediante una función lineal de la
combinación de las variables discretas en la pregunta del problema; la que puede
generar un mayor cuando se trata de maximizar beneficios y en un menor valor cuando
se trata de minimizar costos.
𝑍(max 𝑜 min) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
En donde:
𝑧(max 𝑜 min) =Función Objetiva del problema (F.O.)
𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐𝑛 = Coeficientes unitarios que acompañan a las variables en la F.O.
(beneficios, costos, precios, entre otros)
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables del problema, donde se quiere llegar.
3. Planteamiento de las restricciones: Representan las condiciones y/o recursos a las que
está expuesto el problema y se muestran por medio de desigualdad de tipo lineal, ya
sean estas: físicas, económicas, técnicas, entre otras.
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + … + 𝐴1𝑛𝑥𝑛 𝑇1 𝐵1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + … + 𝐴2𝑛𝑥𝑛 𝑇2 𝐵2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + … + 𝐴3𝑛𝑥𝑛 𝑇3 𝐵3
: : : : : : :
𝐴𝑚1𝑥1 + 𝐴𝑚2𝑥2 + 𝐴𝑚3𝑥3 + … + 𝐴𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑇𝑛 𝐵𝑛
6
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rop

En donde:
𝐴𝑖𝑗= Coeficiente que acompaña a las variables en las restricciones.
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables de decisión del problema
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇𝑛= Signo de restricción del problema (≥, ≤, =)
𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵𝑛= Disponibilidad del problema
Para la asignación de los signos, con respecto a la disponibilidad, no pueden tener una
desigualdad estricta con los signos ≥ o ≤, deben ser con los signos ≥, ≤ o =. Con frecuencia las
restricciones suelen ir con signo ≤ cuando se trata de maximización y con el signo ≥ cuando se
trata de minimización; además no es una regla general, se pueden identificar los signos de las
restricciones mediante la terminología en los enunciados tales como:
 Para ≥: “mayor igual a”, “al menos”, “por lo menos”, “como mínimo”, “un mínimo
de”, otros similares.
 Para ≤: “menor igual a”, “a lo mucho”, “cuando mucho”, “como máximo”, “no más
de”, otros similares.
 Para =: “igual a”, “únicamente”, “un total de”, otros similares.
Para el planteamiento de las restricciones se puede hacer uso de una tabla (opcional) facilitará
la identificación de los recursos, donde las variables de las restricciones deben estar siempre en
las mismas unidades; dicho de otra forma más simple, si un recurso está dado por horas, los
espacios correspondientes a las variables tendrán que estar en horas, y por ende la
disponibilidad también deberá estar en horas, caso contrario se tendrá que realizar la conversión
de unidades.
RECURSOS VARIABLES DISPONIBILIDAD
Mano de
obra (horas)
𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
Horas
horas horas horas horas
4. Condiciones de no negatividad: Son restricciones adicionales que nos indican que las
soluciones obtenidas deben ser siempre positivas, es decir, mayores o igual a cero.
𝑥𝑛 ≥ 0
5. Condiciones de optimización: Es la utilización de algún método para la resolución del
problema, el mismo que nos ayudará a interpretar la solución, pueden ser:
 Método gráfico.
 Método simplex primal.
 Método simplex dual.
 Modelo de transporte.

2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
(MAXIMIZACIÓN)
18. Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B; las camisas de tipo A requieren 2.5
minutos para corte y 5 minutos para confección; las de tipo B, requieren 4 minutos para
corte y 4 minutos para confección. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas
para confección, siendo el beneficio de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares
por camisa de tipo B. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe producirse para obtener su
máximo beneficio?
1.- Definición de variables:
𝑥1 = Camisas tipo A
𝑥2 = Camisas tipo B
2.- Función objetiva: 𝑍(max) = 2.5𝑥1 + 3𝑥2
3.-Restricciones:
1 ℎ𝑜𝑟𝑎 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 100 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Corte (min) 2.5 4 100
Confección (min) 5 4 120
{
2.5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 100 (𝟏)
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
19. Una fábrica produce dos tipos de productos A y B; el primero requiere la utilización de
7kg de materia prima, 2 horas/hombre de mano de obra, y 4,5 horas/máquina de
utilización de maquinaria. El segundo requiere 3kg de materia prima, 3 horas/hombre de
mano de obra y 4 horas máquina de utilización de maquinaria. La empresa cuenta para
la fabricación de productos con los siguientes recursos: 21kg de materia prima, 12
horas/hombre de mano de obra y 18 horas/máquina. ¿Cuál es la combinación óptima de
producción que maximice el beneficio, suponiendo que la fábrica estima ganar $15 por
cada unidad de producto A y $ 11 por cada unidad del producto B?
𝑥1 = Producto A
𝑥2 = Producto B
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2
3.-Restricciones:

RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Materia prima 7 kg 3 kg 21 kg
Mano de obra 2h/H 3h/H 12 h/H
Utilización maquinaria 4,5 h/m 4h/m 18 h/m
Beneficio $15 $11
{
7𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21 (𝟏)
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18 (𝟑)
20. Para la fabricación de dos productos, se utilizan dos tipos de materiales M1 y M2 para
la fabricación de dichos productos, P1 y P2. La disponibilidad de los materiales M1 y
M2 es de 135 y 120 toneladas, en su orden. El producto P1 contiene el 30% de M1 y
40% de M2; mientras que el producto P2 contiene el 70% de M1 y 60% de M2. Las
utilidades unitarias de los productos P1 y P2 son $3 y $5, respectivamente. La demanda
del producto P1 está entre 25 y 130 unidades y la de P2 entre 35 y 150 unidades
¿Cuántos productos de cada uno se debe fabricar para maximizar sus utilidades?
𝑥1 = Productos P1
𝑥2 = Productos P2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Material 1 (Tn) 0,30 0,70 135
Material 2 (Tn) 0,40 0,60 120
{
0,30𝑥1 + 0,70𝑥2 ≤ 135 (𝟏)
0,40𝑥1 + 0,60𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
25𝑥1 ≤ 130 (𝟑)
35𝑥2 ≤ 150 (𝟒)

21. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de
aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A, se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de
titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de él un beneficio de $ 1500. Para fabricar 100
m de cable de tipo B, se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y
se obtiene un beneficio de $ 1000. Calcular cuántos metros de cable hay que fabricar, de
cada tipo; para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio?
𝑥1 = Metros de cable tipo A
𝑥2 = Metros de cable tipo B
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Cobre (Kg) 10 15 195
Titanio (Kg) 2 1 20
Aluminio (Kg) 1 1 14
Beneficio ($) 1500 1000
{
10𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 195 ÷ 5
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14
= {
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 39 (𝟏)
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14 (𝟑)
22. Un fabricante de muebles produce dos tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada mesa
del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio
de 200 dólares. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. Cada mesa moderna
necesita 3 horas de lijado y 4 horas de barnizado, y su beneficio es de 100 dólares. Se
dispone de 48 horas para lijado y de 60 horas para barnizado. ¿Cuántas mesas de cada
tipo se han de fabricar para que sus beneficios sean máximos?
𝑥1 = Número de mesas clásicas
𝑥2 = Número de mesas modernas
3.-Restricciones:

RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Lijado 4 3 48
Barnizado 3 4 60
Beneficio ($) 200 100
{
𝑥1 ≤ 9 (𝟏)
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 (𝟐)
3𝑥1+4𝑥2 ≤ 60 (𝟑)
23. Un mayorista desea comprar dos tipos de televisores TV1 y TV2, los de tipo TV1
cuestan 300 dólares y los de tipo TV2 500 dólares la unidad. Dispone de 7000 dólares
para realizar las compras, y en su almacén, únicamente dispone de espacio para 20
televisores. En la venta de cada televisor gana el 30% del precio de la compra. ¿Cuántos
televisores de cada tipo han de comprar para maximizar su beneficio?
𝑥1 = TV1
𝑥2 = TV2
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 300(30%)𝑥1 + 500(30%)𝑥2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 90𝑥1 + 150𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Capital ($) 300 500 7000
Espacio 1 1 20
{
300𝑥1 + 500𝑥2 ≤ 7000 ÷ 100
𝑥1 + 𝑥2 = 20
= {
3𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 70 (𝟏)
𝑥1 + 𝑥2 = 20 (𝟐)
24. Los estudiantes en la universidad deben tomar por lo menos 3 cursos de humanidades y
2 de ciencias. El número máximo permitido de cursos de ciencias es de 5. El número
total de créditos en ciencias y humanidades no debe exceder de 80. Los puntos de
calidad para cada curso se asignan de la manera usual: el número de horas crédito por 4
para una calificación de A, por 3 para una calificación de B y por 2 para una
calificación de C. Cierto estudiante espera obtener B en todos sus cursos de ciencias.

Espera obtener C en la mitad de sus cursos de humanidades, B en la cuarta parte de
ellos y A en el resto. Bajo esas hipótesis, ¿Cuántos cursos de cada clase debe tomar para
obtener el máximo número posible de horas?
𝑥1 = Curso de ciencias
𝑥2 = Curso de Humanidades
2.- Función objetiva:
Calificación: A= 4
B= 3
C= 2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + (
2
2
+
3
4
+
4
4
)𝑥2
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 2,75𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Créditos 5 4 80
{
𝑥2 ≥ 3 (𝟏)
𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
𝑥1 ≥ 4 (𝟑)
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 80 (𝟒)
25. La empresa lechera Milk, no puede recibir más de 100000 litros de leche al día, debido
a las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la
administración requieren el uso de al menos 10000 litros de leche diarios para la
fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada,
según lo permita el equipo. El beneficio de un litro según como se emplee es como
sigue:
Manteca $ 0.02
Leche $ 0.10
Queso $ 0.30
El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 60000 litros de leche por día y el
de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema.
𝑥1 = Litros de leche para manteca

Problemas de optimización
𝑥2 = Litros de leche para leche
𝑥3 = Litros de leche para queso
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 0.02𝑥1 + 0.10𝑥2 + 0.03𝑥3
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥1 𝑥3
Total 1 1 1 100000
Manteca 1 60000
Leche 1 10000
Queso 1 30000
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 100000 (𝟏)
𝑥1 ≤ 60000 (𝟐)
𝑥2 ≤ 10000 (𝟑)
𝑥3 ≤ 3000 (𝟒)
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
26. Un agricultor posee un terreno de 100 hectáreas, ahí quiere producir papas y arveja, por
su experiencia él calcula que una hectárea puede producir 20 qq si solo siembra papas o
25 qq si solo se cultiva arveja. Los recursos con que cuenta, además del terreno, son
8000 unidades monetarias; la hectárea de papas requiere un capital de 1000 unidades
monetarias y la de arveja requiere 1200 unidades monetarias, las necesidades de agua de
riego son de 800 m3
y 700 m3
por hectárea de papas y arveja. La disponibilidad de agua
en ese sector es de 5800 m3
. Si los precios de venta son de 18 unidades monetarias por
qq de papas y 16 por qq de arveja. ¿Cuánto se debe producir de cada producto para
maximizar la ganancia?
𝑥1 = Quintales de papas
𝑥2 = Quintales de arveja
3.-Restricciones:
{
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100
1000
20
𝑥1 +
1200
25
𝑥2 ≤ 8000
800
20
𝑥1 +
700
25
𝑥2 ≥ 5800
= {
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100 (1)
25𝑥1 + 24𝑥2 ≤ 4000 (2)
10𝑥1 + 7𝑥2 ≥ 1450 (3)

2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
(MINIMIZACIÓN)
27. Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos
factorías, F1 y F2. En F1 se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipos B, con un
coste de $ 32 000 diarios. F1 no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A y 4
de B, con un coste de $ 24 000 diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la
venta al menos 360 coches de tipo A y al menos 300 de tipo B. ¿Cuántos días debe
funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo?, y ¿Cuál es ese costo?
𝑥1 = Número de días que debe funcionar F1.
𝑥2 = Número de días que debe funcionar F2.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 32000𝑥1 + 24000𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Modelo A 6 4 360
Modelo B 4 4 300
Costo ($) 32000 24000
{
0 ≤ 𝑥 ≤ 50
6𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 360 ÷ 2
4𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 300 ÷ 4
= {
0 ≤ 𝑥 ≤ 50 (𝟏)
3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 180 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 75 (𝟑)
28. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con
una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res
contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra; la
carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 centavos por libra.
¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón,
si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%?
𝑥1 = Número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón.
𝑥2 = Número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón.
2.- Función objetivo: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 80𝑥1 + 60𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Grasa (res, cerdo) 0.20 0.32 0.25
Carne (res, cerdo) 1 1 1
Costo ($) 80 60

{
0.20𝑥1 + 0.32𝑥2 ≤ 0.25 ∗ 100
𝑥1 + 𝑥2 = 1
= {
20𝑥1 + 32𝑥2 ≤ 25 (𝟏)
𝑥1 + 𝑥2 = 1 (𝟐)
29. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como
mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias las venden dos proveedores
en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal, que los contenidos de B y de A
están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal
que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de B. El
primer proveedor vende cada lote a $10 y el segundo al doble. Ambos proveedores nos
venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes hemos de comprar
para que el coste sea mínimo?
𝑥1 = Lotes del primer proveedor.
𝑥2 = Lotes del primer proveedor.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 10𝑥1 + 20𝑥2
3.-Restricciones:
RECURSOS
VARIABLES
DISPONIBILIDAD
𝑥1 𝑥2
Sustancia A 1 4 10
Sustancia B 4 1 10
Costo ($) 10 20
{
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 10 (𝟏)
4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10 (𝟐)
30. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y
novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 pesetas, y
el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94500 pesetas. Por
otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las
novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100
unidades. Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades
de cada tipo ha de constar el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido?
𝑥1 = Número de películas de estreno.
𝑥2 = Número de películas de novedades.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 𝑥1 + 𝑥2
3.-Restricciones:

{
760𝑋1 + 370𝑋2 ≤ 94500 ÷ 10
𝑋1 ≥
𝑋2
2
𝑋2 +
𝑋1
2
≥ 100
= {
76𝑋1 + 37𝑋2 ≤ 9450 (𝟏)
2𝑋1 ≥ 𝑋2 (𝟐)
𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 200 (𝟑)
31. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidad de los distintos tipos
de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo
mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingredientes
nutritivos básicos, contenidos en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los
requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos.
Ingrediente
nutricional
Kg de maíz
Kg de
grasa
Kg de
alfalfa
Mínimo
diario
Carbohidratos 90 20 40 200
Proteínas 30 80 60 180
Vitaminas 10 20 60 150
Costos($) 42 36 30
𝑥1 = Cantidad de kilogramos de maíz.
𝑥2 = Cantidad de kilogramos de grasas.
𝑥3 = Cantidad de kilogramos de alfalfa.
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 42𝑥1 + 36𝑥2 + 30𝑥3
3.-Restricciones:
{
90𝑥1 + 20𝑥2 + 40𝑥3 ≥ 200 ÷ 10
30𝑥1 + 60𝑥2 + 80𝑥3 ≥ 180 ÷ 10
10𝑥1 + 20𝑥2 + 60𝑥3 ≥ 150 ÷ 10
= {
9𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 20 (𝟏)
3𝑥1 + 6𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 18 (𝟐)
1𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 15 (𝟑)
32. Una planta produce 3300000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 lb de
polvo por cada barril producido. La compañía cementera debe reducir sus emisiones a
no más de 1000000 lb anuales. Hay dos tipos de control disponibles, A y B. El A reduce
las emisiones a
1
2
lb por barril, y el costo es de $0,25 por barril de cemento producido.
En el caso del dispositivo B, la reducción es de
1
4
lb por barril y su costo de $0,40 por
barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta
debe tomar de modo que mantenga exactamente la misma producción anual.
𝑥1 = Número de barriles con el dispositivo A.
𝑥2 = Número de barriles con el dispositivo B.
𝑥3 = Número de barriles sin dispositivo.

Método gráfico
𝒙𝟏
𝒙𝟐
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 0,25𝑥1 + 0.40𝑥2 + 0𝑥3
3.-Restricciones:
{
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3300000 (𝟏)
1
2
𝑥1 +
1
4
𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 1000000 (𝟐)
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO
La resolución de problemas lineales mediante el método gráfico solamente se la realizara
cuando en la formulación existan dos variables, ya que este método utiliza el eje de coordenadas
del plano cartesiano, donde el eje de las abscisas representa a (𝒙𝟏) y el eje de las ordenadas
representa a (𝒙𝟐) que son las variables de decisión del problema. (Cagigal , 1981, pág. 16)
Para resolver por el método gráfico, vamos a partir de los puntos estudiados anteriormente,
como son: definición de variables, función objetiva, restricciones, no negación, y también la
resolución gráfica de sistemas de inecuaciones, entonces se procede como se detalla a
continuación:
1. Región factible.- Es la intersección de todas las inecuaciones graficadas una por una,
los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto
convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema.
Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de la
función operativa máximo o mínimo, según sea el problema.
2. Hallar las coordenadas de los vértices de la región factible.- Se procede a señalar los
vértices con letras mayúsculas del abecedario, y se iguala las restricciones que cortan en
cada vértice para poder encontrar los puntos de intersección de las rectas. A dichos
puntos se denominan soluciones factibles, de todas esas soluciones factibles, aquellas
que hacen optima (máxima o mínima) la función objetiva se llaman soluciones óptimas.

Método gráfico
3. Determinación gráfica del punto óptimo.- En este caso se representa el vector
director de la recta que viene dada por la ecuación de la función objetivo, 𝐹(𝑥1, 𝑥2) =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑥2, que hay que maximizar o minimizar. El vector director de la recta 𝐴𝑥1 +
𝐵𝑥2 viene dado por 𝒗(−𝑩, 𝑨). Además, como lo único que nos importa es la dirección
del vector y no su módulo (longitud), podemos dividir a las coordenadas del vector si
los números son muy grandes, puesto que vectores con coordenadas proporcionales
tienen la misma dirección. Posteriormente, se trazan rectas paralelas a este vector que
pasen por los vértices de la región factible (si es acotada), o por todo el borde de la
región factible (cuándo no es acotada) y se observa en qué vértice la función F se hace
máxima (o mínima) sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor (o
menor) ordenada en el origen, es decir, qué recta corta en un punto mayor o menor al
eje y o 𝒙𝟐.
4. Determinación algebraica del punto óptimo.- Consiste simplemente, en sustituir
cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo. La solución óptima
vendrá dada por aquel que tome el mayor valor en el caso de maximización, o el menor
en el caso de minimización.
5. Interpretación de la solución lógica.- Consiste en hacer un informe de los resultados
encontrados para su respectiva implementación.
6. Comprobación.- La solución óptima debe satisfacer todo el sistema de inecuación con
la función objetivo.
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO
En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución.
Lo que si se verifica es la siguiente propiedad:
Si hay una única solución óptima, esta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay
infinitas soluciones óptimas, se encontrarán en un lado de la región factible. Es posible que no
haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o
decrecer indefinidamente.
TIPOS DE
SOLUCIÓN
Caso1:
Solución
única,
acotada
Caso 2:
Solución
múltiple,
acotada
Caso 3:
Solución
única y
múltiple, No
acotada
Caso 4:
Ninguna
solución

Método gráfico
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA
Este tipo de solución es la de mayor utilidad en problemas reales de programación
lineal, y la solución óptima única se encuentra en un vértice de la región factible.
Ejemplo.
33. Para la resolución de este ejemplo cogemos los datos del problema # 19, y resolvemos
por el método gráfico.
1.- Datos del problema:
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Producto A.
𝒙𝟐 = Producto B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁 = 𝟏𝟓𝒙𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 (𝟏)
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐 (𝟐)
𝟒, 𝟓𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟖 (𝟑)
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación:
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏
𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏
𝒙𝟐 ≤
𝟐𝟏 − 𝟕𝒙𝟏
𝟑
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12
3𝑥2 ≤ 12 − 2𝑥1
𝑥2 ≤
12 − 2𝑥1
3
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18
4𝑥2 ≤ 18 − 4,5𝑥1
𝑥2 ≤
18 − 4,5𝑥1
4
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 7
3 0
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 4
6 0
Tabla de valores
𝒙𝟏 𝒙𝟐
0 4,5
4 0

Método gráfico
3.- Gráfica de la región factible:
4.- Cálculo de los vértices:
Coordenada A Coordenada B Coordenada C
Se obtiene de la gráfica
𝑨 = (𝟎, 𝟒)
Recta 2 y 3
2𝑥1 + 3𝑥2 = 12 (−4)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)
−8𝑥1 − 12𝑥2 = −48
13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54
5,5𝑥1 = 6
𝑥1 =
6
5,5
𝑥1 = 1,09
Reemplazamos en 2
2𝑥1 + 3𝑥2 = 12
2(1,09) + 3𝑥2 = 12
2,18 + 3𝑥2 = 12
𝑥2 =
12 − 2,18
3
𝑥2 = 3,27
𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕)
Recta 1 y 3
7𝑥1 + 3𝑥2 = 21 (−4)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 = 18 (3)
−28𝑥1 − 12𝑥2 = −84
13,5𝑥1 + 12𝑥2 = 54
−14,5𝑥1 = −30
𝑥1 =
−30
−14,5
𝑥1 = 2,06
Reemplazamos en 1
7𝑥1 + 3𝑥2 = 21
7(2,06) + 3𝑥2 = 21
3𝑥2 =
21 − 14,42
3
𝑥2 =
6,58
3
𝑥2 = 2,19
𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗)
Coordenada D Coordenada E
𝑨 = (𝟑, 𝟎)
𝐴 = (0, 𝟎)
REGIÓN
FACTIBLE

Método gráfico
5.- Determinación gráfica del punto óptimo:
Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩, 𝑨), con los coeficientes de la función objetivo
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2
𝒗(−𝟏𝟏, 𝟏𝟓), por motivos de la escala dividimos al vector para cinco, entonces tenemos:
𝒗(−𝟐, 𝟐 ; 𝟑)
La Solución gráfica del punto óptimo es: 𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗).
6.- Determinación algebraica del punto óptimo:
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝒙𝟏 𝟏𝟏𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟎, 𝟒) 15(0) 11(4) 44
𝑩(𝟏, 𝟎𝟗; 𝟑, 𝟐𝟕) 15(1,09) 11(3,27) 52,32
𝑪(𝟐, 𝟎𝟔; 𝟐, 𝟏𝟗) 15(2,06) 11(2,19) 54,99
𝑫(𝟑, 𝟎) 15(3) 11(0) 45
𝑬(𝟎, 𝟎) 15(0) 11(0) 0
Recuerda:
El vector trazamos desde el origen P(0;0); al
trazar rectas paralelas al vector desde cada
vértice, observamos que la recta paralela que
corta en el eje y con mayor valor se inicia desde
el punto C, como el ejercicio nos dice
maximizar nuestra respuesta es el punto C.
Si fuera minimización escogemos la recta
paralela con menor valor en el eje y.
ta:
No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y
al multiplicar por (-1), cambia el sentido de
desigualdad.
PUNTO
MÁXIMO

Método gráfico
7.- Interpretación:
La empresa debe fabricar 2,06 unidades del producto A y 2,19 unidades del producto B para
obtener un máximo beneficio de $54,99.
8.- Comprobación:
𝟕𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟏
𝟕(𝟐) + 𝟑(𝟐) ≤ 𝟐𝟏
𝟏𝟒 + 𝟔 ≤ 𝟐𝟏
𝟐𝟎 ≤ 𝟐𝟏
Verdadero
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 1
2(2) + 3(2) ≤ 12
4 + 6 ≤ 12
10 ≤ 12
Verdadero
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18
4,5(2) + 4(2) ≤ 18
9 + 8 ≤ 18
17 ≤ 18
Verdadero
34. La empresa TECNOLOGYRV fabricante de computadores produce dos modelos, A y
B. Para ello dispone de dos sucursales S1 y S2. En la S1 se producen diariamente 4
computadores tipo A y 7 computadores tipo B, con un coste de $ 12 diarios. En S2 se
producen 5 de A y 2 de B, con un coste de $ 8 diarios. Además, quiere que lo invertido
en la sucursal S1 sea, a lo mucho, igual a lo invertido en la sucursal S2. Para abastecer
el mercado, se han de poner a la venta máximo 20 computadores de tipo A y al menos
14 de tipo B. ¿Cuántos días debe funcionar cada sucursal para que el coste sea mínimo?
¿Cuál es ese costo?
1.- Datos del problema
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de días que debe funcionar S1.
𝒙𝟐 = Número de días que debe funcionar S2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar: 𝒁 = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟏)
𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟒 (𝟐)
𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 (𝟑)
No negación: 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ≥ 𝟎
2.- Cálculo de los puntos para graficar cada inecuación.
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎
𝟓𝒙𝟐 ≤ −𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎
𝒙𝟐 ≤
−𝟒𝒙𝟏 + 𝟐𝟎
𝟓
7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14
2𝑥2 ≥ −7𝑥1 + 14
𝑥2 ≥
−7𝑥1 + 14
2
𝑥1 ≤ 𝑥2
𝑥2 ≥ 𝑥1
Recta que pasa por el origen

Método gráfico
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 4
5 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 7
2 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
2 2
4.- Cálculo de los vértices:
Coordenada A Coordenada B Coordenada C
Recta 1 y 2
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 (𝟕)
𝟕𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟒 (−𝟒)
𝟐𝟖𝒙𝟏 + 𝟑𝟓𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟎
−𝟐𝟖𝒙𝟏 − 𝟖𝒙𝟐 = −𝟓𝟔
𝟐𝟕𝒙𝟐 = 𝟖𝟒
𝒙𝟐 =
𝟖𝟒
𝟐𝟕
𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟏
Recta 2 y 3
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−7)
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
−7𝑥1 + 7𝑥2 = 0
9𝑥2 = 14
𝑥2 =
14
9
𝑥2 = 1.56
Recta 1 y 3
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
𝑥1 − 𝑥2 = 0 (−4)
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
−4𝑥1 + 4𝑥2 = 0
9𝑥2 = 20
𝑥2 =
20
9
𝑥2 = 2.22
REGIÓN
FACTIBLE

Método gráfico
Reemplazamos en 1
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟐𝟎
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓(𝟑, 𝟏) = 𝟐𝟎
𝟒𝒙𝟏 = 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟓
𝒙𝟏 =
𝟒, 𝟓
𝟒
𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟏
𝑨 = (𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏)
Reemplazamos en 2
7𝑥1 + 2𝑥2 = 14
7𝑥1 + 2(1,56) = 14
7𝑥1 = 14 − 3,12
𝑥1 =
10,88
7
𝑥1 = 1.56
𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔)
Reemplazamos en 1
4𝑥1 + 5𝑥2 = 20
4𝑥1 + 5(2,22) = 20
4𝑥1 = 20 − 11,10
𝑥1 =
8,9
4
𝑥1 = 2.22
𝑪 = (𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐)
5.- Determinación gráfica del punto óptimo:
Se grafica el vector: 𝒗(−𝑩, 𝑨), con los coeficientes de la función objetivo
𝒁(𝒎𝒊𝒏) = 𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟖𝒙𝟐
𝒗(−𝟏𝟐, 𝟖), por motivos de la escala dividimos al vector para cuatro (4) entonces tenemos:
𝒗(−𝟑 ; 𝟐)
Recuerda:
El vector trazamos desde el
origen P(0;0); al trazar rectas
paralelas al vector desde cada
vértice, observamos que la recta
paralela que corta en el eje y con
menor valor se inicia desde el
punto B, como el ejercicio nos
dice minimizar nuestra respuesta
es el punto B.
Nota:
En problemas razonados de
minimización, la respuesta
es factible y de mayor
aplicación a la realidad de
las empresas, cuando los
vértices de las soluciones
factibles no cortan en los
ejes 𝑥1, 𝑥2, tal como se
realizó en este ejemplo.

Método gráfico
La solución gráfica del punto óptimo es: 𝑩 = (𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔).
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟐𝒙𝟏 𝟖𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟏. 𝟏; 𝟑. 𝟏) 12(1.1) 8(3.1) 38
𝑩(𝟏. 𝟓𝟔; 𝟏. 𝟓𝟔) 12(1.56) 8(1.56) 31,20
𝑪(𝟐. 𝟐𝟐; 𝟐. 𝟐𝟐) 12(2.22) 8(2.22) 44,40
La sucursal uno debe funcionar 1,56 días, y la sucursal dos también 1,56 días para obtener un
costo mínimo de $31,2.
8.- Comprobación:
𝟒𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎
𝟒(𝟏) + 𝟓(𝟏) ≤ 𝟐𝟎
𝟒 + 𝟓) ≤ 𝟐𝟎
𝟗 ≤ 𝟐𝟎
Verdadero
7𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 14
7(2) + 2(2) ≥ 14
14 + 4 ≥ 14
18 ≥ 14
Verdadero
𝑥1 ≤ 𝑥2
(1) ≤ (1)
1 ≤ 1
Verdadero
35. Una persona quiere invertir $100000 en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A
tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras,
pero producen solo el 7% nominal. Él decide invertir como máximo $60000 en la
compra de acciones A, y por lo menos, $20000 en la compra de acciones B. Además,
quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe
invertir los $100000 para que el beneficio anual sea máximo?
Para mayor facilidad en el momento de graficar, a las disponibilidades de las restricciones
quitamos cuatro ceros, y al final para la respuesta aumentamos los cuatro ceros.
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Dinero invertido en acciones de tipo A.
𝒙𝟐 = Dinero invertido en acciones de tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟎, 𝟏𝑿𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝑿𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 ≤ 𝟔 (𝟐)
𝒙𝟐 ≥ 𝟐 (𝟑)
𝒙𝟏 ≥ 𝒙𝟐 (𝟒)
PUNTO
MÍNIMO

Método gráfico
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 Inecuación # 4
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎 − 𝒙𝟏
𝑥1 ≤ 6 𝑥2 ≥ 2
𝑥1 ≥ 𝑥2
Recta que pasa
por el origen.
𝑥2 ≤ 𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 10
10 0
Interpretación
de la recta
La recta es
paralela al eje 𝑥2
𝒙𝟏 = 𝟔
Solución: 𝟎; 𝟔
Interpretación de
la recta
La recta es paralela
al eje 𝑥1
𝒙2 = 𝟐
Solución: 𝟐; +∞)
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
2 2
REGIÓN
FACTIBLE

Método gráfico
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟎. 𝟏𝒙𝟏 𝟎. 𝟎𝟕𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟐, 𝟐) 0.1(2) 0.07(2) 0,14
𝑩(𝟔; 𝟐) 0.1(6) 0.07(2) 0,74
𝑪(𝟔; 𝟒) 0.1(6) 0.07(4) 0.88
𝑫(𝟓, 𝟓) 0.1(5) 0.07(5) 0,85
Una persona deberá invertir$ 60000 del producto A y 40000 del producto B para obtener un
máximo beneficio de $8800.
36. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes, A, B y
C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe
mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C, mientras que para hacer una tarta T2 necesita
5 kg de A, 2 kg de B y 1 kg de C. Si se venden las tartas T1 a $10, y las tartas T2 a $23.
¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de tartas de tipo T1.
𝒙𝟐 = Número de tartas de tipo T2.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝟑𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟏)
𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎 (𝟐)
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 (𝟑)
𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎
𝟓𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏
𝒙𝟐 ≤
𝟏𝟓𝟎 − 𝒙𝟏
𝟓
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 90
2𝑥2 ≤ 90 − 𝑥1
𝑥2 ≤
90 − 𝑥1
2
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 150
𝑥2 ≤ 150 − 2𝑥1
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 30
150 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 45
90 0
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 150
75 0
PUNTO
MÁXIMO

Método gráfico
La empresa debe fabricar 50 tartas del tipo T1 y 20 tartas del tipo T2 para obtener un máximo
beneficio de $960.
37. Se va a organizar la planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas
y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número
de mecánicos y de electricistas y del número de mecánicos no supere al doble que el de
electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la
empresa por jornada es de 150 dólares por electricista y 120 dólares por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?
VARIABLES:
𝒙𝟏 = Número de electricistas.
𝒙𝟐 = Número de mecánicos.
FUNCIÓN OBJETIVO:
Maximizar: 𝒁(𝒎𝒂𝒙) = 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐
RESTRICCIONES:
{
𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 (𝟏)
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 (𝟐)
𝒙𝟐 ≥ 𝒙𝟏 (𝟑)
𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝒙𝟏 (𝟒)
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟎𝒙𝟏 𝟐𝟑𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟎; 𝟑𝟎) 10(0) 23(30) 690
𝑩(𝟓𝟎; 𝟐𝟎) 10(50) 23(20) 960
𝑪(𝟕𝟎; 𝟏𝟎) 10(70) 23(10) 930
𝑫(𝟕𝟓; 𝟎) 10(75) 23(0) 750
PUNTO
MÁXIMO
REGIÓN
FACTIBLE

Método gráfico
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación #3 Inecuación #4
𝒙𝟏 ≤ 𝟑𝟎 𝑥2 ≤ 20
𝑥2 ≥ 𝑥1
origen.
𝑥2 ≤ 2𝑥1
origen.
recta
eje 𝒙𝟐
𝒙𝟏 = 𝟑𝟎
Solución: 𝟎; 𝟑𝟎
recta
eje 𝑥1
𝒙2 = 𝟐𝟎
Solución: 𝟎; 𝟐𝟎
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
10 10
Tabla de valores
𝑥1 𝑥2
0 0
10 20
𝑷(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟏 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐 𝒁
𝑨(𝟏𝟎, 𝟐𝟎) 150(10) 120(20) 3900
𝑩(𝟐𝟎, 𝟐𝟎) 150(20) 120(20) 5400
Se debe elegir 20 electricistas y 20 mecánicos para tener un máximo beneficio de $5400.
REGIÓN
FACTIBLE
PUNTO
MÁXIMO

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